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山东省实验中学2013届高三数学第二次(6月)模拟考试试题 理 新人教B版


山东省实验中学 2010 级第二次模拟考试 数学试题(理科)
注意事项:本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) ,共 4 页。两卷合计 150 分,考试时间为 120 分钟。选择题答案填涂在答题卡上;填空题、解答题答在答题纸上. 第Ⅰ卷(选择题 60 分) 一.选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符

合题目要求的. 1.已知全集 U ? ?? 2,?1,0,1,2,3? , M ? ?? 1,0,1,3,? , N ? ?? 2,0,2,3? ,则(?U M ) ? N 为

A. ?? 1,1,?
2.已知 a 是实数,

B. ?? 2?

C. ?? 2,2?

D. ?? 2,0,2?
( )

a?i 是纯虚数,则 a 等于 1? i
B. 1 C. 2


A. ?1

D. ? 2


开始 p=1,n=1 n=n+1 p=p+2n?1

3.若某程序框图如图所示,则输出的 n 的值是

B. 44 C. 45 4.设非空集合 P,Q 满足 P ? Q ? P ,则 A. ?x ? Q, 有x ? P C. ?x0 ? Q ,使得 x0 ? P

A.43

D. 46
( )

B. ?x ? Q ,有 x ? P D. ?x0 ? P ,使得 x0 ? Q
p>2012?
是 否

5.直线 l ,m 与平面 ? , ? , ? ,满足 l ? ? ? ? ,l // ? , m ? ? , m ? ? , 则必有 ( )

输出 n 结束 (第 3 题)

A. ? ? ? 且 m // ? C . m // ? 且 l ? m

B. ? ? ? 且 l ? m D. ? // ? 且 ? ? ?

6.在等比数列 ?an ? 中, a5 ? a11 ? 3, a3 ? a13 ? 4, 则

a15 ? a5

A .3

B.

1 3

C .3 或

1 3

D . ?3 或 ?

1 3
( )

7.设 z

? x?

? x ? 2 y ? 0, ? y ,其中 x,y 满足 ? x ? y ? 0, 当 Z 的最大值为 6 时, k 的值为 ?0 ? x ? k , ?
B.4 C.5
6

A.3
8.设 a ?

D.6


?

?

0

? cos x ? sin x ? dx ,则二项式 ? x 2 ? a ? 展开式中的 x3 项的系数为 ( ? ? x? ?
B. 20 C. ?160 D. 160

A . ?20

-1-

9.函数 y ? tan x ? sin x? | tan x ? sin x | 在区间 ?
y
2
O

? ? 3? ? , ? 内的图像是 ?2 2 ?
y
π 2 3π π 2


y
2



y

π 2

3π π 2

O

π 2

x

O -2

π 3π 2

x

O

x

π 2

π

3π 2

x

-2

A.

B.

C.

D.

??? ??? ???? ? ??? ??? ? ? ? ? 10.△ABC 外接圆的半径为 1 ,圆心为 O ,且 2OA ? AB ? AC ? 0 , | OA |?| AB | ,则
??? ??? ? ? CA ? CB 的值是
A. 2 B. 3 C. 1
( )

D. 0

11. 在区间 ?1,5 ? 和 ? 2, 4 ? 分别取一个数,记为 a , b , 则方程 ? ? ? ?

x2 y2 ? 2 ? 1 表示焦点在 x 轴 a2 b
( )

上且离心率小于

3 的椭圆的概率为 2
B.

A.

1 2

15 32

C.

17 32

D.

31 32

12.已知函数 f ( x) ( x ? R) 是偶函数,且 f (2 ? x) ? f (2 ? x) ,当 x ? [0 , 2] 时, f ( x) ? 1 ? x , 则方程 f ( x) ?

A.8

1 在区间 [?10 ,10] 上的解的个数是 1? | x | B.9 C.10





D.11

第 II 卷(非选择题
? ?
?

90 分)
?

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.已知向量 c ? (2 x ? 1, 4) , d ? (2 ? x ,3) ,若 c // d ,则实数 x 的值等于_________. 14.已知某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体 积为____________.

x2 y2 ? ? 1 的右焦点为圆心,且被其中一 4 16 条渐近线截得的弦长为 6 的圆的标准方程为 ____________. 16.设 f1 ( x) ? cos x ,定义 f n?1 ( x) 为 f n (x) 的导数,即
15.以双曲线

f n?1 ( x) ? f ' n ( x) , n ? N , 若 ?ABC 的 内 角 A 满 足

-2-

1 f1 ( A) ? f 2 ( A) ? ? ? f 2013 ( A) ? ,则 sin 2 A 的值是__________. 3
三、解答题:本大题共 6 个小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? cos2 x ? 2 3sin x cos x ? sin2 x (1)求 f ( x ) 的最小正周期和值域; (2)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别是 a , b, c ,若 f ( ) ? 2 且 a 2 ? bc ,试判断 ?ABC 的形状.
E

A 2

18. (本小题满分 12 分)如图所示的几何体是由以等边三角形
F

ABC BD =
D A O B C

为底面的棱柱被平面 DEF 所截面得, 已知 FA⊥平面 ABC, =2, AB 1,AF=2,

CE=3,O 为 AB 的中点. (1)求证:OC⊥DF; (2)求平面 DEF 与平面 ABC 相交所成锐二面角的大小;

19.(本题满分 12 分)我校要用三辆校车从本校区把教师接到东校区,已知从本校区到东校 区有两条公路,校车走公路①堵车的概率为

1 3 ,不堵车的概率为 ;校车走公路②堵车的概 4 4

率为 p ,不堵车的概率为 1 ? p .若甲、乙两辆校车走公路①,丙校车由于其他原因走公路②, 且三辆车是否堵车相互之间没有影响.

7 ,求走公路②堵车的概率; 16 (2)在(1)的条件下,求三辆校车中被堵车辆的个数 ? 的分布列和数学期望.学
(1)若三辆校车中恰有一辆校车被堵的概率为 20、 (本小题满分 12 分)已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,对一切正整数 n ,点 Pn (n, S n ) 都 在函数 f ( x) ? x ? 2 x 的图像上,且过点 Pn (n, S n ) 的切线的斜率为 k n .
2

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若 bn

? 2 kn an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 T n ;

? ? ( 3 ) 设 Q ? {x x ? k n , n ? N }, R ? {x x ? 2a n , n ? N } , 等 差 数 列 {cn } 的 任 一 项

cn ? Q ? R ,其中 c1 是 Q ? R 中的最小数, 110 ? c10 ? 115 ,求 {cn } 的通项公式.
21. (本小题满分 13 分)已知椭圆 C:

1 x2 y2 ? 2 =1(a>b>0)的离心率 e ? ,且经过点 2 2 a b

A ( ?1,? ) .
(1)求椭圆 E 的标准方程;

3 2

-3-

(2)如果斜率为

1 的直线 EF 与椭圆交于两个不同的点 E、F,试判断直线 AE、AF 的斜率之 2

和是否为定值,若是请求出此定值;若不是,请说明理由. (3) 试求三角形 AEF 面积 S 取得最大值时,直线 EF 的方程. 22. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? ex ? ax2 (a ? R) (1)求函数 f (x) 在点 P(0,1)处的切线方程; (2)若函数 f (x) 为 R 上的单调递增函数,试求 a 的范围; (3)若函数 f (x) 不出现在直线 y ? x ? 1 的下方,试求 a 的最大值.

山东省实验中学 2010 级第二次模拟考试 理科数学答案 2013.06 一选择题 CBCBB CACCB BB 二填空题 13.

1 2

14.

10 3

15. ( x ? 2 5 )2 ? y 2 ? 25

16.

4 2 9

三解答题 17(本小题满分 12 分) 解:﹙Ⅰ﹚ f ( x) ? cos2 x ? 2 3sin x cos x ? sin2 x

? 3sin 2 x ? cos2 x ……………………………………………………….3 分

? 2sin(2 x ? ) 6

?

……………………………………………………………4 分

所以 T ? ? ,…………………………………………………………………5 分

f ( x) ? [?2,2]
A 2

……………………………………………………………6 分

﹙Ⅱ﹚由 f ( ) ? 2 ,有 f ( ) ? 2sin( A ? 所以 sin( A ? ) ? 1.

A 2

?
6

)?2,

?

6

……………………………………………………………7 分

-4-

因为 0 ? A ? ? ,所以 A ?

?
6

?

?
2

,即 A ?

?
3

. …………………………………8 分

由余弦定理 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A 及 a 2 ? bc ,所以 (b ? c)2 ? 0 .……………10 分 所以 b ? c, 所以 B ? C ?

?
3

.……………………………………………………11 分

所以 ?ABC 为等边三角形. ………………………………………………………12 分 18. (本小题满分 12 分) 解: (1)证法一:? FA ? 平面 ABC , OC ? 平面 ABC ,? FA ? OC , …………2 分

又 CA ? CB 且 O 为 AB 的中点,? AB ? OC , ? OC ? 平面 ABDF , ………………4 分

A 平 面 ? DF ? ? OC ? DF . ……………………………………………………………………6 分

B



D

证法二:如图,以 O 为原点, OB 、OC 、Oz 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系,

C ? (0, 3, 0), D(1, 0,1), E (0, 3,3), F ? ( ?1, 0, 2).

…………………………2 分 ………………6 分

???? ???? ???? ???? OC ? (0, 3, 0), DF ? (?2, 0,1),? OC ? DF ? 0. 即 OC ? DF .

(2)解法一:解:设平面 ABC 的法向量为 n1 ? (0, 0,1), ………7 分 设平面 DEF 的法向量为 n2 ? (1, y, z ), DE ? (?1, 3, 2),

??

z

?? ?

????

?? ???? ? ?n2 ? DE ? 0 ??1 ? 3 y ? 2 z ? 0 ? ? 由 ? ?? ???? 得? , ? ?n2 ? DF ? 0 ??2 ? z ? 0 ? ?
解得 ?

y x

?y ? ? 3 ? , ?z ? 2 ?

…………………………9 分

所以

?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 2 2 ? cos ? n1 , n2 ?? ??? ?? ? ? , …………………11 分 2 | n1 | ? | n2 | 1? 2 2

故平面 DEF 与平面 ABC 相交所成锐二面角的大小为 19. (本小题满分 12 分)
1 解(Ⅰ)由已知条件得 C2 ?

?
4

.

…………………12 分

1 3 7 ?3? ,……………………2 分 ? ? (1 ? p ) ? ? ? ? p ? 4 4 16 ?4?

2

即 3 p ? 1 ,则 p ?

(Ⅱ)解: ? 可能的取值为 0,1,2,3. ……………………………………………5 分

1 . ……………………………………………………………………4 分 3

-5-

3 3 2 3 7 ; ? ? ? ; P(? ? 1) ? 4 4 3 8 16 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 3 1 …………9 分 P(? ? 2) ? ? ? ? C2 ? ? ? ? ; P(? ? 3) ? ? ? ? 4 4 3 4 4 3 6 4 4 3 48 ? 的分布列为: P(? ? 0) ?

?
P

0

1

2

3

3 8
3 8

7 16

1 6

1 48

………10 分

所以 E? ? 0 ? ? 1 ?

7 1 1 5 ? 2 ? ? 3 ? ? .…………………………………………12 分 16 6 48 6

20 解: (1)? 点 Pn (n, S n ) 都在函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x 的图像上,? Sn ? n2 ? 2n(n ? N * ) , 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 1. …………………………………2 分 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 3 满足上式,所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n ? 1. …3 分 (2)由 f ( x) ? x ? 2 x 求导可得 f ( x) ? 2 x ? 2
2


? 过点 Pn (n, S n ) 的切线的斜率为 k n ,? kn ? 2n ? 2 .…………………………………4 分
?bn ? 2kn an=4 ? (2n ? 1) ? 4n . ? Tn ? 4 ? 3 ? 41 ? 4 ? 5 ? 42 ? 4 ? 7 ? 43 ? ???+4 ? 2n ? 1) ? 4n ① (
由①×4,得

4Tn ? 4 ? 3 ? 42 ? 4 ? 5 ? 43 ? 4 ? 7 ? 44 ? ???+4 ? 2n ? 1) ? 4n?1 ②………………5 分 (
①-②得:

?3Tn ? 4 ?3 ? 4 ? 2 ? ? 42 ? 43 ? ? ? ?+4n ? -(2n ? 1) ? 4n?1 ? ? ?
2 ? ? 4( ? 4n?1) 1 ? 4 ?3 ? 4 ? 2 ? -(2n ? 1) ? 4n?1 ? 1? 4 ? ?

? Tn ?

6n ? 1 n ? 2 16 ? 4 ? …………………………………………………………..7 分 9 9

(3)? Q ? {x x ? 2n ? 2, n ? N ? }, R ? {x x ? 4n ? 2, n ? N ? } ,? Q ? R ? R . 又? cn ? Q ? R ,其中 c1 是 Q ? R 中的最小数,? c1 ? 6 ……………..8 分

??cn ? 是公差是 4 的倍数,?c10 ? 4m ? 6(m ? N * ) ………………….9 分

-6-

又?110 ? c10 ? 115 ,? ?

?110 ? 4m ? 6 ? 115 ?m ? N
*

,解得m=27. ………………….10 分

所以 c10 ? 114 ,设等差数列的公差为 d ,则 d=

c10 ? c1 114 ? 6 = =12, ………11 分 10 ? 1 9

? cn ? 6 ? (n ? 1) ?12 ? 12n ? 6 ,所以 ?cn ? 的通项公式为 cn ? 12n ? 6 …12 分
21. (本小题满分 13 分) 解: (1)由题意, e ?

c 1 ? ,………………….1 分 a 2
2

? 3? ?? ? 2 3 (?1) 2 椭圆 C 经过点 A ( ?1,? ) ,? 2 ? ? 2 ? ? 1 , 2 a b
2 2 2 2 又 a ? b ? c ,解得 b ? 3 , a ? 4 ,所以椭圆方程为
2

x2 y 2 ? ? 1 . …………….3 分 4 3

x2 y 2 1 ? ?1 (2)设直线 EF 的方程为: y ? x ? m ,代入 2 4 3
得: x 2 ? mx ? m2 ? 3 ? 0 .

? x1 ? x2 ? ?m ;………………….4 分 ? ? m2 ? 4(m2 ? 3) ? 0 且 ? 2 ? x1 x2 ? m ? 3
设 A( x0 , y0 ) ,由题意, k AE ?

y ? y0 y1 ? y0 , k AF ? 2 ;………………….5 分 x1 ? x0 x2 ? x0

? k AE ? k AF ?
分子为: t 又 y1 ?

y1 ? x0 y2 ? x0 ( y1 ? x0 )(x2 ? x0 ) ? ( y2 ? x0 )(x1 ? x0 ) ? ? x1 ? x0 x2 ? x0 ( x1 ? x0 )(x2 ? x0 )

? y1 x2 ? y2 x1 ? x0 ( y1 ? y2 ) ? y0 ( x1 ? x2 ) ? 2 x0 y0

1 1 x1 ? m , y2 ? x2 ? m , 2 2

?t ? ( x1 ? x2 )( y1 ? y2 ) ? x1 y1 ? x2 y2 ? x0 ( y1 ? y2 ) ? y0 ( x1 ? x2 ) ? 2x0 y0

? (m ? 2)(x1 ? x2 ) ? x1x2 ? 2m ? 3
? (m ? 2)(?m) ? m2 ? 3 ? 2m ? 3 ? 0

? k AE ? k AF ? 0 .
即,直线 AE、AF 的斜率之和是为定值 0 .………………….8 分
-7-

(3) | EF |? 1 ? k | x1 ? x2 |?
2

5 12 ? 3m 2 2

d?

|1? m | 5 2

,? S ?

1 1 | EF | d ? 12 ? 3m 2 | m ? 1 | ………………….9 分 2 2

3 3 9 设f ( m ) ? s 2 ? ? m 4 ? m 3 ? m 2 ? 6 m ? 3 4 2 4 9 2 9 3 f ?(m) ? ?3m 3 ? m ? m ? 6 ? ? (m ? 1)(2m 2 ? m ? 4) 2 2 2 ? 1 ? 33 ? 1 ? 33 令f ?(m) ? 0可得m1 ? ?1, m2 ? , m3 ? ,又 ? 2 ? m ? 2 4 4 ? ? ? 1 ? 33 ?? ? 1 ? 33 ? ? 1 ? 33 ? ? ? 1 ? 33 ? ?,? 1, ? ?单增,在? 所以f (m)在? ? 2, ,?1?? ,2 ?单减 ? ?? ? ? ?? ? 4 4 4 4 ? ?? ? ? ?? ? .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... 11

所以 f (m)的最大值为 (m3 )或f (m2 ) ,经运算 f(m3 ) 最大………………….12 分 f 所以直线方程为 y ?

1 ? 1 ? 33 ………………….13 分 x? 2 4

22. (本小题满分 13 分) 解:(1)? f ?( x) ? e ? 2ax ,? f ?(1) ? 1 ………………….1 分
x

所以 f (x) 在点 P(0,1) 处的切线方程为 y ? f (0) ? f ?(0) x ,即 y ? x ? 1 .………….3 分
x (2) 由题意 f ?( x) ? e ? 2ax ? 0 恒成立………………….4 分

x ? 0 时 2a ?

e x ( x ? 1) ex ex ,令 g ( x) ? ,则 g ?( x) ? , x x x2

由 g ?( x) ? 0 得 x ? 1 , x ? 1 时 g ?( x) ? 0 , x ? 1 时 g ?( x) ? 0 .

? g ( x)min ? g (1) ? e ,? a ?

e ;………………….5 分 2

ex ex x ? 0 时 2a ? ,? ? 0 ,? 2a ? 0 则 a ? 0 ;………………….6 分 x x
x 又 a ? 0 f ?( x) ? e ? 0 恒成立;………………….7 分

-8-

综上,若函数 f (x) 为 R 上的单调递增函数,则 0 ? a ?

e .………………….8 分 2

(3) 由题意, f ( x) ? x ? 1 ,记 F ( x) ? e x ? ax2 ? x ? 1,即 F ( x) ? 0 恒成立. ……….9 分 若 a ? 0 ,则 x ? ?

1 ? 0 时, F ( x) ? 1 ? x(ax ? 1) ? 1 ? 0 ,与 F ( x) ? 0 恒成立矛盾. 10 分 a

? a ? 0 .此时 F ?( x) ? ex ? 2ax - 1
则 x ? 0 时 F ?( x) ? e0 ? 2ax - 1 ? 0 , x ? 0 时 F ?( x) ? e0 ? 2ax - 1 ? 0 ,

? x ? 0 时 F ( x)min ? F (0) ? 0 ,即 F ( x) ? 0 恒成立. ………………….12 分
综上,若函数 f (x) 不出现在直线 y ? x ? 1 的下方,则 a 的最大值为 0. ………………….13 分

-9-


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