当前位置:首页 >> 学科竞赛 >> 竞赛辅导-平面几何——平面几何的几个重要定理

竞赛辅导-平面几何——平面几何的几个重要定理


平面几何──平面几何的几个重要定理
引入

梅涅劳斯定 理

托勒密定 理

塞瓦定理

课外思考

1

平面几何──平面几何的几个重要定理
平面几何是培养严密推理能力的很好数学分支, 且因其证 法多种多样:除了几何证法外,还有三角函数法

、解析法、复 数法、 向量法等许多证法, 这方面的问题受到各种竞赛的青睐, 现在每一届的联赛的第二试都有一道几何题. 平面几何的知识竞赛要求:三角形的边角不等关系;面积 及等积变换;三角形的心(内心、外心、垂心、重心)及其性 质; 四个重要定理;几个重要的极值:到三角形三顶点距离之 和最小的点--费马点,到三角形三顶点距离的平方和最小的点 --重心,三角形内到三边距离之积最大的点-----重心;简单的 等周问题: 在周长一定的n边形的集合中,正n边形的面积最大。 在周长一定的简单闭曲线的集合中,圆的面积最大。 在面积一定的n边形的集合中,正n边形的周长最小。 在面积一定的简单闭曲线的集合中,圆的周长最小。 2

平面几何的几个重要的定理 梅涅劳斯定理及其逆定理 若一条直线截△ABC 的三条边 AB、BC、CA (或他们的延长线) ,所得交点分别为 X、Y、Z , AX BY CZ ? ? ? 1. 则有 XB YC XX 结论反过来 也成立.

3

应用1(可证西姆松定理)

应用2

(西姆松定理及其逆定理) 练习 1.点 P 位于 ?ABC 的处接圆上, A1、B1、C1 是从 点 P 向 BC、CA、AB 引的垂线的垂足, 求证:点 A1、B1、C1 共线. 证:易得
BA1 BP ? cos ?PBC ?? , CA1 CP ? cos ?PCB AC1 AP ? cos ?PAB ?? BC1 PB ? cos ?PBA CB1 CP ? cos ?PCA ?? , AB1 AP ? cos ?PAC

由 上 面 的 三 个 式 子 相 且 ??PAC ? ?PBC , ?PAB ? ?PCB, ?PCA ? ?PBA ? 180? BA1 CB1 AC1 可得 ? ? =1 , CA1 AB1 BC1



4

练习 2:已知直线 AA1,BB1,CC1 相交于点 O,直线 AB 和 A1 B1 的 交 点 为 C 2 , 直 线 BC 与B1C1 的 交 点 为 A2 , 直 线 AC与A1C1 的交点为 B2 ,试证: A2、B2、C2 三点共线.
证明:由 A2、B2、C2 分别是直线 BC 和B1C1, AC 和A1C1, AB和A1 B1 的交点,对所得的三角形和它们 边上的点:OAB和( A1,B1 , C2 ), OBC 和( B1 , C1 , A2 ), OAC 和( A1 , 1 , B2 ) 应用梅涅劳斯定理有: C
OC1 BB1 CA2 AA1 OB1 BC 2 ? ? ? 1, ? ? ? 1, CC1 OB1 BA2 OA1 BB1 AC 2 OA1 CC1 AB2 ? ? ? 1 ,将上面的三条式子 AA1 OC1 CB2 BC 2 AB2 CA2 ? ? ? 1 应用梅涅 相乘可得 AC 2 CB2 BA2 劳斯定理可知 A2 , B2 , C2 共线.

5

平面几何的几个重要的定理 托勒密定理: 圆内接四边形中,两条对角线的乘积(两对角 所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对 所 包 矩形 的 面积 与 另一 组对 边 所包 矩 形的 面积 和).即:若四边形 ABCD 内接于圆, 则有 AB ? CD ? AD ? BC ? AC ? BD. 广义的托勒密定理 在四边形 ABCD 中, 有: AB ? CD ? AD ? BC ≥ AC ? BD , 并且当且仅当四边形 ABCD 内接于圆时,等号成立. 6
定理证明 2答案

广义的托勒密定理:在四边形 ABCD 中,有: AB ? CD ? AD ? BC ≥ AC ? BD , 并且当 且仅当 四边形 ABCD 内接于圆时,等号成立. 证明:四边形 ABCD 内取点 E,
使?BAE ? ?CAD,?ABE ? ?ACD, ABE 和?ACD 相似 ? AB BE AB AE ? ? ? AB ? CD ? AC ? BE 又 ? ? AC CD AC AD 且?BAC ? ?EAD ? ?ABC 和?AED相似 BC ED ? ? ? AD ? BC ? AC ? ED AC AD ? AB ? CD ? AD ? BC ? AC ? ( BE ? ED ) ? AB ? CD ? AD ? BC ≥ AC ? BD

且等号当且仅当 E 在 BD 上时成立,即当且仅当四 边形 ABCD 内接于圆时,等号成立. 7

? 练习 1.如图 2, 是正△ABC 外接圆的劣弧 BC 上 P

任一点(不与 B、C 重合),求证:PA=PB+PC. 练习 2.(第 21 届全苏数学竞赛) 已知正七边形 A1A2A3A4A5A6 A7 ,
1 1 1 ? ? 求证: . A1 A2 A1 A3 A1 A4

8

平面几何的几个重要的定理

塞瓦定理:

设 P、Q、R 分 别 是 ?ABC的BC、CA、AB 边 上 的 点 , 则 BP C Q AR ? ? ? 1. AP、BQ、CR 三线共点的充要条件是: PC QA RB A R M

Q

B
应用 西姆松 定理
西姆松定理应用

P

C
9

练习 1.证明:三角形的三条中线交于一点. 练习 2.证明:三角形的三条角平分线交于一点. 练习 3.证明:锐角三角形的三条高交于一点.

10

平面几何的几个重要的定理

西姆松定理及其逆定理: 若从 △ABC 外接圆上一点作 BC、AB、AC 的垂线, 垂足分别为 D、E、F ,则 D、E、F 三点共线. 反过来也成立.
这条直线叫西姆松线.

11

练习 1.设 ?ABC 的三条垂线 AD、BE、CF 的垂足分别为 D、E、F ;从点D作 AB、BE、CF、AC 的垂线,其垂足分 别为 P、Q、R、S ,求证: P、Q、R、S 在同一条直线上.

12

思考(1999 年全国联赛第二试试题) 如 图, 在四 边形 ABCD 中 , 对角 线 AC 平 分 ?BAD ,在 CD 上取一点 E , BE 与 AC 相交于点 F,延长 DF 交 BC 于 G ,求证: ?GAC ? ?EAC .
证明:如图,直线 BD 交 AC 于 H,对 ?BCD用塞瓦定理 ,
CG BH DE 有: ? ? ? 1因? AH 是?BAD的平分? , GB HD BC BH AB CG AB DE 由角平分? 定理,可得 ? 故: ? ? ?1 HD AD GB AD EC ? ? C 作AB的平行 ? 交AG的延 ? ? 于I, ? C 作AD ? 的平行 ? 交AE的延 ? ? 于J CG CI DE AD CI AB AD ?: ? , ? ? ? ? ?1 GB AB EC CJ AB AD CJ ? 而 : CI ? CJ 又 ? CI // AB , CJ // AD ??ACI ? ? ? ?BAC ? ? ? ?DAC ? ?ACJ ? ?ACI ? ?ACJ ??IAC ? ?JAC ??GAC ? ?EAC
13


更多相关文档:

初中数学竞赛平面几何中几个重要定理

初中数学竞赛平面几何几个重要定理_数学_初中教育_教育专区。初中数学竞赛平面几何几个重要定理定理 1 正弦定理 a sin A ? b sin B ? ? A B C 中,设...

平面几何几个重要定理及举例(2013年竞赛初学)

平面几何重要的定理及举例作者 阿道夫 2012.11.4 平面几何是数学中最美丽的一部分欧几里德的《几何原本》,一开始欧几里 德就劈头盖脸地给出了 23 个定义,5...

初中数学竞赛平面几何中几个重要定理

初中数学竞赛平面几何几个重要定理_初二数学_数学_初中教育_教育专区。初中数学竞赛平面几何几个重要定理 初中数学竞赛平面几何几个重要定理定理 1 正弦定理 ?...

高中数学竞赛 平面几何的几个重要的定理

高中数学竞赛 平面几何的几个重要定理_学科竞赛_高中教育_教育专区。平面几何的几个重要定理---梅涅劳斯定理定理1 :若直线l不经过?ABC的顶点,并且与?ABC的三...

数学竞赛培训第六节平面几何四个重要定理

www.HuiLanGe.com 回澜阁教育 免费下载 天天更新 竞赛专题讲座 06 -平面几何个重要定理个重要定理: 梅涅劳斯(Menelaus)定理(梅氏线) △ABC 的三边 BC、CA...

奥数平面几何几个重要定理

奥数平面几何几个重要定理_学科竞赛_小学教育_教育专区。平面几何几个重要定理及其证明一、塞瓦定理 1.塞瓦定理及其证明 定理:在 ? ABC 内一点 P,该点与 ? ...

平面几何中的几个重要定理

初中数学竞赛平面几何中几... 2页 免费 平面几何的几个重要定理 5页 免费 平面几何中几个重要定理在... 4页 2财富值如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;...

高中数学竞赛 平面几何的几个重要定理——托勒密定理

高中数学竞赛 平面几何的几个重要定理——托勒密定理_学科竞赛_高中教育_教育专区...托勒密定理:圆内接四边形中,两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两...

人教版高中数学竞赛讲座:平面几何四个重要定理

竞赛专题讲座 06 -平面几何个重要定理个重要定理: 梅涅劳斯(Menelaus)定理(梅氏线) △ABC 的三边 BC、CA、AB 或其延长线上有点 P、Q、R,则 P、Q、...

竞赛讲座-平面几何四个重要定理

竞赛专题讲座-平面几何个重要定理个重要定理: 梅涅劳斯(Menelaus)定理(梅氏线) △ABC 的三边 BC、CA、AB 或其延长线上有点 P、Q、R,则 P、Q、 R ...
更多相关标签:
数学竞赛平面几何定理 | 平面几何定理 | 平面几何定理大全 | 初中平面几何定理 | 平面几何欧拉定理 | 高中平面几何定理 | 平面几何著名定理 | 平面几何定理及公式 |
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com