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2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套题库 第5章 第3讲 平面向量的数量积


第 3 讲 平面向量的数量积
一、选择题 1.若向量 a,b,c 满足 a∥b 且 a⊥c,则 c·(a+2b)=( A.4 C.2 解析 由 a∥b 及 a⊥c,得 b⊥c, B.3 D.0 )

则 c·(a+2b)=c·a+2c·b=0. 答案 D )

?a·a? ? b, 2. 若向量 a 与 b 不共线, a·b≠0,

且 c=a-? 则向量 a 与 c 的夹角为( ?a·b? π π π A.0 B. C. D. 6 3 2 ? ?a·a? ? ?b? 解析 ∵a·c=a·?a-? ? ?a·b? ? 2 ? a ? ?a·b=a2-a2=0, =a·a-? a·b ? ? π 又 a≠0,c≠0,∴a⊥c,∴〈a,c〉= ,故选 D. 2 答案 D 3.若向量 a,b,c 满足 a∥b,且 a⊥c,则 c· (a+2b)= A.4 解析 答案 B.3 C.2 D.0 ( ).

由 a∥b 及 a⊥c,得 b⊥c,则 c· (a+2b)=c· a+2c· b=0. D

→ =λAB → ,AQ → =(1-λ)AC →, 4.已知△ABC 为等边三角形,AB=2.设点 P,Q 满足AP →· → =-3,则 λ 等于 λ∈R.若BQ CP 2 1 A.2 C. 1± 10 2 1± 2 B. 2 D. -3± 2 2 2 ( ).

解析

以点 A 为坐标原点, AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系, 则 B(2,0),

→ =λAB → ,得 P(2λ,0),由AQ → =(1-λ)AC → ,得 Q(1-λ, 3(1-λ)), C(1, 3),由AP
-1-

→ → 所以BQ· CP=(-λ-1, 3(1-λ))· (2λ-1,- 3)=-(λ+1)(2λ-1)- 3× 3(1 3 1 -λ)=-2,解得 λ=2.] 答案 A

5.若 a,b,c 均为单位向量,且 a·b=0,(a-c)·(b-c)≤0,则|a+b-c|的 最大值为( A. 2-1 解析 ). B.1 C. 2 D.2

由已知条件,向量 a,b,c 都是单位向量可以求出,a2=1,b2=1,c2
2

=1,由 a·b=0,及(a-c)(b-c)≤0,可以知道,(a+b)·c≥c =1,因为 |a + b - c|2 = a2 + b2 + c2 + 2a·b - 2a·c - 2b·c ,所以有 |a + b - c|2 = 3 - 2(a·c+b·c)≤1, 故|a+b-c|≤1. 答案 B

α· β 6. 对任意两个非零的平面向量 α 和 β, 定义 α β=β· b 满足|a|≥|b|>0, β.若平面向量 a,
?n ? π? ? a 与 b 的夹角 θ∈?0,4?,且 a b 和 b a 都在集合?2|n∈Z ?中,则 a b= ? ? ? ?

( 1 A.2 解析 B.1 3 C.2 5 D.2

).

α· β a· b |a|· |b|cos θ |b|cos θ 由定义 α β= β2 可得 b a= a2 = |a|2 = |a| ,由|a|≥|b|>0,及 θ

π? |b|cos θ |b|cos θ 1 a· b |a|· |b|cos θ ? ∈?0,4?得 0< |a| <1, 从而 |a| =2, 即|a|=2|b|cos θ.a b= b2 = |b|2 = ? ? π? |a|cos θ 2 1 ? 2 ?0,4? ,所以 <cos θ<1 ,所以 <cos2θ<1 ,所以 = 2cos θ ,因为 θ ∈ |b| 2 2 ? ? 1<2cos2θ<2.结合选项知答案为 C. 答案 C

二、填空题 7. 已知向量 a, b 均为单位向量, 若它们的夹角是 60°, 则|a-3b|等于________. 解析 答案 ∵|a-3b|2=a2-6a·b+9b2=10-6×cos60°=7,∴|a-3b|= 7. 7

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8. 已知向量 a ? (3, ?2) , a ? (3m ?1, 4 ? m) ,若 a ? b ,则 m 的值为
? ? ? ? 解析 ? a ? b,? a ? b ? 3(3m ?1) ? (?2)(4 ? m) ? 0,? m ? 1

?

?

?

?



答案 1 9. 如图,在矩形 ABCD 中,AB= 2,BC=2,点 E 为 BC →· → = 2,则AE →· → 的值 的中点,点 F 在边 CD 上,若AB AF BF 是________. 解析 以 A 点为原点,AB 所在直线为 x 轴,AD 所在直线

→ =( 2,0),AE → =( 2, 为 y 轴建立直角坐标系 xOy,则AB 1), → =(t,2). 设 F(t,2),则AF →· → = 2t= 2,∴t=1, ∵AB AF →· → =( 2,1)· 所以AE BF (1- 2,2)= 2. 答案 2

10.已知向量 a,b,c 满足 a+b+c=0,(a-b)⊥c,a⊥b,若|a|=1,则|a|2+|b|2 +|c|2 的值是________. 解析 由已知 a· c-b· c=0,a· b=0,|a|=1,

又 a+b+c=0,∴a· (a+b+c)=0,即 a2+a· c=0, 则 a· c=b· c=-1, 由 a+b+c=0,∴(a+b+c)2=0, 即 a2+b2+c2+2a· b+2b· c+2c· a=0, ∴a2+b2+c2=-4c· a=4, 即|a|2+|b|2+|c|2=4. 答案 4

三、解答题 11.已知向量 a=(1,2),b=(2,-2). (1)设 c=4a+b,求(b·c)a; (2)若 a+λ b 与 a 垂直,求 λ 的值; (3)求向量 a 在 b 方向上的投影.

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(1)∵a=(1,2),b=(2,-2),

∴c=4a+b=(4,8)+(2,-2)=(6,6). ∴b·c=2×6-2×6=0,∴(b·c) a=0a=0. (2) a+λ b=(1,2)+λ (2,-2)=(2λ +1,2-2λ ), 由于 a+λ b 与 a 垂直, 5 ∴2λ +1+2(2-2λ )=0,∴λ = . 2 (3)设向量 a 与 b 的夹角为 θ , 向量 a 在 b 方向上的投影为|a|cos θ . ∴|a|cos θ =

a·b 1×2+2×?-2? 2 2 = =- =- . 2 2 |b| 2 2 +?-2? 2 2

12.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1). (1)求以线段 AB,AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长; → -tOC → )· → =0,求 t 的值. (2)设实数 t 满足(AB OC 解 → =(3,5),AC → =(-1,1),则 (1)由题设知AB

→ +AC → =(2,6),AB → -AC → =(4,4). AB → +AC → |=2 10,|AB → -AC → |=4 2. 所以|AB 故所求的两条对角线长分别为 4 2,2 10. → =(-2,-1),AB → -tOC → =(3+2t,5+t). (2)由题设知OC → -tOC → )· → =0, 由(AB OC 得(3+2t,5+t)· (-2,-1)=0, 11 从而 5t=-11,所以 t=- 5 . 13.设两向量 e1,e2 满足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2 的夹角为 60° ,若向量 2te1+7e2 与向量 e1+te2 的夹角为钝角,求实数 t 的取值范围. 解
2 由已知得 e2 e2=2×1×cos 60° =1. 1=4,e2=1,e1·

2 2 ∴(2te1+7e2)· (e1+te2)=2te1 +(2t2+7)e1· e2+7te2 =2t2+15t+7.

1 欲使夹角为钝角,需 2t2+15t+7<0,得-7<t<-2.

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设 2te1+7e2=λ(e1+te2)(λ<0), ?2t=λ, 14 ∴? ∴2t2=7.∴t=- 2 ,此时 λ=- 14. ?7=tλ, 14 即 t=- 2 时,向量 2te1+7e2 与 e1+te2 的夹角为 π. ∴当两向量夹角为钝角时,t 的取值范围是 ? 14? ? 14 1? ?-7,- ?∪? ?. 2 ? ?- 2 ,-2? ? 3A 3A? ? 14. 在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 已知 m=?cos 2 ,sin 2 ?, ? ? A A? ? n=?cos 2 ,sin 2 ?,且满足|m+n|= 3. ? ? (1)求角 A 的大小; → |+|AB → |= 3|BC → |,试判断△ABC 的形状. (2)若|AC 解 (1)由|m+n|= 3,得 m2+n2+2m· n=3,

3A A 3A A? ? 即 1+1+2?cos 2 cos 2 +sin 2 sin 2 ?=3, ? ? 1 π ∴cos A=2.∵0<A<π,∴A=3. → |+|AB → |= 3|BC → |,∴sin B+sin C= 3sin A, (2)∵|AC 3 ?2π ? ∴sin B+sin? 3 -B?= 3× 2 , ? ? π? 3 1 3 3 ? 即 2 sin B+2cos B= 2 ,∴sin?B+6?= 2 . ? ? 2π π π 5π ∵0<B< 3 ,∴6<B+6< 6 , π π 2π π π ∴B+6=3或 3 ,故 B=6或2. π π π π 当 B=6时,C=2;当 B=2时,C=6. 故△ABC 是直角三角形.

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