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高中数学必修4第二章


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平面向量单元检测
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分,考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分)学科网 一、选择题:本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的.学科网 1.

设 a ? ( ,sin ? ) , b ? (cos ? , ) ,且 a // b ,则锐角 ? 为( A. 30
0

?

3 2

?

1 3

?

?



B. 60

0

C. 75

0

D. 45

0

2.P 是△ABC 所在平面上一点,若 PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ,则 P 是△ABC 的( A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 3.设 a, b 是非零向量,若函数 f(x)=( a x+b)·( a -xb)的图象是一条直线,则必有 A. a ⊥ b B. a ∥ b C. | a |?| b | D. | a |?| b |







4.设点 A(2,0) , B (4, 2) ,若点 P 在直线 AB 上,且 AB ? 2 AP ,则点 P 的坐标为( A. (3,1) 5.已知△ABC 中,AB= B. (1, ?1) C. (3,1) 或 (1, ?1) D.无数多个 )

????

????



,AC=1 ∠B=30° 则△ABC 面积为(

A、

B、

C、



D、



6.给出下面四个命题: ①对于任意向量 a、b,都有|a·b|≥a·b 成立; 2 2 ②对于任意向量 a、b,若 a =b ,则 a=b 或 a= -b; ③对于任意向量 a、b、c,都有 a·(b·c)=(b·c)·a 成立; ④对于任意向量 a、b、c,都有 a·(b·c)=(b·a)·c 成立. 其中错误的命题共有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个

D.4 个

7.在平行四边形 ABCD 中,E、F 分别是 BC、CD 的中点,DE 交 AF 于 H,记 AB 、 BC 分别为 a、b, 则 AH =( ) B.
A H F E C D

2 4 a+ b 5 5 B 2 4 D.- a- b 5 5 sin A : sin B : sin C ? 3 : 2 : 4 ,则 cosC 的值为 8.已知△ABC 的周长为 9,且 1 1 2 2 A. ? B. C. ? D. 4 3 4 3
A.

2 4 a- b 5 5 2 4 C.- a+ b 5 5





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9.设平面上有 4 个互异的点 A、B、C、D,已知 A. 直角三角形 10.P ? {? B. 等腰三角形

,则△ABC 的形状是( C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形



| ? ? (?1?1) ? m(1?? )?? ?R } ,Q ? {? | ? ? (1?? 2) ? n(2??)?? ?R } 是两个 ,? , 2 ,m ,? , 3 ,n
) B. {( ?13, ? 23)} ? D. {(1 ? 23, ? 13)} ?

向量集合,则 P ? Q 等于( A. {(1?? 2)} ,? C. {( ?2?1)} ,?

11.设平面向量 a1 、 a2 、 a3 的和 a1 + a2 + a3 =0. 如果向量 b1、b2、b3 满足 | bi 针旋转 30 后与 bi 同向,其中 i A. ? b1 ? b2 C. b1 ? b2
0

|? 2 | ai | ,且 a i 顺时

? 1?? ?? ,则( , 2, 3



? b3 ? 0

B. b1 ? b2 D. b1 ? b2

? b3 ? 0 ? b3 ? 0
??? ?

? b3 ? 0
?
4

12.已知|p|=2 2 ,|q|=3,p、q 的夹角为

,如下图所示,若 AB =5p+2q, AC =p-3q,且 D 为 BC
C D

的中点则 AD 的长度为 ( A.

????



A

B

15 2

B.

15 2

C.7 第 II 卷 (共 90 分)学科网

D.8

二、填空题:本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分.学科网 → 13.与向量 a =(12,5)平行的单位向量为 14.在△ABC 中,tanB=1,tanC=2,b=100,则 c= .

→ → → → → 15.非零向量 OA = a 、 OB = b ,若点 B 关于 OA 所在直线的对称点为 B1,则向量 OB1 为 16.把函数 y ? 2 x 2 ? 4 x ? 5 的图象按向量 a 平移后,得到 y ? 2x 2 的图象,且 a⊥b,c=(1,-1),b·c=4, 则 b= .

三、解答题:本题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.学科网 17. (本大题满分 10 分)

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已知 | a |? 4 , | b |? 2 ,且 a 与 b 夹角为 120°求: ⑴ (a ? 2b) ? (a ? b) ; ⑵ | 2a ? b | ; ⑶ a 与 a ? b 的夹角。

18.(本大题满分 12 分) 已知 a ? (1, 2) , b ? (?3,2) ,当 k 为何值时, (1) ka ? b 与 a ? 3b 垂直?

?

? ? ? ? ? ? (2) ka ? b 与 a ? 3 b 平行?平行时它们是同向还是反向?

19. ( 本大题满分 12 分) 已知 a 、 b 是两个非零向量,当 a +t b (t∈R)的模取最小值时, (1)求 t 的值; (2)求证: b ⊥( a +t b )

?

?

?

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?

?

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20. (本大题满分 12 分) 已知 OP = (2,1) , OA = (1,7) , OB = (5,1) ,设 M 是直线 OP 上一点, O 是坐标原点, (1) 求使 MA? MB 取最小值时的 OM ; (2) 对(1)中的点 M ,求 ?AMB 的余弦值。

21. (本大题满分 12 分) 已知向量 u=(x,y)与向量 v=(y,2y-x)的对应关系用 v ? f (u ) 表示 (1)证明:对于任意向量 a,b 及常数 m,n 恒有 f (ma ? nb) ? mf (a) ? nf (b) 成立 (2)设 a=(1,1),b=(1,0)求向量 f (a ) 及 f (b) 的坐标 (3)求使 f (c) ? ( p, q) (p,q 为常数)的向量 c 的坐标

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22. (本大题满分 12 分)

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? ? ? ?

已知向量 a, b 满足 | a |?| b |? 1, ,且 | ka ? b |? 3 | a ? kb | (k ? 0) ,令 f (k ) ? a ? b . ⑴求 f (k ) ? a ? b (用 k 表示);
2 ⑵当 k ? 0 时, f (k ) ? x ? 2tx ?

? ?

? ?

1 对任意的 t ? [?1,1] 恒成立,求实数 x 的取值范围。 2
参考答案

1. D 2.D

3 1 ? ? sin ? cos ? ,sin 2? ? 1, 2? ? 900 , ? ? 450 。 2 3
∵ PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA , 则 由 PA ? PB ? PB ? PC 得 PB ? ( PC ? PA) ? 0,

??? ??? ??? ? ? ?



??? ??? ? ? PB ? AC =0,∴PB⊥AC,同理 PA ? BC, PC ? AB ,即 P 是垂心。
3. f(x)的图象是一直线, f(x)是 x 的一次式.而 f(x)展开后有 x 的二次-x a·b, a·b=0 ? a A 则 故⊥b。 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? ??? ? ???? ???? 4. 设 P( x, y) , AB ? 2 AP 得 AB ? 2 AP , A ? ?2P ,AB ? (2, 2), AP ? ( x ? 2, y) , C 由 或 B A
2

即 (2, 2) ? 2( x ? 2, y), x ? 3, y ? 1, P(3,1) ; (2, 2) ? ?2( x ? 2, y), x ? 1, y ? ?1, P(1, ?1) 。

3 3 3 0 0 0 0 ,∴C=60 或 120 ,A=30 或 90 ,∴S= 或 。 2 4 2 6.B 对于①,a·b=|a|·|b|cosθ ,|a·b|=|a|·|b|·|cosθ |≥|a|·|b|·cosθ =a·b,因 此①正确;对于②,显然是错误的;对于③,显然正确;对于④,显然是错误的. 综上所述,其中 错误的共有 2 个.
5.D 提示:由正弦定理得 sinC= 7.B 8.A 过 E 作 EG∥BA 交 AF 于 G,EG=

3 3 4 CF= DF, AH = AF 。 2 2 5

a:b:c=3:2:4 ,a+b+c=9,∴a=3,b=2,c=4,用余弦定理即得。

9.B 因为

,

所以 10.B

,整理得

从而



由 (?1?1) ? m(1, ? ) ? (1?? 2) ? n(2??) ? (?1 ? m, 1 ? 2m) ,? 2 ,? ,3 ??

? (1 ? 2n?? 2 ? 3n) , ,?

∴?

?? 1 ? m ? 1 ? 2 n ?m ? ?12 ??? . ? 1 ? 2m ? ?2 ? 3n n ? ?7 ? ?

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11 . D 取 特 殊 情 况 , 不 妨

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a1 ? (cos30??? 30?)?? , sin ,a
2

? (cos150??? 150?) , , sin

a3 ? (cos 270??? 270?) 显然有 a1 ? a2 ? a3 ? 0 ,易证得 b1 ? b2 ? b3 ? 0 。 , sin
12.A

???? 1 ??? ? ???? ???? 15 1 1 225 .∴| AD |= 。 AD = ( AB + AC )=3p- q,∴| AD |2=9p2+ q2-3p·q=
2 2 4 4 2

12 5 12 5 13.( , )或(- ,- ) 13 13 13 13 ( 12 5 12 5 , )或(- ,- )。 13 13 13 13

?x 2 ? y 2 ? 1 设单位向量坐标为 ? x, y ? ,则 ? ,解之得坐标为 ?5 x ? 12 y

14.20 10 15.

由 tanc=2,解得 sinC=

5 ,再由正弦定理即可解得 c=20 10 . 5
B
1

2( a ? b ) ? a → -b | a |2

如图: OB1 ? c , 设 则由对称性可 得: ? c ? ? a , b

A

两边同时点乘 a ,则 b ? c a ? ? a ,又 a ? b ? a ? c ,所以 ? ?

? ?

2

2a ? b a
2

, B

所以 c ?

2a ? b a
2

?a ?b。
y ? 2 x 2 ? 4 x ? 5 y ? 3 ? 2( x ? 1) 2 , ∴ a=(-1,-3), 设

16 . (3,-1)

b=( x0 , y 0 ), 则

?? x0 ? 3 y 0 ? 0 ? x0 ? 3 . ?? ? ? x0 ? y 0 ? 4 ? y 0 ? ?1
17. 解:由题意可得 | a | 2 ? 16, | b |? 4 , a ? b ? ?4 (1) ( a ? 2b) ? ( a ? b) ? a ? a ? b ? 2b ? 12 ; (2) | 2a ? b | ?
2

(2a ? b) 2 ? 4a ? 4a ? b ? b ? 2 21
a ? ( a ? b) | a || a ? b | ? 3 ,又 0? ? ? ? 180 ? ,所以 ? ? 30? , a 2

2

2

(3)设 a 与 a ? b 的夹角为 ? ,则 cos ? ?

与 a ? b 的夹角为 30 ? 。 18.解: ka ? b ? k (1, 2) ? (?3, 2) ? (k ? 3, 2k ? 2) , a ? 3b ? (1, 2) ? 3(?3, 2) ? (10, ?4) (1) (ka ? b ) ? (a ? 3b ) , 得 (ka ? b ) ? (a ? 3b ) ? 10(k ? 3) ? 4(2k ? 2) ? 2k ? 38 ? 0, k ? 19 ;

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

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? ?

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1 3

(2) (ka ? b ) // (a ? 3b ) ,得 ?4(k ? 3) ? 10(2k ? 2), k ? ? ,

?

?

10 4 1 , ) ? ? (10, ?4) ,所以方向相反。 3 3 3 ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? 2 2 ? 2 ? 19.解: (1)解:设 a 与 b 的夹角为 θ ,则| a +t b | =( a +t b ) =| a | +t | b | +2 a ·(t b )
此时 k a ? b ? (?

?

?

? 2 |a | ?2 2 ? 2 ? ? ? 2 2 2 =| a +t | b +2t| a | b |cosθ =| b | (t+ ? cosθ ) +| a | sin θ ,

?

|b |

? ? ? ? ? ? ? |a | | a || b | cos ? a ?b ?2 所以当 t=- ? cosθ =- =- ? 2 时,| a +t b |有最小值 |b | |b | |b |

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? ? ? ? ? ? ? ? a ?b ? ? ? ? (2)证明:因为 b ·( a +t b )= b ·( a - ? 2 · b )= a · b - a · b =0, |b |
所以 b ⊥( a ⊥t b )

?

?

?

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20.解: (1)设 M ( x, y ) ,则 OM ? ( x, y) ,由题意可知 OM // OP

又 OP ? (2,1) 。

所以 x ? 2 y ? 0 即 x ? 2 y ,所以 M (2 y, y) ,则 MA ? MB ? (1 ? 2 y,7 ? y) ? (5 ? 2 y,1 ? y) = 5 y 2 ? 20 y ? 12 ? 5( y ? 2)2 ? 2 , 当 y ? 2 时 , MA? MB 取 得 最 小 值 , 此 时 M (4,2) , 即

??? ???? ?

OM ? (4,2) 。
(2)因为 cos ?AMB ?

MA ? MB | MA || MB |

?

(?3,5) ? (1,?1) 34 ? 2

??

4 17 。 17

21.解:(1)设向量 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y 2 ) ,则 ma+nb= (mx ? nx2 , my1 ? ny2 ) , 1 由 v ? f (u ) ,得 f (ma ? nb) ? (my1 ? ny2 ,2my1 ? 2ny2 ? mx ? nx2 ) , 1 而

mf (a) ? nf (b) ? m( y1 ,2 y1 ? x1 ) ? n( y2 ,2 y2 ? x2 ) ? (my1 ? ny2 ,2my1 ? 2ny2 ? mx1 ? nx2 ) ,
∴对于任意向量 a,b 及常数 m,n 恒有 f (ma ? nb) ? mf (a) ? nf (b) 成立。 (2)∵ a=(1,1),b=(1,0), v ? f (u ) (3)设 c=(x,y),由 f (c) ? ( p, q) 得 ? ∴ f (a) ? (1,1), f (b) ? (0,?1) ,

?y ? p ?x ? 2 p ? q ,∴ c= (2 p ? q, p) 。 ?? ?2 y ? x ? q ? y ? p
? ? ? ?

22.解:⑴由题设得 | a |2 ?| b |2 ? 1 ,对 | ka ? b |? 3 | a ? kb | 两边平方得

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2 2

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? ? k 2 ?1 ? ? ? ?2 ?2 ? ? 2 ?2 (k ? 0) 。 ,展 开 整 理 易 得 f (k ) ? a ? b ? k a ? 2ka ? b ? b ? 3(a ? 2ka ? b ? k b ) 4k
⑵由函数的单调性知函数 f ?k ? 的最小值为 欲使 f (k ) ? x ? 2tx ?
2

1 。 2

1 1 1 2 对任意的 t ? [?1,1] 恒成立,等价于 ? x ? 2tx ? , 2 2 2

即 g (t ) ? 2 xt ? x2 ? 1 ? 0 在 [?1,1] 上恒成立,而 g (t ) 在 [?1,1] 上为单调函数或常函数, 所以 ?

? g (1) ? 2 x ? x 2 ? 1 ? 0 ? 解得 1 ? 2 ? x ? 2 ? 1 。 2 ? g (?1) ? ?2 x ? x ? 1 ? 0 ?

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