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3.1 交集与并集


3.1
【教学目标】

交集与并集

序号:_______

姓名:______________

1.理解两个集合的交集和并集的含义(重点).掌握有关术语及符号“ ? ”和“ ? ”(易错点) 2.会求两个简单集合的交集与并集(重点) 3.能用 Venn 图表达集合之间的关系(难点)

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【知识点】
1.交集:请同学们考察: A ? {2, 4,6,8,10}, B ? {3,5,8,12}, C ? {8}; ,集合 A、B 与集合 C 之间有什么关系? 一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合,称为 A 与 B 的交集. 记作:A∩B.读作:A 交 B 其含义用符号表示为: A ? B ? {x | x ? A, 且x ? B}. 接着教师要求学生用 Venn 图表示交集运算. 2.并集 —般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,称为集合 A 与 B 的并 记作:A∪B. 读作:A 并 B.其含义用符号表示为: A ? B ? {x | x ? A, 或x ? B} 用 Venn 图表示如下: 集. B

A

B

A

说明:两个集合求并集,结果还是一个集合,是由集合 A 与 B 的所有元素组成的集 元素只看成一个元素)。

合(重复

【名师点睛】集合是每年高考中的必考题,一般以基础题形式出现,属得分题.解决此类问题一般要把参与运算的集合 化为最简形式再进行运算,如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数集之间的运算,常借助数轴进行运算.

题型一:交集的运算
例 1 设集合 A ? {1,3,5,8}, B ? {5,6,8} ,则 A ? B ? ( B

1,3,5,6,8} ) A.{5} B.{5,8} C.{8} D.{

例 2 若集合 A ? {x | 1 ? x ? 3}, B ? {x | x ? 2} ,则 A ? B ? ( A )

A.{x | 2 ? x ? 3} B.{x | x ? 1} C.{x | 2 ? x ? 3} D.{x | x ? 2}
例 3(2013 全国Ⅰ)已知集合 A ? {1,2,3,4} ,B ? {x | x ? n2 , n ? A} ,则 A ? B ? ( A ). A. {1,4} B. {2,3} C. {9,16} D. {1,2}

{? 2, ? 1, 0, 1, 2} 例 4(2015 全国Ⅱ理)已知集合 A ? , B ? x ( x ? 1)( x ? 2 ? 0 ,则 A ? B ? ( A )
A. A ? ??1, 0? B. ?0,1?
(2016 新课标Ⅰ理)设集合 A ? x x ? 4x ? 3 ? 0
2

?

?

?

C. ??1, 0,1?

? , ? x 2 x ? 3 ? 0? ,则 A ? B ? ( D

D. ?0,1, 2?



? 3? ?3 ? ,3 ? ? 2? ?2 ? x 5? ,则 A ? B ? ( B ) (2016 新课标Ⅰ文)设集合 A ? ?1,3,5,7? , B ? ?x 2剟
(A) ? ?3, ? ? (B) ? ?3, ? (C) ?1, ? (D) ?

? ?

3? 2?

? ?

3? 2?

(A){1,3} (B){3,5}

(C){5,7}

(D){1,7}

(2016 北京理)已知集合 A ? {x || x |? 2} , B ? {?1,0,1, 2,3} ,则 A ? B ? () A. {0,1} B. {0,1, 2} C. {?1, 0,1} D. {?1, 0,1, 2}

【答案】C

考点:集合交集.
【名师点睛】1. 首先要弄清构成集合的元素是什么(即元素的意义),是数集还是点集,如集合

{x | y ? f ( x)} , { y | y ? f ( x)} , {( x, y) | y ? f ( x)} 三者是不同的.
2.集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性,特别是互异性,在判断集合中元素的个数时,以及在含参的 集合运算中,常因忽视互异性,疏于检验而出错. 3.数形结合常使集合间的运算更简捷、直观.对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算,可借助 Venn 图实施,对连 续的数集间的运算,常利用数轴进行,对点集间的运算,则通过坐标平面内的图形求解,这在本质上是数形结合思想的 体现和运用. 4.空集是不含任何元素的集合,在未明确说明一个集合非空的情况下,要考虑集合为空集的可能.另外,不可忽视空 集是任何元素的子集.

(2016 北京文)已知集合 A={x | 2 ? x ? 4} , B ? {x | x ? 3 或 x ? 5} ,则 A ? B ? () A. {x | 2 ? x ? 5} 【答案】C B. {x | x ? 4 或 x ? 5} C. {x | 2 ? x ? 3} D. {x | x ? 2 或 x ? 5}

考点: 集合交集
【名师点睛】1. 首先要弄清构成集合的元素是什么(即元素的意义),是数集还是点集,如集合

{x | y ? f ( x)} , { y | y ? f ( x)} , {( x, y) | y ? f ( x)} 三者是不同的.
2.集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性,特别是互异性,在判断集合中元素的个数时,以及在含参的 集合运算中,常因忽视互异性,疏于检验而出错. 3.数形结合常使集合间的运算更简捷、直观.对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算,可借助 Venn 图实施,对连 续的数集间的运算,常利用数轴进行,对点集间的运算,则通过坐标平面内的图形求解,这在本质上是数形结合思想的 体现和运用. 4.空集是不含任何元素的集合,在未明确说明一个集合非空的情况下,要考虑集合为空集的可能.另外,不可忽视空 集是任何元素的子集.

(2016 年全国 3 理)设集合 S ? ?x | ( x ? 2)( x ? 3) ? 0?, T ? ?x | x ? 0? ,则 S ? T ? ( (A) [2,3] (B) (??,2] ? [3,??) (C) [3,??) (D) (0,2] ? [3,??)



【答案】D

考点:1、不等式的解法;2、集合的交集运算. 【技巧点拨】研究集合的关系,处理集合的交、并、补的运算问题,常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题.一般 地,对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算,可借助韦恩图,而对连续的集合间的运算及关系,可借助数轴的 直观性,进行合理转化.

例 5(2015 山东)已知集合 A ? {x | 2 ? x ? 4}, B ? {x | ( x ? 1)(x ? 3) ? 0} ,则 A ? B ?

B=( C )

例(2011 年天津文)已知集合 A ? ? x ? R | x ? 1 ? 2? , Z 为整数集,则集合 A ? Z 中所有元素的和等于_______3

(A)(1,3)

(B)(1,4)

(C)(2,3)

(D)(2,4)

(2016 四川文)设集合 A ? {x |1 ? x ? 5} ,Z 为整数集,则集合 A∩Z 中元素的个数是 (A)6 【答案】B (B) 5 (C)4 (D)3

考点:集合中交集的运算. 【名师点睛】集合的概念及运算一直是高考的热点,几乎是每年必考内容,属于容易题.一般是结合不等式,函数 的定义域值域考查,解题的关键是结合韦恩图或数轴解答. (2016 天津理)已知集合 A ? {1, 2,3, 4}, B ? { y | y ? 3x ? 2,x ? A}, 则 A ? B =( ) (A) {1} 【答案】D 【解析】 试题分析: B ? {1,4,7,10},A? B ? {1,4}. 选 D. 考点:集合运算 (B) {4} (C) {1,3} (D) {1,4}

【名师点睛】本题重点考查集合的运算,容易出错的地方是审错题意,误求并集,属于基本题,难点系数较小.一 要注意培养良好的答题习惯,避免出现粗心错误,二是明确集合交集的考查立足于元素互异性,做到不重不漏. (2016 天津文)已知集合 A ? {1,2,3} , B ? { y | y ? 2 x ? 1, x ? A} ,则 A ? B =(
(A) {1,3} (B) {1,2} (C) {2,3}



(D) {1,2,3}

【答案】A 【解析】 试题分析: B ? {1,3,5}, A ? B ? {1,3} ,选 A. 考点:集合运算 【名师点睛】本题重点考查集合的运算,容易出错的地方是审错题意,误求并集,属于基本题,难点系数较小.一 要注意培养良好的答题习惯,避免出现粗心错误,二是明确集合交集的考查立足于元素互异性,做到不重不漏.

(2016 四川理)集合 A ? {x | ?2 ? x ? 2} ,Z 为整数集,则 A ? Z 中元素的个数是 (A)3 【答案】C 【解析】 试题分析:由题意, A ? Z ? {?2, ?1,0,1, 2} ,故其中的元素个数为 5,选 C. 考点:集合中交集的运算. 【名师点睛】集合的概念及运算一直是高考的热点,几乎是每年必考内容,属于容易题.一般是结合不等式,函数 的定义域值域考查,解题的关键是结合韦恩图或数轴解答. (B)4 (C)5 (D)6

题型二:并集的运算
3}, B ? {2, 3, 4, 5} ,求 A ? B . 例 1(1)设集合 A ? {1,2,
(2)已知集合 A ? {x | x ? 0}, B ? {x | ?1 ? x ? 2} ,则 A ? B ? ( A ) .

A.{x | x ? ?1} B.{x | x ? 2} C.{x | 0 ? x ? 2} D.{x | ?1 ? x ? 2}

例 2(2015 全国Ⅱ文)已知集合

, D.

,则

( A) )

A.

B.

C.

(2016 新课标Ⅱ理)已知集合 A ? {1, 2,3} , B ? {x | ( x ? 1)( x ? 2) ? 0, x ? Z} ,则 A ? B ? ( (A) {1} (B) {1, 2} (C) {0, 1, 2, 3} (D) {?1, 0, 1, 2, 3} 【答案】C 【解析】

试题分析:集合 B ? {x | ?1 ? x ? 2, x ? Z} ? {0,1} ,而 A ? {1, 2,3} ,所以 A ? B ? {0,1, 2,3} ,故选 C. 考点:集合的运算. 【名师点睛】集合的交、并、补运算问题,应先把集合化简在计算,常常借助数轴或韦恩图处理. (2016 山东理)设集合 A ? { y | y ? 2x , x ? R}, B ? {x | x2 ? 1 ? 0}, 则 A ? B =( ) (A) ( ?1,1) 【答案】C (B) (0,1) (C) (?1, ?? ) (D) (0, ??)

考点:1.指数函数的性质;2.解不等式;3.及集合的运算. 【名师点睛】本题主要考查集合的并集、补集,是一道基础题目.从历年高考题目看,集合的基本运算,是必考考 点,也是考生必定得分的题目之一.本题与求函数值域、解不等式等相结合,增大了考查的覆盖面.

题型三:由集合间的关系求字母的值
例 1 已知 A ? {?3, a , a ? 1} ,B ? {a ? 3,2a ?1, a ? 1},若 A ? B ? {?3} ,求 a 的值.
2 2

例 2 若集合 A ? {x | x ? 2}, B ? {x | x ? a} 满足 A ? B ? {2} ,则实数 a ? ___ .

题型四:由集合间的关系求参数的取值范围

例 1 设集合 A ? {x | x 2 ? x ? 2 ? 0}, B ? {x | x 2 ? x ? a ? 0} ,若 A ? B ? A ,求实数 a 的取值范围. {a | a ? }

1 4

例 2 已知集合 A ? { y | y ? a ? 5, 或 y ? a}, B ? { y | 2 ? y ? 4} ,若 A ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围.

例 3 已知集合 A ? {x | ?2 ? x ? 5} ,集合 B ? {x | m ? 1 ? x ? 2m ? 1} ,且 A ? B ? A ,试求实数 m 的取值范围.

{m | m ? 3}


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