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山东省临清市高中数学 2.2.2 分段函数全套学案新人教A版必修1


1.2.2

函数的表示方法
分段函数

第二课时

一 、预习目标 通过预习理解分段函数并能解决一些简单问题 二、预习内容 在同一直角坐标系中:做出函数 y ? 2 x ? 1( x ? (1,??)) 的图象和函数

y ? ? x 2 ? 4( x ? ?? ?,1?) 的图象。

/>思考:问题 1、所作出 R 上的图形是否可以作为某个函数的图象? 问题 2、是什么样的函数的图象?和以前见到的图像有何异同? 问题 3、如何表示这样的函数? 三、提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

课内探究学案 一 、学习目标 1.根据要求求函数的解析式 2.了解分段函数及其简单应用 3.理解分段函数是一个函数,而不是几个函数 学习重难点:函数解析式的求法 二 、 学习过程 1 、分段函数 由实际生活中,上海至港、澳、台地区信函部分资费表 重量级别 20 克及 20 克以内 20 克以上至 100 克 100 克以上至 250 克 250 克以上至 500 克 资费(元) 1.50 4.00 8.50 16.70

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-1-

引出问题:若设信函的重量 x (克)应支付的资费为 y 元,能否建立函数 y ? f (x) 的解 析式?导出分段函数的概念。 通过分析课本第 46 页的例 4、例 5 进一步巩固分段函数概念,明确建立分段函数解析式 的一般步骤,学会分段函数图象的作法 可选例:1、动点 P 从单位正方形 ABCD 顶点 A 开始运动,沿正方形 ABCD 的运动路程为自变量 x ,写出 P 点与 A 点距离 y 与 x 的函数关系式。 2、在矩形 ABCD 中,AB=4m,BC=6m,动点 P 以每秒 1m 的速度,从 A 点出发,沿着 矩形的边按 A→D→C→B 的顺序运动到 B, 设点 P 从点 A 处出发经过 t 秒后, 所构成的△ABP 面 积为 S m ,求函数 S ? f (t ) 的解析式。
2

3、以小组为单位构造一个分段函数,并画出该函数的图象。 2、典题 例 1 国内投寄信函(外埠) ,每封信函不超过 20g 付邮资 80 分,超过 20g 而不超过 40g 付邮资 160 分,依次类推,每封 x g(0<x ? 100)的信函应付邮资为(单位:分) ,试写出以 x 为自变量的函数 y 的解析式,并画出这个函数的图像

变式练习 1 作函数 y=|x-2|(x+1)的图像

?x ? ?x 例 2 画出函数 y=|x|= ?

x ? 0, x ? 0. 的图象.

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-2-

变式练习 2 作出分段函数

y ? x ?1 ? x ? 2

的图像

变式练习 3. 作出函数 y ?| x 2 ? 2x ? 3 | 的函数图像

三 、 当堂检测 教材第 47 页 练习 A、B 课后练习与提高 1. 定 义 运 算 ? : a ? b = ? cosx,x∈R,则 F(x)的值域为( A.[-1,1] B. [?

?a, a ≤b, 设 F(x) = f(x) ? g(x), 若 f(x) = sinx,g(x) = ?b, a > b.
)

2 ,1] 2

C. [?1,

2 ] 2

D. [?1,?

2 ] 2
) D.2

2.已知 f ( x) ? ? A.-2

?cos?x, x ? 0, 4 4 则 f ( ) ? f (? ) 的值为( 3 3 ? f ( x ? 1) ? 1, x ? 0,
B.-1 C.1

?sin(?x 2 ),?1 ? x ? 0, ? 3. 设 函 数 f ( x) ? ? x ?1 若 f(1)+f(a) = 2, 则 a 的 所 有 可 能 的 值 是 ?e , x ? 0, ?
__________. 4.某时钟的秒针端点 A 到中心点 O 的距离为 5cm,秒针均匀地绕点 O 旋转,当时间 t=0 时, 点 A 与钟面上标 12 的点 B 重合.将 A、 两点间的距离 d(cm)表示成 t(s)的函数,则 d=________, B 其中 t∈[0,60]. 5.对定义域分别是 Df、Dg 的函数 y=f(x)、y=g(x),规定:函数 h(x)=

? f ( x ) ? g ( x), x ? D f 且x ? Dg , ? x ? D f 且x ? Dg , . ? f ( x ), ? g ( x), ? x ? D f 且x ? Dg .
(1)若函数 f ( x ) ?

1 2 ,g(x)=x ,写出函数 h(x)的解析式; x ?1

(2)求(1)中函数 h(x)的值域; (3)若 g(x)=f(x+α ),其中 α 是常数,且 α ∈[0,π ],请设计一个定义域为 R 的函数 y =f(x)及一个 α 的值,使得 h(x)=cos4x,并予以证明.

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-3-

解答 1 解析:由已知得 F ( x) ? sin x ? cos x ? ? 即 F(x)=

?sin x, sin x ? cos x, ?cos x, sin x ? cos x,

3? ? ? ?sin x, x ? [? 4 ? 2k? , 4 ? 2k? ], ? k ?Z ? ? 5? ?cos x, x ? [ ? 2k? , ? 2k? ], ? 4 4 ?
F(x)=sinx, 当 x ? [?

3? ? 2 ? 2k? , ? 2k? ] ,k ? Z 时,F(x)∈[-1, ]; 4 4 2

F(x)=cosx,当 x ? ( 答案:C

?
4

? 2k? ,

5? 2 ? 2k? ) ,k∈Z 时,F(x)∈(-1, ),故选 C. 4 2

3 解析:由已知可得,①当 a≥0 时,有 e +e =1+e =2,∴e =1.∴a-1=0.∴a=1.②当-1 2 2 <a<0 时,有 1+sin(a π )=2,∴sin(a π )=1. ∴ a ? 2k ?
2

0

a-1

a-1

a-1

1 (k ? Z ) . 2
2

又-1<a<0,∴0<a <1, ∴当 k=0 时,有 a ?
2

1 2 ,∴ a ? ? . 2 2

综上可知,a=1 或 ?

2 . 2
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-4-

答案:1 或 ? 4

2 2

2? ?t t? 弧度,因此当 60 30 ?t ?t 2 2 2 t∈(0,30)时, ?AOB ? ,由余弦定理,得 d ? 5 ? 5 ? 2 ? 5 ? 5 cos 30 30 ?t ?t ? 50(1 ? cos ) ? 100 sin 2 , 30 60 ?t ?t d ? 10 sin ; 当 t∈(30,60) 时 , 在 △AOB 中 , ?AOB ? 2? ? ,由余弦定理,得 60 30 ?t ?t ?t ?t d 2 ? 5 2 ? 5 2 ? 2 ? 5 ? 5 cos( 2? ? ) ? 50(1 ? cos ) ? 100 sin 2 , d ? 10 sin ,且当 30 30 60 60 ?t t=0 或 30 或 60 时,相应的 d(cm)与 t(s)间的关系仍满足 d ? 10 sin . 60 ?t 综上所述, d ? 10 sin ,其中 t∈[0,60]. 60 ?t 答案: 10 sin 60
解析:由题意,得当时间经过 t(s)时,秒针转过的角度的绝对值是

? x2 , x ? (??,1) ? (1,??), ? 5 解:(1) h( x) ? ? x ? 1 ?1, x ? 1. ?
(2)当 x≠1 时, h( x) ?

x2 1 ? x ?1? ? 2, x ?1 x ?1

若 x>1,则 h(x)≥4,当 x=2 时等号成立; 若 x<1,则 h(x)≤0,当 x=0 时等号成立. ∴函数 h(x)的值域是(-∞,0]∪{1}∪[4,+∞). (3)解法一:令 f(x)=sin2x+cos2x, ? ? 则 g ( x) ? f ( x ? ? ) ? sin 2( x ?

?
4

,

?
4

) ? cos 2( x ?

?
4

) =cos2x-sin2x,

于是 h(x)=f(x)·f(x+α ) =(sin2x+cos2x)(cos2x-sin2x)=cos4x. 解法二:令 f ( x) ? 1 ? 2 sin 2x , ? ? 则 g ( x) ? f ( x ? ? ) ? 1 ?

?
2

,

2 sin 2( x ?

?
2

) ? 1 ? 2 sin 2 x ,

于是 h(x)=f(x)·f(x+α )=( 1? 2 sin 2 x )( 1? 2 sin 2 x ) =1-2sin 2x=cos4x.
2

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