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浙江省安吉县昌硕高级中学高考研讨会课件:高考函数问题命题规律与联系(杭州讲座2016.1.7)(共28张PPT)


高考函数问题命题 规律与联系
——无导数背景下的浙江卷函数问题
浙江省安吉县昌硕高级中学 黄超

结合对各地近年来高考试题的研究,函数问题 的命题方向集中于以下几点:
? ?

(1)对函数图象的考查,比如给出图象看函数关系, 利用图象解决诸如函数零点个数等问题; (2)对函数性质的直接考查,比如对函数奇偶性、 单调性的判断,结合方程或不等式对指数、对数运 算法则的考查,这些问题一般很简单; (3)分段函数是命题者所钟爱的; (4)二次函数的地位不可动摇,含参问题是考查的 常态; (5)绝对值问题与函数结合,如何去绝对值或者如 何用好绝对值的意义成为重点和难点; (6)新定义问题和抽象函数的问题点缀其中,对函 数本质的认识考查深入.

? ? ?

?

2015浙江卷函数试题分析
理科第 7 题:存在函数 f ( x) 满足:对任意 x ? R 都有 A. f (sin 2 x) ? sin x C. B. f (sin 2x) ? x2 ? x D.

f ( x2 ?1) ? x ?1

f ( x2 ? 2x) ? x ?1

文科第 8 题:设实数 a,b,t 满足|a+1|=|sinb|=t. A.若 t 确定,则 b2 唯一确定 B. 若 t 确定,则 a2+2a 唯一确定 C. 若 t 确定,则 sin b 唯一确定

2

D. 若 t 确定,则 a2+a 唯一确定

2015浙江卷函数试题分析
? 2 x ? ? 3, x ? 1, 理科第10题:已知函数 f ( x) ? ? ,则 f ( f (?3)) ? ? x ?lg( x 2 ? 1), x ? 1. ?


f ( x) 的最小值是 .
2 ? x x ? 1, ? , 文科第 12 题:已知函数 f(x)= ? ,则 f(f(-2))= x ? 6 ? 6, x ? 1, ? ? x



f(x)的最小值是

.


a ?a 理科第 12 题:若 a ? log4 3 ,则 2 ? 2 ?

文科第 9 题:计算: log 2 2 ?

2

,2

log 2 3? log 4 3

?

2015浙江卷函数试题分析
理科第 18 题:已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? b(a, b ? R) ,记 M(a,b)是 | f ( x) | 在区间[-1,1]上的最大值. (Ⅰ)证明:当|a| ? 2 时,M(a,b) ? 2; (Ⅱ)当 a,b 满足 M(a,b) ? 2 时,求|a|+|b|的最大值. 文科第 20 题:设函数 f(x)=x2+ax+b(a,b∈R).
2 a (Ⅰ)当 b= +1 时,求函数 f(x)在[-1,1]上的最小值 g(a)的表达式; 4

(Ⅱ)已知函数 f(x)在[-1,1]上存在零点,0≤b-2a≤1,求 b 的取值范围.

2015浙江卷函数试题分析
理科第 7 题:存在函数 f ( x) 满足:对任意 x ? R 都有 A. f (sin 2 x) ? sin x C. B. f (sin 2 x) ? x2 ? x D.

f ( x2 ?1) ? x ?1
?
2

f ( x2 ? 2x) ? x ?1
?
2
,可知

解析 对于选项 A,取 x=0,可知 f (sin 0) ? sin 0=0 ,即 f(0)=0,取 x ?

f (sin ? ) ? sin

=1, 即 f(0)=1,矛盾,即选项 A 错误;同理可知选项 B 错误;对于

选项 C,取 x=1,可得 f(2)=2,取 x=—1,可得 f(2)=0,矛盾,即选项 C 错误;对于 选项 D,令 t ? ( x ? 1)2 ? 1,(t ? ?1) 则 f (t ) ? t ? 1,(t ? ?1) ,符合题意,故选 D.

2015浙江卷函数试题分析
理科第 7 题:存在函数 f ( x) 满足:对任意 x ? R 都有 A. f (sin 2 x) ? sin x C. B. f (sin 2x) ? x2 ? x D.

f ( x2 ?1) ? x ?1

f ( x2 ? 2x) ? x ?1

?

让我们将关注点再次集中于复合函数本身,为了 讨论问题的方便,我们假设函数f(x),g(x)的定义域 均为R,若g(x)的周期为T,即g(x+T)=g(x),则 f[g(x+T)]=f[g(x)],即T也是函数f[g(x)]的周期,选 项A,B错误,我们还可以据此构造各种各样的错 误选项;若g(x)的对称轴为x=a,即g(2a-x)=g(x), 则f[g(2a-x)]=f[g(x)],即x=a也是函数f[g(x)]的对称 轴,选项C错误.这或许是本题真实的背景所在, 当然解题者可以不知道这些也能解决这些问题, 但这多少可以给我们一些启示,即对函数本质上 就是一种对应,需要符合一些既定的规则,对规 则的理解即构成试题设计的基石.

2015浙江卷函数试题分析
理科第 18 题:已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? b(a, b ? R) ,记 M(a,b)是 | f ( x) | 在区间[-1,1]上的最大值. (Ⅰ)证明:当|a| ? 2 时,M(a,b) ? 2; (Ⅱ)当 a,b 满足 M(a,b) ? 2 时,求|a|+|b|的最大值.

a 2 a2 a (Ⅰ)证明 1 由 f ( x) ? ( x ? ) ? b ? ,得对称轴为直线 x ? ? . 2 2 4 a 由 a ? 2 ,得 ? ? 1 ,故 f ( x) 在 [ ?1,1] 上单调,所以 M (a, b) ? max{ f (1) , f (?1) } . 2 当 a ? 2 时,由 f (1) ? f (?1) ? 2a ? 4 ,得 max{f (1),? f (?1)} ? 2 .即 M (a, b) ? 2 当 a ? ?2 时,由 f (?1) ? f (1) ? ?2a ? 4 ,得 max{f (?1),? f (1)} ? 2 .即 M (a, b) ? 2 .
综上,当

a ? 2 时, M (a, b) ? 2 .
同上, M (a, b) ? max{ f (1) ,

证明 2

f (?1) } ,则

f (1) ? f (?1) f (1) ? f (?1) M (a, b) ? max{ f (1) , f (?1)} ? ? ?| a |? 2 . 2 2

2015浙江卷函数试题分析
理科第 18 题:已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? b(a, b ? R) ,记 M(a,b)是 | f ( x) | 在区间[-1,1]上的最大值. (Ⅰ)证明:当|a| ? 2 时,M(a,b) ? 2; (Ⅱ)当 a,b 满足 M(a,b) ? 2 时,求|a|+|b|的最大值.
证明 3 同上, M (a, b) ? max{ f (1) ,

f (?1) } ? max{1 ? a ? b , 1 ? a ? b },

当 1? a ? b 当 1? a ? b 综上,当

? 1 ? a ? b 时,(1 ? b)a ? 0 , M (a, b) ? 1 ? a ? b = 1 ? b +|a| ? 2 ; ? 1 ? a ? b 时, (1 ? b)(?a) ? 0 , M (a, b) ? 1 ? a ? b ? 1 ? b ? | ?a |? 2 ;

a ? 2 时, M (a, b) ? 2 .

证明 4

同上, M (a, b) ? max{ f (1) ,

f (?1) }

y

? max{1 ? a ? b , 1 ? a ? b },设 x ? b ? 1 ,则 M (a, b)
? max{ x ? a , x ? a } ,如图所示,可得 M (a, b) ?| a |? 2 .
-|a| | a| O |a| x

2015浙江卷函数试题分析
理科第 18 题:已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? b(a, b ? R) ,记 M(a,b)是 | f ( x) | 在区间[-1,1]上的最大值. (Ⅰ)证明:当|a| ? 2 时,M(a,b) ? 2; (Ⅱ)当 a,b 满足 M(a,b) ? 2 时,求|a|+|b|的最大值.

从考试结果来看,本题给考生造成了极大的障碍,这应该是命题 者始料未及的,原因在何处,二次函数作为命题的载体不是问题, 绝对值才是“老大难”问题,浙江卷对绝对值的钟爱其实可以从历 年来的考题中窥其一斑,如何突破这个难点成为当前高考复习要重 视的问题.

2004~2014浙江卷函数试题分析
(1)关于基本初等函数图象与性质
(200603)已知 0<a<1, loga m ? loga n ? 0 ,则( (A)1<n<m (B) 1<m<n (C)m<n<1 ) (D) n<m<1

? ? ? ? 1 1 上点的集合 Q ? ?( x, y) x ? ? ,0, ,1; y ? ?1,0,1? ,则在同一直角坐标系中, P 中函数 f ( x ) 2 2 ? ? 的图象恰好 经过 Q 中两个点的函数的个数是( ) ..
(A)4 (B)6 (201303) 已知 x, y 为正实数,则( A. 2lg x ? lg y ? 2lg x ? 2lg y (C)8 ) C. 2lg x?lg y ? 2lg x ? 2lg y D. 2lg( xy ) ? 2lg x ? 2lg y (D)10

(201010)设函数的集合 P ? ? f ( x) ? log 2 ( x ? a) ? b a ? ? ,0, ,1; b ? ?1,0,1? ,平面

?

1 2

1 2

?

B. 2lg( x ? y ) ? 2lg x ? 2lg y

(201407).在同一直角坐标系中,函数 f ( x) ? xa ( x ? 0), g ( x) ? loga x 的图象可能是 A. B. C. D.

(201512)若 a ? log 4 3 ,则 2 ? 2
a

?a

?



2004~2014浙江卷函数试题分析
(2)关于分段函数
(200503)设 f(x)= ?
?| x ? 1 | ?2,| x |? 1, ,则 f[f( ? 1 , | x |? 1 ? ?1 ? x 2

1 )]=( 2

)

(A)

1 2

(B)

4 13

(C)-

9 5

(D)

25 41

? ? ,则 g ( x) 的值域是( ?0,∞ (A) ? ?∞, ?1? ? ?1 ,∞ ? ? ? ? ?1,∞

? x 2, x ≥1 , ? (200710)设 f ( x) ? ? g ( x) 是二次函数,若 f ( g ( x)) 的值域是 x , x ? 1 , ? ?
) (B) ? ?∞, ?1? ? ?0,∞ ? ? (C) ?0,∞ ? ? (D)

(201101)设函数 f ( x) ? ? (A)-4 或-2

?? x, x ? 0, ? x , x ? 0.
2

若f (? ) ? 4 ,则实数 ? =(
(D)-2 或 2

)

(B)-4 或 2

(C)-2 或 4

2 ? ? x ? x, x ? 0, (201415) 设函数 f ( x ) ? ? 2 若 f ( f (a)) ? 2 ,则实数 a 的取值范 ? x , x ? 0. ? ?

围是

2 ? ? x ? ? 3, x ? 1, (201510)已知函数 f ( x) ? ? ,则 f ( f (?3)) ? x ?lg( x 2 ? 1), x ? 1. ? f ( x ) 的最小值是 .



2004~2014浙江卷函数试题分析
(3)关于绝对值

? a, a ? b (200612)对 a,b ? R,记 max{a,b}= ? ,函数 f(x)= ?b, a ? b max{|x+1|,|x-2|}(x ? R)的最小值是 .
3 简解:画图可解;利用几何意义(距离)可直接得到答案 . 2
2 (200815)已知 t 为常数,函数 y ? x ? 2 x ? t 在区间[0,3]上的最大

值为 2,则 t=
2



简解: 令 x ? 2x ? m ???1,3? , 则问题转化为关于 m 的函数 y ? m ? t 在 ? ?1,3? 上最大值为 2,根据几何意义,t=1.

2004~2014浙江卷函数试题分析
(3)关于绝对值

(201111)若函数 f ( x) ? x ? x ? a 为偶函数,则实数 a ?
2

.

(201410)设函数

1 i f1 ( x) ? x 2 , f 2 ( x) ? 2( x ? x 2 ), f 3 ( x) ? | sin 2? x |, ai ? , i ? 0,1, 2, ?,99. ,记 3 99 I k ?| fk (a1 ) ? fk (a0 ) | ? | fk (a2 ) ? fk (a1 ) | ??? | fk (a99 ) ? fk (a98 ) |, k ? 1, 2,3. 则
A. I1 ? I 2 ? I 3 B. I 2 ? I1 ? I 3 C. I1 ? I 3 ? I 2 D. I 3 ? I 2 ? I1

方向:结合函数对绝对值的考查的侧重点在于对绝对值意义的理解, 如何去绝对值似乎并不是命题者关注的焦点.由于学生对绝对值的 理解和掌握很难达到命题者所希望的程度,绝对值问题容易出现看 上去简单实际学生很难解决的“叫好不叫座”的尴尬境况,命题者 可能会在此类问题的命制上变得谨慎起来,所以在教学中不一定需 要在这类问题上加大难度(纯属臆测).

2004~2014浙江卷函数试题分析
2 ? x , x ≥1, ? (200710)设 f ( x) ? ? g ( x) 是二次函数,若 x ? 1, ? ? x,

(4)关于二次函数与函数零点

f ( g ( x)) 的值域是 ?0,∞ ? ? ,则 g ( x) 的值域是(
(A) ? ?∞, ?1? ? ?1 ,∞ ? ? (C) ?0,∞ ? ? (D) ?1 ,∞ ? ?



(B) ? ?∞, ?1? ? ?0,∞ ? ?

简解: g ( x) 是二次函数,值域不可能是选项 A,B, f ( g ( x)) 的 值域中含有 0,选 C.

2004~2014浙江卷函数试题分析

(4)关于二次函数与函数零点

(201110)设 a,b,c 为实数,

f ( x) ? ( x ? a)(x 2 ? bx ? c), g ( x) ? (ax ? 1 ( ) cx2 ? bx ? 1) .记集合

S ? ?x | f ( x) ? 0, x ? R?, T ? ?x | g ( x) ? 0, x ? R?, 若 S , T 分别为集
合元素 S,T 的元素个数,则下列结论不可能 的是( ... (A) S =1 且 T =0 (B) S ? 1且 T =1 (C) S =2 且 T =2 (D) S =2 且 T =3 )

2004~2014浙江卷函数试题分析
(201217)设 a ? R ,若 x ? 0 时均有

(4)关于二次函数与函数零点

[(a ? 1) x ? 1](x 2 ? ax ? 1) ? 0 ,则 a ? __________.

(201406)已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c ,且 0 ? f (?1) ? f (?2) ? f (?3) ? 3 ,则 A. c ? 3 B. 3 ? c ? 6 C. 6 ? c ? 9 D. c ? 9

2004~2014浙江卷函数试题分析

(5)关于抽象函数和复合函数

(200412)若 f ( x) 和 g(x)都是定义在实数集 R 上的函数,且方程 是( ) x ? f [ g ( x)] ? 0 有实数解,则 g[ f ( x)] 不可能 ...

1 1 2 (A) x ? x ? (B) x ? x ? 5 5 1 1 2 2 (C) x ? (D) x ? 5 5
2

简解:设 x0 ? f [ g ( x0 )] ? 0 ,令 g ( x0 ) ? t , 则 f (t ) ? x0 ,即 g[ f (t )] ? t ,即 g[ f ( x)] ? x 有 解,选 B.

2004~2014浙江卷函数试题分析
(200610)函数 f:{1,2,3} ?{1,2,3}满足 f(f(x))= f(x),则这样的函数个数共有( ) (A)1 个 (B)4 个 (C)8 个 (D)10 个
(200910)对于正实数 ? ,记 M ? 为满足下述条件的函数 f(x)构成的 集合: ?x1 , x2 ? R 且 x2 > x1 ,有- ? ( x2 - x1 )<f( x2 )-f( x1 )< ? ( x2 - x1 ).下列结论正确的是( ) (A)若 f ( x) ? M ?1 , g ( x) ? M ? 2 , 则f ( x) ? g ( x) ? M ?1?? 2
? M ? 1 , g ( x) ? M ? 2且g ( x) ? 0, 则 (B) 若f ( x) f ( x) ? M ?1 g ( x) ?2

(5)关于抽象函数和复合函数

(C) 若f ( x) ? M?1, g ( x) ? M? 2 , 则f ( x) ? g ( x) ? M?1?? 2 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (D) 若f ( x) ? M?1, g ( x) ? M? 2 , 且?1 > ? 2,则f ( x) ? g ( x) ? M ?1?? 2

2004~2014浙江卷函数试题分析
方向:精彩在于对函数本质的理解,这样的好题 并不多见,数学教学本身就应该关注概念教学,纯 粹的解题教学在这些方面并不能让学生有大的提 升.表面看起来似乎无从准备,但从另一个方面来 说,在复习中尤其是在做模拟题中,可以大胆摒弃 掉那些纯粹玩技巧的复杂问题(有些甚至是老师解 释起来都比较困难的)——因为肯定是不考的,考 题用不到什么特殊的技巧.

(5)关于抽象函数和复合函数

2004~2014浙江卷函数试题分析
(6)关于解答题

(200516)已知函数 f(x)和 g(x)的图象关于原点对称,且 f(x)=x2+2x. (Ⅰ)求函数 g(x)的解析式; (Ⅱ)解不等式 g(x)≥f(x)-|x-1|. (200616)设 f(x)=3ax 2 ?2bx ? c.若a ? b ? c ? 0 ,f(0)>0,f(1)>0,求证: (Ⅰ)a>0 且-2<

b <-1; a

(Ⅱ)方程 f(x)=0 在(0,1)内有两个实根.
方向:二次函数依旧是最大的可能,昔日的试题已无多大参考价值, 与二次函数有关的“三个二次”问题是否会卷土重来?即使把二次 函数“掰开揉碎再组合”,也已经没有太多变化的问题了,所以函 数解答题的难度也许会降低.

2015其他省市高考试卷中的无 导数背景的函数试题
(1)关于函数图像

? x3 , x ? a 例 1 (2015 年高考数学湖南卷理科第 15 题)已知函数 f ( x) ? ? ,若存在 2 ?x , x ? a

实数 b ,使函数 g ( x) ? f ( x) ? b 有两个零点,则 a 的取值范围是



y

1

一图在手,变化无忧.

1

x

2015其他省市高考试卷中的无 导数背景的函数试题
(1)关于函数图像
例 2 (2015 年高考数学安徽卷理科第 9 题)函数 f ? x ? ? ax ? b 2 ? x ? c? 的图象如图所示,则下列结论成立的是 (A) a ? 0 , b ? 0 , c ? 0 (B) a ? 0 , b ? 0 , c ? 0 (C) a ? 0 , b ? 0 , c ? 0 (D) a ? 0 , b ? 0 , c ? 0
y M O N P x

两域四性,特值识图
【高考链接】 2015北京理8,2015北京理7,2015全国Ⅰ理12,2014上海理18, 2014山东文6,2014福建理4,2014浙江理7,2014湖南理10,2014 山东理8.

2015其他省市高考试卷中的无 导数背景的函数试题
(2)关于二次函数

例 3 (2015 年高考数学重庆卷理科第 20 题改编)

g ( x) ? ?3x2 ? (6 ? a) x ? a ? 0 在 [3, +? ) 恒成立.求 a 的取值范围.

三个二次,力求转换
例4 (2015 年高考数学四川卷理科第 9 题)如果函数

f ? x? ?

1 ?1 ? n ? 0 ? 在区间 ? , 2 ? 单调递 ? m ? 2 ? x 2 ? ? n ? 8 ? x ? 1? m ? 0, 2 ?2 ?

减,则 mn 的最大值为 A.16 B.18 C.25 D.

81 2

【高考链接】 2015陕西理12,2015福建理8,2015四川理21,2014湖南理8,2014 浙江文16,2014辽宁理16,2009浙江理22.

二次关系,函数先行

2015其他省市高考试卷中的无 导数背景的函数试题
(3)关于分段、零点与绝对值
?2 ? x , x ? 2, 例 5 (2015 年高考数学天津卷理科第 8 题)已知函数 f ? x ? ? ? 函数 ? 2 ? ?? x ? 2 ? , x ? 2,

g ? x ? ? b ? f ? 2 ? x ? ,其中 b ? R ,若函数 y ? f ? x ? ? g ? x ? 恰有 4 个零点,则 b 的取值范围
是 A. ?
8

?7 ? , ?? ? ?4 ?

B. ? ??, ?

? ?

7? 4?

C. ? 0, ?

? ?

7? 4?

D. ?

?7 ? ,2? ?4 ?

6 4 2

分段零点,画图求解
15 10 5

5 2

10

【高考链接】 2015山东理10,2015福建理14,2015重庆理16,2015江苏13,4 2015浙 江理10,2015安徽理21,2014浙江理10,2014湖北理10.
6 8

2015其他省市高考试卷中的无 导数背景的函数试题
(4)关于抽象函数与复合函数
例 6 (2015 年高考数学安徽卷理科第 21 题)设函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? b .

? ? ?? f sin x (I)讨论函数 ? ? 在 ? ? , ? 内的单调性; ? 2 2?
2 (II)记 f0 ? x ? ? x ? a0 x ? b0 ,求函数 f ? sin x ? ? f 0 ? sin x ? 在 ? ? , ? 上的最大值 D ; ? 2 2?

? ? ??

a2 (Ⅲ)在(II)中,取 a0 ? b0 ? 0 ,求 z ? b ? 满足条件 D ? 1 时的最大值. 4

复合性质,同增异减
【高考链接】 2015湖北理6、2015湖北理10,2014辽宁理12.

关于复习的两点补充
作为专题复习,宜选择一些知识概念的交汇点、 思想方法的生长点,以此为拓展,以点带面,以变促 思,例题示范,变式提升,关注本质,总结方法. 网络流传有两招: 一是“一题打天下”,即用一个题干或条件设计 一系列的问题,一节课(甚至两节课)就解决一个问 题,将重要的解题思想和方法融入其中(其实就是内 容要求高一点的变式教学); 二是“微专题”,就是指立足于学情、教情、考 情,选择一些切口小、角度新、针对性强的微型复习 专题,力求解决复习课中的真问题、小问题和实问 题.


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