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江苏省2014年高考数学(文)二轮复习简易通配套课件:常考问题22 不等式选讲


?常考问题22 不等式选讲

[真题感悟]

[考题分析]

? 1.含有绝对值的不等式的解法 ? (1)|f(x)|>a(a>0)?f(x)>a或f(x)<-a; ? (2)|f(x)|<a(a>0)?-a<f(x)<a; ? (3) 对形如 |x - a| + |x - b|≤c , |x - a| + |x - b|≥c 的不等式,可利用绝对值不等式的几何 意义求解. ? 2.含有绝对值的不等式的性质 ? |a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.此性质可用来解不 等式或证明不等式.

3.基本不等式 定理1:设a,b∈R,则a2+b2≥2ab.当且仅当a=b时,等号成 立. a+b 定理2:如果a,b为正数,则 2 ≥ ab ,当且仅当a=b时, 等号成立. a+b+c 3 定理3:如果a,b,c为正数,则 3 ≥ abc,当且仅当 a=b=c时,等号成立. 定理4:(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1、 a1+a2+…+an n a2、…、an为n个正数,则 ≥ a1a2…an ,当且 n 仅当a1=a2=…=an时,等号成立.

4.柯西不等式 (1)设a,b,c,d为实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且 仅当ad=bc时等号成立. ?n ? n * 2 ? b2? (2)若ai,bi(i∈N )为实数,则( ?ai )? ? i ?≥( ?aibi)2,当且仅当 i=1 i=1 ? ? i=1
n

bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得 ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立. (3)柯西不等式的向量形式:设α,β为平面上的两个向量,则 |α|· |β|≥|α·β|,当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立.

5.绝对值不等式 |a|-|b|≤|a± b|≤|a|+|b|.需要灵活地应用. 6.不等式的性质,特别是基本不等式链 a+b 1 1 ≤ ab ≤ 2 ≤ a+b 1 和求最值中经常用到. 7.证明不等式的传统方法有比较法、综合法、分析法.另外还 有拆项法、添项法、换元法、放缩法、反证法、判别式法、 数形结合法等. a2+b2 2 (a>0,b>0),在不等式的证明

热点与突破

? 热点一 含绝对值不等式的解法 ? 【例1】 已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|. ? (1) 当 a =- 3 时,求不等式 f(x)≥3 的解集; ? (2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的 取值范围.

?-2x+5,x≤2, ? 解 (1)当a=-3时,f(x)=?1,2<x<3, ?2x-5,x≥3. ? 当x≤2时,由f(x)≥3得-2x+5≥3,解得x≤1; 当2<x<3时,f(x)≥3无解; 当x≥3时,由f(x)≥3得2x-5≥3,解得x≥4; 所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1,或x≥4}. (2)f(x)≤|x-4|?|x-4|-|x-2|≥|x+a|. 当x∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a| ?4-x-(2-x)≥|x+a|?-2-a≤x≤2-a. 由条件得-2-a≤1且2-a≥2,即-3≤a≤0. 故满足条件的a的取值范围是[-3,0].

? [规律方法] (1)用零点分段法解绝对值不等 式的步骤: ? ①求零点;②划区间、去绝对值号;③分 别解去掉绝对值的不等式;④取每个结果 的并集,注意在分段时不要遗漏区间的端 点值. ? (2) 用图象法、数形结合可以求解含有绝对 值的不等式,使得代数问题几何化,既通 俗易懂,又简洁直观,是一种较好的方 法.

【训练1】 (2013· 南通模拟)已知关于x的不等式|x-a|+1-x>0的 解集为R,求实数a的取值范围. 解 若x-1<0,则a∈R; 若x-1≥0,则(x-a)2>(x-1)2对任意的x∈[1,+∞)恒成 立,即(a-1)[(a+1)-2x]>0对任意的x∈[1,+∞)恒成立,
? ?a-1>0, 所以 ? ? ?a+1<2x, ? ?a-1<0, 或? ? ?a+1>2x

对任意的x∈[1,+∞)恒成

立,解得a<1. 故a的取值范围是(-∞,1).

热点二 不等式的证明 1 1 5 【例2】 已知实数x,y满足:|x+y|<3,|2x-y|<6,求证:|y|<18. 证明 因为3|y|=|3y|=|2(x+y)-(2x-y)|≤2|x+y|+|2x-y|, 1 1 由题设知|x+y|< ,|2x-y|< , 3 6 2 1 5 从而3|y|< + = , 3 6 6 5 所以|y|<18.

? [规律方法] 不等式证明过程中要认真分析 待证不等式的结构特征,充分利用几个重 要不等式,灵活使用综合法、分析法、反 证法和数学归纳法,来证明不等式.

【训练2】 (2010· 江苏卷)设a,b是非负实数,求证:a3+b3≥ ab (a2+b2). 证明 由a,b是非负实数,作差得a3+b3- ab (a2+b2)=

a2 a( a- b)+b2 b( b- a)=( a- b)[( a)5-( b)5].当 a≥b时, a≥ b,从而( a)5≥( b)5,得( a- b) [( a)5-( b)5]≥0;当a<b时, a< b,从而( a)5<( b)5, 得( a- b)[( a)5-( b)5]>0. 所以a3+b3≥ ab(a2+b2).

热点三 不等式的综合应用 【例3】 已知f(x)=|ax+1|(a∈R),不等式f(x)≤3的解集为 {x|-2≤x≤1}. (1)求a的值;
? ?x ? ? ? (2)若?f?x?-2f ?2? ? ?≤k恒成立,求k的取值范围. ? ? ? ?

解 (1)由|ax+1|≤3得-4≤ax≤2. 又f(x)≤3的解集为{x|-2≤x≤1}, 所以当a≤0时,不合题意. 4 2 当a>0时,- ≤x≤ ,得a=2. a a

?x ? (2)记h(x)=f(x)-2f?2?, ? ?

?1,x≤-1, ? ?-4x-3,-1<x<-1, 2 则h(x)=? ? 1 ?-1,x≥- , 2 ? 所以|h(x)|≤1, 因此k≥1.

? [规律方法] 解答含有绝对值不等式的恒成 立问题时,通常将其转化为分段函数,再 求分段函数的最值,从而求出所求参数的 值.

【训练3】
2

(2013· 苏北四市模拟)已知非负实数x,y,z满足x2+y2

13 +z +x+2y+3z= 4 ,求x+y+z的最大值. 解
? ? 1?2 3?2 27 2 条件可化为?x+2? +(y+1) +?z+2? = 4 , ? ? ? ?

?? ? 1? 3??2 ?? 1?2 则??x+2?+?y+1?+?z+2?? ≤3??x+2? +?y+1?2 ?? ? ? ?? ?? ? ? 3?2? 81 +?z+2? ?= , 4 ? ? ?

3 1 3 3 从而x+y+z≤ ,当且仅当x+ =y+1=z+ = 时,等号成 2 2 2 2 1 3 立.所以,当x=1,y=2,z=0时,x+y+z取得最大值2.


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