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【2016届走向高考】高三数学一轮(人教B版)基础巩固:第10章 第6节 排列与组合(理)


第十章

第六节

一、选择题 1.(2013· 温州测试)甲、乙两人计划从 A、B、C 三个景点中各选择两个游玩,则两人所选 景点不全相同的选法共有( A.3 种 C .9 种 [答案] B [解析] 甲、乙两人从 A、B、C 三个景点中各选两个游玩,共有 C2 C2 3· 3=9 种,但两人所 选景点不能完全相同,所以排除 3 种完全相

同的选择,故有 6 种,选 B. 2.(2013· 河北教学质量监测)有 A、B、C、D、E 五位学生参加网页设计比赛,决出了第 一到第五的名次.A、B 两位学生去问成绩,老师对 A 说:你的名次不知道,但肯定没得第一 名;又对 B 说:你是第三名.请你分析一下,这五位学生的名次排列的种数为( A.6 C.20 [答案] B [解析] 由条件知,A 没得第一名和第三名,故 A 的名次有 C1 3种可能,对于 A 的每一种可
3 1 3 能名次,C、D、E 有 A3 种,∴共有 C3 A3=18 种.

) B.6 种 D.12 种

)

B.18 D.24

3.(2014· 云南统一检测)在一次学习方法成果交流会上,需要交流示范学校的 5 篇论文和 非示范学校的 3 篇论文,交流顺序可以是任意的,则最先和最后交流的论文不能来自同一类 学校的概率是( 15 A. 28 15 C. 56 [答案] A
6 [解析] 最先和最后交流的论文为示范学校论文的情况有 A2 最先和最后交流的论文 5A6种, 2 6 6 A5 A6+A2 15 3A6 6 为非示范学校论文的情况有 A2 A 种,故所求概率 P = 1 - = . 8 3 6 A8 28

) 13 B. 28 13 D. 56

4.(2014· 安徽理)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为 60° 的 共有( ) B.30 对 D.60 对

A.24 对 C.48 对 [答案] C

-1-

[解析] 解法 1:先找出正方体一个面上的对角线与其余面对角线成 60° 角的对数,然后 根据正方体六个面的特征计算总对数. 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,与面对角线 AC 成 60° 角的面对角线有 B1C,BC1, C1D,CD1,A1D,AD1,A1B,AB1 共 8 条,同理与 BD 成 60° 角的面对角线也有 8 条,因此一 个面上的对角线与其相邻 4 个面的对角线, 共组成 16 对, 又正方体共有 6 个面, 所有共有 16×6 =96 对.因为每对都被计算了两次(例如计算与 AC 成 60° 角时,有 AD1,计算与 AD1 成 60° 角 1 时有 AC,故 AD1 与 AC 这一对被计算了 2 次),因此共有 ×96=48 对. 2

解法 2:间接法.正方体的面对角线共有 12 条,从中任取 2 条有 C2 12种取法,其中相互平 行的有 6 对,相互垂直的有 12 对,∴共有 C2 12-6-12=48 对. 5.(2013· 陕西检测)8 名游泳运动员参加男子 100 米的决赛,已知游泳池有从内到外编号 依次为 1,2,3,4,5,6,7,8 的 8 条泳道,若指定的 3 名运动员所在的泳道编号必须是 3 个连续数字 (如:5,6,7),则参加游泳的这 8 名运动员被安排泳道的方式共有( A.360 种 C.720 种 [答案] B [解析] 先从 8 个数字中取出 3 个连续的数字共有 6 种方法,若指定的 3 名运动员安排在
5 这 3 个编号的泳道上,剩下的 5 名运动员安排在其他编号的 5 条泳道上,共有 6A3 3A5=4320

)

B.4320 种 D.2160 种

种安排方式. 6.(2014· 广东理)设集合 A={(x1,x2,x3,x4,x5)|xi∈{-1,0,1},i=1,2,3,4,5},那么集合 A 中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为( A.60 C.120 [答案] D [解析] 易知|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|=1 或 2 或 3,下面分三种情况讨论.其一:|x1|+|x2| +|x3|+|x4|+|x5|=1,此时,从 x1,x2,x3,x4,x5 中任取一个让其等于 1 或-1,其余等于 0,
1 于是有 C1 5C2=10 种情况;其二:|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|=2,此时,从 x1,x2,x3,x4,x5 中

)

B.90 D.130

任取两个让其都等于 1 或都等于-1 或一个等于 1、另一个等于-1,其余等于 0,于是有 2C2 5
1 +C2 5C2=40 种情况;其三:|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|=3,此时,从 x1,x2,x3,x4,x5 中任取三

-2-

个让其都等于 1 或都等于-1 或两个等于 1、另一个等于-1 或两个等于-1、另一个等于 1,
3 1 3 2 其余等于 0,于是有 2C3 5+C5C3+C5C3=80 种情况.由于 10+40+80=130,故答案为 D.

二、填空题 7.(2013· 抚州模拟)从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取 3 个元素分别作为直线方程 Ax+By+C =0 中的系数 A、B、C,所得的经过坐标原点的直线有________条(用数字表示). [答案] 30 [解析] 因为直线过原点,所以 C=0,从 1,2,3,5,7,11 这 6 个数中任取 2 个作为 A、B,两 数的顺序不同,表示的直线不同,所以直线的条数为 A2 6=30. 8.(2013· 云南昆明一模)将 4 名新来的同学分配到 A,B,C 三个班级中,每个班级至少安 排 1 名学生,其中甲同学不能分配到 A 班,那么不同的分配方案有________种. [答案] 24 [解析] 将 4 名新来的同学分配到 A、B、C 三个班级中,每个班级至少安排一名学生有
2 3 2 1 2 C4 A3种分配方案,其中甲同学分配到 A 班共有 C2 3A2+C3A2种方案.因此满足条件的不同方案 3 2 2 1 2 共有 C2 4A3-C3A2-C3A2=24(种).

9.(2013· 武汉模拟)某车队有 7 辆车,现要调出 4 辆按一定顺序出去执行任务.要求甲、 乙两车必须参加,且甲车要先于乙车开出,有________种不同的调度方法(填数字). [答案] 120 [解析] 先从其余的 5 辆车中选出 2 辆车执行任务,有 C2 5种选法,这 4 辆车所有可能开出 1 2 4 的先后顺序有 A4 4种,其中甲在乙车前和后的一样多,故共有不同调度方法 C5A4=120 种. 2 10.(2014· 浙江嘉兴月考)已知 a,b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9},u=logab,则 u 的不同取值个数 为________. [答案] 54 [解析] 解法 1:枚举法.要保证 u 的取值不同,则有 a=2 时,b 可取 1,2,3,4,5,6,7,8,9 共 9 种情况;a=3 时,b 可取 2,4,5,6,7,8 共 6 种情况;a=4 时,b 可取 2,3,5,6,7,8 共 6 种情况;a =5 时,b 可取 2,3,4,6,7,8,9 共 7 种情况;a=6 时,b 可取 2,3,4,5,7,8,9 共 7 种情况;a=7 时, b 可取 2,3,4,5,6,8,9 共 7 种情况;a=8 时,b 可取 2,3,4,5,6,7,9 共 7 种情况.a=9 时,b 可取 2,5,6,7,8 共 5 种情况.所以 u 的不同取值个数为 9+6+6+7+7+7+7+5=54. 解法 2: a 可取 2~9 的数字, 有 8 种取法, b 可取 1~9 的数字, 有 9 种取法, ∴共有 8×9 =72 种不同取法. 其中 b=1 时,logab=0,这样的取法有 8 种,a=b 时,logab=1,这样的取法有 8 种,又 1 log24=log39=2,log42=log93= ,log23=log49,log32=log94, 2 ∴logab 的不同取值共有 72-7-7-4=54 种.

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一、选择题 11. (2013· 深圳调研)我们把各位数字之和为 6 的四位数称为“六合数”(如 2013 是“六合 数”),则首位为 2 的“六合数”共有( A.18 个 C.12 个 [答案] B [解析] 依题意,这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为 4.由 4、0、0 组成 3 个数, 分别为 400、040、004;由 3、1、0 组成 6 个数,分别为 310、301、130、103、013、031; 由 2、2、0 组成 3 个数,分别为 220、202、022;由 2、1、1 组成 3 个数,分别为 211、121、 112,共计:3+6+3+3=15 个. 12.(2014· 洛阳统考)将 5 名实习教师分配到高一年级的 3 个班实习,每班至少 1 名,则不 同的分配方案有( A.30 种 C.90 种 [答案] D
2 2 [解析] 5 名教师分成三组有:2,2,1;3,1,1 两种分法,所以不同的分配方案有 C1 3C5C3+ 3 3 C5 A3=150 种.

) B.15 个 D.9 个

) B.60 种 D.150 种

13.(2014· 四川成都石室中学一诊)设三位数 n=100a+10b+c,若以 a,b,c∈{1,2,3,4} 为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三位数 n 有( A.12 个 C.28 个 [答案] C [解析] 若为等边三角形,则有 4 种.若为等腰非等边三角形,以底边为准分类:若底边 为 1,则有 3 个等腰三角形;若底边为 2,则有 2 个等腰三角形;若底边为 3,则有 2 个等腰 三角形;若底边为 4,则有 1 个等腰三角形.一个等腰非等边三角形对应有 3 个三位数,所以 共有 4+(3+2+2+1)×3=28 个. 14.(2014· 四川德阳中学诊断)设集合 S={1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合 A={a1,a2,a3},A?S, a1,a2,a3 满足 a1<a2<a3 且 a3-a2≤6,那么满足条件的集合 A 的个数为( A.76 C.83 [答案] C [解析] 在集合 S 中任取三个数共有 C3 9=84 种情况,这三个数大小关系确定,其中不满 B.78 D.84 ) B.24 个 D.36 个 )

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足 a3-a2≤6 的只有{1,2,9},其他均满足题意,所以满足条件的集合 A 的个数为 C3 9-1=83, 故选 C. 15.(2015· 深圳市五校联考)在《爸爸去哪儿》第二季第四期中,村长给 6 位“萌娃”布置 一项搜寻空投食物的任务.已知:①食物投掷地点有远、近两处;②由于 Grace 年纪尚小,所 以要么不参与该项任务,但此时另需一位小孩在大本营陪同,要么参与搜寻近处投掷点的食 物;③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组,一组去远处,一组去近处.则不同的搜寻 方案有( ) B.70 种 D.100 种

A.40 种 C.80 种 [答案] A

2 [解析] Grace 不参与该项任务,则有 C1 5C4=30 种; 2 Grace 参与该项任务,则有 C5 =10 种,故共有 30+10=40 种.

16.(2014· 黑龙江大庆专项训练)设集合 A={0,1,2,3,4,5,6,7},如果方程 x2-mx-n=0(m, n∈A)至少有一个根 x0∈A,就称方程为合格方程,则合格方程的个数为( A.13 C.17 [答案] C [解析] 当 m=0 时,取 n=0,1,4,方程为合格方程;当 m=1 时,取 n=0,2,6,方程为合 格方程;当 m=2 时,取 n=0,3,方程为合格方程;当 m=3 时,取 n=0,4,方程为合格方程; 当 m=4 时,取 n=0,5,方程为合格方程;当 m=5 时,n=0,6,方程为合格方程;当 m=6 时,取 n=0,7,方程为合格方程;当 m=7 时,取 n=0,方程为合格方程.综上可得,合格方 程的个数为 17,故选 C. 二、填空题 17.(2014· 合肥质量检测)某办公室共有 6 人,乘旅行车外出旅行,旅行车上的 6 个座位如 图所示, 其中甲、 乙 2 人的关系较为密切, 要求在同一排且相邻, 则不同的安排方法有________ 种. ○ ○ ○ [答案] 144 [解析] 当甲、乙在第三排且相邻时有 4A4 4=96 种排法,当甲、乙在第二排且相邻时有 ○ ○ ○ B.15 D.19 )

4 A2 2A4=48 种排法,所以不同的安排方法总数为 144.

18.(2014· 北京市海淀区期末)已知集合 M={1,2,3,?,100},A 是集合 M 的非空子集, 把集合 A 中的各元素之和记作 S(A).
-5-

①满足 S(A)=8 的集合 A 的个数为________; ②S(A)的所有不同取值的个数为________. [答案] 6 5050 [解析] ①若 S(A)=8, 则 A={8}, A={1,7}, A={2,6}, A={3,5}, A={1,2,5}和 A={1,3,4}, 共 6 种可能.②若 A={1},则 S(A)=1,当 A={1,2,3,?,100}时,S(A)=1+2+3+?+100 = 101 ×100=5050,下面证明任意给定 1<m<5050,存在子集 A 使得 S(A)=m,若 B 为 M 的子 2

集,S(B)=i,则 S(綂 MB)=5050-i,故只需说明任意给定 1<m<2525,存在子集 A 使得 S(A) 73 =m,当 A={1,2,3,?,72}时,S(A)= ×72=2628,同理只需证明给定 1<m<1314,存在子 2 52 集 A 使得 S(A)=m, 当 A={1,2,3, ?, 51}时, S(A)= ×51=1326, 同理只需说明给定 1<m<663, 2 以此类推,可以证明任意给定 1<m<5050,存在子集 A 使得 S(A)=m,所以 S(A)的不同取值为 5050 个. [点评] 1.排列、组合问题的类型及解答策略 排列、组合问题,通常都是以选择题或填空题的形式出现在试卷上,它联系实际,生动 有趣;但题型多样,解法灵活.实践证明,备考有效的方法是将题型与解法归类,识别模式、 熟练运用.下面介绍常见排列组合问题的解答策略. (1)相邻元素捆绑法.在解决某几个元素必须相邻问题时,可整体考虑将相邻元素视为一 个元素参与排列. ①有七名同学站成一排照相,其中甲必须站在正中间,并且乙、丙两位同学要站在一起, 则不同的站法有________种. [答案] 192 [分析] 甲站正中间,左边、右边各 3 人,乙、丙相邻排列后作为一个“整体元素”,按 这个整体元素的站位考虑有 4 种情况,其他位置可任意排列. [解析] 依题意得,满足题意的不同站法共有 4· A2 A4 2· 4=192 种. (2)相离问题插空法.相离问题是指要求某些元素不能相邻,由其他元素将它隔开,此类 问题可以先将其他元素排好,再将所指定的不相邻的元素插入到它们的空隙及两端位置,故 称“插空法”. ②(2013· 郑州第一次质量预测)我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中, 有 5 架歼-15 飞机准备着舰.如果甲、乙两机必须相邻着舰,而丙、丁两机不能相邻着舰, 那么不同的着舰方法有( )

A.12 种 C.24 种

B.18 种 D.48 种

-6-

[答案] C [解析] 将甲、乙捆绑,与除丙、丁外的另外一架飞机进行全排列,有 A2 A2 2· 2种方法.而
2 2 2 后将丙、丁进行插空,有 3 个空,有 A2 A2· A3=24 种方法. 3种排法,故共有 A2·

(3)定序问题属组合.排列时,如果限定某些元素或所有元素保持一定顺序称为定序问题, 定序的元素属组合问题. ③6 个人排一队参观某项目,其中甲、乙、丙三人进入展厅的次序必须是先乙,再甲,最 后丙,则不同的列队方式有________种. [答案] 120 [解析] 解法 1:由于甲、乙、丙三人的次序已定,故只需从 6 个位置中选取 3 个排上其
3 余 3 人,有 A3 6种排法,剩下的三个位置排甲、乙、丙三人,只有一种排法,∴共有 A6=120

种.
3 解法 2:先选取 3 个位置排甲、乙、丙三人有 C6 种方法,剩下 3 个位置站其余 3 人,有 3 3 A3 A3=120 种. 3种方法,∴共有 C6·

(4)定元、定位优先排.在有限制条件的排列、组合问题中,有时限定某元素必须排在某 位置,某元素不能排在某位置;有时限定某位置只能排 (或不能排)某元素.这种特殊元素(位 置)解题时要优先考虑. ④6 位同学安排到 3 个社区 A,B,C 参加志愿者服务,每个社区安排两名同学,其中甲 同学必须到 A 社区,乙和丙同学均不能到 C 社区,则不同的安排方法种数为( A.12 C .6 [答案] B
1 2 [解析] 当乙、丙中有一人在 A 社区时有 C1 2C3C2=6 种安排方法;当乙、丙两人都在 B 社 2 区时有 C1 3C2=3 种安排方法,所以共有 9 种不同的安排方法.

)

B.9 D.5

(5)至多、至少间接法.含“至多”、“至少”的排列组合问题,是需要分类问题.可用 间接法,即排除法,但仅适用于反面情况明确且易于计算的情况. ⑤从 6 名男生和 2 名女生中选出 3 名志愿者,其中至少有 1 名女生的选法共有( A.36 种 C.42 种 [答案] A
2 [解析] 解法 1(直接法):选出的 3 名志愿者中含 1 名女生有 C1 C6 种选法,含 2 名女生有 2· 2 1 2 2 1 C2 · C6种选法,∴共有 C1 2C6+C2C6=36 种选法.

)

B.30 种 D.60 种

解法 2(间接法):若选出的 3 名全是男生,则有 C3 6种选法,∴至少有一名女生的选法数为
3 3 C8 -C6 =36 种.

(6)选排问题先选后排法. 对于排列组合的混合应用题, 一般解法是先选(组合)后排(排列).
-7-

⑥四个不同的小球放入编号为 1,2,3,4 的四个盒子中,则恰有一个空盒的放法共有 ________种(用数字作答). [答案] 144 [解析] 先从四个小球中取两个放在一起,有 C2 4种不同的取法,再把取出的两个小球与另 外两个小球看作三堆,并分别放入四个盒子中的三个盒子中,有 A3 4种不同的放法,据分步计
3 数原理,共有 C2 A4 =144 种不同的放法. 4·

(7)部分符合条件淘汰法.在选取总数中,只有一部分符合条件,可从总数中减去不符合 条件数,即为所求. ⑦过三棱柱任意两个顶点的直线共 15 条,其中异面直线有( A.18 对 C.30 对 [答案] D [解析] 三棱柱共 6 个顶点,由此 6 个顶点可组成 C4 6-3=12 个不同四面体,而每个四面 体有三对异面直线,则共有 12×3=36 对. (8)数字问题要弄清可否重复及首位不能为 0. ⑧用 0 到 9 这 10 个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( A.324 C.360 [答案] B [解析] 利用分类计数原理,共分两类: (1)0 作个位,共 A2 9=72 个偶数; (2)0 不作个位,共 A1 A1 A1 4· 8· 8=256 个偶数, 共计 72+256=328 个偶数,故选 B. 2.建模思想 ⑨一只电子蚂蚁在如图所示的网格线上由原点 O(0,0)出发,沿向上或向右方向爬至点(m, n),(m,n∈N*),记可能的爬行方法总数为 f(m,n),则 f(m,n)=________. B.328 D.648 ) B.24 对 D.36 对 )

[答案] Cm m+ n [解析] 从原点 O 出发,只能向上或向右方向爬行,记向上为 1,向右为 0,则爬到点(m,

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n)需 m 个 0 和 n 个 1.这样爬行方法总数 f(m,n)是 m 个 0 和 n 个 1 的不同排列方法数.m 个 0 和 n 个 1 共占 m+n 个位置,只要从中选取 m 个放 0 即可.∴f(m,n)=Cm m+n. [点评] (1)例如 f(3,4)=C3 7,其中 0010111 表示从原点出发后,沿右右上右上上上的路径 爬行. (2)抽象建模后就是一个含相同数字的纯粹排列组合问题. ⑩方程 x+y+z=8 的非负整数解的个数为________. [答案] 45 [解析] 把 x、y、z 分别看作是 x 个 1,y 个 1 和 z 个 1,则共有 8 个 1,问题抽象为 8 个 1 和两个十号的一个排列问题.由于 x、y、z 非负,故允许十号相邻,如 11++111111 表示 x =2,y=0,z=6,+11111111+表示 x=0,y=8,z=0 等等, ∴不同排法总数为从 10 个位置中选取 2 个放十号, ∴方程的非负整数解共有 C2 10=45 个. ?一条街道上共有 12 盏路灯,为节约用电又不影响照明,决定每天晚上十点熄灭其中的 4 盏,并且不能熄灭相邻两盏也不能熄灭两头两盏,问不同熄灯方法有多少种. [解析] 记熄灭的灯为 0,亮灯为 1,则问题是 4 个 0 和 8 个 1 的一个排列,并且要求 0 不相邻,且不排在两端,故先将 1 排好,在 8 个 1 形成的 7 个空中,选取 4 个插入 0,共有方 法数 C4 7=35 种. [点评] 实际解题中,先找出符合题设条件的一种情形,然后选取一种替代方案,注意是 否相邻、相间等受限条件,然后确定有无顺序是排列还是组合,再去求解. ?如图,从上往下读(不能跳读)构成句子“构建和谐社会,创美好未来”的不同读法种数 是( ) 构 建 和 谐 社 会 创 美 好 未 来 A.250 C.252 B.240 D.300
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建 和 和

谐 谐 谐 社 社 社 社

会 会 会 会 会 创 创 创 创 美 美 美 好 好 未

[答案] C [解析] 要组成题设中的句子,则每行读一字,不能跳读.每一种读法须 10 步完成(从上 一个字到下一个字为一步), 其中 5 步是从左上角到右下角方向读的, 故共有不同读法 C5 10=252 种. 3.枚举法 ?如果直线 a 与 b 异面,则称 a 与 b 为一对异面直线,六棱锥的侧棱与底边共 12 条棱所 在的直线中,异面直线共有________对. [答案] 24 [解析] 六棱锥的侧棱都相交,底面六条边所在直线都共面,故异

面直线只可能是侧棱与底面上的边. 考察 PA 与底面六条边所在直线可用枚举法列出所有异面直线(PA, BC),(PA,CD),(PA,DE),(PA,EF)共四对.同理与其它侧棱异面的 底边也各有 4 条,故共有 4×6=24 对.

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