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云南省2012年第一次高中毕业生复习统一检测(文数,解析版)


2012 年云南省第一次高中毕业生复习 统一检测文科数学 统一检测文科数学
第 1 题:已知集合 S = { 1 , 2 } , T = { 1 , 3 } ,则 S U T = (A) { 1

}

(B) { 2 , 3 }

(C) { 1 , 2 ,3 }

(D) { 1 , 2 ,1 ,3 }

解:∵ S = { 1, 2 } , T = { 1, 3 } ,∴ S U T = 故选(C).

2, { 1, 3 } .

答题分析:这本是一道容易题, 仅仅只涉及了集合的并运算.然而在抽样阅卷的过程中, 发现选其他错误选项的考生大有人在, 这一方面说明考生之间差异巨大, 同时是否也暴露出 我们的教学对后进生没有很好地照顾到,是否遗忘了后进生。 第 2 题:抛物线 x 2 = 2 y 的焦点坐标是 (A) (

1 ,0) 2

(B) ( 0 ,

1 ) 2

(C) ( 1 , 0 )

(D) ( 0 , 1 )

解:∵ x 2 = 2 y = 2 × 1 × y ∴ x 2 = 2 y 的焦点坐标是 ( 0, 故选(B). 答题分析:一些考生没有注意到抛物线的开口方向,错误地选择了 A.关于抛物线的四 种标准方程,务必注意它们的开口方向同方程结构的关系,关于这个知识点,历年来的各种 大型考试多有所涉及,可出错的考生每次都不少! 第 3 题:函数 f ( x ) = tan ( 2 x + π ) 的最小正周期等于 (A) 2π (B) π

1 ). 2

π
(C) (D)

π
4

2

解:∵ f ( x ) = tan ( 2 x + π ) = tan 2 x ∴ f ( x ) = tan 2 x 的最小正周期为 故选(C). 答 题 分 析 : 有 的 考 生 可能 是 错 误 地 记 成 了 正 弦函 数 的 周 期 , 故 得 到 了错 误 答 案

π
2

T=

2π π = π ,选(B).实际上, f ( x ) = tan ( 2 x + π ) 的周期是 T = .需要强调的是:如 2 2

果对三角函数的图象性质有深刻地理解, y = tan ( 2 x + π ) 与 y = tan ( 2 x ) 之间只是一个

平移变换,因此本题不必化简函数就可以直接得出答案. 第 4 题:已知 i 是虚数单位, z1 = 2 + 2i , z2 = 1 ? 3i ,那么复数 z =

z12 在复平面内对应的点 z2

位于 (A)第一象限 (C)第三象限 解:∵ z = (B)第二象限 (D)第四象限

z12 2 2 (1 + i ) 2 4 = = ( ?3+i ) z2 1 ? 3i 5

∴z =

z12 在复平面上对应的点位于第二象限. z2

故选(B). 答题分析:一些考生可能是复数运算有失误而导致出错. 第 5 题:如果函数 y = (A) 3 解:∵ y = ∴ y′ =

1? x 在 x = t 时取得极小值,那么 t = 3 + x2
(B) 1 (C) ?1 (D) ?3

1? x 3 + x2

?3 ? x 2 ? (1 ? x ) × 2 x x 2 ? 2 x ? 3 = ) (3 + x 2 2 (3 + x 2 )2

∵当 x < ?1 或 x > 3 时, y ′ > 0 ,当 ?1 < x < 3 时, y ′ < 0 , ∴当 t = 3 时, y 取得极小值. 故选(A). 答题分析:1.一些考生把 f ′ ( x ) 求错,导致了错误. 2.有的考生是这样做的:把四个选项分别代回函数 y =

1? x ,即当 x 分别等于 3、1、 3 + x2

-1、-3 时,计算 y 值分别为 ? 、0、 、 .因为 ? 最小,所以当 t = 3 时, y 取得极小值, 选 A.应该说,这样的答案是凑巧对的,但过程不对.因为尽管 ? 是四个数中的最小的,但 它并不一定是极小值! 3.本题也可以用均值不等式解决,但比较好的通用方法是用导数为工具研究函数的性 质.

1 6

1 2

1 3

1 6

1 6

第 6 题:下图是一个几何体的三视图,其中正视图是边长为 2 的等边三角形,侧视图是直 角边长分别为 1 与 3 的直角三角形,俯视图是半径为 1 的半圆,则该几何体的体积等于

正视图

侧视图

俯视图

(A)

3 π 6 4 3 π 3

(B)

3 π 3
1 2

(C)

(D) π

解:∵在几何体的三视图中,正视图是边长为 2 的等边三角形,侧视图是直角边长分别 为 1 与 3 的直角三角形,俯视图是半径为 1 的半圆, ∴此几何体是底面半径等于 1 ,高等于 3 的半个圆锥.

∴该几何体的体积等于

3 π. 6

故选(A). 答题分析:1.一些考生到了最后关头,忘了是半个圆锥,没有把体积除以 2,所以误选 B. 2.由三视图还原立体图形, 对学生的空间想象能力要求较高, 也一直是近几年新课标高 考的常考题型,在教学中要重点突破! 第 7 题 :已 知 S n 是 等 比 数列 { an } 的 前 n 项 和 , a1 与 a3 的 等 差中 项 等 于 15. 如果

S4 = 120 ,那么
(A) 18

S 2012 ? S2009 = 32009
(B) 25 (C) 32 (D) 39

? a1 + a1q 2 = 30 ? 解:设等比数列 { an } 的公比为 q ,由已知得 q ≠ 1 , ? a (1 ? q 4 ) , 1 = 120 ? 1? q ?

化简得 ?

?a = 3 a1 (1 + q 2 ) = 30 ,解得 ? 1 . 2 ?q=3 ?a1 (1 + q)(1 + q ) = 120 ?
3(1 ? 3n ) 3(3n ? 1) = . 1? 3 2

∴ Sn =



S2012 ? S2009 3 32012 ? 32009 = × = 39 . 32009 2 32009

故选(D). 答题分析:本题考查基本量方法,考查方程的思想.一些考生在解方程组的时候不能整 体消元,导致运算冗长甚至出错.对计算能力的考查,一直是高考数学的一个着眼点,教学 中要加强对计算能力的培养,学生对常见的计算问题,如解方程组、解不等式组等要训练有 素. 第 8 题:已知 a = 0 ,) b = 3 , 4 ) ,则向量 a 在向量 b 方向上的投影等于 ( 1 , ( ? (A) ? 4 (B) ?

r

r

r

r

4 5

(C)

4 5

(D) 4

解:∵ a = 0 ,) b = 3 , 4 ) , ( 1 , ( ?

r

r

r r r r r a ?b 4 ∴ a ? b = ?4 , b = 5 , ur = ? . 5 b r r 4 ∴向量 a 在向量 b 方向上的投影为 ? . 5
故选(B). 答题分析:1. 向量 a 在向量 b 方向上的投影,根据定义等于 a cos? a , b? .一些考生正 是通过计算模长和两向量夹角的余弦值的积来获得答案, 这无疑是正确的, 但加大了运算量, 思维也有来回重复之处.

r

r

r

r r

r r r r r r r a ?b r 2. 向量 a 在向量 b 方向上的投影等于 uu ,由 a cos? a, b? = b r r r r a ?b uu = ?4 ,这是向量 b 在向量 a 方向上的投影,从而误选 A. r a
第 9 题:已知椭圆 E :

r r a ?b uu 可得,应理解该公 r b

式并牢牢记清楚.另一方面还可结合点积的形方面进行记忆。一些考生把公式错记为

x2 y2 + = 1 的长轴的两个端点分别为 A1 、 A2 ,点 P 在椭圆 E 上, 25 9

如果 ? A1 PA2 的面积等于 9 ,那么 PA1 ? PA2 = (A) ?

uuur uuur

144 25

(B)

144 25

(C) ?

81 25

(D)

81 25

解:由已知得 A1 A2 = 10 ,设 P ( x , y ) ,则 ∵ ? A1 PA2 的面积等于 9 ∴

x2 y2 25 y 2 + = 1 ,即 x 2 = 25 ? . 25 9 9

1 uuuur 9 A1 A2 ? y = 9 ,化简得 y = . 2 5

∴ x 2 = 25 ? 9 = 16 . ∵ PA1 ? PA2 = x 2 ? 25 + y 2 = ? ∴ PA1 ? PA2 = ? 故选(A). 答题分析:正如上述解答,在计算过程中,务必注意整体代入和目标意识的培养,只有 这样才能减少计算量.一些考生硬是解出点 P 的一个坐标 ? 4 ,

uuuu uuuu r r uuur uuur

144 25

144 . 25

? ?

9 ? ? ,然否分别计算向量 5 ?

uuuu r uuuu r uuur uuur PA1 、 PA2 的坐标,最后再计算 PA1 ? PA2 .
第 10 题:已知 α 、 β 是两个互相垂直的平面, m 、 n 是一对异面直线,下列四个结论: ① m / /α 、 n ? β ; ② m ⊥ α 、 n / / β ; ③ m ⊥α 、n ⊥ β ;

④ m / /α 、 n / / β ,且 m 与 α 的距离等于 n 与 β 的距离. 其中是 m ⊥ n 的充分条件 的为 (A)① (C)③ (B)② (D)④

解:∵ α 、 β 是两个互相垂直的平面, m ⊥ α 、 n ⊥ β , ∴m ⊥ n. 故选(C). 答题分析: 一些考生经常把必要不充分条件与充分不必要条件搞反了, 这是学生学习逻 辑知识中的一个难点,教学中要重点突破. 第 11 题:运行下图所示的程序,如果输出结果为 sum = 1320 ,那么判断框中应填

(A) i ≥ 9

(B) i ≥ 10

(C) i ≤ 9

(D) i ≤ 10 故选(B).

解:执行该程序,结合题目所给选项,不难发现应该选(B).

开始
i = 12,sum = 1 否



输出 sum

sum = sum ? i
结束

i = i ?1

答题分析: 有别于给定程序框图求最后结果的题型──那样学生只要照着流程正确地走 就可以了,总体讲那还是一种线性思维.本题设计较为新颖,要求学生自行判断,程序到底 应该怎么走,才能得出所给结果.这对思维和计算的要求提高了. 学生应该首先排除 C、D,因为它们的输出结果为 sum = 12 .接下来无非就是 i ≥ 9 、i ≥ 10 这两种情况,因此只要照着程序走就可以得出正确答案了.

第 12 题:某校对高三年级学生进行体检,并将高三男生的体重 ( kg ) 数据进行整理后分成 五组,绘制成下图所示的频率分布直方图. 如果规定,高三男生的体重结果只分偏胖、偏 瘦和正常三个类型,超过 65kg 属于偏胖,低于 55 kg 属于偏瘦.已知图中从左到右第 一、第三、第四、第五小组的频率分别为 0.25 、 0.2 、 0.1 、 0.05 ,第二小组的频数为

400 . 若 该 校 高 三 男 生 的 体 重 没 有 55 kg 和
65kg ,则该校高三年级的男生总数和体重正
常的频率分别为 (A) 1000 , 0.5 (B) 800 , 0.5

频率 组距

50 55 60 65 70 75

体重(kg)

(C) 800 , 0.6 (D) 1000 , 0.6 解:由已知信息得第二小组的频率等于 1 ? 0.25 ? 0.2 ? 0.1 ? 0.05 = 0.4 ,设该校高三 年级的男生总数为 n ,则

400 = 0.4 , 解 得 n = 1000 . 体 重 正 常 的 频 率 分 别 为 n

1 ? 0.25 ? 0.1 ? 0.05 = 0.6 .
故选(D). 答题分析:对于频率分布直方图问题,读懂题意、正确识图是解决问题的关键. 第 13 题:在一个水平放置的底面半径等于 6 的圆柱形量杯中装有适量的水,现放入一个半 径等于 r 的实心球,如果球完全浸没于水中且无水溢出,水面高度恰好上升 r ,那么

r=

. 解:根据已知得 36π r = ∴r = 3 3. 答题分析:一些考生没能正确理解题意导致思维受阻.另一些考生可能是计算失误,得

4 3 π r ,解方程得 r = 3 3 . 3

出错误答案 r = 3 . 第 14 题:已知 f ( x ) = ?

? log 2 x , x > 0, 计算 f ? 3, x ≤ 0.

[

f (1) ] =

解:∵ f ( x ) = ?

? log 2 x , x > 0 , ? 3, x ≤ 0

∴ f (1) = 0 . ∴f

[

f ( 1 ) ] = 3. 1 n+2 , Sn = an , 那 么 3 3

第 15 题 : 设 数 列 { an } 的 前 n 项 和 为 S n , 如 果 a1 =

a9 =
解:∵ Sn =

.

n+2 an , 3

∴ an +1 = Sn +1 ? Sn = ∴ an +1 =

n+2 an . n n +1 n 3 n (n + 1) ∴ an = × × L × × a1 = a1 n ?1 n ? 2 1 2

n+3 n+2 an +1 ? an . 3 3

n≥2.

1 n ( n + 1) ,∴ an = n≥2. 3 6 n ( n + 1) ∵ n = 1 时,上式也成立,∴ an = . 6 9(9 + 1) ∴ a9 = = 15 . 6
∵ a1 = 答题分析:1.累乘法是一种重要的求通项的方法,很多学生对此并不熟练,在计算中经 常出错. 2.使用累乘法时应该注意的是,必须验证 n = 1 ,这一点,很多师生都没有引起重视. 第 16 题:如果直线 ax + by + 1 = 0 被圆 x + y = 25 截得的弦长等于 8 ,那么
2 2

3 5 + 2的 2 a b

最小值等于



解:∵直线 ax + by + 1 = 0 被圆 x 2 + y 2 = 25 截得的弦长等于 8 , ∴ 2 25 ?

1 1 = 8 ,化简得 a 2 + b2 = . 2 a +b 9
2



3 5 1 3 5 3 5 + 2 = 9 × × ( 2 + 2 ) = 9 × (a 2 + b2 ) × ( 2 + 2 ) 2 a b 9 a b a b 3b 2 5a 2 + 2 ) ≥ 9 × (8 + 2 15) = 72 + 18 15 , = ”能取到, “ a2 b

= 9 × (8 +



3 5 + 2 的最小值等于 72 + 18 15 . 2 a b
1 a2 + b2
,再利用垂径定理得到

答题分析:原点到直线的距离 d=

2 25 ?

1 = 8 ,这里不采用一般的弦长公式而是利用了几何模型( Rt? )减少运算。 a + b2
2

得 到 a 2 + b2 =

1 后 , 还 应 掌 握 如 下 均 值 不 等 式 求 最 值 的 变 形 模 型 : 9

( ma + nb ) ? ?

p q? pnb mqa + ? = pm + nq + + ( 此 模 型 pm + qm = c ( 常 数 ) 而 正 数 , a b ? a b?

pnb mqa pnb mqa 与 与 相乘可消去变量 a 与 b ,且 相等).本题涉及到几何、代数模型, a b a b
对形模与代数变形能力要求较高,这可能是学生不能得出正确答案的一个重要原因. 第 17 题:已知 A 、 B 、 C 是 ? ABC 的三个内角, A 、 B 、 C 对的边分别为 a 、 b 、 c , 设平面向量 m =

ur

( cos B

r ur r 2 , ? sin C ) , n = ( cos C , sin B ) , m ? n = . 3

(I)求 cos A 的值; (II)设 a = 3 , ? ABC 的面积 S = 解: (Ⅰ)∵ m =

5 ,求 b + c 的值.

r ur r 2 , ? sin C ) , n = ( cos C , sin B ) ,且 m ? n = , 3 2 2 ∴ cos B ? cos C ? sin B ? sin C = ,即 cos ( B + C ) = . 3 3
ur

( cos B

∵ A 、 B 、 C 是 ? ABC 的三个内角,∴ B + C = π ? A . ∴ cos (π ? A) = ∴ cos A = ?

2 2 ,即 cos A = ? . 3 3

2 . 3 2 5 ,∴ sin A = . 3 3

(Ⅱ)∵ A 是 ? ABC 的一个内角, cos A = ?

∵ S?ABC = ∴ bc = 6 .

1 5 bc ? sin A = bc = 5 2 6

由余弦定理得: a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A = b 2 + c 2 + 8 . ∴ b 2 + c 2 + 12 = b2 + c 2 + 2bc = ( b + c ) 2 = a 2 + 4 = 13 . ∴ b + c = 13 . 答题分析:1.第(Ⅰ)问中,一些考生算出 cos( B + C ) = 地得出 cos A =

2 后,记错诱导公式,错误 3

2 . 3

2.第(Ⅱ)问是比较经典的题型,也有着成熟的解决套路.即根据正弦定理的面积公式, 很容易算得 bc = 6 ;再根据余弦定理,可以算出 9 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A = b 2 + c 2 + 8 ;接 下来用配方法,可以整体求得 b + c = 13 .

?bc = 6 ? 但这里有个瑕疵,满足 ? 的实数解是不存在的.但由于根与系数关系在复数 ?b + c = 13 ?
范围仍然成立,所以便可以形式地算出“结果”. 若在高考数学中碰到类似情况建议考生按 照通常的典型方法求解,把问题得出结论,做到解题完整.而不必过多纠结题目本身存在问 题,导致影响正常答题和后面的得分。

第 18 题:盒子内装有 4 张卡片,上面分别写着数字 1 ,1 , 2 , 2 ,每张卡片被取到的概率 相等.先从盒子中随机任取 1 张卡片,记下它上面的数字 x ,然后放回盒子内搅匀,再从盒 子中随机任取 1 张卡片,记下它上面的数字 y . (I)求 x + y = 2 的概率 P ; (II)设“函数 f ( t ) =

3 2 18 在区间 ( 2 , 4 ) 内有且只有一个零点”为 t ? ( x + y) t + 5 5

事件 A ,求 A 的概率 P ( A ) . 解:(Ⅰ)先后两次放回取卡片,利用表格,可把总的情况表示如下:

( x, y )

x
1 1 2 2

y 1 1 2 2
共有 16 种情况. 满足 x + y = 2 的共有 4 种情况. ∴ x + y = 2 的概率 P =

(1 , 1 ) (1 , 1 ) (1 , 2 ) (1 , 2 )

(1 , 1 ) (1 , 1 ) (1 , 2 ) (1 , 2 )

(2 ,1) (2 ,1) (2 , 2 ) (2 , 2 )

(2 ,1) (2 ,1) (2 , 2 ) (2 , 2 )

4 1 = . 16 4

(Ⅱ)∵ x + y 的值只能取 2 , 3 , 4 , 当 x + y = 2 时, f ( t ) =

3 2 18 3 2 18 , t ? ( x + y) t + = t ? 2t + 5 5 5 5 3 2 18 3 2 18 ,它的零点分别 t ? ( x + y) t + = t ? 3t + 5 5 5 5

它没有零点,不符合要求. 当 x + y = 3 时, f ( t ) =

为 2 , 3 ,在区间 ( 2 , 4 ) 内只有 3 这个零点,符合要求. 当 x + y = 4 时, f ( t ) =

3 2 18 3 2 18 ,它的零点分别 t ? ( x + y) t + = t ? 4t + 5 5 5 5



10 ? 46 10 + 46 , ,都不在区间 ( 2 , 4 ) 内,不符合要求. 3 3
1 ,同理可得 x + y = 4 4

∴事件 A 相当于 x + y = 3 ,由(Ⅰ)知: x + y = 2 的概率为 的概率也为

1 . 4

∵ x + y 的值只能取 2 , 3 , 4 , ∴ P ( A) = P ( x + y = 3 ) = 1 ? P ( x + y = 2) ? P ( x + y = 4) = 1 ? 即函数 f ( t ) =

1 1 1 ? = . 4 4 2

3 2 18 在区间 ( 2 , 4 ) 内有且只有一个零点的概率等于 t ? ( x + y) t + 5 5

1 . 2
1 ,第二次抽到 1 2 1 1 1 1 的概率也是 ,并且这两次抽取是独立的,所以 x + y = 2 的概率是 × = . 2 2 2 4
答题分析:1.第(Ⅰ)问也可如下计算:因为第一次抽到 1 的概率是 2.第(Ⅱ)问中,一些考生没有理解事件 A 的真实含义,没有把事件 A 转化为对 x + y 取值的讨论上. 如果没有注意到 x + y 的取值只有三个这一事实,而是泛泛地用数形结合的方式去讨论 二次函数 f ( t ) 在区间 ( 2 , 4 ) 内有且只有一个零点的充要条件,将会面临繁琐的运算.这提 示我们在解题时务必思维灵活,善于观察,善于选择和调整策略. 事实上由于 x + y 的取值只有 2 、 3 、 4 这三种情况,因此可以逐一验证是那些值使得

f ( t ) 在区间 ( 2 , 4 ) 内有且只有一个零点,进而计算 A 的概率即可.
第 19 题:如图, 在空间几何体 SABCD 中, 四边形 ABCD 为矩形, SD ⊥ AD , ⊥ AB , SD C

AD = 2 , AB = 4 , SD = 2 3 .
(I)证明:平面 SDB ⊥ 平面 ABCD ; (II)求 S A 与平面 SDB 所成角的正弦值. 解: (I)证明:∵ SD ⊥ AD , SD ⊥ AB , AD I AB = A , ∴ SD ⊥ 平面 ABCD . S D

B

A

又∵ SD ? 平面 SDB , ∴平面 SDB ⊥ 平面 ABCD . (II)由(I)知: SD ⊥ 平面 ABCD .∴ SD ⊥ BD . ∴ SA =

1 1 1 AD 2 + SD 2 = 4 , S ? ABD = × × AD × AB × SD , ?SBD = × SD × DB . V S 3 2 2

设点 A 到平面 SDB 的距离等于 h ,∵ VS ? ABD = VA? SDB , ∴

1 1 1 1 × × AD × AB × SD = × × SD × DB × h . 3 2 3 2

∴h =

4 5 . 5 h 5 . = SA 5

设 S A 与平面 SDB 所成角等于 θ ,则 sin θ =

∴ S A 与平面 SDB 所成角的正弦值等于

5 . 5

答题分析:1.第(Ⅰ)问比较基础,学生容易上手. 2.第(Ⅱ)问中,部分学生致力于找出 S A 与平面 SDB 所成的角,但往往不得其法. 本题中的线面角要作出来其实并不困难, 但学生做的并不够好, 可能是因为我们的教学中对 此重视不够──事实上,一些老师认为文科立体几何大题,是不可能考线面角、二面角的, 不知这种认识的理由究竟来自何方? 本题开创了一种求线面角的新方法:并不需要作出二面角的平面角,而是求出点 A 到 平面 SDB 的距离 h , 即可求出线面所成角的正弦值.而这个 h , 显然是三棱锥 A ? BSD 的高, 学生要牢牢记住,等体积法是我们求四面体高的常用方法. 第 20 题:双曲线 S 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率 e =

6 ,直线 3 x ? 3 y + 5 = 0 2

上的点与双曲线 S 的右焦点的距离的最小值等于 (Ⅰ)求双曲线 S 的方程;

4 3 . 3

(Ⅱ)设经过点 ( ? 2 , ) ,斜率等于 k 的直线与双曲线 S 交于 A 、 B 两点,且以 A 、 0

B 、 P ( 0 , 1) 为顶点的 ? ABP 是以 AB 为底的等腰三角形,求 k 的值.

解:

(Ⅰ)根据已知设双曲线 S 的方程为

x2 y2 ? 2 = 1 (a > 0 , b > 0 ) . a2 b

∵e =

a2 c 6 6 ,∴ c = . = a , b2 = c2 ? a 2 = a 2 2 2
2 2 2

∴双曲线 S 的方程可化为 x ? 2 y = a ,右焦点为 (

6 a ,0 ). 2 4 3 , 3

∵直线 3 x ? 3 y + 5 = 0 上的点与双曲线 S 的右焦点的距离的最小值等于




6a +5 2

2 3

=

4 3 ,解方程得 a = 2 . 3

∴双曲线 S 的方程为 x 2 ? 2 y 2 = 2 .

(Ⅱ)经过点 ( ? 2 , ) ,斜率等于 k 的直线的方程为 y = k ( x + 2 ) . 0 根据已知设 A( x1 , kx1 + 2k ) , B ( x2 , kx2 + 2k ) 则 AB 的中点为 M (

x1 + x2 k ( x1 + x2 ) + 4k , ). 2 2

? ABP 是以 AB 为底的等腰三角形 ? PM ⊥ AB .
(1)如果 k = 0 ,直线 y = k ( x + 2 ) 与双曲线 S 交于 ( ? 2 , 0 ) , ( 2 , 0 ) 两点, 显然满足题目要求. (2)如果 k ≠ 0 ,由 PM ⊥ AB 得 k × k PM = ?1 . ∵ k PM =

k ( x1 + x2 ) + 4k ? 2 k ( x1 + x2 ) + 4k ? 2 , ∴k × = ?1 . x1 + x2 x1 + x2

由?

? x2 ? 2 y2 = 2 得 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 2 = 0 . ? y = k ( x + 2) 1 ? 2k 2 ≠ 0 . 4 2 2 2 ? ? = 64k + 4(1 ? 2k )(8k + 2) = 16k + 8 > 0 ?

根据已知得 ?

∴k ≠ ±

2 . 2

∵ x1 + x2 =

8k 2 , 1 ? 2k 2

∴ k PM

k ( x1 + x2 ) + 4k ? 2 2k 2 + 2k ? 1 = . = x1 + x2 4k 2 2 k 2 + 2 k ? 1 2k 2 + 2 k ? 1 =k× = = ?1 ,即 2k 2 + 6k ? 1 = 0 , 2 4k 4k ?3 ? 11 ?3 + 11 , k2 = . 2 2

∴ k × k PM

解方程得 k1 =

综上得 k =

?3 ? 11 ?3 + 11 ,或 k = 0 ,或 k = . 2 2

答题分析:1.第(Ⅰ)问考查方程的思想方法,即列出关于 a 、 b 、 c 的三元方程组

? ? ?c = 6 ?a 2 ? 2 2 2 ,接下来的任务就是解方程组,可惜的是很多考生没能得出正确答 ?b = c ? a ? ? 3 × 6a + 5 ? 2 4 3 = ? 3 2 3 ?
案,学生的运算求解能力有待提高. 2.一些考生混淆了椭圆和双曲线的离心率公式 a 2 = b 2 + c 2 与 c 2 = a 2 + b 2 , 导致出错, 从而影响了后面问题的解答. 3.第(Ⅱ)问中的关键点是如何运用条件“ P ( 0 , 1) 为顶点的 ? ABP 是以 AB 为底的 等腰三角形”.如果采用算出两边的长,并令它们相等的方法,运算将更为繁琐.如果巧妙地 利用点 P 在线段 AB 的中垂线上,就能减少运算量. 4.很多考生忘了对直线斜率为 0 的讨论.值得注意的是:对特殊情况的讨论一方面是考 生常常忘记,但另一方面这恰好又是比较容易得分的地方.学生经常容易忘记的地方还有对 方程最高次项系数是否为零、 ? 是否大于零的讨论等等. 5.圆锥曲线对运算能力的要求较高,很多考生只能算出地(Ⅰ)问.第(Ⅱ)问只是草

草列了几个式子便结束了.

第 21 题:已知实数 a 是常数, f ( x ) = ( x + a ) 2 ? 7 ln x + 1 . 当 x > 1 时, f ( x ) 是增函 数. (Ⅰ)求 a 的取值范围; (Ⅱ)设 n 是正整数,证明: 解: (Ⅰ)∵ f ( x ) = ( x + a ) 2 ? 7 ln x + 1 ,∴ f ′ ( x ) = 2 x + 2a ? ∵当 x > 1 时, f ( x ) 是增函数, ∴ f ′ ( x ) = 2 x + 2a ? 即a ≥

1 1 1 1 1 × 1 + 2 + L + 2 ) + 1 + + L + ) > ln( n + 1) . ( ( 7 2 n 2 n

7 . x

7 ≥ 0 在 x > 1 时恒成立. x

7 ? x 在 x > 1 时恒成立. 2x 7 ∵当 x > 1 时, ? x 是减函数, 2x 7 5 ∴当 x > 1 时, ?x< . 2x 2 5 ∴a ≥ . 2 5 5 (II)当 a = 时, f ( x ) = ( x + ) 2 ? 7 ln x + 1 . 2 2
由(Ⅰ)知,当 x > 1 时, f ( x ) 是增函数. ∴当 x > 1 时, f ( x ) > f (1) ,即 ( x + ∴当 x > 1 时, ( x +

5 2 49 ) ? 7 ln x + 1 > + 1. 2 4

5 2 49 . ) ? 7 ln x > 2 4

∴当 x > 1 时, x 2 + 5 x ? 6 > 7 ln x . ∵ n 是正整数, ∴1 +

1 > 1. n 1 1 1 ∴ (1 + ) 2 + 5 × (1 + ) ? 6 > 7 ln 1 + ) ,即 ( n n n

1 1 1 + > ln ( + 1) ln( n + 1) ? ln n . = 2 7n n n 1 1 1 1 1 1 ∴( + )+( + ) +L+ ( 2 + ) > 2 2 7 ×1 1 7×2 2 7n n
(ln 2 ? ln1) + (ln 3 ? ln 2) + L + [ln( n + 1) ? ln n ] = ln( n + 1) .

1 1 1 1 1 1 + )+( + ) + L + ( 2 + ) > ln( n + 1) . 2 2 7 ×1 1 7×2 2 7n n 1 1 1 1 1 ∴ × 1 + 2 + L + 2 ) + 1 + + L + ) > ln( n + 1) . ( ( 7 2 n 2 n
∴( 答题分析:1.一些考生把 f ′ ( x ) 求错了,考生的求导运算有待加强,因为求导几乎是 高考的必考题. 2. 第(Ⅰ)问实际上是一个含参不等式 f ′ ( x ) = 2 x + 2a ?

7 ≥ 0 在 x > 1 时恒成立的 x

问题,常用分离参数、函数最值的方法加以解决. 3.第(Ⅱ)问难度较大,能做出来的考生寥寥无几.本问能较好地将高水平的学生筛选 出来. 可以如下思考:要证关于 n 的不等式恒成立,并且右边还有对数 ln( n + 1) ,似乎无法 下手.注意观察不等式的左边,分母上有一个 7,两边乘以 7 后,右边变为 7 ln( n + 1) .而条 件 f ( x ) = ( x + a ) 2 ? 7 ln x + 1 中,也有 7 ln x ,于是考虑借助第(Ⅰ)问来搭台阶. 由 条 件 知 当 x > 1 时 , f ( x ) 是 增 函 数 , 所 以 f ( x ) > f (1) , 即

( x + a )2 ? 7 ln x + 1 > (1 + a )2 + 1 , 化 简 得 x 2 + 2ax ? 2a ? 1 > 7 ln x *. 又 * 式 对 a≥ 5 5 是恒成立的,但目标不等式里没有字母 a ,于是考虑对 a 赋值.令 a = ,*式化为 2 2

x 2 + 5 x ? 6 > 7 ln x ,此时无论对 x 赋什么值,都不能直接得到欲证的不等式,思维再次受
阻. 考虑目标不等式的结构,可以令 x = 1 + 得

1 , n

1 1 1 + > ln ( + 1) ln(n + 1) ? ln n ,接下来采用类似于数列里常用的累加法, = 2 7n n n

即可得出答案. 第 22 题: 选修 4 ? 1 :几何证明选讲

如图,四边形 ABCD 是⊙ O 的内接四边形, BD 不经过点 O , AC 平分 ∠ BAD ,经 过点 C 的直线分别交 AB 、 AD 的延长线于 E 、 F ,且 CD 2 = AB ? DF . 证明: (Ⅰ) ? ABC ∽ ? CDF ; (Ⅱ) EF 是⊙ O 的切线. B O D A

E C

F

证明: (Ⅰ)∵ AC 平分 ∠ BAD ,∴ ∠ BAC = ∠CAD . ∴ BC = CD .∴ BC = CD . ∵ CD 2 = AB ? DF ,∴ CD ? BC = AB ? DF . ∴

BC AB . = DF CD

∵四边形 ABCD 是⊙ O 的内接四边形, ∴ ∠ ABC = ∠ CDF . ∴ ? ABC ∽ ? CDF . (Ⅱ)连接 OC ,由(I)知 ? ABC ∽ ? CDF .

A O

B E

D F

C

∴ ∠ BAC = ∠ DCF . 又∵ ∠ BAC = ∠ BDC , ∴ ∠ BDC = ∠ DCF . ∴ EF / / BD . ∵ BC = CD , BD 不经过点 O , ∴ OC ⊥ BD . ∴ OC ⊥ EF . ∴ EF 是⊙ O 的切线.
2 答题分析:1. 第(Ⅰ)问中的关键是要看出 BC = CD ,从而把条件 CD = AB ? DF

转化为

CD AB ,进而把它看成是两个待证相似三角形的两组对应边成比例,接下来只 = DF BC

需利用四点共圆的性质去证明一组对应角相等,即可完成证明. 2. 第(Ⅱ)问有一定的难度.实际上“切点圆心不忘连” ,这里需要做辅助线 OC .接下 来还要利用圆的对称性得出 OC ⊥ BD ,再证明 EF / / BD 即可. 第 23 题: 选修 4 ? 4 :坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 x O y 中, A (1, 0 ) , B ( 2 , 0 ) 是两个定点,曲线 C 的参数方程为

? x = t2 ( t 为参数 ) ? y=2t ?
(I)将曲线 C 的参数方程化为普通方程;

uuu r
(Ⅱ)以 A (1, 0 ) 为极点, AB 为长度单位,射线 AB 为极轴建立极坐标系,求曲线

C 的极坐标方程.
解:

? x = t2 (Ⅰ)由 ? 消去参数 t 得 y 2 = 4 x , ?y = 2 t
∴曲线 C 的普通方程为 y 2 = 4 x . (Ⅱ)∵曲线 C 的普通方程为 y 2 = 4 x , ∴曲线 C 是抛物线,且 A (1, 0 ) 是它的焦点.

在曲线 C 上任取一点 M ( ρ , θ ) ,则 MA 与 M 到 y 2 = 4 x 的准线的距离相等, 即 ρ = 2 + ρ cos θ . ∴曲线 C 的极坐标方程为 ρ = 2 + ρ cos θ .

? x = t2 答题分析:1.第(Ⅰ)问,学生很容易由 ? 消去参数 t 得曲线 C 的普通方程 ?y = 2 t
y2 = 4x .
2.接下来要求曲线 C 的极坐标方程,很多学生是这样做的:根据直角坐标与极坐标的

4cos θ ? x = ρ cos θ 2 互化 ? , 易得曲线 C 的极坐标方程为 ( ρ sin θ ) = 4 ρ cos θ , ρ = 即 .但这是 sin 2 θ ? y = ρ sin θ
错误的! 因为本题中极坐标系的极点和直角坐标系的原点并不重合, 所以互化公式并不简单 成立. 3.实际上第(Ⅱ)问要回到极坐标的定义、抛物线的定义上去考虑. 第 24 题: 选修 4 ? 5 :不等式选讲 已知实数 a 、 b 、 c 、 d 满足 a + b + c + d = 3 , a 2 + 2 b 2 + 3 c 2 + 6 d 2 = 5 . 证明: (I) ( b + c + d ) 2 ≤ 2b 2 + 3c 2 + 6d 2 ; (II) a ?

3 1 ≤ . 2 2

证明: (Ⅰ)∵ ( b + c + d ) 2 = (

1 1 1 ? 2b + ? 3c + ? 6d ) 2 2 3 6

1 1 ? ? 1 ≤ ?( ) 2 + ( ) 2 + ( ) 2 ? ( 2b 2 + 3c 2 + 6d 2 ) , 3 6 ? ? 2
∴ ( b + c + d ) 2 ≤ 2b 2 + 3c 2 + 6d 2 . (Ⅱ)∵ a + b + c + d = 3 , a 2 + 2 b 2 + 3 c 2 + 6 d 2 = 5 , ∴ b + c + d = 3 ? a , 2 b2 + 3 c 2 + 6 d 2 = 5 ? a 2 . 由(Ⅰ)知: ( b + c + d ) 2 ≤ 2b 2 + 3c 2 + 6d 2 .

∴ ( 3 ? a ) ≤ 5 ? a ,化简得 a ? 3a + 2 ≤ 0 ,解得 1 ≤ a ≤ 2 .
2 2
2

∴?

1 3 1 ≤a? ≤ . 2 2 2

∴ a ?

3 1 ≤ . 2 2

答题分析:1. 第(Ⅰ)问还是有些难度的,难在根据目标去适当配凑和调整系数. 2.有些学校只选修了 4-5《不等式选讲》 ,但是又没有介绍柯西不等式的基本应用,导 致三个选做题都是空白. 3.第(Ⅱ)问里只有字母 a ,因此解题的基本思想是消元.但怎么消元是难点.这里要充 分运用条件和第(Ⅰ)问的结论进行整体消元.


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