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河北省衡水市武邑中学2015-2016学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析


2015-2016 学年河北省衡水市武邑中学高一(上)期中数学试卷
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只且 只有一项是符合题目要求的,讲正确答案填涂在答题卡上. 1.设全集 U={1,2,3,4,5,6},集合 A={1,2},B={2,3},则 A∩(?UB)=( A.{4,5} B.{2,3} ) D. ) C

.{1} D.{2} )

2.cos510°的值为( A. B.﹣

C.﹣

3.已知角 α 的终边经过点 P(﹣3,4),则 sinα 的值等于( A.﹣ B. C. D.﹣ ) ,g(x)=x

4.下列四组函数中,表示同一函数的是( A.f(x)=log22x,g(x)= C.f(x)=x,g(x)=

B.f(x)=

D.f(x)=lnx2,g(x)=2lnx )

5.若 sin(π﹣θ)<0,tan(π+θ)>0,则 θ 的终边在( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

6.下列函数中,既是奇函数,又在区间[0,+∞)上单调递增的函数是( A.y=tanx B.y=sinx C. D.

)

7.设函数 A.2 B.1 C.﹣1 D.﹣2

,则 f(f(﹣1))的值为(

)

8.一项实验中获得的一组关于变量 y,t 之间的数据整理后得到如图所示的散点图.下列函数 中可以 近视刻画 y 与 t 之间关系的最佳选择是( )

A.y=at B.y=logat

C.y=at3 D.y=a )

9.三个数 a=sin1,b=sin2,c=ln0.2 之间的大小关系是( A.c<b<a B.c<a<b C.b<a<c D.a<c<b 10.函数 f(x)=2sinx+ A.[2 x+m,x∈[﹣ ,

]有零点,则 m 的取值范围是( ]∪(2 ,+∞) D.[﹣2

) ,2 ]

,+∞) B.(﹣∞,2

] C.(﹣∞,2

11.函数 f(x)满足对定义域内的任意 x,都有 f(x+2)+f(x)<2f(x+1),则函数 f(x) 可以是( ) B.f(x)=x2﹣2x C.f(x)=ex D.f(x)=2x+1

A.f(x)=lnx

12.设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,对任意的 x∈R,都有 f(x﹣2)=f(x+2),且当 x∈[﹣ 2,0]时,f(x)=( )x﹣1,则在区间(﹣2,6]内关于 x 的方程 f(x)﹣log2(x+2)=0 的 零点的个数是( A.1 B.2 ) C.3 D.4

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题卡上相应位置. 13.已知 tanα=2,则 cos2α=__________. 14.一个半径为 R 的扇形,它的周长为 4R,则这个扇形的面积为__________. 15.函数 的值域是__________.

16.过原点 O 的直线与函数 y=2x 的图象交于 A,B 两点,过 B 作 y 轴的垂线交函数 y=4x 的 图象于点 C,若 AC 平行于 y 轴,则点 A 的坐标是__________. 三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.已知角 x 的终边经过点 P(﹣1,3) (1)求 sinx+cosx 的值

(2)求

的值.

18.已知函数 f(x)=2sin(2x+ (1)求 f(x)的周期; (2)求 f(x)的单调递增区间; (3)若 x∈[0,

)+1.

],求 f(x)的值域. ,求 m 及 α 的

19.sinα,cosα 为方程 4x2﹣4mx+2m﹣1=0 的两个实根, 值. 20.已知函数 f(x)=2lg(x+1)和 g(x)=lg(2x+t)(t 为常数). (1)求函数 f(x)的定义域; (2)若 x∈[0,1]时,g(x)有意义,求实数 t 的取值范围. (3)若 x∈[0,1]时,f(x)≤g(x)恒成立,求实数 t 的取值范围.

21.销售甲,乙两种商品所得到利润与投入资金 x(万元)的关系分别为 f(x)=m g(x)=bx(其中 m,a,b∈R),函数 f(x),g(x)对应的曲线 C1,C2,如图所示. (1)求函数 f(x)与 g(x)的解析式; (2)若该商场一共投资 4 万元经销甲,乙两种商品,求该商场所获利润的最大值.



22.定义:对于函数 f(x),若在定义域内存在实数 x,满足 f(﹣x)=﹣f(x),则称 f(x) 为“局部奇函数”. (1)已知二次函数 f(x)=ax2+2x﹣4a(a∈R),试判断 f(x)是否为定义域 R 上的“局部奇 函数”?若是,求出满足 f(﹣x)=﹣f(x)的 x 的值;若不是,请说明理由; (2)若 f(x)=2x+m 是定义在区间[﹣1,1]上的“局部奇函数”,求实数 m 的取值范围. (3)若 f(x)=4x﹣m?2x+1+m2﹣3 为定义域 R 上的“局部奇函数”,求实数 m 的取值范围.

2015-2016 学年河北省衡水市武邑中学高一(上)期中数 学试卷
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只且 只有一项是符合题目要求的,讲正确答案填涂在答题卡上. 1.设全集 U={1,2,3,4,5,6},集合 A={1,2},B={2,3},则 A∩(?UB)=( A.{4,5} B.{2,3} C.{1} D.{2} )

【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】集合. 【分析】由全集 U 及 B,求出 B 的补集,找出 A 与 B 补集的交集即可. 【解答】解:∵全集 U={1,2,3,4,5,6},A={1,2},B={2,3}, ∴?UB={1,4,5,6}, 则 A∩(?UB)={1}, 故选:C. 【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 2.cos510°的值为( A. B.﹣ ) D.

C.﹣

【考点】运用诱导公式化简求值. 【专题】三角函数的求值. 【分析】直接利用诱导公式化简求值即可. 【解答】解:cos510°=cos(360°+150°)=cos150°=﹣cos30°= 故选:C. 【点评】本题考查诱导公式的应用,三角函数的化简求值,基本知识的考查. 3.已知角 α 的终边经过点 P(﹣3,4),则 sinα 的值等于( A.﹣ B. C. D.﹣ ) .

【考点】任意角的三角函数的定义. 【专题】三角函数的求值.

【分析】由任意角的三角函数的定义可得 x=﹣3,y=4,r=5,由此求得 sinα=

的值.

【解答】解:∵已知角 α 的终边经过点 P(﹣3,4),由任意角的三角函数的定义可得 x=﹣3, y=4,r=5, ∴sinα= = , 故选 C. 【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义, 4.下列四组函数中,表示同一函数的是( A.f(x)=log22x,g(x)= C.f(x)=x,g(x)= ) ,g(x)=x

B.f(x)=

D.f(x)=lnx2,g(x)=2lnx

【考点】判断两个函数是否为同一函数. 【专题】计算题;函数思想;函数的性质及应用. 【分析】判断函数的定义域与对应法则是否相同,推出结果即可. 【解答】解:f(x)=log22x=x,g(x)= 以是相同函数. f(x)= ,g(x)=x,两个函数的对应法则不相同,所以不是相同函数. 两个函数的定义域不相同,所以不是相同函数. =x,两个函数的定义域相同,对应法则相同,所

f(x)=x,g(x)=

f(x)=lnx2,g(x)=2lnx 两个函数的定义域不相同,所以不是相同函数. 故选:A. 【点评】本题考查两个函数的定义域与对应法则的判断,是基础题. 5.若 sin(π﹣θ)<0,tan(π+θ)>0,则 θ 的终边在( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【考点】三角函数值的符号. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】先利用诱导公式化简 sin(π﹣θ),tan(π+θ),再判断 θ 是第几象限角. 【解答】解:∵sin(π﹣θ)<0, ∴sinθ<0, ∴θ 为二、三象限角或终边在 x 轴负半轴上的角; )

又∵tan(π+θ)>0, ∴tanθ>0, ∴θ 为一、三象限角; 综上,θ 的终边在第三象限. 故选:C. 【点评】本题考查了判断三角函数符号的应用问题,也考查了诱导公式的应用问题,是基础 题目. 6.下列函数中,既是奇函数,又在区间[0,+∞)上单调递增的函数是( A.y=tanx B.y=sinx C. D. )

【考点】函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据函数的奇偶性和函数的单调性分别判断即可. 【解答】解:y=tanx,y=sinx 是奇函数,在[0,+∞)不单调, y= y= 是奇函数,在[0,+∞)单调递增, 不是奇函数,

故选:C. 【点评】本题考查了函数的单调性和奇偶性问题,是一道基础题. 7.设函数 A.2 B.1 C.﹣1 D.﹣2 ,则 f(f(﹣1))的值为( )

【考点】函数的值. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据分段函数的表达式直接代入即可. 【解答】解:由分段函数可知,f(﹣1)= 故选:D. 【点评】本题主要考查函数值的计算,利用分段函数的表达式直接代入即可,比较基础. 8.一项实验中获得的一组关于变量 y,t 之间的数据整理后得到如图所示的散点图.下列函数 中可以 ,f( )= =﹣2,

近视刻画 y 与 t 之间关系的最佳选择是(

)

A.y=at B.y=logat

C.y=at3 D.y=a

【考点】函数解析式的求解及常用方法. 【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】可以判断各选项中的函数的增长速度的大小关系,增长速度相近的是 B 和 D,都显 然小于 A,C 的增长速度,从而来判断 B,D 应选哪个:若用 y=logat 刻画时,根据第一个点 (2,1)容易求出 a=2,从而可以判断(4,2),(8,3),(16,4)这几个点都满足函数 y=log2t,这便说明用该函数刻画是可以的,而同样的方法可以说明不能用 D 选项的函数来刻 画. 【解答】解:各选项函数的增长速度的大小关系为:y=at 和 y=at3 的增长速度显然大于 的增长速度,现判断是函数 y=logat 和 (1)若用函数 y=logat 刻画: 由图看出 1=loga2,∴a=2; ∴log24=2,log28=3,log216=4; 显然满足图形上几点的坐标; ∴用 y=logat 刻画是可以的; (2)若用函数 y=a 由 1=a ∴ 得, 刻画: ; 中的哪一个:

,而由图看出 t=8 时,y=3; 来刻画.

∴不能用函数 故选 B.

【点评】考查函数散点图的概念,清楚指数函数,对数函数和幂函数的增长速度的关系,清 楚本题各选项中函数的图象,待定系数求函数解析式的方法,通过几个特殊点来验证一个函 数解析式能否来反映散点图中两个变量关系的方法. 9.三个数 a=sin1,b=sin2,c=ln0.2 之间的大小关系是( A.c<b<a B.c<a<b C.b<a<c D.a<c<b 【考点】对数值大小的比较. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】利用三角函数与对数函数的单调性即可得出. 【解答】解:∵0<a=sin1<sin(π﹣2)=sin2=b, ∴0<a<b. 又 c=ln0.2<0, ∴c<a<b. 故选:B. 【点评】本题考查了三角函数与对数函数的单调性,属于基础题. 10.函数 f(x)=2sinx+ A.[2 x+m,x∈[﹣ , ]有零点,则 m 的取值范围是( ]∪(2 ,+∞) D.[﹣2 ) ,2 ] )

,+∞) B.(﹣∞,2

] C.(﹣∞,2

【考点】函数的零点与方程根的关系. 【专题】转化思想;数形结合法;函数的性质及应用. 【分析】由题意可得 m 为函数 y=﹣2sinx﹣ ]单调递减,代值计算可得. 【解答】解:∵f(x)=2sinx+ ∴m 为函数 y=﹣2sinx﹣ ∵函数 y=﹣2sinx﹣ ∴当 x=﹣ 当 x= x+m,x∈[﹣ , , ]有零点, x,x∈[﹣ , ]的值域,由函数在 x∈[﹣ ,

x,x∈[﹣ x 在 x∈[﹣ ,

]的值域,

]单调递减, ,

时,函数取最大值 ymax=2 ,

时,函数取最小值 ymin=﹣2

故选:D 【点评】本题考查函数的零点和方程根的关系,涉及三角函数的值域,属基础题.

11.函数 f(x)满足对定义域内的任意 x,都有 f(x+2)+f(x)<2f(x+1),则函数 f(x) 可以是( ) B.f(x)=x2﹣2x C.f(x)=ex D.f(x)=2x+1

A.f(x)=lnx

【考点】函数与方程的综合运用. 【专题】函数思想;分析法;函数的性质及应用. 【分析】将所给的不等式化为:“f(x+2)﹣f(x+1)<f(x+1)﹣f(x)”,得到不等式对应 的函数含义,根据基本函数同为增函数时的增长情况,对答案项逐一进行判断即可. 【解答】解:由 f(x+2)+f(x)<2f(x+1)得, f(x+2)﹣f(x+1)<f(x+1)﹣f(x)①, ∵(x+2)﹣(x+1)=(x+1)﹣x, ∴①说明自变量变化相等时,当自变量越大时,对应函数值的变化量越来越小, 对于 A、f(x)=lnx 是增长越来越慢的对数函数,当自变量越大时, 对应函数值的变化量越来越小,A 正确. 对于 B、f(x)=x2﹣2x 在定义域上不是单调函数,在(﹣∞,1)上递减,在(1,+∞)递增, B 错; 对于 C、f(x)=ex 是增长速度最快﹣呈爆炸式增长的指数函数,当自变量越大时, 对应函数值的变化量越来越大,C 错; 对于 D、f(x)=2x+1 是一次函数,且在 R 上直线递增,函数值的变化量是相等的,D 错. 故选 A. 【点评】本题考查了基本函数同为增函数时的增长速度的应用,此题的关键是将不等式进行 转化,并能理解不等式所表达的函数意义,考查了分析问题、解决问题的能力. 12.设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,对任意的 x∈R,都有 f(x﹣2)=f(x+2),且当 x∈[﹣ 2,0]时,f(x)=( )x﹣1,则在区间(﹣2,6]内关于 x 的方程 f(x)﹣log2(x+2)=0 的 零点的个数是( A.1 B.2 ) C.3 D.4

【考点】函数的周期性;抽象函数及其应用. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据函数的奇偶性和对称性可以得到函数是周期函数,然后将方程转化为两个函数, 利用数形结合即可得到两个函数图象的交点个数,即可得到结论.

【解答】解:∵f(x)是定义在 R 上的偶函数,对任意的 x∈R,都有 f(x﹣2)=f(x+2), ∴f(x﹣2)=f(x+2)=f(2﹣x), 即 f(x)=f(x+4),即函数的周期是 4. 当 x∈[0,2]时,﹣x∈[﹣2,0], 此时 f(﹣x)=( )﹣x﹣1=f(x), 即 f(x)=( )﹣x﹣1,x∈[0,2]. 由 f(x)﹣log2(x+2)=0 得: f(x)=log2(x+2), 分别作出函数 f(x)和 y=log2(x+2)图象如图: 则由图象可知两个图象的交点个数为 4 个, 即方程 f(x)﹣log2(x+2)=0 的零点的个数是 4 个. 故选:D.

【点评】本题主要考查方程根的个数的判断,根据函数的奇偶性和对称性的性质求出函数的 周期性,利用数形结合是解决本题的关键,综合性较强,难度较大. 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题卡上相应位置. 13.已知 tanα=2,则 cos2α= . 【考点】同角三角函数基本关系的运用. 【专题】计算题. 【分析】原式利用同角三角函数间基本关系变形,将 tanα 的值代入计算即可求出值. 【解答】解:∵tanα=2, ∴cos2α= 故答案为: 【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键. = = .

14.一个半径为 R 的扇形,它的周长为 4R,则这个扇形的面积为 R2. 【考点】扇形面积公式. 【专题】计算题. 【分析】先求扇形的弧长 l,再利用扇形面积公式 S= lR 计算扇形面积即可 ∵一个半径为 R 的扇形, ∴2R+l=4R, ∴l=2R 【解答】 解: 设此扇形的弧长为 l, 它的周长为 4R, ∴这个扇形的面积 S= lR= ×2R×R=R2, 故答案为 R2, 【点评】本题主要考查了扇形的面积公式的应用,利用扇形的周长计算其弧长是解决本题的 关键,属基础题 15.函数 的值域是{y|0<y≤1}.

【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】化已知函数为分段函数,分别由指数函数的单调性可得值域,综合可得.

【解答】解:由题意可得 y=

|x|

=



由指数函数 y= 当 x≥0 时,0< 故 0<y≤1;

x

单调递减可知, ≤
0

x

=1,

同理由指数函数 y=3x 单调递增可知, 当 x<0 时,0<3x<30=1, 故 0<y<1; 综上可知:函数的值域为{y|0<y≤1} 故答案为:{y|0<y≤1}. 【点评】本题考查函数的值域,涉及指数函数以及分段函数的值域,属基础题.

16.过原点 O 的直线与函数 y=2x 的图象交于 A,B 两点,过 B 作 y 轴的垂线交函数 y=4x 的 图象于点 C,若 AC 平行于 y 轴,则点 A 的坐标是(1,2).

【考点】指数函数的图像与性质. 【专题】计算题. 【分析】先设 A(n,2n),B(m,2m),则由过 B 作 y 轴的垂线交函数 y=4x 的图象于点 C 写出点 C 的坐标,再依据 AC 平行于 y 轴得出 m,n 之间的关系:n= ,最后根据 A,B,O 三点共线.利用斜率相等即可求得点 A 的坐标. 【解答】解:设 A(n,2n),B(m,2m),则 C( ,2m), ∵AC 平行于 y 轴, ∴n= , ∴A( ,2n),B(m,2m), 又 A,B,O 三点共线. ∴kOA=kOB 即 ?n=m﹣1

又 n= , n=1, 则点 A 的坐标是(1,2) 故答案为:(1,2). 【点评】本题主要考查了指数函数的图象与性质、直线的斜率公式、三点共线的判定方法等, 属于基础题. 三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.已知角 x 的终边经过点 P(﹣1,3) (1)求 sinx+cosx 的值 (2)求 的值.

【考点】同角三角函数基本关系的运用;任意角的三角函数的定义. 【专题】三角函数的求值.

【分析】(1)由角 x 的终边经过点 P,利用任意角的三角函数定义求出 sinx 与 cosx 的值,即 可求出 sinx+cosx 的值; (2)原式利用诱导公式化简,整理后把 tanx 的值代入计算即可求出值. 【解答】解:(1)由点 P(﹣1,3)在角 x 的终边上,得 sinx= ∴sinx+cosx= (2)∵sinx= ∴tanx=﹣3, 则原式= =﹣tanx=3. ; ,cosx=﹣ , ,cosx=﹣ ,

【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用,以及任意角的三角函数定义,熟练掌握 基本关系是解本题的关键. 18.已知函数 f(x)=2sin(2x+ (1)求 f(x)的周期; (2)求 f(x)的单调递增区间; (3)若 x∈[0, ],求 f(x)的值域. )+1.

【考点】三角函数的周期性及其求法;正弦函数的单调性. 【专题】转化思想;综合法;三角函数的图像与性质. 【分析】由条件利用正弦函数的周期性、单调性、定义域和值域,求得结论. 【解答】解:对于函数 f(x)=2sin(2x+ (1)它的周期为 (2)令 2kπ﹣ = π. ≤2x+ ≤2kπ+ ,求得 kπ﹣ ],k∈Z. )∈[0,1], ≤x≤kπ+ , )+1,

可得函数的增区间为[kπ﹣ (3)若 x∈[0, ],则 2x+

,kπ+ ∈[

,π],sin(2x+

求得 f(x)∈[1,3]. 【点评】本题主要考查正弦函数的周期性、单调性、定义域和值域,属于基础题. 19.sinα,cosα 为方程 4x2﹣4mx+2m﹣1=0 的两个实根, 值. ,求 m 及 α 的

【考点】根与系数的关系;同角三角函数间的基本关系. 【专题】计算题. 【分析】通过根与系数的关系,得到正弦和余弦之间的关系,又由正弦和余弦本身有平方和 为 1 的关系,代入求解,注意角是第四象限角,根据角的范围,得到结果. 【解答】解:sinα,cosα 为方程 4x2﹣4mx+2m﹣1=0 的两个实根 ∴ 且 m2﹣2m+1≥0 代入(sinα+cosα)2=1+2sinα?cosα, 得 ∴ ∴ 答: , ,又 , ,又∵ , , ,∴ . ,

【点评】本题考查根与系数的关系与同角的三角函数之间的关系,本题解题的关键是需要自 己根据条件写出关于正弦和余弦的关系式,然后根据正弦和余弦本身具有的关系和角的位置 求出结果,本题是一个中档题目. 20.已知函数 f(x)=2lg(x+1)和 g(x)=lg(2x+t)(t 为常数). (1)求函数 f(x)的定义域; (2)若 x∈[0,1]时,g(x)有意义,求实数 t 的取值范围. (3)若 x∈[0,1]时,f(x)≤g(x)恒成立,求实数 t 的取值范围. 【考点】函数恒成立问题;函数的定义域及其求法. 【专题】计算题. 【分析】(1)根据对数函数要有意义可知真数大于 0 建立不等式关系,即可求出函数的定义 域; (2)要使 x∈[0,1]时,g(x)有意义,可转化成 2x+t>0 在[0,1]上恒成立,然后求出 t 的范 围即可; (3)将 2lg(x+1)≤lg(2x+t)在[0,1]上恒成立转化成(x+1)2≤2x+t 即 t≥x2+1 在[0,1]上 恒成立,然后求出 x2+1 在[0,1]上的最大值即可求出 t 的范围. 【解答】解:(1)x+1>0 即 x>﹣1∴函数 f(x)的定义域为(﹣1,+∞)

(2)∵x∈[0,1]时,g(x)有意义 ∴2x+t>0 在[0,1]上恒成立,即 t>0 ∴实数 t 的取值范围是(0,+∞) (3)∵x∈[0,1]时,f(x)≤g(x)恒成立 ∴2lg(x+1)≤lg(2x+t)在[0,1]上恒成立 即(x+1)2≤2x+t t≥x2+1 在[0,1]上恒成立 ∴t≥2 【点评】本题主要考查了对数函数定义域的求解,以及函数恒成立等有关问题,同时考查了 转化的数学思想,属于中档题. 21.销售甲,乙两种商品所得到利润与投入资金 x(万元)的关系分别为 f(x)=m g(x)=bx(其中 m,a,b∈R),函数 f(x),g(x)对应的曲线 C1,C2,如图所示. (1)求函数 f(x)与 g(x)的解析式; (2)若该商场一共投资 4 万元经销甲,乙两种商品,求该商场所获利润的最大值. ,

【考点】函数解析式的求解及常用方法. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】(1)分别将点(0,0)、(8, )代入 f(x),(8, )代入 g(x)计算即可; (2)设销售甲商品投入资金 x 万元,则乙投入(4﹣x)万元,代入(1)中各式,再令 问题转化为关于 t 的二次函数,通过配方法即得最大值. 【解答】解:(1)根据题意,得 , =t,

解得



, (x≥0), ,即 ,

所以 f(x)= 又由题意知

所以 g(x)=

(x≥0);

(2)设销售甲商品投入资金 x 万元,则乙投入(4﹣x)万元, 由(1)得 y= 令 故 =t,则 = + , ( ), (0≤x≤4),

当 t=2 即 x=3 时,y 取最大值 1, 答:该商场所获利润的最大值为 1 万元. 【点评】本题考查数形结合、还原法、配方法,将图象中的点代入解析式是解题的关键,属 于中档题. 22.定义:对于函数 f(x),若在定义域内存在实数 x,满足 f(﹣x)=﹣f(x),则称 f(x) 为“局部奇函数”. (1)已知二次函数 f(x)=ax2+2x﹣4a(a∈R),试判断 f(x)是否为定义域 R 上的“局部奇 函数”?若是,求出满足 f(﹣x)=﹣f(x)的 x 的值;若不是,请说明理由; (2)若 f(x)=2x+m 是定义在区间[﹣1,1]上的“局部奇函数”,求实数 m 的取值范围. (3)若 f(x)=4x﹣m?2x+1+m2﹣3 为定义域 R 上的“局部奇函数”,求实数 m 的取值范围. 【考点】二次函数的性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】(1)利用局部奇函数的定义,建立方程 f(﹣x)=﹣f(x),然后判断方程是否有解 即可; (2)利用局部奇函数的定义,求出使方程 f(﹣x)=﹣f(x)有解的实数 m 的取值范围,可 得答案; (3)利用局部奇函数的定义,求出使方程 f(﹣x)=﹣f(x)有解的实数 m 的取值范围,可 得答案; 【解答】解:f(x)为“局部奇函数”等价于关于 x 的方程 f(﹣x)=﹣f(x)有解. (1)当 f(x)=ax2+2x﹣4a(a∈R),时, 方程 f(﹣x)=﹣f(x)即 2a(x2﹣4)=0,有解 x=±2, 所以 f(x)为“局部奇函数”. (2)当 f(x)=2x+m 时,f(﹣x)=﹣f(x)可化为 2x+2﹣x+2m=0, …

因为 f(x)的定义域为[﹣1,1],所以方程 2x+2﹣x+2m=0 在[﹣1,1]上有解.… 令 t=2x∈[ ,2],则﹣2m=t+ .

设 g(t)=t+ ,则 g'(t)=



当 t∈(0,1)时,g'(t)<0,故 g(t)在(0,1)上为减函数, 当 t∈(1,+∞)时,g'(t)>0,故 g(t)在(1,+∞)上为增函数. 所以 t∈[ ,2]时,g(t)∈[2, ]. 所以﹣2m∈[2, ],即 m∈[﹣ ,﹣1]. … …

(3)当 f(x)=4x﹣m2x+1+m2﹣3 时,f(﹣x)=﹣f(x)可化为 4x+4﹣x﹣2m(2x+2﹣x)+2m2 ﹣6=0. t=2x+2﹣x≥2,则 4x+4﹣x=t2﹣2, 从而 t2﹣2mt+2m2﹣8=0 在[2,+∞)有解即可保证 f(x)为“局部奇函数”.… 令 F(t)=t2﹣2mt+2m2﹣8, 1° 当 F(2)≤0,t2﹣2mt+2m2﹣8=0 在[2,+∞)有解, 由当 F(2)≤0,即 2m2﹣4m﹣4≤0,解得 1﹣ ≤m≤1+ ; …(13 分)

2° 当 F t2﹣2mt+2m2﹣8=0 在[2, +∞) (2) >0 时, 有解等价于



解得 1+

≤m≤2





(说明:也可转化为大根大于等于 2 求解) 综上,所求实数 m 的取值范围为 1﹣ ≤m≤2 . …(16 分)

【点评】本题主要考查新定义的应用,利用新定义,建立方程关系,然后利用函数性质进行 求解是解决本题的关键,考查学生的运算能力.


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