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2007年上海市高中数学竞赛


2007 年上海市高中数学竞赛(新知杯)试卷
(2007 年 3 月 25 日 星期日 上午 8:30—10:30)

【说明】解答本试卷不得使用计算器 一、填空题(本题满分 60 分,前 4 题每小题 7 分,后 4 小题每小题 8 分) 1. 方 程

x1 ? 1

? 2 x2

?

4

1 ?x3 ? 3 2

? 9 x1 ? 的 x2 实? x数 ? 解 ? 3

? x1, x2 , x3 ? ? _______________.
2. 有一条长度为 1 的线段 EF ,其端点 E , F 在边长为 3 的正 方形 ABCD 的四边上滑动,当 EF 绕着正方形的四边滑动 一 周 时 , EF 的 中 点 M 所 形 成 的 轨 迹 的 长 是 _______________. 3. 复数数列 ?an ? 满足 a1 ? 0 , an ? an?12 ? i ( n ? 2 , i 为虚 数单位) ,则它的前 2007 项的和为_______________. 4. 已知 ? ? l ? ? 是大小为 45 的二面角, C 为二面角内一定点,且到半平面 ? 和 ? 的
?

A

D

E B

M F C

距离分别为 2 和 6 , A , B 分别是半平面 ? , ? 内的动点,则 ? ABC 周长的最小 值为_______________. 5. 已 知 平 面 直 角 坐 标 系 中 点 与 点 的 对 应 法 则 f : P ? m, n ? ? P '

?

m, n

?

? m ? 0, n ? 0?

. 若 一 段 曲 线 在 对 应 法 则 f 下 对 应 椭 圆 的 一 段 弧

x2 y 2 ? ? 1? x ? 0, y ? 0 ? ,则这段曲线的方程是________________. a 2 b2
n? ,计算: f ?1? ? f ?3? ??? f ? 2n ?1? ? _______________. 4 x ? xn ? 2 7. 已知数列 ?xn ? 满足 x1 ? 0 , x2 ? 1 , xn ? n ?1 ? n ? 3? ,则数列 ?xn ? 的通项公 2
6. 已知 f ? n ? ? cos 式 xn ? _______________. 8. 已知圆 M : ? x ? 1? ? ? y ? 3? ? 4 ,过 x 轴上的点 P ? a,0? 存在圆 M 的割线 PBA ,
2 2

使得 PA ? BA ,则点 P 的横坐标 a 的取值范围是_______________.

二、解答题 9.(本题满分 14 分)对任意正整数 n ,用 S ? n ? 表示满足不定方程

1 1 1 ? ? 的正整数 x y n

对 ? x, y ? 的个数,例如,满足

1 1 1 ? ? 的正整数对有 ? 6,3? , ? 4, 4 ? , ? 3,6 ? 三个, x y 2

则 S ? 2? ? 3 .求出使得 S ? n? ? 2007 的所有正整数 n . 10. (本题满分 14 分) 已知关于 x 的方程 x3 sin ? ? ?sin ? ? 2? x2 ? 6x ? 4 ? 0 有三个正 实根,求 u ?

9sin 2 ? ? 4sin ? ? 3 的最小值. ?1 ? cos? ?? 2cos? ? 6sin ? ? 3sin 2? ? 2?

11. (本题满分 16 分) 已知抛物线 y ? 2 px ? p ? 0? ,AB
2

是 过 焦 点 F 的 弦 , 如 果 AB 与 x 轴 所 成 的 角 为

? ?0 ?? ?

? ?

??

? ,求 ?AOB . 2?

12. (本题满分 16 分)求满足如下条件的最小正整数 n ,在圆周上任取 n 个点 A1 ,
2 A2 ,…, An ,则在 Cn 个角 ?AiOA j ?1 ? i ? j ? n? 中,至少有 2007 个不超过120? .


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