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2013届高考数学压轴题练习8


高考数学压轴题练习 8
18(本小题满分 12 分) 设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) 是椭圆
y a
2 2

?

x b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 上的两点,已知向量 m ? (

x1 y1 x2 y2 , ), n ? ( , ) ,若 b a b a

m ? n ? 0 且椭圆的离心率 e=
[来源:Zxxk.Com]

3 ,短轴长为 2 , O 为坐标原点. 2

[来源:学科网]

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)试问:△AOB 的面积是否为定值?如 果是,请给予证明;如果不 是,请说明理由
c a a ?b
2 2

解: 2 b ? 2 .b ? 1, e ?

?

?

3 2

? a ? 2, c ?

3 椭圆的方程为

y

2

? x

2

?1

4分

a

4

(2) ①当直线 AB 斜率不存在时,即 x 1 ? x 2 , y 1 ? ? y 2 ,由 m ? n ? 0
x1 ?
2

y1 4

2

? 0 ? y 1 ? 4 x 1 …………5 分
2 2

2 又 A ( x 1 , y 1 ) 在椭圆上,所以 x 1 ?

4 x1 4

2

? 1 ? x1 ?

2 2

, y1 ?

2
[来源:Zxxk.Com]

s ?

1 2

x1 y 1 ? y 2 ?

1 2

x1 2 y 1 ? 1

所 以三角形的面 积为定值.……6 分 ②当 直 线 AB 斜率存在时:设 AB 的方程为 y =kx+b

? y ? kx ? b ? 2 kb ? 2 2 2 2 ? ( k ? 4 ) x ? 2 kbx ? b ? 4 ? 0 得到 x 1 ? x 2 ? 2 ?y 2 k ?4 ? ? x ?1 ? 4

[来源:学&科&网 Z&X&X&K]

x1 x 2 ?

b k

2 2

? 4 ? 4

2 2 2 ,?=(2kb) ?4(k +4)(b ?4)>0……………8 分而 m ? n ? 0 ,

[来源:学_科_网]

x1 x 2 ?
2b ? k
2

y1 y 2 4
2

? 0 ? x1 x 2 ?

( kx 1 ? b )( kx 2 ? b ) 4

? 0 代入整理得

:

? 4

………… …10 分

1 |b| 1 |b| 4k2?4b2+16 4b2 2 S=2 = 2|b| =1 2|AB|=2|b| (x1+x2) ?4x1x2= 2(k2+4) 1+k 综上三角形的面积为定值 1.………………………12 分


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