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指数函数对数函数练习题(含答案)


指数函数及其性质
1.指数函数概念 一般地,函数 2.指数函数函数性质: 函数名称 定义 函数 指数函数 且 叫做指数函数 叫做指数函数,其中 是自变量,函数的定义域为 .

图象

定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 在 上是增函数 图象过定点 ,即当 非奇非偶 在 上是减函数 时, .

函数值的 变化情



变化对图 象的影响

在第一象限内,从逆时针方向看图象, 逐渐增大;在第二象限内,从逆时针方向 看图象, 逐渐减小.

对数函数及其性质
1.对数函数定义 一般地,函数 . 2.对数函数性质: 函数名称 定义 函数 对数函数 且 叫做对数函数 叫做对数函数,其中 是自变量,函数的定义域

图象

定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 在 上是增函数 图象过定点 ,即当 非奇非偶 在 上是减函数 时, .

函数值的 变化情况

变化对图 象的影响

在第一象限内,从顺时针方向看图象, 逐渐增大;在第四象限内,从顺时针方向 看图象, 逐渐减小.

指数函数习题
一、选择题 1.定义运算 a?b=?
?a ?

?a≤b?

?b?a>b? ?

,则函数 f(x)=1?2 的图象大致为(

x

)

2.函数 f(x)=x -bx+c 满足 f(1+x)=f(1-x)且 f(0)=3,则 f(b )与 f(c )的大小关系 是( ) x x A.f(b )≤f(c ) x x B.f(b )≥f(c ) x x C.f(b )>f(c ) D.大小关系随 x 的不同而不同 x 3.函数 y=|2 -1|在区间(k-1,k+1)内不单调,则 k 的取值范围是( ) A.(-1,+∞) B.(-∞,1) C.(-1,1) D.(0,2) 4.设函数 f(x)=ln[(x-1)(2-x)]的定义域是 A,函数 g(x)=lg( a -2 -1)的定义域是 B, 若 A?B,则正数 a 的取值范围( ) A.a>3 B.a≥3 C.a> 5 D.a≥ 5 若数列{an}满足 an=f(n)(n∈N ),且{an}是递
*

2

x

x

x

x

??3-a?x-3,x≤7, ? 5.已知函数 f(x)=? x-6 ?a ,x>7. ?

增数列,则实数 a 的取值范围是( 9 A.[ ,3) 4 C.(2,3) 9 B.( ,3) 4 D.(1,3)

)

1 2 x 6.已知 a>0 且 a≠1,f(x)=x -a ,当 x∈(-1,1)时,均有 f(x)< ,则实数 a 的取值范围 2 是( ) 1 B.[ ,1)∪(1,4] 4 1 D.(0, )∪[4,+∞) 4 1 A.(0, ]∪[2,+∞) 2 1 C.[ ,1)∪(1,2] 2 二、填空题 7.函数 y=a (a>0,且 a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大 ,则 a 的值是________. 2 8.若曲线|y|=2 +1 与直线 y=b 没有公共点,则 b 的取值范围是________. |x| 9.(2011·滨州模拟)定义:区间[x1,x2](x1<x2)的长度为 x2-x1.已知函数 y=2 的定义域为 [a,b],值域为[1,2],则区间[a,b]的长度的最大值与最小值的差为________.
x x

a

三、解答题 10.求函数 y= 2
? ? x2 ? 3 x ? 4

的定义域、值域和单调区间.

11. (2011·银川模拟)若函数 y=a +2a -1(a>0 且 a≠1)在 x∈[-1,1]上的最大值为 14, 求 a 的值.

2x

x

12.已知函数 f(x)=3 ,f(a+2)=18,g(x)=λ·3 -4 的定义域为[0,1]. (1)求 a 的值; (2)若函数 g(x)在区间[0,1]上是单调递减函数,求实数 λ 的取值范围.

x

ax

x

1.解析:由 a?b=? 答案:A

?a ?

?a≤b?

? ?b?a>b?

?2 x 得 f(x)=1?2 =? ?1

x

?x≤0?, ?x>0?.

2. 解析:∵f(1+x)=f(1-x),∴f(x)的对称轴为直线 x=1,由此得 b=2. 又 f(0)=3,∴c=3.∴f(x)在(-∞,1)上递减,在(1,+∞)上递增. 若 x≥0,则 3 ≥2 ≥1,∴f(3 )≥f(2 ).
x x x x

若 x<0,则 3 <2 <1,∴f(3 )>f(2 ).
x x x x

∴f(3 )≥f(2 ).
x x

答案:A 3.解析:由于函数 y=|2 -1|在(-∞,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增,而函数在
x

区间(k-1,k+1)内不单调,所以有 k-1<0<k+1,解得-1<k<1. 答案:C 4. 解析:由题意得:A=(1,2),a -2 >1 且 a>2,由 A?B 知 a -2 >1 在(1,2)上恒成立,即
x x x x

ax-2x-1>0 在(1,2)上恒成立,令 u(x)=ax-2x-1,则 u′(x)=axlna-2xln2>0,所以函数

u(x)在(1,2)上单调递增,则 u(x)>u(1)=a-3,即 a≥3.
答案:B 5. 解析:数列{an}满足 an=f(n)(n∈N ),则函数 f(n)为增函数,
*

注意 a -
8

6

?a>1 >(3-a)×7-3,所以?3-a>0 ?a >?3-a?×7-3
8

,解得 2<a<3.



6

答案:C 1 2 x 1 1 x 1 2 x 2 6. 解析:f(x)< ?x -a < ?x - <a ,考查函数 y=a 与 y=x - 的图象, 2 2 2 2

1 1 当 a>1 时,必有 a- ≥ ,即 1<a≤2, 2 1 1 当 0<a<1 时,必有 a≥ ,即 ≤a<1, 2 2 1 综上, ≤a<1 或 1<a≤2. 2 答案:C

a 3 x 2 x 7. 解析:当 a>1 时,y=a 在[1,2]上单调递增,故 a -a= ,得 a= .当 0<a<1 时,y=a 2 2 a 1 1 3 2 在[1,2]上单调递减,故 a-a = ,得 a= .故 a= 或 . 2 2 2 2
1 3 答案: 或 2 2 8. 解析:分别作出两个函数的图象,通过图象的交点个数来判断参数的取值范围.

曲线|y|=2 +1 与直线 y=b 的图象如图所示,由图象可得:如果|y|=2 +1 与直线 y=b
x x

没有公共点,则 b 应满足的条件是 b∈[-1,1].

答案:[-1,1] 9. 解析:如图满足条件的区间[a,b],当 a=-1,b=0 或 a=0,b=1 时区间长度最 小,最小值为 1,当 a=-1,b=1 时区间长度最大,最大值为 2,故其差为 1. 答案:1 10. 解:要使函数有意义,则只需-x -3x+4≥0,即 x +3x-4≤0,解得-4≤x≤1.
2 2

∴函数的定义域为{x|-4≤x≤1}. 3 2 25 2 2 令 t=-x -3x+4,则 t=-x -3x+4=-(x+ ) + , 2 4 25 3 ∴当-4≤x≤1 时,tmax= ,此时 x=- ,tmin=0,此时 x=-4 或 x=1. 4 2 25 ∴0≤t≤ .∴0≤ 4 ∴函数 y= ( )? 5 2 -x -3x+4≤ . 2 的值域为[ 2 ,1]. 8

1 2

? x2 ? 3 x ? 4

3 2 25 2 由 t=-x -3x+4=-(x+ ) + (-4≤x≤1)可知, 2 4 3 当-4≤x≤- 时,t 是增函数, 2 3 当- ≤x≤1 时,t 是减函数. 2 根据复合函数的单调性知:

y= ( )?

1 2

? x2 ? 3 x ? 4

3 3 在[-4,- ]上是减函数,在[- ,1]上是增函数. 2 2

3 3 ∴函数的单调增区间是[- ,1],单调减区间是[-4,- ]. 2 2 11. 解:令 a =t,∴t>0,则 y=t +2t-1=(t+1) -2,其对称轴为 t=-1.该二次函数
x
2 2

在[-1,+∞)上是增函数. 1 x 2 ①若 a>1,∵x∈[-1,1],∴t=a ∈[ ,a],故当 t=a,即 x=1 时,ymax=a +2a-1=14,解得

a

a=3(a=-5 舍去).
②若 0<a<1,∵x∈[-1,1], 1 1 x ∴t=a ∈[a, ],故当 t= ,即 x=-1 时,

a

a

ymax=( +1)2-2=14. a
1 1 ∴a= 或- (舍去). 3 5 1 综上可得 a=3 或 . 3 12. 解:法一:(1)由已知得 3 + =18?3 =2?a=log32.
a
2

1

a

(2)此时 g(x)=λ·2 -4 ,
x x

设 0≤x1<x2≤1, 因为 g(x)在区间[0,1]上是单调减函数, 所以 g(x1)-g(x2)=(2x1-2x2)(λ-2x2-2x1)>0 恒成立,即 λ<2x2+2x1 恒成立. 由于 2x2+2x1>2 +2 =2,
0 0

所以实数 λ 的取值范围是 λ≤2. 法二:(1)同法一. (2)此时 g(x)=λ·2 -4 ,
x x

因为 g(x)在区间[0,1]上是单调减函数, 所以有 g′(x)=λln2·2 -ln4·4 =ln2[-2· (2x)2+λ· 2x]≤0 成立.
x x

设 2 =u∈[1,2],上式成立等价于-2u +λu≤0 恒成立.
x
2

因为 u∈[1,2],只需 λ≤2u 恒成立, 所以实数 λ 的取值范围是 λ≤2.

对数与对数函数同步练习
一、选择题 1、已知 3a ? 2 ,那么 log3 8 ? 2log3 6 用 a 表示是(
A、 a ? 2 B、 5a ? 2 )
2

C、 3a ? (1 ? a)

D、 3a ? a

2

2、 2log a (M ? 2 N ) ? log a M ? log a N ,则 A、

M 的值为( N

) D、4 或 1

1 4

B、4

C 、1

3 、 已 知 x2 ? y 2 ? 1, x ? 0, y ? 0 , 且 log a (1 ? x) ? m,log a ( ) B、 m ? n C、

1 ? n, 则 log a y 等 于 1? x
D、

A、 m ? n

1 ?m ? n? 2

1 ? m ? n? 2

4 、如果方程 lg 2 x ? (lg5 ? lg 7) lg x ? lg5 lg 7 ? 0 的两根是 ? , ? ,则 ? ? 的值是 ( ) B、 lg 35
? 1

A、 lg 5 lg 7

C、35 )

D、

1 35

5、已知 log7 [log3 (log2 x)] ? 0 ,那么 x 2 等于( A、
1 3

B、

1 2 3

C、

1 2 2


D、

1 3 3

? 2 ? 6、函数 y ? lg ? ? 1? 的图像关于( ? 1? x ?

A、 x 轴对称

B、 y 轴对称

C、原点对称 )

D、直线 y ? x 对称

7、函数 y ? log(2 x?1) 3x ? 2 的定义域是(
?2 ? A、 ? ,1? ?3 ? ?2 ? C、 ? , ?? ? ?3 ?
2

?1, ?? ?

?1 ? B、 ? ,1? ?2 ?

?1, ?? ?

?1 ? D、 ? , ?? ? ?2 ?

8、函数 y ? log 1 ( x 2 ? 6 x ? 17) 的值域是( A、 R B、 ?8, ?? ?

) D、 ?3, ?? ? ) D、 0 ? m ? n ? 1

C、 ? ??, ?3?

9、若 log m 9 ? log n 9 ? 0 ,那么 m, n 满足的条件是( A、 m ? n ? 1 B、 n ? m ? 1 10、 log a 2 ? 1 ,则 a 的取值范围是( 3
? 2? A、? 0, ? ? 3?

C、 0 ? n ? m ? 1 )
?2 ? C、? ,1? ?3 ?

?1, ?? ?

?2 ? B、? , ?? ? ?3 ?

? 2? ?2 ? D、? 0, ? ? , ?? ? ? 3? ?3 ?

11、下列函数中,在 ? 0, 2 ? 上为增函数的是( A、 y ? log 1 ( x ? 1)
2



B、 y ? log 2 x 2 ? 1 D、 y ? log 1 ( x 2 ? 4 x ? 5)
2

C、 y ? log 2 1 x

12 、已知 g ( x) ? loga x+1 ( 在 ? ?1, a? 0 且 a ? 1) 0 ? 上有 g ( x ) ? 0 ,则 f ( x) ? a x ?1 是 ( ) B、在 ? ??, 0 ? 上是减少的 D、在 ? ??, 0 ? 上是减少的 A、在 ? ??, 0 ? 上是增加的 C、在 ? ??, ?1? 上是增加的 二、填空题 13、若 log a 2 ? m,log a 3 ? n, a 2m?n ? 14、函数 y ? log( x-1) (3- x) 的定义域是 15、 lg 25 ? lg 2 lg50 ? (lg 2)2 ? 16、函数 f ( x) ? lg 。 (奇、偶)函数。 。 。

?

x2 ? 1 ? x 是

?

三、解答题: (本题共 3 小题,共 36 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤.) 17、已知函数 f ( x) ?
10 x ? 10? x ,判断 f ( x) 的奇偶性和单调性。 10 x ? 10? x

x2 18、已知函数 f ( x ? 3) ? lg 2 , x ?6
2

(1)求 f ( x) 的定义域; (2)判断 f ( x) 的奇偶性。 19、已知函数 f ( x) ? log3
mx 2 ? 8 x ? n 的定义域为 R ,值域为 ? 0, 2? ,求 m, n 的值。 x2 ? 1

对数与对数函数同步练习参考答案
一、选择题 题号 答案 二、填空题 13、12 16 14、? x 1 ? x ? 3且x ? 2? 、
1 x ?1 ? x
2

1 A

2 B

3 D

4 D

5 C

6 C

7 A

8 C

9 C

10 A

11 D

12 C

?3 ? x ? 0 ? 由 ?x ?1 ? 0 ?x ?1 ? 1 ?

解得 1 ? x ? 3且x ? 2 奇

15、2 ,

? x ? R且f (? x) ? lg( x 2 ? 1 ? x) ? lg

? ? lg( x 2 ? 1 ? x) ? ? f ( x),? f ( x)

为奇函数。 三、解答题 17 、 ( 1 )
f ( x) ? 10 x ? 10? x 102 x ? 1 ? , x?R 10 x ? 10? x 102 x ? 1



f ( ? x) ?

10? x ? 10 x 102 x ? 1 ? ? ? ? f ( x), x ? R 10? x ? 10 x 102 x ? 1

∴ f ( x) 是奇函数 (2) f ( x) ?
102 x ? 1 , x ? R.设x1 , x2 ? (??, ??) ,且 x1 ? x2 , 102 x ? 1

102 x1 ? 1 102 x2 ? 1 2(102 x1 ? 102 x2 ) 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 x1 ? 2 x2 ? ? 0 , ( 102 x1 ? 102 x2 ) 2 x1 2 x2 10 ? 1 10 ? 1 (10 ? 1)(10 ? 1)
∴ f ( x) 为增函数。
x 2 ? 3? ? 3 ? x2 x2 x?3 18、 (1) ∵ f ( x ? 3) ? lg 2 ,∴ f ( x) ? lg ,又由 2 ?0 ? lg 2 x ?3 x ?6 x ?6 ? x ? 3? ? 3
2

得 x2 ? 3 ? 3 ,

∴ f ( x) 的定义域为 ? 3, ?? ? 。

(2)∵ f ( x) 的定义域不关于原点对称,∴ f ( x) 为非奇非偶函数。
mx 2 ? 8 x ? n 3y ? 19、 由 f ( x) ? log3 , 得 x2 ? 1 mx 2 ? 8 x ? n , 即 ? 3y ? m ? x 2 ? 8 x? 3 x2 ? 1
y

? n0 ?

∵ x ? R,?? ? 64 ? 4(3y ? m)(3y ? n) ≥ 0 ,即 32 y ? (m ? n) 3y ? mn ? 16 ≤ 0

?m ? n ? 1 ? 9 由 0≤ y ≤2 , 得 1≤ 由根与系数的关系得 ? , 解得 m ? n ? 5 。 3y≤ 9 , ?mn ? 16 ? 1 9


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