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高中数学人教A版必修5同步练习:2.2 第2课时《等差数列的性质》


第二章
一、选择题

2.2 第 2 课时《等差数列的性质》

1.等差数列{an}中,a6+a9=16,a4=1,则 a11=( A.64 C.31 [答案] D B.30 D.15

)

? ? ?a6+a9=16 ?2a1+13d=16 [解析] 解法一:∵? ,∴? , ?a4=1

?a1+3d=1 ? ? ?a1=-5 ? ∴? ,∴a11=a1+10d=15. ?d=2 ?

解法二:∵6+9=4+11, ∴a4+a11=a6+a9=16,∴a11=15. 2.如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么 a1+a2+…+a7=( A.14 C.28 [答案] C [解析] ∵a3+a4+a5=3a4=12,∴a4=4. 又 a1+a2+…+a7=7a4=28. 3.已知等差数列{an}满足 a1+a2+a3+…+a101=0,则有( A.a1+a101>0 C.a3+a100≤0 [答案] D [解析] 由题设 a1+a2+a3+…+a101=101a51=0, ∴a51=0. 4.已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则 a20 等于( A.-1 C.3 [答案] B [解析] ∵{an}是等差数列, ∴a1+a3+a5=3a3=105,∴a3=35, a2+a4+a6=3a4=99,∴a4=33, ∴d=a4-a3=-2, B.1 D.7 ) B.a2+a100<0 D.a51=0 ) B.21 D.35 )

a20=a4+16d=33-32=1. 5.在 a 和 b 之间插入 n 个数构成一个等差数列,则其公差为( b-a A. n b-a C. n+1 [答案] C [解析] ∵a1=a,an+2=b, an+2-a1 b-a ∴公差 d= = . ?n+2?-1 n+1 6.设{an}是公差为正数的等差数列,若 a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则 a11+a12+a13 等于( ) B.105 D.75 a-b B. n+1 b-a D. n-1 )

A.120 C.90 [答案] B

[解析] ∵a1+a2+a3=3a2=15,∴a2=5, 又∵a1a2a3=80,∴a1a3=16,即(a2-d)(a2+d)=16, ∵d>0,∴d=3. 则 a11+a12+a13=3a12=3(a2+10d)=105. 二、填空题 7.等差数列{an}中,已知 a2+a3+a10+a11=36,则 a5+a8=__________. [答案] 18 [分析] 利用等差数列的性质求解,或整体考虑问题,求出 2a1+11d 的值. [解析] 解法 1:根据题意,有 (a1+d)+(a1+2d)+(a1+9d)+(a1+10d)=36, ∴4a1+22d=36,则 2a1+11d=18. ∴a5+a8=(a1+4d)+(a1+7d)=2a1+11d=18. 解法 2:根据等差数列性质,可得 a5+a8=a3+a10=a2+a11=36÷ 2=18. 8.已知等差数列{an}中,a3、a15 是方程 x2-6x-1=0 的两根,则 a7+a8+a9+a10+a11 =__________. [答案] 15 [解析] ∵a3+a15=6,又 a7+a11=a8+a10=2a9=a3+a15,∴a7+a8+a9+a10+a11=(2 1 5 + )(a3+a15)= ×6=15. 2 2

三、解答题 9.已知等差数列{an}的公差 d>0,且 a3a7=-12,a4+a6=-4,求{an}的通项公式. [解析] 由等差数列的性质,得 a3+a7=a4+a6=-4, 又∵a3a7=-12, ∴a3、a7 是方程 x2+4x-12=0 的两根. 又∵d>0,∴a3=-6,a7=2. ∴a7-a3=4d=8,∴d=2. ∴an=a3+(n-3)d=-6+2(n-3)=2n-12. 10.四个数成等差数列,其平方和为 94,第一个数与第四个数的积比第二个数与第三 个数的积少 18,求此四个数. [解析] 设四个数为 a-3d,a-d,a+d,a+3d,据题意得, (a-3d)2+(a-d)2+(a+d)2+(a+3d)2=94 ?2a2+10d2=47.① 3 7 又(a-3d)(a+3d)=(a-d)(a+d)-18?8d2=18?d=± 代入①得 a=± ,故所求四数为 2 2 8,5,2,-1 或 1,-2,-5,-8 或-1,2,5,8 或-8,-5,-2,1.

一、选择题 1.设数列{an},{bn}都是等差数列,且 a1=25,b1=75,a2+b2=100,那么数列{an+ bn}的第 37 项为( A.0 C.100 [答案] C [解析] ∵数列{an},{bn}都是等差数列, ∴{an+bn}也是等差数列. 又∵a1+b1=100,a2+b2=100, ∴{an+bn}的公差为 0, ∴数列{an+bn}的第 37 项为 100. 1 2.数列{an}中,a2=2,a6=0 且数列{ }是等差数列,则 a4 等于( an+1 1 A. 2 1 C. 4 1 B. 3 1 D. 6 ) ) B.37 D.-37

[答案] A 1 1 1 1 [解析] 令 bn= ,则 b2= = ,b6= =1, 3 an+1 a2+1 a6+1 由条件知{bn}是等差数列, 2 ∴b6-b2=(6-2)d=4d= , 3 1 1 1 2 ∴d= ,∴b4=b2+2d= +2× = , 6 3 6 3 1 1 ∵b4= ,∴a4= . 2 a4+1 3.等差数列{an}中,a2+a5+a8=9,那么关于 x 的方程:x2+(a4+a6)x+10=0( A.无实根 C.有两个不等实根 [答案] A [解析] ∵a4+a6=a2+a8=2a5, 即 3a5=9,∴a5=3, 方程为 x2+6x+10=0,无实数解. 4.下列命题中正确的个数是(
2

)

B.有两个相等实根 D.不能确定有无实根

)

(1)若 a,b,c 成等差数列,则 a ,b2,c2 一定成等差数列; (2)若 a,b,c 成等差数列,则 2a,2b,2c 可能成等差数列; (3)若 a,b,c 成等差数列,则 ka+2,kb+2,kc+2 一定成等差数列; 1 1 1 (4)若 a,b,c 成等差数列,则 , , 可能成等差数列. a b c A.4 个 C.2 个 [答案] B [解析] 对于(1)取 a=1,b=2,c=3?a2=1,b2=4,c2=9,(1)错. 对于(2),a=b=c?2a=2b=2c,(2)正确; 对于(3),∵a,b,c 成等差数列, ∴a+c=2B. ∴(ka+2)+(kc+2)=k(a+c)+4 =2(kb+2),(3)正确; 1 1 1 对于(4),a=b=c≠0? = = ,(4)正确,综上选 B. a b c 二、填空题 5.若 x≠y,两个数列 x,a1,a2,a3,y 和 x,b1,b2,b3,b4,y 都是等差数列,则 a2-a1 b3-b2 B.3 个 D.1 个

=________. [答案] 5 4

[解析] 设两个等差数列的公差分别为 d1,d2,
?y=x+4d1, ?4d1=y-x, ? ? 由已知,得? 即? ? ? ?y=x+5d2, ?5d2=y-x,

a2-a1 d1 5 d1 5 解得 = ,即 = = . d2 4 b3-b2 d2 4 6.已知△ABC 的一个内角为 120° ,并且三边长构成公差为 4 的等差数列,则△ABC 的 面积为________. [答案] 15 3 [解析] 设△ABC 的三边长为 a-4,a,a+4(a>4), a2+?a-4?2-?a+4?2 1 则 =- , 2 2a?a-4? 解得 a=10,三边长分别为 6,10,14. 1 3 所以 S△ABC= ×6×10× =15 3. 2 2 三、解答题 7.在△ABC 中,三边 a、b、c 成等差数列, a、 b、 c也成等差数列,求证△ABC 为正三角形. [证明] ∵ a+ c=2 b,平方得 a+c+2 ac=4b,又∵a+c=2b,∴ ac=b,故( a - c)2=0, ∴a=b=C.故△ABC 为正三角形. 1 21 1 8.设数列{an}是等差数列,bn=( )an 又 b1+b2+b3= ,b1b2b3= ,求通项 an. 2 8 8 1 1 1 1 1 1 [解析] ∵b1b2b3= ,又 bn=( )an,∴( )a1· ( )a2· ( )a3= . 8 2 2 2 2 8 1 1 ∴( )a1+a2+a3= ,∴a1+a2+a3=3, 2 8 又{an}成等差数列∴a2=1,a1+a3=2, 1 17 ∴b1b3= ,b1+b3= , 4 8 1 b =2 ? ? ?a1=-1 ?a1=3 ? 1 ?b1=8 ? ? ∴? ,即? 或? , 1 或? ?a3=3 ?a3=-1 b3= ? ? ? ? 8 ? ?b3=2 ∴an=2n-3 或 an=-2n+5.


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