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专题三:三角函数与三角变换(附参考答案)


专题三:三角函数与三角变换(附参考答案)
1.高考要求解读
1.1 考纲要求:
1.1.1 三角函数 1.任意角、弧度制 (1)了解任意角的概念和弧度制的概念 (2)能进行弧度与角度的互化。 2.三角函数 (1)理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义。 ( 2 )能利用单位圆中的三角函数线推导出

1.2.2 考点分析 考点

一:基本概念 考查任意角的概念、弧度制、三角函数的概念、三角函数的符号等。直角三角形中锐角的三角函数定义在 与空间几何结合的问题中频繁考查,应予以重视任意角三角函数的定义的应用。其中三角函数的符号是考 查重点。 考点二:同角三角函数的基本关系式和诱导公式 考查运用这两类公式进行三角函数式的求值、化简和证明。其中,同角三角函数的基本关系式和三角函数 式的求值问题是考查的重点。 考点三:考查三角函数的图像和性质 考查三角函数图像的画法、性质,性质主要包括正弦函数、余弦函数、正切函数在 ?0,2? ? 的单调性、最大 值和最小值、零点、最小正周期等。 考点四:函数 y ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的图像和性质。 考查函数 y ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的定义域、值域(最值) 、单调性、周期性、对称性等性质等, 是三角函数考查的热点。另外对函数 y ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的图像伸缩、平移变换的考查也是 热点。 考点五:考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式。 主要考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用,而倍角的正弦、余弦、正切公式的运用。 考点六:考查简单的三角恒等变换。 主要考查综合运用同学们在以前学习的三角公式,进行一些简单的三角恒等变换,解决化简、求值、证明 等问题。 考点七:考查三角函数和三角恒等变换的综合应用。 本考点是一个考查重点,主要考查通过三角恒等变换化简三角函数式,进而研究三角函数的单调性、奇偶 性、周期性、对称性、最值等性质。

?
2

? ? , ? ? ? 的正弦、余弦、正切的诱导公式,能画出

y ? sin x, y ? cos x, y ? tan x 的图像,了解三角函数的周期性。
(3)正确理解正弦函数、余弦函数在 ?0,2? ? 上的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与 x 轴的交点 等) ,理解正切函数在 ? ?

? ? ?? , ? 内的单调性。 ? 2 2?
sin x ? tan x. cos x

(4)理解同角三角函数的基本关系式:

sin 2 x ? cos 2 x ? 1,

(5)了解函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的物理意义;能画出函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图像,了解参数 A, ? , ? 对 函数图像变化的影响。 (6)会用三角函数解决一些简单实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。 1.1.2 三角恒等变换 1.两角和与差的三角函数公式 (1)会用向量的数量出两角差的余弦公式。 (2)会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式。 (3)会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式, 了解他们的内在联系。 2.简单的三角恒等变换 能运用上述公式进惊醒简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但不要求记忆) 。

2 要点知识分析
要点知识复习
2.1 任意角的三角函数 ①任意角的三角函数定义 已知角 ? 终边上任意一点 P 的坐标为 ( x, y ) ,则 r ?

x 2 ? y 2 ,其中 r 为点 P 到原点的距离.

1.2 考点解读
1.2.1 考情分析 三角函数是高考的考查热点,命题的一般模式为一个选择题(或填空题)和一个解答题,其中选择题 (填空题)一般多为基础题,解答题为中档题。解答题多为三角函数与三角变换的综合问题或三角函数与 其他知识的教会问题。近年宁夏高考题,命题从三角函数与解三角形结合的问题出发命题的趋势明显。高 考中三角函数所占分值大约在 10~14 分之间。
1

sin ? ?

y x y ; cos ? ? ; tan ? ? r r x sin x ? tan x. cos x

②同角三角函数基本关系式

sin 2 x ? cos 2 x ? 1,
③诱导公式

第一组:关于 ? ? ? ;2? ? ? 的诱导公式

sin 2? ? 2 sin ? cos? sin(? ? ? ) ? ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos? cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ?
tan 2? ? 2 tan ? (tan ? ? ?1) 1 ? tan 2 ?
2

sin(? ? 2k? ) ? sin ? cos(? ? 2k? ) ? cos? sin(2? ? ? ) ? sin ? cos(2? ? ? ) ? cos?

sin(? ? ? ) ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos? sin(2? ? ? ) ? sin ? cos(2? ? ? ) ? cos?

二倍角的余弦公式正用有升幂的作用;逆用有降幂的作用。在三角变换中要根据具体情境灵活应用。变形 公式: cos ? ?

1 ? cos 2? 1 ? cos 2? ; sin 2 ? ? 2 2

记忆方法:函数名不变,符号看象限 第二组:关于

?
2

? ?,

3? ? ? 的诱导公式 2

3、典型例题
例 1(本小题满分 12 分)已知 cos ? ?

sin( ? ? ) ? cos? 2 cos( ? ? ) ? sin ? 2

?

?

s i n ( ??) ? c o ? s 2 c o s ( ??) ? ?s i n ? 2

?

?

3? 3? s i n ( ??) ? ?c o ? s sin( ? ? ) ? ? cos? 2 2 3? 3? c o s ( ??) ? ?s i n ? cos( ? ? ) ? sin ? 2 2

? 1 13 , cos( ? ? ?) ? , 且0 < ? < ? < , 2 7 14

(Ⅰ)求 tan 2? 的值. (Ⅱ)求 ? . 本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号,已知三角函数值求角以及计算能力。

记忆方法:函数名变为余函数名,符号看象限 2.2 函数图像和性质 ①函数 y ? sin x 、 y ? cos x 、 y ? tan x 的图像和性质。 ②函数 y ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的图像和性质。 “五点法”可画出正弦函数、余弦函数的简图,还 可 利 用 此 法 求 参 数 A, ? , ? 的 值 。 在 复 习 函 数 y ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的 图 像 时 , 要 掌 握 由

y ? sin x 的图像经过平移、伸缩等一系列变换得到函数 y ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的图像的变换步
骤。求平移的量时,若 x 的系数不为 1,需把 x 的系数先提出来,提完后在括号中 x 加或减的那个量才是 平移的量。 2.3 三角变换 ①两角和与差的正弦、余弦、正切公式。

1 ? 2 sin(2 x ? ) 4 , 变式训练: (北京卷)已知函数 f ( x) ? cos x
(Ⅰ)求 f ( x ) 的定义域; (Ⅱ)设 ? 是第四象限的角,且 tan ? ? ?

?

4 ,求 f (? ) 的值 3

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? tan? ? tan ? tan( ? ? ?) ? (tan? tan ? ? ?1) 1 ? tan? tan ?

? ? ? )(1 ? tan? tan ? ) 变形公式: tan? ? tan ? ? tan(
tan? ? tan ? ? tan( ? ? ? )(1 ? tan? tan ? )
两角和与差的正切公式的变形公式是考查的重点。 ②二倍角公式
2

例 2(江苏卷) cot 20? cos10? ? 3 sin10? tan 70? ? 2 cos 40? =

【解后反思】方法不拘泥,要注意灵活运用,在求三角的问题中,要注意这样的口决“三看”即(1)看角, 把角尽量向特殊角或可计算角转化, (2)看名称,把一道等式尽量化成同一名称或相近的名称, 例如把所有的 切都转化为相应的弦,或把所有的弦转化为相应的切,(3)看式子,看式子是否满足三角函数的公式.如果满 足直接使用,如果不满足转化一下角或转换一下名称,就可以使用. 变式训练:3. sin15 cos 75 ? cos15 sin105 等于( A. 0 ) . 例 4.(本小题满分 12 分)

0 ? ≤ )的 如图,函数 y ? 2 cos(? x ? ? )( x ? R,≤
图象与 y 轴交于点 (0,3) ,且在该点处切线的斜率为 ?2 . (1)求 ? 和 ? 的值; (2) 已知点 A ? , 点 P 是该函数图象上一点, 点 Q( x0,y0 ) 0? ,

π 2

B.

1 2

C.

3 2

D. 1

?π ?2

? ?

y
3

是 PA

P

,x ? R . 例 3. 已知函数 f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) ? 1
(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 ? , ? 上的最小值和最大值. 8 4 本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的性质等基础知识,考查基本运算能力.满分 12 分.

的中点,当 y0 ?

3 ?π ? , x0 ? ? ,π ? 时,求 x0 的值. 2 ?2 ?

O

A

x

? π 3π ? ? ?

变式训练: (重庆卷)设函数 f(x)= 3 cos ?x + sin ?x cos ?x +a(其中 ? >0,a ? R),且 f(x)的图象在 y 轴右侧
2

的第一个高点的横坐标为 (Ⅰ)求ω 的值;

? . 6

变式训练:已知函数 f ( x) ? 1 ? 2sin ? x ?
2

? ?

π? π? π? ? ? ? ? 2sin ? x ? ? cos ? x ? ? .求: 8? 8? 8? ? ?

(Ⅱ)如果 f(x)在区间 ??

? ? 5? ? , ? 上的最小值为 3 ,求 a 的值. ? 3 6 ?

(I)函数 f ( x ) 的最小正周期; (II)函数 f ( x ) 的单调增区间.

3

一、选择题(本小题共 10 个小题,每小题 5 分) 1.(全国Ⅰ文) ? 是第四象限角, cos ? ? A.

5 13

B. ?

5 13

C.

5 12

12 , sin ? ? ( 13 5 D. ? 12




2. (全国Ⅱ)函数 y ? sin x 的一个单调增区间是( A. ? ? , ?

例 5. 设函数 f ( x) ? a ? b ,其中向量 a =(m,cos2x), b =(1+sin2x,1),x∈R,且函数 y=f(x)的图
? ? 象经过点 ? ,2 ? , ?4 ?

? ? ?? ? ? ??

B. ? , ?

? ? 3? ? ?? ? ?

C. ? ?, ?

? ?

?? ? ? ?

D. ?

? 3? ? , 2? ? ? ? ?


?

3. (江西文)函数 y ? 5 tan(2 x ?1) 的最小正周期为( A.

(Ⅰ)求实数 m 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的最小值及此时 x 的值的集合.

π 4

B.

π 2

C. π

D. 2 π

4. (福建文)函数 y ? sin ? 2 x ?

? ?

π? ? 的图象( 3?



A.关于点 ? , 0 ? 对称

?π ?3 ?π ?4

? ? ? ?

B.关于直线 x ?

π 对称 4 π 对称 3


C.关于点 ? , 0 ? 对称 变式训练:已知 0 ?? ?

D.关于直线 x ?

? ? ? ?? 1 ? ? ? ,? 为 f ( x) ? cos ? 2 x ? ? 的 最 小 正 周 期 , a ? ? , tan?? ? ? ?,?1? ? ? ?? 4 ? ? ? ? ? ?

5. (福建文) sin15 cos 75 ? cos15 sin105 等于( A. 0

b ? ?cos? ,2? ,且 a ? b ? m .求

2 cos 2 ? ? sin 2(? ? ? ) 的值. cos ? ? sin ?

B.

1 2

C.

3 2

D. 1

本小题主要考查周期函数、平面向量数量积与三角函数基本关系式,考查运算能力和推理能力.本小题满 分 12 分.

6.(宁夏,海南)若

cos 2? 2 ,则 cos ? ? sin ? 的值为( ?? π? 2 ? sin ? ? ? ? 4? ?
B. ?



A. ?

7 2

1 2

C.

1 2

D.

7 2

7. (宁夏,海南)已知命题 p : ?x ? R , sin x ≤1,则( A. ?p : ?x ? R , sin x ≥1



B. ?p : ?x ? R , sin x ≥1 D. ?p : ?x ? R , sin x ? 1

随堂练习
4

C. ?p : ?x ? R , sin x ? 1

π? ? ?π ? 8. (宁夏,海南)函数 y ? sin ? 2 x ? ? 在区间 ? ,π ? 的简图是( 3? ? ?2 ?
y
1
? ? 3



y

1
? ? ?? O 6 B. 3 2

?

? 2

O

A. ?
6

?

x

?

? x

11 π 对称; 12 ? 2π ? ②图象 C 关于点 ? , 0 ? 对称; ? 3 ? ? π 5π ? ③函数 f ( x ) 在区间 ? ? , ? 内是增函数; ? 12 12 ? π ④由 y ? 3sin 2 x 的图角向右平移 个单位长度可以得到图象 C . 3 1 ? 3? 14.(浙江)已知 sin ? ? cos ? ? ,且 ≤ ? ≤ ,则 cos 2? 的值是 5 2 4
①图象 C 关于直线 x ? 15.(全国 II)若 f(sinx)=3-cos2x,则 f(cosx)= 三、解答题(本题共有 5 个小题)

?1

?1 y
1
C.
? ? 2 ? O ? 6
? 3

y
? ? 6 D.

16.(安徽卷)已知

1

(Ⅰ)求 tan ? 的值;

3? 10 ? ? ? ? , tan ? ? cot ? ? ? 4 3

?

5sin 2
? 3

?
2

? 8sin

?
2

cos

?
2

? 11cos 2

?
2

?8
的值。

x

?

? 2

O

?

(Ⅱ)求

x
?? ? 的图象( ??


?1 9. (山东文)要得到函数 y ? sin x 的图象,只需将函数 y ? cos ? x ?

?1

? ?

?? ? 2 sin ? ? ? ? 2? ?

? 个单位 ? ? C.向左平移 个单位 ?
A.向右平移

? 个单位 ? ? D.向左平移 个单位 ?
B.向右平移

10. (浙江) 若函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) ,x ? R(其中 ? ? 0 ,? ? 则( )

? ) 的最小正周期是 ? , 且 f( 0 ) ?3 2

, 17.(广东卷)已知函数 f ( x) ? sin x ? sin( x ? (I)求 f ( x) 的最小正周期; (II)求 f ( x) 的最大值和最小值;

? 6 ? C. ? ? 2,? ? 6
A. ? ? ,? ?

1 2

? 3 ? D. ? ? 2,? ? 3
B. ? ? ,? ?

1 2

?
2

), x ? R .

二、填空题(本题共有 5 个小题) 11.(上海春)函数 y ? ( sin x ? cos x ) 的最小正周期为
2

.

(III)若 f (? ) ?

3 ,求 sin 2? 的值. 4

1 3 , cos(? ? ? ) ? ,.则 tan ? tan ? ? . 5 5 π? ? 13.(安徽文)函数 f ( x) ? 3sin ? 2 x ? ? 的图象为 C ,如下结论中正确的是 3? ?
12.(江苏卷)若 cos(? ? ? ) ? 论的编号 ) . ..

(写出所有正确结

5

设 f ( x) ? 6cos2 x ? 3 sin 2x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最大值及最小正周期; 18.(湖南) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? cos 2 ? x ? (Ⅱ)求 f ( x) 在 ??

? ?

1 π? ? , g ( x) ? 1 ? 2 sin 2 x . 12 ?

? ? ?? , ? 的单调递减区间 ? 2 2?
4 5

(I)设 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,求 g ( x0 ) 的值. (II)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调递增区间.

(Ⅲ)若锐角 ? 满足 f (? ) ? 3 ? 2 3 ,求 tan ? 的值.

专题训练
一、选择题 1.已知 cos ? ?

3 ,且角 ? 在第一象限,那么 2? 是( 5
B、第二象限角 C、第三象限角

) D、第四象限角 )

A、第一象限角

19、已知函数 f ( x) ? 2sin ?
2

?π ? ?π π? ? x ? ? 3 cos 2 x , x ? ? , ? . ?4 ? ?4 2?

1 0 2.若 ? 是第三象限的角,且 cos( 75 ? ? ) ? ,则 tan( 150 ? ? ) 的值为( 3 2 3 2 3 2 2 A、 ? B、 ? C、 D、 3 4 2 4 3.在 ?0,2? ? 内,使 sin x ? cos x 成立的 x 取值范围为( )
A、 ?

(I)求 f ( x ) 的最大值和最小值; (II)若不等式 f ( x) ? m ? 2 在 x ? ? , ? 上恒成立,求实数 m 的取值范围. 4 2 本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识,以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力.

? ? 5? ? , ? ?4 4 ?

B、 ?

4.将函数 y ? sin( 6 x ?

?
4

?? ? ? , ? ?4 2?

C、 ?

? 5? 7? ? , ? 4 4 ? ?

D、 ?

? ? 3? ? , ? ?4 4 ?

) 的图像上个点的横坐标伸长到原来的 3 倍,再向右平移


?π π? ? ?

? 个单位,得到的函数 8

的一个对称中心是( A、 ?

?? ? ?? ? ?? ? C、 ? ,0 ? D、 ? ,0 ? ,0 ? ?4 ? ?9 ? ? 16 ? ?x ? ? ) 为偶函数 ?0 ? ? ? ? ? ,其图像与直线 y ? 2 某两个交点的横坐标分别为 5. 已知函数 y ? 2 sin ( ?? ? ,0 ? ?2 ?
B、 ?

x1 , x 2 ,若 x2 ? x1 的最小值为 ? ,则该函数的一个递增区间可以是(
A、 ? ?



20. (重庆)本小题满分 13 分,其中(Ⅰ)小问 9 分, (Ⅱ)小问 4 分. )

? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? 3? ? B、 ? ? , ? C、 ? 0, ? D、 ? , ,? ? ? ? 2 4? ? 4 4? ? 2? ?4 4 ? 3 sin 2? ?? ? 6.已知 sin ? ? ,且 ? ? ? , ? ? ,那么 的值等于( ) 5 cos 2 ? ?2 ? 3 3 3 3 A、 ? B、 ? C、 D、 4 2 4 2 7.函数 f ?x ? ? sin x?cos x ? sin x ? 的最小正周期是( ) ? ? A、 B、 C、 ? D、 2? 4 2
6

8.若定义 R 在上的函数 f ?x ? 满足 f ?

?? ? ? x ? ? ? f ( x) ,且 f ?? x ? ? f ( x) ,则 f ( x) 可以是( ?3 ?
B、 f ?x ? ? 2 sin 3x D、 f ?x ? ? 2 cos3x



1 x 3 1 C、 f ? x ? ? 2 cos x 3
A、 f ? x ? ? 2 sin 9.

1 5? ? 是函数 y ? sin( 2 x ? ) 8 4 ? 3? ? 的一条对称轴;③ y ? cos x, x ? R 在第四象限是增函数;④函数 y ? sin? ? x ? 是偶函数。其中正确结 ? 2 ?
n n 16.有以下 4 个结论: ①若 sin x ? cos x ? 1 , 那么 sin x ? cos x ? 1 ; ②x ?

论的序号是 三、解答题(本大题共 6 小题,第 17-21 题每小题 12 分,第 22 题 14 分,共计 74 分)

3 ? sin 70 ?( 2 ? cos2 100
0



17、已知函数 f ( x) ? a sin x cos x ? 2 cos2 x ? 1 的图像经过点 (

?
8

,0 ) 。

A、

1 2

B、

2 2

C、 2

D、

3 2

(1)求实数 a 的值 (2)若 x ? ?0, ? ?,且 f ( x) ? 1 ,求 x 的值

? ?? ? / / 10.将函数 y ? 3 sin(x ? ? ) 的图像 F 按向量 ? ,3 ? 平移得到图像 F ,若 F 的一条对称轴是直线 x ? , 4 ?3 ? 则 ? 的一个可能取值是( )
A、

5? 12

B、 ?

5? 12

C、

11? 12

D、 ?

11? 12

11.在同一个平面直角坐标系中,函数 y ? cos? ( A、0 12.已知 cos?? ? ) B、1 C、2

1 ? x 3? ? ? ? ( x ? ?0,2? ? )的图像和直线 y ? 的交点个数是 2 ?2 2 ?
D、4 ) 18、设 ? ? ? 0,

? ?

??

7? 4 ) 的值是( 3 ,则 sin(? ? ? ? sin ? ? 6 6? 5
B、

? 3 ? ?? 2 ? ,函数 f ( x) ? sin ( x ? ? ) ,且 f ( ) ? 4 4 ? 4?

A、 ?

2 3 5

2 3 5

C、 ?

4 5

D、

4 5

(1)求 ? 的值 (2)若 x ? ?0,

二、填空题 13.若函数 y ? cos? ?x ?

? ?? ? ,求 f ( x) 的最大值及相应 x 的值 ? 2?

? ?

??

? ? ?? ? 0? 的最小正周期为 ,则 ? = 5 6?
象限

14.已知 P(tan? , cos? ) 在第三象限,则角 ? 的终边在第 15.函数 f ( x) ?

3 sin x ? sin(

?
2

? x) 的最大值是

7

19、已知函数 f ( x) ? a ? b sin 2 x ? c cos2 x 的图像经过点 A(0,1),B( ( 取得最大值 2 2 ? 1 (1)求 f ( x) 解析式 (2)求函数 f ( x) 的单调区间

?

? ?? ,1) ),且当 x ? ?0, ? 时, f ( x) 4 ? 4?

21、设函数 f ( x) ? p ? q ,其中向量 p ? (sin x, cos x ? sin x) , q ? (2 cos x, cos x ? sin x), x ? R (1)求 f ( ) 的值及函数 f ( x) 的最大值

?

3

(2)求函数 f ( x) 的单调递增区间

22、函数 f ( x) ? 2 sin x cos( x ?

?
3

) ? 3 cos 2 x ? sin( x ?

?
2

) sin x

(1)求函数 f ( x) 的周期和最大值 (2)若将函数 f ( x) 按向量 a 平移得到函数 g ( x) ,而且当 x ?

?
3

20、已知函数 f ( x) ?

3 sin ?x cos ?x ? cos 2 ?x ?

1 ? (? ? 0, x ? R) 的最小正周期为 2 2

时, g ( x) 取得最大值 3,求 a 和 g ( x)

(1)求 f (

2? ) 的值,并写出函数 f ( x) 的图像的对称中心的坐标 3

(2)当 x ? ?

?? ? ? , ? 时,求函数 f ( x) 的单调递减区间 ?3 2?

8

参考答案
典型例题
1 ? 例1:解:(1) cos ? ? 且0<? ? 7 2 ? sin ? ? 4 3 8 3 ;? tan ? ? 4 3 ? tan 2? ? ? 7 47
1 2

变式:(1)T=? ? ? ? (2)f(x)的单调递增区间为 ?- ? k? , k? ( k ? Z) ? ? 4 ?
例4. (1) y=2cos(?x+? )的图像与y轴的交点x,为(0, 3 ) ? 2cos? = 3, 且0 ? ? ? 又

?
2

.?? ?

?
6

(2)

cos ? ? cos ?? ? (? ? ? ) ? ? cos ? cos(? ? ? ) ? sin ? sin(? ? ? ) ?

y / ? ?2? sin(? x ? ).且f/(0)=-2 6 ?? =2 综上:? =2,? =

?

0?? ?

?
2

,? ? ?

?
3

?
6

(2)设P(x,2cos(2x1 +

?

变式:(1)f(x)的定义域为? x x ? (2) f ( x) ? 2(cos x ? sin x)

?
2

? k? , k ? Z ?

)),A( ,0) 6 2

?

4 3 4 14 tan x ? ? ,? cos x ? ,sin x ? ? ? f ( x) ? 3 5 5 5

例2.解:原式=tan700 cos100 ? 3 sin100 tan 700 ? 2 cos 400 ? (cos100 ? 3 sin100 ) tan 700 ? 2 cos 400 ? ? 2 2sin 200 cos 200 cos 200 ? 2 cos 400 ? 4 sin 200 2sin 400 sin 700 ? 2 cos 400 0 cos 70

? ? x1 ? ? 2 x0 ? ? ? 2 ?? ? ? 2 cos(2 x1 ? ) ?y ? 6 ? cos(2 x ? ? ) ? 3 0 1 ? 2 6 2 ? 2? ? 3? ? x0 ? ? x ? ? ? 3 ?? 0 4 或 ? ? ? x1 ? ? ? k? ? x1 ? k? ? ? 6 ?
变式:解:(1)f(x)=sin(? x+

?
3

变式:D

)+

3 ?a 2

例( 3. 1) f ( x) ? 2 sin(2 x ? ) 4 ?T ? ? 3? ? 5? ?0 ? 2x ? ? 8 4 4 4 ? 5? 令t ? 2 x ? , 则0 ? t ? 4 4 ? f (t ) ? 2 sin t ? 5? ?当t ? 时,ymax ? 2;当t ? 时,ymin ? ?1 2 4 3? 3? 即当x= 时,y max = 2;当x= 时,y min ? ?1 8 4 (2) ?x?
9

?

f ( x)的图像在轴右侧的第一个最高点的横坐标为 1 ? ? ?x ? ? ? ? 3 2 ?? ,? ? 1 ? ? x? ? 6 ?

?
6

?

11. ?
3 ?a 3 2 ? ? ?? ? ? 5? ? f ( x)在 ? ? , ? 上为增函数,在 ? , ? 上为减函数 ? 3 6? ?6 6 ? 5? ?当x= 时,f ( x)取得最小值 6 (2)由(1)可知f(x)=sin(x+ )+ ? sin( 5? ? 3 ? )? ?a ? 3 6 3 2

12.

?

1 2

13.①②③

14. ?

7 25

15. 2 ? 2cos2 x

三、解答题
16.解: tan ? ? cot ? ? ? ? tan ? ? 10 3

1 10 ? ? ,? tan ? ? ?3 tan ? 3

3 ?1 ?a ? 2
例5.解:(1)f(x)=a b ? m sin 2 x ? cos 2 x ? m 又 y ? f ( x)的图像经过点( ,2) 4

5 ? 4sin ? ? 6 cos 2 (2)解:原式= tan ? ? ?3 ? 原式 ? ? 5 2 6

?
2

?8

2 sin(? ? ) 2

?

?

3cos ? ? 4sin ? 3 ? 4 tan ? ? ? 2 cos ? ? 2

?

? msin(2 ? ? m=1

?

4

)+cos(2 ?

?

4

)+m=2

(2)由(1)可知f(x)=sin2x+cos2x+1= 2 sin(2 x ? ) ? 1 4 3? 当x=+k? 时,f(x)min ? 1 ? 2 8

?

17.解:(1) ( f x)= 2 sin( x ? ) 4 ?T ? 2? ? 3? (2) x ? ? 2k? , ymax ? 2; x ? ? ? 2k? , ymin ? ? 2 4 4
3 ? 3 f (? ) ? ,? 2 sin(? ? ) ? 4 4 4 ? 3 3 ? sin(? ? ) ? ,? sin ? ? cos ? ? 4 4 4 2 7 ? sin 2? ? (sin ? ? cos ? )2 ? 1 ? ? 16 (3)
1 1 ? ? ? cos(2 x ? ).由y=sinx的对称轴为x=k? , 得2 x ? ? k? 2 2 6 6 ? 1 ? ? 3 ? x ? ? ? k? .令k ? 0, x ? ? 为f(x)的一条对称轴. ? g(- )= 12 2 12 12 4 18.解:f ( x) ?

?

变式: ? 为f ( x) ? cos(2 x ? )的最小正周期 8 ? ? =?, ? a b ? tan(? ? ) cos ? ? 2 ? m 4 1 化简,得 (cos2? +sin2? +1)=(m+2)(cos? -sin? ) 2 2 2 cos ? ? sin 2(? ? ? ) 2( m ? 2)(cos ? ? sin ? ) 又 ? ? 2m ? 4 cos ? ? sin ? cos ? ? sin ?

?

?

随堂练习
一、选择题
1.B 2.C 3.B 4.A 5.D 6.C 7.C 8.A 9.A 10.D
1 ? 3 h( x) ? cos(2 x ? ) ? 2 6 2 ? ? 5? ? ? h( x)的单调增区间为 ? ? ? k? , ? k? ? ( k ? Z ) 12 ? 12 ? (2)
10

二、填空题

19.解: (1) ?x ?

f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ? 1 3

?

5? ? ? k? , ymax ? 3; x ? ? ? k? , ymin ? ?1 12 12

1 ? cos 2( x ? ? ) ? 3 , f( )? 2 4 4 ? 1 1 ? cos( ? 2? ) ? ? .? sin 2? ? 2 2 2 18.解:(1) f(x)= 又 0 ?? ? ? 2? ?
(2)

?? ? ? (2) f ( x) ? m ? 2.即2 ? m ? f ( x) ? 2 ? m在 ? , ? 上恒成立 ?4 2? ? ? ? ? 2? ? x ? .? ? 2 x ? ? 4 2 6 3 3 ? ? 5? ? ? 5? ? ? 且f ( x)在 ? , ? 上为增函数,在 ? , ? 上为减函数 ? 4 12 ? ? 12 2 ? ? m+2>3 ?? ?2-m<2 ?m ? 1

?

?
6

4

.? 0 ? 2? ?

?

.?? ?

?
12
? 7? 6

2

.

?
6

? 2x ?

?
6

专题训练
一、 选择题
1.B 2.B 3.B 4.A 5.A 6.B 7.C 8.D 9.C 10.A 11.C 12.C

1 1 , 则f (t ) ? ? cos t ? 6 2 2 ?? ? ? 7? ? f (t )在 ? ,? ? 上单调递增,在 ?? , ? 上单调递减 ?6 ? ? 6 ? 5? ?当t=? 时,y max ? 1.即x ? , ymax ? 1 12 令t ? 2 x ?
19.解:(1) f(x)的图像过点A(0,1),B( ? a ? c ? 1; a ? b ? 1 ? ?? x ? ?0, ? 时, f ( x)取得最大值2 2 ? 1 ? 4? 且f ( x) ? c 2 ? b 2 sin(2 x ? ? ) ? a.? c 2 ? b 2 ? 2 2; a ? ?1 ? b ? c ? 2.? f ( x) ? ?1 ? 2sin 2 x ? 2 cos 2 x

?

?
4

,1)

二、填空题
13.10 14.二 15.2 16.①③④

三、解答题
1 ? 17.解: f ( x) ? a sin 2 x ? cos 2 x,且过点( ,0) 2 8 1 ? ? ? a sin(2 ) ? cos(2 ) ? 0 2 8 8 ?a ? 2
(2)由(1)可知f(x)= 2 sin(2 x ? ) 4 f ( x) ? 1且x ? ? 0, ? ? .? 2 x ? ?x ?

f ( x) ? 2 2 sin(2 x ? ) ? 1 4 ? 5? ? 3? ? ?? ? ? f ( x)的单调递增区间为 ?? k? , ? k? ? ;单调递减区间为 ? ? k? , ? k? ? 8 8 ? 8 ? ?8 ? (2)

?

?

20.解:(1) f(x)=sin(2? x-

?
6

)且T=

?
2

?

?
4



?
2

4

?

?

4



3? 4

?? ? 2.即f(x)=sin(4x-

?

6 ? ? 1 令4x- ? k? .? x ? ? k? ( k ? Z ) 6 24 4 ? 1 ? f ( x)的对称中心为( + k? ,0) 24 4

)? f(

2? )=-1 3

11

? ? 5? ? (2) f ( x)的单调递减区间为 ? , ? ? 3 12 ?
21.解:(1)f(x)= 2 sin(2 x ? ).? f ( ) ? 4 3 x?

?

?

3 ?1 2

?
8

? k? , ymax ? 2

? ? 3? ? (2) f ( x)的单调递增区间为 ? ? ? k? , ? k? ( k ? Z) ? 8 ? 8 ?
22.解:(1)f(x)=2sin(2x当x= 5? ? k? 时, f ( x) max ? 2 12

?
3

). ? T=?

(2) a ? (?

?

12

? 2k? ,1)

g ( x) ? 2sin(2 x ? ) ? 1 6

?

12


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