当前位置:首页 >> 数学 >> 第一章 §1.3.1第2课时

第一章 §1.3.1第2课时


1.3.1第2课时

第 2 课时
【学习要求】

函数的最大(小)值

1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义;
本 课 2.理解函数的最大(小)值是在整个定义域上研究函数,体会求函 时 栏 数最值是函数单调性的应用之一. 目 开 关 【学法指导】

通过实例,体会到函数的

最大(小)值,实际上是函数图象的最高 (低 )点的纵坐标,因而借助函数图象的直观性可得出函数的最 值,有利于培养以形识数的解题意识.

填一填·知识要点、记下疑难点

1.3.1第2课时

1.函数最大值定义
本 课 时 栏 目 开 关

一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足: (1)对于任意的 x∈I, 都有 f(x)≤M .(2)存在 x0∈I,

使得 f(x0)=M .那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值.

填一填·知识要点、记下疑难点
2.函数最小值定义

1.3.1第2课时

一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M, 满足:(1)对于任意 x∈I,都有 f(x)≥M
本 课 时 栏 目 开 关

.(2)存在 x0∈I,

使得

f(x0)=M .那么,称 M 是函数 y=f(x)的最小值.

3.函数最值与单调性的联系 (1)若函数 y=f(x)在区间[a, b]上单调递增, 则 f(x)的最大值 为 f(b) ,最小值为 f(a) . (2)若函数 y=f(x)在区间[a, b]上单调递减, 则 f(x)的最大值 为 f(a) ,最小值为 f(b) .

研一研·问题探究、课堂更高效

1.3.1第2课时

问题情境:同学们,我们班最高的男生是谁?说他最高的根
本 课 时 栏 目 开 关

据是什么?“我们班最高的男生是姚明”对吗?为什么?
答 我们班最高的男生是 A 同学, 根据是班内任选一名男生,

都一定比 A 同学矮;不对,因姚明不是我们班的男生.

研一研·问题探究、课堂更高效
探究点一 问题 1 函数的最大(小)值的概念

1.3.1第2课时

你能根据函数 f(x)=x2 在(-∞,0]上是减函数,在[0,+∞)

上是增函数来确定当 x 取何值时,函数的值最小吗?


本 课 时 栏 目 开 关

当 x=0 时,函数的值最小.因函数 f(x)=x2 在(-∞,0]上

是减函数,所以当 x≤0 时,则 f(x)≥f(0),又因函数 f(x)=x2 在 [0,+∞)上是增函数,所以当 x≥0 时,f(x)≥f(0).从而 x∈R, 都有 f(x)≥f(0).因此 x=0 时,f(0)是函数值中的最小值.
问题 2 你能根据函数 f(x)=-x2 在(-∞,0)上是增函数,在[0,+∞)

上是减函数来确定当 x 的值取何值时,函数值是最大还是最小?

答 对于函数 f(x)=-x2,同理可知 x∈R 都有 f(x)≤f(0).即 x=0 时,f(0)是函数值中的最大值.

研一研·问题探究、课堂更高效
问题 3

1.3.1第2课时

根据以上讨论,你能给函数的最大值及最小值下个定义吗?



一般地, 设函数 y=f(x)的定义域为 I.如果存在实数 M 满足:

(1)对于任意 x∈I,都有 f(x)≤M.(2)存在 x0∈I,使得 f(x0)=M.
本 课 时 栏 目 开 关

那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值. 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足: (1)对于任意 x∈I,都有 f(x)≥M.(2)存在 x0∈I,使得 f(x0)=M. 那么,称 M 是函数 y=f(x)的最小值.
问题 4 已知函数 y=f(x)在定义域[a,b]上单调,如何求函数的最值?

答 如果函数 y=f(x)在定义域[a,b]上单调递增,则 f(x)max= f(b), f(x)min=f(a); 如果函数 y=f(x)在定义域[a, b]上单调递减, 则 f(x)max=f(a),f(x)min=f(b).

研一研·问题探究、课堂更高效

1.3.1第2课时

问题 5

已知函数 y=f(x)的定义域是[a,b],a<c<b.如果函数 f(x)在

区间[a,c]、[c,b]上单调性相反,如何求函数的最值?
本 课 时 栏 目 开 关



当 x∈[a,c]时,f(x)是单调增函数;当 x∈[c,b]时,f(x)是单

调减函数.则 f(x)在 x=c 时取得最大值.反之,当 x∈[a,c]时, f(x)是单调减函数;当 x∈[c,b]时,f(x)是单调增函数,则 f(x)在 x=c 时取得最小值.

研一研·问题探究、课堂更高效
例 1

1.3.1第2课时

“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达

到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度 h m 与时间 t s 之间的关 系为 h(t)=-4.9t2+14.7t+18,那么烟花冲出后什么时候是它爆裂 的最佳时刻?这时距地面的高度是多少(精确到 1 m)?
本 课 时 栏 目 开 关



作出函数 h(t)=-4.9t2+14.7t+18 的图象

(如图).显然,函数图象的顶点就是烟花上升的 最高点,顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时 刻,纵坐标就是这时距地面的高度.

由二次函数的知识,对于函数 h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有: 14.7 当 t=- =1.5 时, 2×?-4.9?
4×?-4.9?×18-14.72 函数有最大值 h= ≈29. 4×?-4.9?

于是,烟花冲出后 1.5 s 是它爆裂的最佳时刻, 这时距地面的高度约为 29 m.

研一研·问题探究、课堂更高效

1.3.1第2课时

小结
本 课 时 栏 目 开 关

(1)求解实际问题一般分成四步,即:设元—列式—

求解—作答.(2)实际问题要注意函数自变量的取值范围.

研一研·问题探究、课堂更高效

1.3.1第2课时

跟踪训练 1 如图,某地要修建一个圆形的喷水池,水流在各个 方向上以相同的抛物线路径落下,以水池的中央为坐标原点, 水平方向为 x 轴、 竖直方向为 y 轴建立平面直角坐标系. 那么水
本 课 时 栏 目 开 关

流喷出的高度 h(单位:m)与水平距离 x(单位:m)之间的函数关 5 5 2 系式为 h=-x +2x+ ,x∈[0, ]. 4 2

求水流喷出的高度 h 的最大值是多少?

研一研·问题探究、课堂更高效

1.3.1第2课时


本 课 时 栏 目 开 关

5 5 由函数 h=-x2+2x+ ,x∈[0, ]的图象可知,函数图象 4 2

的顶点就是水流喷出的最高点.
5 5 此时函数取得最大值.对于函数 h=-x +2x+ ,x∈[0, ],当 4 2 5 9 x=1 时,函数有最大值 hmax=-12+2×1+ = (m).于是水流 4 4 9 喷出的最高高度是4 m.
2

研一研·问题探究、课堂更高效
例2

1.3.1第2课时

2 已知函数 f(x)= (x∈[2,6]), 求函数的最大值和最小值. x-1

解 设 x1,x2 是区间[2,6] 上的任意两个实数,且 x1<x2,
2[?x2-1?-?x1-1?] 2?x2-x1? 2 2 则 f(x1)-f(x2)= - = = . x1-1 x2-1 ?x1-1??x2-1? ?x1-1??x2-1?

本 课 时 栏 目 开 关

由 2≤x1<x2≤6,得 x2-x1>0,(x1-1)(x2-1)>0,
于是 f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2). 2 所以,函数 y= 在区间[2,6] 上是减函数. x-1 2 因此,函数 y= 在区间[2,6] 的两个端点上分别取得最大值与 x-1 最小值,

即在 x=2 时取得最大值,最大值是 2,
2 在 x=6 时取得最小值,最小值是5.

研一研·问题探究、课堂更高效

1.3.1第2课时

小结

要熟记常见函数的单调性:一次函数 y=kx+b(k≠0),当

本 课 时 栏 目 开 关 和(0,+∞)上都单调递减.当 k<0 时,在(-∞,0)和(0,+∞)

k>0 时单调递增,当 k<0 时单调递减;二次函数 y=ax2+ bx+ ? ? ? b? b c(a≠0),当 a>0 时,在?-∞,-2a?上单调递减,在?-2a,+∞? ? ? ? ? k 上单调递增,a<0 时相反;y=x(x≠0),当 k>0 时,在(-∞,0)

上都单调递增.

研一研·问题探究、课堂更高效

1.3.1第2课时

2 跟踪训练 2 已知函数 f(x)=- ,x∈[0,2],求函数的最大 x+1 值和最小值.

本 课 时 栏 目 开 关

解 设 x1,x2 是区间[0,2] 上的任意两个实数,且 x1<x2,则 f(x1) 2 2 -f(x2)=- -(- ) x1+1 x2+1 2?x2+1-x1-1? 2?x2-x1? =- =- . ?x1+1??x2+1? ?x1+1??x2+1?
由 0≤x1<x2≤2,得 x2-x1>0,(x1+1)(x2+1)>0, 所以 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2),

2 故 f(x)在区间[0,2] 上是增函数. 因此, 函数 f(x)=- 在区间[0,2] x+1 的左端点取得最小值, 右端点取得最大值, 即最小值是 f(0)=-2, 2 最大值是 f(2)=- . 3

研一研·问题探究、课堂更高效
探究点二

本 课 时 栏 目 开 关

1.3.1第2课时

一元二次函数在闭区间上的最值

动画演示

例 3 求二次函数 f(x)=x2-2ax+2 在[2,4]上的最小值.
∵函数图象的对称轴是 x=a, ∴当 a<2 时,f(x)在[2,4] 上是增函数, ∴f(x)min=f(2)=6-4a. 当 a>4 时,f(x)在[2,4] 上是减函数, ∴f(x)min=f(4)=18-8a. 当 2≤a≤4 时,f(x)min=f(a)=2-a2.

?6-4a,a<2 ? 2 ∴f(x)min=?2-a ,2≤a≤4 . ?18-8a,a>4 ? 小结 此题为二次函数中区间固定对称轴移动的问题,此类问题

应注意对称轴的变化对最值的影响.

研一研·问题探究、课堂更高效

1.3.1第2课时

跟踪训练 3 已知函数 f(x)=x2-2x-3,若 x∈[t,t+2]时,求 函数 f(x)的最值.

解 ∵对称轴 x=1,
本 课 时 栏 目 开 关

①当 1≥t+2 即 t≤-1 时, f(x)max=f(t)=t2-2t-3, f(x)min=f(t+2)=t2+2t-3.
t+t+2 ②当 2 ≤1<t+2,即-1<t≤0 时,

f(x)max=f(t)=t2-2t-3,
f(x)min=f(1)=-4.

研一研·问题探究、课堂更高效
t+t+2 ③当 t≤1< ,即 0<t≤1, 2
f(x)max=f(t+2)=t2+2t-3, f(x)min=f(1)=-4.
本 课 时 栏 目 开 关

1.3.1第2课时

④当 1<t,即 t>1 时, f(x)max=f(t+2)=t2+2t-3,
f(x)min=f(t)=t2-2t-3. 设函数最大值为 g(t),最小值为 φ(t)时,则有
2 t +2t-3?t≤-1? ? 2 ? ? ?t -2t-3?t≤0? g(t)=? 2 ,φ(t)=?-4?-1<t≤1? ? ?t +2t-3?t>0? ?t2-2t-3?t>1? ?

.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

1.3.1第2课时

1.函数 f(x)在[-2,2]上的图象如图所示,则此
本 课 时 栏 目 开 关

函数的最小值、最大值分别是 A.f(-2),0 C.f(-2),2
解析

( C )

B.0,2 D.f(2),2

观察函数图象知,图象最低点的纵坐标为 f(-2),

最高点的纵坐标为 2,故选 C.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

1.3.1第2课时

2.函数 y=-x+1
本 课 时 栏 目 开 关

?1 ? 在区间?2,2?上的最大值是 ? ?

( C )

1 A.- 2

B.-1

1 C. 2

D.3

解析 ∵函数 y=-x+1

?1 ? 在区间?2,2?上是减函数, ? ?

?1? 1 1 ? ? ∴f(x)max=f 2 =-2+1=2. ? ?

练一练·当堂检测、目标达成落实处

1.3.1第2课时

3.已知函数 f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若 f(x)有最小值-2, 则 f(x)的最大值为
本 课 时 栏 目 开 关

( C ) C.1 D.2

A.-1

B. 0

解析 f(x)=-(x-2)2+a+4,
∴f(x)在[0,1] 上单调递增. ∴f(x)min=f(0)=a=-2, ∴f(x)max=f(1)=-1+4-2=1.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

1.3.1第2课时

4.求出下列函数的最小值: 1 2 (1)y=x -2x;(2)y=x,x∈[1,3].
本 课 时 栏 目 开 关



(1)因为 y=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,且当 x=1 时

y=-1,所以函数取得最小值-1,即 ymin=-1.

1 1 1 1 (2)因为对于任意实数 x∈[1,3] , 都有x≥3, 且当 x=3 时x=3, 1 1 所以函数取得最小值 ,即 ymin= . 3 3

练一练·当堂检测、目标达成落实处

1.3.1第2课时

1.函数的最值与值域、单调性之间的联系 (1)对一个函数来说,其值域是确定的,但它不一定有最值, 1 如函数 y=x.如果有最值,则最值一定是值域中的一个元素. (2)若函数 f(x)在闭区间[a, b]上单调, 则 f(x)的最值必在区间 端点处取得.即最大值是 f(a)或 f(b),最小值是 f(b)或 f(a). 2.二次函数在闭区间上的最值 探求二次函数在给定区间上的最值问题,一般要先作出 y= f(x)的草图,然后根据图象的增减性进行研究.特别要注意 二次函数的对称轴与所给区间的位置关系, 它是求解二次函 数在已知区间上最值问题的主要依据,并且最大(小)值不一 定在顶点处取得.

本 课 时 栏 目 开 关


更多相关文档:

北师大版八年级数学下:第一章1.3.1 线段的垂直平分线 (...

北师大版八年级数学下:第一章1.3.1 线段的垂直平分线 (第 2 课时)教案_数学_初中教育_教育专区。§1.3.1 线段的垂直平分线 (第 2 课时) 【学习目标】...

第一章§1.1.2课时活页训练

优化方案第一章§1.2.1课时... 暂无评价 5页 1财富值 第一章 1.3.2 球的体积和... 5页 2财富值如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能...

第一章1-1-2

第一章1.2.3 暂无评价 26页 1财富值 第一章(1.2节) 暂无评价 23页 免费 第一章 §1.1.1第2课时 暂无评价 19页 免费 第1章1.1.2 暂无评价 34页...

1.1.1第1课时

1.2.2第2课时 暂无评价 5页 免费 1.3.1第1课时 暂无评价 5页 免费 第3章 第1节 第1课时 暂无评价 28页 免费 第一章 第一节 (第1课时) 暂无评价 ...

1-2第一章

第一章 1.1.2 暂无评价 41页 1财富值 第一章 §1.1.2 暂无评价 18页 免费 第一章1.2.3 暂无评价 26页 1财富值 第一章 §1.1.1第2课时 暂无评...

第一章1-2-1

免费 第一章 §1.1.1第2课时 暂无评价 19页 免费 第1章1.1.2 暂无评价 34页 免费喜欢此文档的还喜欢 第一章1-1-2 5页 免费 第一章1-1-3 7页 ...

第一章1-2-2

免费 第一章 §1.1.1第2课时 暂无评价 19页 免费 第1章1.1.2 暂无评价 34页 免费喜欢此文档的还喜欢 第一章1-1-3 7页 免费 第一章1-1-1 5页 ...

第一章 §1.3 第1课时

第一章 §1.31课时_高一数学_数学_高中教育_教育专区。第 1 课时 柱体...通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、锥、台体的表面积的求法; 2.了解柱、 ...

第一章集合与函数概念 1.3.1第2课时 课时作业(含答案)

第一章集合与函数概念 1.3.1第2课时 课时作业(含答案)_数学_高中教育_教育...结论 M 是函数 y=f(x)的最大值 M 是函数 y=f(x)的最小值 2.函数最...

人教A版选修2-1第一章第3课时同步练习§1.2.1充分条件...

人教A版选修2-1第一章第3课时同步练习§1.2.1充分条件、必要条件与充要条件_数学_高中教育_教育专区。人教A版选修2-1第一章第3课时同步练习§1.2.1充分...
更多相关标签:
物理选修3 1第一章 | 高二物理31第一章 | 6.1平方根第3课时ppt | 6.1平方根教案第3课时 | 警花系列1第一章 | word 第一章 1.1 | 崩坏3第一章隐藏关 | 妖妻出轨第一章1 |
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com