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选修1-1导数及其应用章末知识点与例题复习文


选修 1-1 导数及其应用章末知识点与例题复习
一、基础知识点
1、平均变化率: (物理中对应平均速度,几何意义表示过点(, )

与点(, )的直线的斜率) 2、导数的概念 (1)如果当 ?x ? 0 时,
?y 有极限,就说函数 y ? f ( x) 在点 x ? x0 处存 ?x

在导数,并将这个极限叫

做函数 f ( x) 在点 x ? x0 处的导数(或变化率), 记作 f ?( x0 ) 或 y? |x? x ,即 f ?( x0) ? lim 0 ?x ?
0

?y ? __________________. ?x

f ?( x0 ) 的几何

意义是曲线 y ? f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的;瞬时速度就是位移函数 s (t ) 对 的导数;加速度就是速度函数 v (t ) 对______________的导数. (2)如果函数 f ( x) 在开区间 (a, b) 内的每一点都可导,其导数值在 这个函数叫做 f ( x) 在开区间 (a, b) 内的导函数, ( a, b) 内构成一个新函数, 记作或. 3、几种常见函数的导数 (1) C ' ? ____ (C 为常数); (2) ( xa ) ' ? ________ ;

(3) (sin x) ' ? _______ ;(4) (cos x) ' ? _______ ; (5) (ex )' ? ________ ;(6) (a x )' ? _________ ; (7) (ln x) ' ? ______ ;(8) (log a x)' ? log a e . 4、可导函数的四则运算法则 法则 1 [u( x) ? v( x)]' ? ____________. (口诀: 和与差的导数等于导数的 和与差). 法则 2 [u( x)v( x)]? ? ____________ .(口诀: 前导后不导, 后导前不导,
1 x

中间是正号) 法则 3 [
u ( x) ]? ? _______________(v( x) ? 0) v( x)

(口诀:分母平方要记牢,上导下不导,下导上不导,中间是负 号) 5.函数的单调性 (1) 函数 f ( x) 在某个区间 (a, b) 内, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为 若 则 若 f ?( x) ? 0 , 则 f ( x) 为 为 。 ; 若 f ?( x )? 0, 则 f ( x) ;

(2)若函数 f ( x) 在某个区间[a,b]内单调递增,则 f ?( x) ? 0 ; 若函数 f ( x) 在某个区间[a,b]内单调递减,则 f ?( x) ? 0 ; 6.如果一个函数在某个区间内的绝对值 在这个范围内变化 7. (1)函数极值的概念 函数 y ? f ( x) 在点 x ? a 处的函数值 f (a) 比它在点 x ? a 附近其它点 的函数值都小, f ?(a) ? 0 ;而且在点 x ? a 附近的左侧 右侧 , 则点 x ? a 叫做函数 y ? f ( x) 的 . , , f (a) , 这时函数的图象就越 “ ,那么函数 ” 。

叫做函数 y ? f ( x) 的

函数 y ? f ( x) 在点 x ? b 处的函数值 f (b) 比它在点 x ? b 附近其它点 的函数值都大, f ?(b) ? 0 ;而且在点 x ? b 附近的左侧 右侧 , 则点 x ? b 叫做函数 y ? f ( x) 的 . , 极小值与极大值 , , f (b)

叫做函数 y ? f ( x) 的

极小值点与极大值点统称为

统称为

.

(2)求函数极值的步骤: ① ② ③ 8.函数的最大值与最小值 在闭区间 [a, b] 上连续, (a, b) 内可导, f ( x) 在闭区间 [a, b] 上求最大 值与最小值的步骤是: (1) (2) 9.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤: (1)分析实际问题中各个量之间的关系,建立实际问题 的 定 。 (2)求函数 y ? f ( x) 的 义域内的实根,确定 (3)比较函数在 得所求函数的最大(小)值。 (4)还原到原实际问题中作答。 。 和 的函数值的大小,获 ,解方程 ,得出定 ,写出实际问题中 ,根据实际问题确 ; 。 ; ; 。

二、例题解析 例 1、某质点沿直线运动,运动规律为,求:

(1)在[2,3]这段时间内的平均速度; (2)在 t=2 时刻的瞬时速度。 例 2、设函数 f ( x) 在 x ? 2 处可导,且 f ?(2) ? 1 ,求 lim h ?0 例 3、求下列函数的导数: (1) y ? (2 x2 ?1)(3x ? 1) (2) y ? (3) (4) 例 4、已知曲线 y ? x 3 ? . (1) 求曲线在点 P(2, 4) 处的切线方程; (2)求曲线过点 P(2, 4) 的切线方程。 例 5、求下列函数的单调区间: (1) (2)
ex 例 6、已知函数 f ( x) ? , x?2
1 3 4 3 ln x x2 ? 1
f (2 ? h ) ? f (2 ? h ) ; 2h

(1)函数 f ( x) 的单调区间; (2)求函数 f ( x) 图象在与 y 轴交点得的切线与两坐标轴所围成的 图形的面积; (3)判断方程 ex ? k ( x ? 2) 解的情况( k ? R ).
解:(1) f ?( x) ?

e x ( x ? 2) ? e x e x ( x ? 3) ? , ( x ? 2)2 ( x ? 2)2

因为函数的定义域为 {x | x ? 2} ,令 f ?( x) ? 0 ,解得: x ? 3 ;令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 3 且 x ? 2 ,

所以函数的单调递增区间是 (3, ??) ,单调递减区间是 (??, 2) ? (2,3) . (2) f ( x ) 与 y 轴的交点设为 M ,则 M (0, ? ) , 由于 f ?( x) ?

1 2

y

e x ( x ? 3) , ( x ? 2)2
3 . 4
O 1 2 3 x

? 切线的斜率为 k ? f ?(0) ? ?

3 1 ? 切线方程为 x ? y ? ? 0 . 4 2 2 1 令 x ? 0 ,得 y ? ? ,令 y ? 0 ,得 x ? ? . 3 2 1 1 2 1 所以所围三角形的面积为 S ? ? ? ? . 2 2 3 6
(3)方程 ex ? k ( x ? 2) 等价于 象,如右图所示: 所以当 k ? e3 时,方程有 2 个根;当 k ? e3 时,方程有 1 个根;当 0 ? k ? e3 时,方程没有根; 当 k ? 0 时,方程有 1 个根.

ex ? k ( x ? 2) ,在平面直角坐标系中画出函数 f ( x) 的图 x?2

例 7、已知函数,x=1 和 x=-1 为它的极值点。 (1)求 a、b 的值; (2)求 f(x)的极大值和极小值。 例 8、已知函数 f ( x) ? ? x3 ? 3x2 ? 9 x ? m. g ( x) ? x3 ? 3a2 x ? 2a 若 f (x) 在区间[-2,2].上的最大值为 20. (1)求实数 m 的值; (2)是否存在实数 a ? 1 ,使得对于 ?x1 ?[?2, 2] ,总存在 x0 ? [0,1], 都有 g ( x0 ) ? f ( x1 ) 成立?若存在,求出实数 a 的取值范围;若不存在,说明 理由.
解: (1)? f '( x) ? ?3x ? 6x ? 9. 令 f '( x) ? 0 ,解得 x ? ?1 或 x ? 3,
2

所以函数 f ( x ) 的单调递减区间为 (??, ?1),(3, ??). 递增区间是 (?1,3) .

又因为 f (?2) ? 8 ? 12 ? 18 ? m ? 2 ? m , f (2) ? ?8 ? 12 ? 18 ? m ? 22 ? m 所以 f (2) ? f (?2). 因为在 (?1,3) 上 f '( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 在 [?1, 2] 单调递增, 又由于 f ( x ) 在 [?2, ?1] 上单调递减,因此 f (2) 和 f (?1) 分别是 f ( x ) 在区间 [?2, 2] 上 的最大值和最小值.于是有 22 ? m ? 20 ,解得 m ? ?2. (2)由(1)知 f ( x) ? ? x3 ? 3x2 ? 9 x ? 2. 因此 f (?1) ? 1 ? 3 ? 9 ? 2 ? ?7. 即函数 f ( x ) 在区间 [?2, 2] 上的值域为[ ?7 ,20] . g ?( x) ? 3x2 ? 3a2 ,由于 a ? 1 ,所以当

x ? [0,1] 时, g ?( x) ? 0 ,
因此当 x ? [0,1] 时, g ( x) 为减函数,从而当 x ? [0,1] 时, g ( x) ?[ g (1), g (0)] . 又因为 g (1) ? 1 ? 2a ? 3a2 , g (0) ? ?2a ,即当 x ? [0,1] 时 g ( x) ?[1 ? 2a ? 3a 2 , ?2a] 若 对 于 ?x1 ? ? , 2 总 存 在 x0 ? [ 0 , ,1 都 有 g ( x0 ) ? f ( x1 ) , 则 应 有 [ 2 , ] ]
2 [? 7 , 2 ? ] ? [ 1 ? 2 0 a a

?1 ? 2a ? 3a 2 ? ?7 ,即 ,解得: a ? ?10 但由于 a ? 1 , ?3 ? , 2 ] a ? ?2a ? 20

故不存在这样的实数 a .

例 8、已知函数在 x=1 处有极小值-1. (1)求函数的单调区间; (2)求函数在闭区间[-2,2]上的最大值和最小值。 例 9、某银行准备新设一种定期存款业务,经预测:存款量与存款利 率的平方成正比,比例系数为 k (k ? 0) ,贷款的利率为 4.8%,又银行 吸收的存款能全部放贷出去,试确定当存款利率定为多少时,银行可 获取最大收益?
解:设存款利息为 x ,则应用 x ? (0,0.048) , 依题意:存款量是 kx ,银行应支付的利息是 kx ,贷款的收益是 0.048kx ,
2 3 2

所以银行的收益是 y ? 0.048kx2 ? kx3 。 由于 y? ? 0.096kx ? 3kx2 ,令 y? ? 0 ,得 x ? 0.032 或 x ? 0 (舍去) , 又当 0 ? x ? 0.032 时, y? ? 0 ;当 0.032 ? x ? 0.096 时, y? ? 0 , 所以当 x ? 0.032 时, y 取得最大值, 即当存款利率定为 3.2% 时,银行可获得最大利润。

三、练习题 1、若函数图像上一点(1,2)及附近一点(1+ ? x ,2+ ?y ) ,则 ( )

?y = ?x

A.3+2?x  +?x C.4+2?x D.3+?x B.4
2.函数 y=xcosx-sinx 的导数为 A. xsinx B.-xsinxC.xcosx D.-xcosx ( ) ( )

3.曲线 y=x3-2x+4 在点(1,3)处的切线的倾斜角为 A.30° B.45° C.60° D.120°

4.已知点 P 在曲线 f(x)=x4-x 上,曲线在点 P 处的切线平行 于直线 3x-y=0,则点 P 的坐标为 5、求下列函数的导数: (1)y=(3x3-4x)(2x+1); (2)y=3xex-2x+e; 6.如图所示,函数 y=f(x)的图象在点 P 处的切线方程是 y=-x+8, .

则 f(5)= f′ (5)= .



7.函数 f(x)=x3-3x2+1 的单调递减区间为 A.(2,+∞)B.(-∞,2)C.(-∞,0) D.(0,2) 8.函数 y=ax3-x 在(-∞,+∞)上是减函数,则 A.a=1/3 B.a=1 C.a=2 D.a≤0 ( ( )

(

)

9. f(x)=x3-3x2+3x 的极值点的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3

)

10. 函 数 y = 3x2 - 6lnx 的 单 调 增 区 间 为 为 .

,单调减区间

11.已知函数 f(x)=x3-12x+8 在区间[-3,3]上的最大值与最小值分别 为 M,m,则 M-m= .

12.已知定义在 R 上的函数 f(x)=x2(ax-3),其中 a 为常数. (1)若 x=1 是函数 f(x)的一个极值点,求 a 的值; (2)若函数 f(x)在区间(-1,0)上是增函数,求 a 的取值范围; (3)若函数 g(x)=f(x)+f′ (x),x∈[0,2],在 x=0 处取得最大值,求正数 a 的取值范围.


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