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【创新方案】(浙江专版)2014届高考数学一轮复习 4.3 平面向量的数量积及平面向量的应用限时集训 理


限时集训(二十五)

平面向量的数量积及平面向量的应用

(限时:50 分钟 满分:106 分) 一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分) 1. (2012?重庆高考)设 x∈R, 向量 a=(x,1), =(1, b -2), a⊥b, a+b|=( 且 则| A. 5 C.2 5 B. 10 D.10 ) )

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2. (2012?湖北高考)若向量 a=(1,2),=(1, b -1), 2a+b 与 a-b 的夹角等于( 则 π A.- 4 C. π 4 π B. 6 3π D. 4

3.(2013?金华模拟)在△ ABC 中, AB=4,∠ ABC=30°,D 是边 BC 上的一点,且

? ??? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ??? ? AD ? AB = AD ? AC ,则 AD ? AB 的值等于(
A.0 C.8 B.4 D.-4

)

??? ? ??? ? ??? ? 4.如图,在△ABC 中,AD⊥AB, BC = 3 BD ,| AD |=1, ??? ? ??? ? 则 AC ? AD =( )
A.2 3 C. 3 3 B. 3 2

D. 3

5.(2013?郑州模拟)△ABC 的外接圆圆心为 O,半径为 2, OA + AB + AC =0,且 | OA |=| AB |,则 CA 在 CB 方向上的投影为( A.1 C. 3 B.2 D.3

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)

6.已知圆 O 的半径为 1,PA、PB 为该圆的两条切线,A、B 为两切点,那么 PA ? PB 的 最小值为( ) B.-3+ 2 D.-3+2 2

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A.-4+ 2 C.-4+2 2

1 3 1 2 7.已知|a|=2|b|≠0,且关于 x 的函数 f(x)= x + |a|x +a?bx 在 R 上有极值,则 3 2

a 与 b 的夹角范围为(

)

? π? A.?0, ? 6? ?

?π ? B.? ,π ? ?6 ?
1

C.?

?π ,π ? ? ?3 ?

?π 2π ? D.? , ? 3 ? ?3

8.(2013?义乌模拟)平面向量的集合 A 到 A 的映射 f 由 f(x)=x-2(x?a)a 确定,其 中 a 为常向量.若映射 f 满足 f(x)?f(y)=x?y 对 x,y∈A 恒成立,则 a 的坐标不可能是 ( ) A.(0,0) C.? 2? ? 2 , ? 2 2? ? B.? 2? ? 2 , ? 4? ?4

3? ? 1 D.?- , ? 2 2? ?

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 9.已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若向量 a+b 与向量 ka-b 垂直, 则 k=________. π 10.已知两个单位向量 e1,e2 的夹角为 ,若向量 b1=e1-2e2,b2=3e1+4e2,则 b1?b2 3 =________. 11. (2012?北京高考)已知正方形 ABCD 的边长为 1, E 是 AB 边上的动点, DE ? CB 点 则 的值为______; DE ? DC 的最大值为________. 12.(2012?湖南高考)如图,在平行四边形 ABCD 中,AP⊥BD,垂足为 P,且 AP=3,则

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? ??? ??? ? AP ? AC =________.

13. 如图, ABC 的外接圆的圆心为 O, =2, =3, AO ? BC △ AB AC 则 等于________. 14.已知平面向量 α 、β (α ≠β )满足|α |=2,且 α 与 β -α 的夹角为 120°,t∈R,则|(1-t)α +tβ |的取值范围为________. 三、解答题(本大题共 3 个小题,每小题 14 分,共 42 分)

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15.已知 a=(1,2),b=(1,1),且 a 与 a+λ b 的夹角为锐角,求实数 λ 的取值范围.

16.已知△ABC 为锐角三角形,向量 m=(3cos A,sin A),n=(1,-sin A),且 m⊥n. (1)求 A 的大小; (2)当 AB =pm, AC =qn(p>0,q>0),且满足 p+q=6 时,求△ABC 面积的最大值.
2

2

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17.已知向量 a=(1,2),b=(cos α ,sin α ).设 m=a+tb(t 为实数). π (1)若 α = ,求当|m|取最小值时实数 t 的值; 4 π (2)若 a⊥b,问:是否存在实数 t,使得向量 a-b 和向量 m 的夹角为 ,若存在,请求 4 出 t;若不存在,请说明理由.

答案 [限时集训(二十五)] 1.B 2.C 3.B 4.D 5.C 6.D 7.C 8.B 9.解析:∵a+b 与 ka-b 垂直, ∴(a+b)?(ka-b)=0, 化简得(k-1)(a?b+1)=0,根据 a、b 向量不共线,且均为单位向量得 a?b+1≠0, 得 k-1=0,即 k=1. 答案:1 1 10.解析:由题意知|e1|=|e2|=1,且 e1?e2= , 2 所以 b1?b2=(e1-2e2)(3e1+4e2) =3e1-2e1?e2-8e2 1 =3-2? -8=-6. 2 答案:-6 11. 解析: 法一: AB ? AD )为基向量, AE =λ AB (0≤λ ≤1), DE = AE 以 设 则 - AD =λ AB - AD ? CB =- AD 所以 DE ? CB =(λ AB - AD )?( AD )= -λ AB ? AD + AD =-λ ?0+1=1.又 DC = AB ,所以 DE ? AD =(λ AB -
2 2

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??? 2 ?

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??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? AD )? AB =λ AB 2- AD ? AB =λ ?1-0=λ ≤1,即 DE ? DC 的最大值为 1.
法二:建立如图所示的平面直角坐标系,令 E 点坐标为? t ,0? ? 0≤t≤1? 可得

3

? ??? ? ??? ??? ? ???? DE ? CB =? t,-1? ?? 0,-1? =1, DE ? DC =? t,-1? ?? 1,0? =t≤1,, ??? ? ???? ??? ? ???? 故 DE ? DC =1, DE ? DC 最大值为 1.

答案:1

1

12. 解析: AC 与 BD 的交点为 O, AP ? AC = AP ?2 AO =2 AP +2 AP ? PO 设 则 =2?3 +0=18. 答案:18 13.解析: AO ? BC = AO ?( AC - AB )= AO ? AC - AO ? AB .因为 OA=
2

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??? 2 ?

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OB,所以 AO 在 AB 方向上的投影为 | AB |,所以 AO ? AB = ?| AB |?| AB |=2,

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? 1 ??? 2

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1 2

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??? ? ??? 1 ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? 9 ? 9 5 同理 AO ? AC = | AC |?| AC |= ,故 AO ? BC = -2= . 2 2 2 2
5 答案: 2 14.解析:|(1-t)α +tβ | =+|α +t(β -α )| = ? α? = ?
2

+2tα ?? β -α ?
2

+t ? β -α ?

2

2

|β -α |t-1?

+3≥ 3.

所以|(1-t)α +tβ |的取值范围是[ 3,+∞). 答案:[ 3,+∞) 15.解:∵a 与 a+λ b 均为非零向量,且夹角为锐角, ∴a?(a+λ b)>0, 即(1,2)?(1+λ ,2+λ )>0. ∴(1+λ )+2(2+λ )>0. 5 ∴λ >- . 3 当 a 与 a+λ b 共线时,存在实数 m,使 a+λ b=ma, 即(1+λ ,2+λ )=m(1,2),
?1+λ =m, ? ∴? ? ?2+λ =2m,

解得 λ =0.

即当 λ =0 时,a 与 a+λ b 共线,
4

5 综上可知,λ >- 且 λ ≠0. 3 16.解:(1)∵m⊥n,∴3cos A-sin A=0. ∴3cos A-1+cos A=0, 1 2 ∴cos A= . 4 又∵△ABC 为锐角三角形, 1 ∴cos A= , 2 π ∴A= . 3 3? ?3 (2)由(1)可得 m=? , ?, 4 2? ?
2 2 2 2

n=?1,-

? ?

3? ?. 2?

∴| AB |=

??? ?

??? ? 21 7 p,| AC |= q. 4 2

??? ? ? 1 ??? 21 ∴S△ABC= | AB |?| AC |?sin A= pq. 2 32
又∵p+q=6,且 p>0,q>0, ∴ p? q≤

p+q
2



∴ p? q≤3. ∴p?q≤9. ∴△ABC 面积的最大值为 21 189 ?9= . 32 32 π 17.解:(1)因为 α = , 4 所以 b=? 则|m| = ? a+t b?
2 2

3 2 2? ? 2 , , ?,a?b= 2 2 ? ?2

= 5+t +2t a?b

2

= t +3 2t+5 =

? 3 2?2 1 ?t+ ?+ , 2 ? 2 ?

5

3 2 2 所以当 t=- 时,|m|取到最小值,最小值为 . 2 2 (2)存在满足题意的实数 t, π 由条件得 cos 4 = ?

a-b? ?? a+t b? , |a-b||a+t b| a-b?
2 2

又因为|a-b|= ? |a+t b|= ?

= 6,
2

a+t b?

= 5+t ,

(a-b)?(a+t b)=5-t, 则有 5-t 6? 5+t
2



2 ,且 t<5, 2

-5±3 5 2 整理得 t +5t-5=0,所以存在 t= 满足条件. 2

6


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