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高中物理奥赛解题方法:11 图象法


十一、图象法
方法简介
图象法是根据题意把抽象复杂的物理过程有针对性地表示成物理图象, 将物理量间的 代数关系转变为几何关系,运用图象直观、形象、简明的特点,来分析解决物理问题,由 此达到化难为易,化繁为简的目的,图象法在处理某些运动问题,变力做功问题时是一种 非常有效的方法。

赛题精讲
例 1:一火车沿直线轨道从静止发出由 A

地驶向 B 地,并停止在 B 地。A 、B 两地 相距 s ,火车做加速运动时,其加速度最大为 a1 ,做减速运动时,其加速度的绝对值最 大为 a2 ,由此可可以判断出该火车由 A 到 B 所需的最短时间为 。 解析:整个过程中火车先做匀加速运动,后做匀减速运动,加速度最大时,所用时间 最短,分段运动可用图象法来解。 根据题意作 v—t 图,如图 11—1 所示。 由图可得:a1 = a2 =
v t2 v t1

① ② ③
2s(a1 ? a 2 ) a1a 2

1 1 s = v (t1 + t2) = vt 2 2

由①、②、③解得:t =

图 11—1

例 2:两辆完全相同的汽车,沿水平直路一前一后匀速行驶,速度为 v0 ,若前车突然 以恒定的加速度刹车,在它刚停住时,后车以前车刹车时的加速度开始刹车。已知前车在 刹车过程中所行的距离为 s ,若要保证两辆车在上述情况中不相碰,则两车在做匀速行驶 时保持的距离至少为( ) A、s B、2s C、3s D、4s 解析:物体做直线运动时,其位移可用速度—时间图象中 的面积来表示,故可用图象法做。 作两物体运动的 v—t 图象如图 11—2 所示,前车发生的位 移 s 为三角形 v0Ot 的面积,由于前后两车的刹车加速度相同, 根据对称性,后车发生的位移为梯形的面积 S′= 3S ,两车的 位移之差应为不相碰时,两车匀速行驶时保持的最小车距 2s 。 图 11—2 所以应选 B 。 例 3:一只老鼠从老鼠洞沿直线爬出,已知爬出速度 v 的大小与距老鼠洞中心的距离 s 成反比,当老鼠到达距老鼠洞中心距离 s1 = 1m 的 A 点时,速度大小为 v1 = 20cm/s ,问
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当老鼠到达距老鼠洞中心 s2 = 2m 的 B 点时, 其速度大小 v2 = ? 老鼠从 A 点到达 B 点所用 的时间 t =? 解析:因为老鼠从老鼠洞沿直线爬出,已知爬出的速度与 通过的距离成反比,则不能通过匀速运动、匀变速运动公式直 接求解,但可以通过图象法求解,因为在 面积即为所求的时间。以距离 s 为横轴, 标系,则 s 与
1 —s 图象中,所围 v 1 为纵轴建立直角坐 v

1 1 成正比,作 —s 图象如图 11—3 所示,由图 v v
1 1 1 + )× = 7.5s 。 0.2 0.1 2

图 11—3

可得 s = 2m 时, 老鼠的速度为 10cm/s 。 1m 到 2m 之间图象与横轴包围的面积即为所求 在 的时间,所以老鼠从 A 到 B 爬行的时间为:t = (

例 4:在一汽缸的活塞下面封闭有 μ 摩尔理想气,由于受到骤然加热,气体迅速膨胀, 且膨胀过程中其热力学温度与其体积的平方成正比,即 T = KV2 。在其体积由 V1 膨胀至 V2 的过程中,气体从外界吸收的热量为 Q1 ,试求此过程中气体的内能增加了多少? 解析:求此过程中气体的内能增加了多少,要用热力学第一定律,由已知条件可知, 关键是要求出气体对外做了多少功,而功可用 p—V 图象中所围的面积来计算。 以缸内气体为研究对象,根据克拉珀龙方程: pV = μRt ① 2 又由已知条件有:T = KV ② ①、②两式可得:p = μRKV 可见气体膨胀时,其压强 p 与体积 V 成正比例。 因此作 p—V 图,如图 11—4 所示,图中阴影区的面积表 示气体在此过程中,对外所做的功 W 。 W=
p1 ? p2 1 (V2-V1) = μRK( V22 - V12 ) 2 2

图 11—4

再由热力学第一定律,可知此过程中气体内能的增加量为:
1 ΔE = Q1-W = Q1- μRK( V22 - V12 ) 2 例 5:如图 11—5 所示,在一个开有小孔的原来不带电的导 体球壳中心 O 点,有一个点电荷 Q ,球壳的内外表面半径分别 为 a 和 b ,欲将电荷 Q 通过小孔缓慢地从 O 点移到无穷远处, 应当做功多少? 解析:球内、外表面上的感应电荷的电量随着放在球心的电 荷电量的改变而改变,感应电荷在球心处产生的电势 U = KQ 感

1 1 ( - ),也与感应电荷的电量 Q 感成正比,利用 U—Q 感的图象 b a

图 11—5

也可以求出外力做的功。
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感应电荷在球心 O 处产生的电势为 U0 ,则:
1 1 U0 = KQ 感( - ) b a

作出 U—Q 感的图象如图 11—5 甲所示, 假设电量 Q 是一份 一份地从无穷远处移到球心,而球内外表面上的感应电荷 Q 感 随球心处的电荷增加而增加,在此过程中移动电荷所做的功就 应等于 U1—Q 感图象中阴影部分所示的三角形的面积,则有:
1 W = Q 感U 2

1 1 当 Q 感 = Q 时,U = U0 = KQ( - ) b a

图 11—5 甲

那么移走 Q 时所做的功应为

KQ2 1 KQ2 1 1 1 ( - ) ,所以:W = ( - ) 2 2 b b a a

例 6: 电源电动势为 ε , 内电阻为 r , 试求其外电阻为何值时, 电源的输出功率最大? 解析:根据全电路欧姆定律得 ε = U + Ir ,由此可知当 ε 、r 不变时, 随 I 线性变化, U 作 U—I 图,图中所围面积为功率。 设电源的输出电流为 I ,路端电压为 U ,由于 U = ε-Ir , 故作 U—I 图如图 11—6 所示,以 AB 线上任意一点和坐标原点为 相对顶点所围成的矩形的面积为: S = IU 显然 S 表示此时电源对应的输出功率,要使电源的输出功率 最大,即要此矩形的面积最大,由几何知识得,当一个顶点位于 图 11—6 AB 线段中点 C 处的矩形面积最大,从图中可得:
1 U= ε 2


? R R?r

根据欧姆定律有:U = 由①、②解得:R = r



即当外电阻 R+r 时,电源的输出功率最大,其最大值为:

?2 4r

例 7:在 11—7 图中,安培表的读数为 I1 = 20mA 。如果电池 εx 反向联结,电流增加 到 I2 = 35mA 。如果电灯发生短路时,电路中的电流 I 等于多少?灯泡的伏安特性曲线如 图 11—7 甲所示。 解析: 题目中给出 ε1 的数值为 9V , x ε 的大小不确定。当 εx 从正向变为反向联结 时,回路的总电动势增大,在 εx<ε1 和 εx >ε1 的两种情况下,I2 都有可能增加。所以 要分两种情况讨论。 由灯泡的伏安特性曲线可知:当 I1 = 图 11—7 图 11—7 甲
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20mA 时,有 U 灯 1 = 3V ,I2 = 35mA 时,U 灯 2 = 9V 。 设两个电源的内阻与电流表内阻总和为 R 内 ,根据回路电压方程有: (1)当 ε1>εx 时,有:ε1-εx-U 灯 1 = I1R 内 ① εx 反向时,有:ε1 + εx-U 灯 2 = I2R 内 ② 由①+②得:2ε1-U 灯 1-U 灯 2 = (I1 + I2)R 内 所以:R 内 =
6 Ω 0.055

将③式代入①式得:εx = 3.8V ③ 短路瞬间,可视电灯两端电压为零,所以原电路中的电流: I1? = 0.048A (2)当 ε1<εx 时,有:εx-ε1-U 灯 1 = I1R 内 εx 反向时,有:εx + ε1-U 灯 2 = I2R 内 ⑤—④得:2ε1-2U 灯 2 + U 灯 1 = (I2-I1)R 内 所以:R 内 =
12000 Ω 15
? x ? ?1 = 0.024A R内

④ ⑤



将⑥式代入④式得:εx = 28V 当回路短路时,电流为: I ?2 =

例 8:如图 11—8 所示,电源 ε =12.0V ,内电阻 r = 0.6Ω ,滑动变阻器与定值电阻 R0(R0 = 2.4Ω)串联,当滑动变阻器的滑片 P 滑到适当位置时,滑动变阻器的发热功率为 9.0W ,求这时滑动变阻器 aP 部分的阻值 Rx 。 解析:由闭合电路欧姆定律作 aP 两端的 Uap—I 图象, 因图上任意 一点的 Uap 与 I 所对应的矩形面积是 外电路电阻 Rx 的输出功率, 从而由 已知 Rx 的功率求出对应的 Rx 值。 根据闭合电路欧姆定律 U = ε -Ir 得: Uap = 12-(0.6 + 2.4)I = 12- 图 11—8 图 11—8 甲 3I , Uap—I 图象如图 11—8 甲所 作 示,由图可分析找到滑动变阻器的发热功率为 9W 的 A 点和 B 点,所以 Rx 有两个值: Rx1 = 90Ω ,Rx1 = 90Ω 例 9:如图 11—9 所示,一宽 40cm 的匀强磁场区域,磁场方向垂直 纸面向里。一边长为 20cm 的正方形导线框位于纸面内,以垂直于磁场 边界的恒定速度 v = 20cm/s 通过磁场区域,在运动过程中,线框有一边 始终与磁场区域的边界平行。取它刚进入磁场的时刻 t = 0 ,在下列图 线中,正确反映感应电流随时间变化规律的是图 11—9 甲中的哪一个 ( ) 图 11—9
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图 11—9 甲 解析:可将切割磁感应线的导体等效为电源按闭合电路来考虑,也可以直接用法拉第 电磁感应定律按闭合电路来考虑。 半导线框部分进入磁场时, 有恒定的感应电流, 当整体全部进入磁场时, 无感应电流, 当导线框部分离开磁场时,又能产生相反方向的感应电流。所以应选 C 。 例 10:LC 振荡回路中电容器两端的电压 U 随时间 t 变化的关系如图 11—10 所示,则 ( ) A、在时刻 t1 ,电路中的电流最大 B、在时刻 t2 ,电路中磁场能最大 C、从时刻 t2 至 t3 ,电路中的电场能不断增大 D、从时刻 t3 至 t4 ,电容的带电量不断增大 解析:在电磁振荡中,电路中的电流、磁场能、电容器 图 11—10 的带电量、电场能都随时间做周期性的变化,但步调不同。 电流和磁场能总是同步调变化,电压、电量和电场能也是同步调变化的。但电流和电容器 的带电量步调不同。电流为零时电量最大,故 BC 正确。

针对训练
1.汽车甲沿着平直的公路以速度 v0 做匀速直线运动。当它路过某处的同时,该处有 一辆汽车乙开始做初速为零的匀加速运动去追赶甲车。根据上述的已知条件( ) A、可求出乙车追上甲车时乙车的速度 B、可求出乙车追上甲车时乙车所走的路程 C、可求出乙车从开始起动到追上甲车时所用的时间 D、不能求出上述三者中任何一个 2.一物体做匀变速直线运动,某时刻速度的大小为 4 米/秒,1 秒钟后速度的大小变 为 10 米/秒。在这 1 秒钟内该物体的( ) A、位移的大小可能小于 4 米 B、位移的大小可能大于 10 米 2 C、加速度的大小可能小于 4 米/秒 D、加速度的大小可能大于 10 米/秒 2 3.在有空气阻力的情况下,以初速 v1 竖直上抛一个物体,经过时间 t1 到达最高点。 又经过时间 t2 ,物体由最高点落回到抛出点,这时物体的速度为 v2 ,则( ) A、v2 = v1 ,t2 = t1 B、v2>v1 ,t2>t1 C、v2<v1 ,t2>t1 D、v2<v1 ,t2<t1 4.一质点沿 x 轴做直线运动,其中 v 随时间 t 的变化如图 11—11(a)所示,设 t = 0 时, 质点位于坐标原点 O 处。试根据 v—t 图分别在 11—11(b)及图 11—11(c)中尽可能准确地 画出( )

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图 11—11 (1)表示质点运动的加速度 a 随时间 t 变化关纱的 a—t 图; (2)表示质点运动的位移 x 随时间 t 变化关系的 x—t 图。 5.物体从某一高度由静止开始滑下,第一次经光滑斜面滑至底端时间为 t1 ,第二次 经过光滑曲面 ACD 滑至底端时间为 t2 ,如图 11—12 所示,设两次通过的路程相等,试 比较 t1 与 t2 的大小关系。

图 11—12 图 11—13 6.两光滑斜面高度相等,乙斜面的总长度和甲斜面的总长度相等,只是由两部分接 成,如图 11—13 所示。将两个相同的小球从斜面的顶端同时释放,不计在接头处的能量损 失,问哪个先滑到底端。 7.A、B 两点相距 s ,将 s 平分为 n 等份。今让一物体(可视为质点)从 A 点由静 止开始向 B 做加速运动,但每过一个等分点,加速度都增加
a ,试求该物体到达 B 点的 n

速度。 8.质量 m = 1kg 的物体 A 开始时静止在光滑水平地面上,在第 1 、3 、5 、…奇数 秒内,给 A 施加同向的 2N 的水平推力 F ,在 2 、4 、6 、…偶数秒内,不给施加力的 作用,问经多少时间,A 可完成 s = 100m 的位移。 9.沿光滑水平面在同一条直线上运动的 A 、B 两物体相碰后共同运动,该过程的位 移图象如图 11—14 所示。可以得出 A、B 的质量比为 。

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图 11—14 图 11—15 10.一均匀的直角三角形木板 ABC ,可绕垂直纸面通过 C 点的水平转动,如图 11 —15 所示。现用一始终沿直角边 AB 的、作用于 A 点的力 F 使 BC 边缓慢地由水平位置转 至竖直位置,在此过程中,力 F 的大小随角α 变化的图线是图 11—15 甲中的( )

图 11—15 甲 11.火车重为 G ,恒定牵引力为 F ,阻力为 f 。当它从静止出发,由车站沿直线驶 过 s 距离到另一站停止,如果途中不用刹车。 (1)求车行驶的最少时间是多少? (2)途中最大速度是多少?

参考答案
1、A 2、AD 3、C 4、如图所示: 5、t1>t2 6、 乙图中小球先到底端 7、vB = 2a (n ? = as(3 ? ) 8、13.64s 9、2∶1 10、D 11、t =
2gfs(F ? f ) 2sFG ,vm = FG g(F ? f )f 1 n s n n ?1 ) 2

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