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正余弦定理及其应用


正、余弦定理及其应用
【怎么考】 1. 利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点. 2.常与三角恒等变换相结合,综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等. 3、对解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题的考查是高考考查的重点.在选择 题、填空题、解答题中都可能考查,多属中、低档题.

【基础自测】
1.(教材习题

改编)在△ABC 中,A=60° ,a=4 3,b=4 2, 则 B= A.45° 或 135° B.135° C.45° D.60° ( D.75° ) ( )

2.在△ABC 中,a= 3,b=1,c=2,则 A 等于 A.30° B.45° C.60°

3 、 ( 教 材 习 题 改 编 ) 在 △ ABC 中 , 若 a = 18 , b = 24 , A = 45 ° , 则 此 三 角 形 有 ( ) A.无解 B.两解 C.一解 D.解的个数不确定 π 1 4.(2011· 北京高考)在△ABC 中,若 b=5,B= ,sin A= , 则 a=_______ 4 3 5、 (2011· 新课标全国卷)△ABC 中, B=120°, AC=7, AB=5, 则△ABC 的面积为________. 【知识回顾】 1、正弦定理 (1)公式: (2)公式变形: ①a ? ,b ? ,c ? . ② sin A ? , sin B ? , sin C ? (其中 R 是△ABC 外接圆半径) ③a∶b∶c= ; 2、余弦定理 (1)公式: a = (2)公式变形
2

b2 =
, cos B ?

;c = , cos C ?

2

cos A ?

3、三角形面积公式 1 (1)S= a· h (h 表示边 a 上的高); 2 a a 1 (2)S= absin C= 2 (3) S ? = ;

1 r (a ? b ? c ) (r 为内切圆半径). 2

4、基本概念 (1)仰角和俯角

(2) 方位角: 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角, 如 B 点 的方位角为α (图②). 方向角:相对于某一正方向的水平角(如图③) (3)视角:观测点与观测目标两端点的连 线所成的夹角叫做视角(如图). 【考向透析】 考向一 利用正、余弦定理解三角形 cos A-2cos C 例 1 (2011· 山东高考)在△ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c.已知 cos B = 2c-a sin C . (1)求 的值; b sin A 1 (2)若 cos B= ,b=2,求△ABC 的面积 S. 4

变式练习: 1、(2011· 抚顺质检)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 a=1,c=4 2, B=45° ,则 sin C 等于 4 A. 41 4 B. 5 4 C. 25 4 41 D. 41 ( )

2、(2011· 辽宁高考)△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, asin Asin B+bcos2A= 2a. b (1)求 ; a (2)若 c2=b2+ 3a2,求 B.

小结:

考向二 利用正、余弦定理判断三角形的形状 例 2(2010· 辽宁高考)在△ABC 中 a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C. (1)求 A 的大小; (2)若 sin B+sin C=1,试判断△ABC 的形状.

变式训练 cos A a 1.△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a, b,c,若 = ,则△ABC 一定是 cos B b ( ) B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形

A.等腰三角形

2、在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 b2+c2=a2+bc. (1)求角 A 的大小; (2)若 sin B· sin C=sin2A,试判断△ABC 的形状.

小结:

考向三 正、余弦定理在实际问题中的应用 例 3 (2010· 陕西高考)如图,A,B 是海面上位于东西方向相距 5(3+ 3)海里的两个观测 点.现位于 A 点北东 45° ,B 点北偏西 60° 的 D 点有一艘轮船发出求救信号,位于 B 点南 偏西 60° 且与 B 点相距 20 3海里的 C 点的救援船立即前往营救,其航行速度为 30 海小 时,该救援船到达 D 点需要多长时间?

变式训练 1.(教材习题改编)如图,设 A、B 两点在河的两岸, 一测量者在 A 的同侧,在所在的河 岸边选定一点 C,测出 AC 的距离为 50 m,∠ACB=45° ,∠CAB=105° 后,就可以计算 出 A、B 两点的距离为( A.50 2 m ) C.25 2 m 25 2 D. m 2

B.50 3 m

2、(2011· 上海高考)在相距 2 千米的 A、B 两点处测量目标点 C,若∠ CAB=75°,∠CBA=60°,则 A、C 两点之间的距离为________千 米. 3、(2012· 台州模拟)如图,测量河对岸的旗杆高 AB 时,选与旗杆底 B 在 同一水平面内的两个测点 C 与 D.测得∠BCD=75°,∠BDC=60°, CD=a, 并在点 C 测得旗杆顶 A 的仰角为 60°, 则旗杆高 AB 为________. 4、(2012· 无锡模拟)如图,两座相距 60 m 的建筑物 AB、CD 的高度分别为 20 m、50 m,BD 为水平面,则从建筑物 AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张角∠CAD 的大小是________. 【课堂小结】

正余弦定理课后习题
1. 在△ABC 中, a、 b 分别是角 A、 B 所对的边, 条件“a<b”是使“cos A>cos B”成立的( A.充分不必要条件 C.充要条件 2、△ABC 中,a= 5,b= 3,sin B= A.1 个 B.2 个 C .3 个 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 2 ,则符合条件的三角形有 2 D.0 个 ( ) )

3、已知圆的半径为 4,a、b、c 为该圆的内接三角形的三边,若 abc=16 2,则三角形 的面积为 A.2 2 B .8 2 C. 2 D. 2 2 ( ) ( )

4、△ABC 中,AB= 3,AC=1,B=30° ,则△ABC 的面积等于 A. 3 2 B. 3 4 C. 3 或 3 2 D. 3 3 或 2 4

5、 (2011· 福建高考)若△ABC 的面积为 3, BC=2, C=60° , 则边 AB 的长度等于________. 6、 在锐角△ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 所对的边, 且 3a=2csin A, 角 C=________. 7、(2012· 泰州模拟)一船向正北航行,看见正东方向有相距 8 海里的两个灯塔恰好在一条 直线上.继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏东 60°,另一灯塔在船的南偏东 75°,则这艘船每小时航行________海里. 8、 (2012· 丽水模拟)要测量底部不能到达的电视塔 AB 的高度,在 C 点测得塔顶 A 的仰角 是 45°,在 D 点测得塔顶 A 的仰角是 30°,并测得水平面上的∠BCD=120°,CD=40 m,则电视塔的高为 . 2π 9、在△ABC 中,a、b、c 分别为 A、B、C 的对边,B= ,b= 13,a+c=4,求 a. 3

10.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边长分别是 a,b,c. π (1)若 c=2,C= ,且△ABC 的面积为 3,求 a,b 的值; 3 (2)若 sin C+sin(B-A)=sin 2A,试判断△ABC 的形状.

11.(2012· 舟山联考)如图,为了计算渭河岸边 两景点 B 与 C 的距离,由于地形的限制, 需要在岸上选取 A 和 D 两个测量点.现测得 AD⊥CD,AD=100 m,AB=140 m,∠BDA =60° ,∠BCD=135° ,求两景点 B 与 C 之间的距离(假设 A,B,C,D 在同一 平面内,测量结果保留整数;参考数据: 2=1.414, 3=1.732, 5=2.236).


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