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第一章 §1.3.1第2课时


1.3.1第2课时

第 2 课时
【学习要求】

函数的最大(小)值

1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义;
本 课 2.理解函数的最大(小)值是在整个定义域上研究函数,体会求函 时 栏 数最值是函数单调性的应用之一. 目 开 关 【学法指导】

通过实例,体会到函数的

最大(小)值,实际上是函数图象的最高 (低 )点的纵坐标,因而借助函数图象的直观性可得出函数的最 值,有利于培养以形识数的解题意识.

填一填·知识要点、记下疑难点

1.3.1第2课时

1.函数最大值定义
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一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足: (1)对于任意的 x∈I, 都有 f(x)≤M .(2)存在 x0∈I,

使得 f(x0)=M .那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值.

填一填·知识要点、记下疑难点
2.函数最小值定义

1.3.1第2课时

一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M, 满足:(1)对于任意 x∈I,都有 f(x)≥M
本 课 时 栏 目 开 关

.(2)存在 x0∈I,

使得

f(x0)=M .那么,称 M 是函数 y=f(x)的最小值.

3.函数最值与单调性的联系 (1)若函数 y=f(x)在区间[a, b]上单调递增, 则 f(x)的最大值 为 f(b) ,最小值为 f(a) . (2)若函数 y=f(x)在区间[a, b]上单调递减, 则 f(x)的最大值 为 f(a) ,最小值为 f(b) .

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1.3.1第2课时

问题情境:同学们,我们班最高的男生是谁?说他最高的根
本 课 时 栏 目 开 关

据是什么?“我们班最高的男生是姚明”对吗?为什么?
答 我们班最高的男生是 A 同学, 根据是班内任选一名男生,

都一定比 A 同学矮;不对,因姚明不是我们班的男生.

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探究点一 问题 1 函数的最大(小)值的概念

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你能根据函数 f(x)=x2 在(-∞,0]上是减函数,在[0,+∞)

上是增函数来确定当 x 取何值时,函数的值最小吗?


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当 x=0 时,函数的值最小.因函数 f(x)=x2 在(-∞,0]上

是减函数,所以当 x≤0 时,则 f(x)≥f(0),又因函数 f(x)=x2 在 [0,+∞)上是增函数,所以当 x≥0 时,f(x)≥f(0).从而 x∈R, 都有 f(x)≥f(0).因此 x=0 时,f(0)是函数值中的最小值.
问题 2 你能根据函数 f(x)=-x2 在(-∞,0)上是增函数,在[0,+∞)

上是减函数来确定当 x 的值取何值时,函数值是最大还是最小?

答 对于函数 f(x)=-x2,同理可知 x∈R 都有 f(x)≤f(0).即 x=0 时,f(0)是函数值中的最大值.

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问题 3

1.3.1第2课时

根据以上讨论,你能给函数的最大值及最小值下个定义吗?



一般地, 设函数 y=f(x)的定义域为 I.如果存在实数 M 满足:

(1)对于任意 x∈I,都有 f(x)≤M.(2)存在 x0∈I,使得 f(x0)=M.
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那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值. 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足: (1)对于任意 x∈I,都有 f(x)≥M.(2)存在 x0∈I,使得 f(x0)=M. 那么,称 M 是函数 y=f(x)的最小值.
问题 4 已知函数 y=f(x)在定义域[a,b]上单调,如何求函数的最值?

答 如果函数 y=f(x)在定义域[a,b]上单调递增,则 f(x)max= f(b), f(x)min=f(a); 如果函数 y=f(x)在定义域[a, b]上单调递减, 则 f(x)max=f(a),f(x)min=f(b).

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问题 5

已知函数 y=f(x)的定义域是[a,b],a<c<b.如果函数 f(x)在

区间[a,c]、[c,b]上单调性相反,如何求函数的最值?
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当 x∈[a,c]时,f(x)是单调增函数;当 x∈[c,b]时,f(x)是单

调减函数.则 f(x)在 x=c 时取得最大值.反之,当 x∈[a,c]时, f(x)是单调减函数;当 x∈[c,b]时,f(x)是单调增函数,则 f(x)在 x=c 时取得最小值.

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例 1

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“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达

到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度 h m 与时间 t s 之间的关 系为 h(t)=-4.9t2+14.7t+18,那么烟花冲出后什么时候是它爆裂 的最佳时刻?这时距地面的高度是多少(精确到 1 m)?
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作出函数 h(t)=-4.9t2+14.7t+18 的图象

(如图).显然,函数图象的顶点就是烟花上升的 最高点,顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时 刻,纵坐标就是这时距地面的高度.

由二次函数的知识,对于函数 h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有: 14.7 当 t=- =1.5 时, 2×?-4.9?
4×?-4.9?×18-14.72 函数有最大值 h= ≈29. 4×?-4.9?

于是,烟花冲出后 1.5 s 是它爆裂的最佳时刻, 这时距地面的高度约为 29 m.

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小结
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(1)求解实际问题一般分成四步,即:设元—列式—

求解—作答.(2)实际问题要注意函数自变量的取值范围.

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跟踪训练 1 如图,某地要修建一个圆形的喷水池,水流在各个 方向上以相同的抛物线路径落下,以水池的中央为坐标原点, 水平方向为 x 轴、 竖直方向为 y 轴建立平面直角坐标系. 那么水
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流喷出的高度 h(单位:m)与水平距离 x(单位:m)之间的函数关 5 5 2 系式为 h=-x +2x+ ,x∈[0, ]. 4 2

求水流喷出的高度 h 的最大值是多少?

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5 5 由函数 h=-x2+2x+ ,x∈[0, ]的图象可知,函数图象 4 2

的顶点就是水流喷出的最高点.
5 5 此时函数取得最大值.对于函数 h=-x +2x+ ,x∈[0, ],当 4 2 5 9 x=1 时,函数有最大值 hmax=-12+2×1+ = (m).于是水流 4 4 9 喷出的最高高度是4 m.
2

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例2

1.3.1第2课时

2 已知函数 f(x)= (x∈[2,6]), 求函数的最大值和最小值. x-1

解 设 x1,x2 是区间[2,6] 上的任意两个实数,且 x1<x2,
2[?x2-1?-?x1-1?] 2?x2-x1? 2 2 则 f(x1)-f(x2)= - = = . x1-1 x2-1 ?x1-1??x2-1? ?x1-1??x2-1?

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由 2≤x1<x2≤6,得 x2-x1>0,(x1-1)(x2-1)>0,
于是 f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2). 2 所以,函数 y= 在区间[2,6] 上是减函数. x-1 2 因此,函数 y= 在区间[2,6] 的两个端点上分别取得最大值与 x-1 最小值,

即在 x=2 时取得最大值,最大值是 2,
2 在 x=6 时取得最小值,最小值是5.

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1.3.1第2课时

小结

要熟记常见函数的单调性:一次函数 y=kx+b(k≠0),当

本 课 时 栏 目 开 关 和(0,+∞)上都单调递减.当 k<0 时,在(-∞,0)和(0,+∞)

k>0 时单调递增,当 k<0 时单调递减;二次函数 y=ax2+ bx+ ? ? ? b? b c(a≠0),当 a>0 时,在?-∞,-2a?上单调递减,在?-2a,+∞? ? ? ? ? k 上单调递增,a<0 时相反;y=x(x≠0),当 k>0 时,在(-∞,0)

上都单调递增.

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1.3.1第2课时

2 跟踪训练 2 已知函数 f(x)=- ,x∈[0,2],求函数的最大 x+1 值和最小值.

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解 设 x1,x2 是区间[0,2] 上的任意两个实数,且 x1<x2,则 f(x1) 2 2 -f(x2)=- -(- ) x1+1 x2+1 2?x2+1-x1-1? 2?x2-x1? =- =- . ?x1+1??x2+1? ?x1+1??x2+1?
由 0≤x1<x2≤2,得 x2-x1>0,(x1+1)(x2+1)>0, 所以 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2),

2 故 f(x)在区间[0,2] 上是增函数. 因此, 函数 f(x)=- 在区间[0,2] x+1 的左端点取得最小值, 右端点取得最大值, 即最小值是 f(0)=-2, 2 最大值是 f(2)=- . 3

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探究点二

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1.3.1第2课时

一元二次函数在闭区间上的最值

动画演示

例 3 求二次函数 f(x)=x2-2ax+2 在[2,4]上的最小值.
∵函数图象的对称轴是 x=a, ∴当 a<2 时,f(x)在[2,4] 上是增函数, ∴f(x)min=f(2)=6-4a. 当 a>4 时,f(x)在[2,4] 上是减函数, ∴f(x)min=f(4)=18-8a. 当 2≤a≤4 时,f(x)min=f(a)=2-a2.

?6-4a,a<2 ? 2 ∴f(x)min=?2-a ,2≤a≤4 . ?18-8a,a>4 ? 小结 此题为二次函数中区间固定对称轴移动的问题,此类问题

应注意对称轴的变化对最值的影响.

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1.3.1第2课时

跟踪训练 3 已知函数 f(x)=x2-2x-3,若 x∈[t,t+2]时,求 函数 f(x)的最值.

解 ∵对称轴 x=1,
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①当 1≥t+2 即 t≤-1 时, f(x)max=f(t)=t2-2t-3, f(x)min=f(t+2)=t2+2t-3.
t+t+2 ②当 2 ≤1<t+2,即-1<t≤0 时,

f(x)max=f(t)=t2-2t-3,
f(x)min=f(1)=-4.

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t+t+2 ③当 t≤1< ,即 0<t≤1, 2
f(x)max=f(t+2)=t2+2t-3, f(x)min=f(1)=-4.
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1.3.1第2课时

④当 1<t,即 t>1 时, f(x)max=f(t+2)=t2+2t-3,
f(x)min=f(t)=t2-2t-3. 设函数最大值为 g(t),最小值为 φ(t)时,则有
2 t +2t-3?t≤-1? ? 2 ? ? ?t -2t-3?t≤0? g(t)=? 2 ,φ(t)=?-4?-1<t≤1? ? ?t +2t-3?t>0? ?t2-2t-3?t>1? ?

.

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1.3.1第2课时

1.函数 f(x)在[-2,2]上的图象如图所示,则此
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函数的最小值、最大值分别是 A.f(-2),0 C.f(-2),2
解析

( C )

B.0,2 D.f(2),2

观察函数图象知,图象最低点的纵坐标为 f(-2),

最高点的纵坐标为 2,故选 C.

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1.3.1第2课时

2.函数 y=-x+1
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?1 ? 在区间?2,2?上的最大值是 ? ?

( C )

1 A.- 2

B.-1

1 C. 2

D.3

解析 ∵函数 y=-x+1

?1 ? 在区间?2,2?上是减函数, ? ?

?1? 1 1 ? ? ∴f(x)max=f 2 =-2+1=2. ? ?

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1.3.1第2课时

3.已知函数 f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若 f(x)有最小值-2, 则 f(x)的最大值为
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( C ) C.1 D.2

A.-1

B. 0

解析 f(x)=-(x-2)2+a+4,
∴f(x)在[0,1] 上单调递增. ∴f(x)min=f(0)=a=-2, ∴f(x)max=f(1)=-1+4-2=1.

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1.3.1第2课时

4.求出下列函数的最小值: 1 2 (1)y=x -2x;(2)y=x,x∈[1,3].
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(1)因为 y=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,且当 x=1 时

y=-1,所以函数取得最小值-1,即 ymin=-1.

1 1 1 1 (2)因为对于任意实数 x∈[1,3] , 都有x≥3, 且当 x=3 时x=3, 1 1 所以函数取得最小值 ,即 ymin= . 3 3

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1.3.1第2课时

1.函数的最值与值域、单调性之间的联系 (1)对一个函数来说,其值域是确定的,但它不一定有最值, 1 如函数 y=x.如果有最值,则最值一定是值域中的一个元素. (2)若函数 f(x)在闭区间[a, b]上单调, 则 f(x)的最值必在区间 端点处取得.即最大值是 f(a)或 f(b),最小值是 f(b)或 f(a). 2.二次函数在闭区间上的最值 探求二次函数在给定区间上的最值问题,一般要先作出 y= f(x)的草图,然后根据图象的增减性进行研究.特别要注意 二次函数的对称轴与所给区间的位置关系, 它是求解二次函 数在已知区间上最值问题的主要依据,并且最大(小)值不一 定在顶点处取得.

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