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【优化指导】2016-2017学年高中数学 第二章 平面向量 2.3.2 平面向量基本定理练习 北师大版必修4


3.2

平面向量基本定理
A组 )

1.设 e1,e2 是不共线的向量,则下面四组向量中,能作为基底的组数有(

①e1 和 e1+e2;②e1-2e2 和 e2-2e1;③e1-2e2 和 4e2-2e1;④2e1+e2 和 e1-e2.
A.1 组 B.2 组 C.3 组 D.4 组

解析:看每一组的两个向量是否共线,若共线则不能作为基底,若不共线则可作为基底,∵4e2-2e1=2(e1-2e2),∴第③组中的两个向量共线,不能作为基底. 答案:C 2.已知 e1,e2 为平面内所有向量的一组基底,λ ∈R,a=e1+λ e2,b=2e1,则 a 与 b 共线的条件为( A.λ =0 C.e1∥e2 答案:A 3.设 a,b 为平面内所有向量的一组基底,已知向量=a-kb,=2a+b,=3a-b,若 A,B,D 三点共线,则实数 k 的值等于( A.2 C.10 ) B.-2 D.-10 B.e2=0 D.e1∥e2 或 λ =0 )

解析:由于 e1,e2 不共线,而 a 与 b 共线,所以 λ =0.

解析:=(a-kb)+(-2a-b)+(3a-b)=2a-(k+2)b.

∵A,B,D 三点共线,∴存在实数 λ 使得=λ ,
即 a-kb=λ [2a-(k+2)b]=2λ a-λ (k+2)b.

∵a,b 为基底向量, ∴
解得 λ =,k=2. 答案:A 4.已知 O 是△ABC 所在平面内一点,D 为 BC 的中点,且 2=0,那么( A. C.=3 B.=2 D.2 )

解析:由 2=0 得 2=-(), 因为 D 是 BC 的中点, 所以=2, 于是 2=-2, 即. 答案:A 5.在△ABC 中,点 D 在 BC 边上,且=2=r+s,则 r+s=( A. 解析:由题意得)=, 因为=r+s,所以 r=,s=-? r+s=0,故选 D. 答案:D B. C.-3 ) D.0

1

6.若 e1,e2 为平面内所有向量的一组基底,且 a=3e1-4e2,b=6e1+ke2 不能作为一组基底,则 k 的值 为

.
即 3e1-4e2=λ (6e1+ke2), 则 6λ =3,且 kλ =-4, 解得 λ =,k=-8.

解析:当 a∥b 时,a,b 不能作为一组基底,故存在实数 λ ,使得 a=λ b,

答案:-8 7. 导学号 03070089 在?ABCD 中,AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的中点,AE 的延长线与 CD 交于点 F, 若=a,=b,用 a,b 表示. 解:如下图,. 由题意知,DE∶BE=1∶3=DF∶AB,

∴.∴)=a+b+a+b.
8.

导学号 03070090 如图所示,在△ABC 中,D,F 分别是 BC,AC 的中点,=a,=b. (1)用 a,b 表示; (2)求证:B,E,F 三点共线. (1)解:

如图所示,延长 AD 到 G,使=2,连接 BG,CG,得到平行四边形 ABGC,则=a+b,(a+b),(a+b),b, (a+b)-a=(b-2a), b-a=(b-2a). (2)证明:由(1)知,,∴共线. 又有公共点 B,

∴B,E,F 三点共线.
B组 1.已知平面内有一点 P 及一个△ABC,若,则( A.点 P 在△ABC 外部 B.点 P 在线段 AB 上 C.点 P 在线段 BC 上 D.点 P 在线段 AC 上 )

2

解析:∵,

∴=0,
即=0,

∴=0,∴2, ∴点 P 在线段 AC 上.
答案:D 2.若 O 是平面内一定点,A,B,C 是平面内不共线的三点,若点 P 满足+λ (λ ∈(0,+∞)),则点 P 的轨 迹一定通过△ABC 的( A.外心 ) C.重心 D.垂心

B.内心

解析:设 BC 中点为 M,则,则有+λ ,即=λ (λ ∈(0,+∞)),

∴M,P,A 三点共线. ∴点 P 的轨迹所在直线一定通过△ABC 的重心.
答案:C 3.(2015 浙江嘉兴桐乡调研)已知平行四边形 ABCD 中,E 为 CD 的中点,=x=y,其中 x,y∈R,且均不为 0,若,则=

.

解析:=y-x,由=λ (λ ≠0),

∴y-x=λ ()=λ , ∴.
答案: 4.在△ABC 所在平面上有一点 P,满足+4,则△PBC 与△PAB 的面积比为 答案:1∶2 5. 导学号 03070091 设 e1,e2 是两个不共线的非零向量,且 a=e1-2e2,b=e1+3e2. (1)证明:a,b 可以作为一组基底; (2)以 a,b 为基底,求向量 c=3e1-e2 的分解式. (1)证明:假设 a,b 共线,则 a=λ b(λ ∈R),则 e1-2e2=λ (e1+3e2).由 e1,e2 不共线,得所以 λ 不存在, 故 a,b 不共线,即 a,b 可以作为一组基底. (2)解:设 c=ma+nb(m,n∈R),则 3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)=(m+n)e1+(-2m+3n)e2. 所以解得故 c=2a+b. 6.

.

解析:+4,所以 2,即点 P 在 AC 边上,且 AP=2PC,所以△PBC 与△PAB 的面积比为 1∶2.

如图所示,在△OAB 中,=a,=b,M,N 分别是 OA,OB 上的点,且 a,b.设 AN 与 BM 交于点 P,用向量 a,b 表 示. 解:设=m=n,因为,所以+ma+m(1-m)a+mb,

3

+n(1-n)b+na.
因为 a 与 b 不共线,所以 解得所以 a+b. 7. 导学号 03070092 已知 A,B,C 三点不共线,O 为平面上任意一点,证明若存在实数 p,q,r,使得

p+q+r=0,且若 p+q+r=0,则必有 p=q=r=0.
证明:

如右图,由题意可得 r=-(p+q).

∴p+q-(p+q)=0,
即 p()=q(),p=q,∴p+q=0=0·+0·. 由平面向量的基本定理可知,其分解是唯一的,

∴p=0,q=0,p+q=0. ∵p+q+r=0,故有 p=q=r=0.

4


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