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上海理工大学附属中学高一数学上册《基本不等式及其应用》练习 沪教版


上海理工大学附属中学高一数学上册 《基本不等式及其应用》 练习 沪 教版 2.4 基本不等式及其应用 1.通晓两种基本不等式的形式: 2 2 1 基本不等式 1:对任意实数 a 和 b ,有 a ? b ? 2ab ,当且仅当 a ? b 时等号成立。 ○ 2 基本不等式 2:对任意正数 a , b ,有 ○ 2.全面理解基本不 等式: a?b ? ab ,当且仅当 a ?

b 时等号成立。 2 1 对于基本不等式 2, a, b ? R ? 条件 可减弱为 a ? 0, b ? 0 ,所以上述条件只是充分不必要 ○ 条件; 2 基本不等式的主体是 ○ 均值; 3 基本不等式等号成立的充要条件是 a ? b ( a ? 0, b ? 0 ) ; ○ 4 掌握不等式 2 的变形: ○ a?b ? ab ( a, b ? R ? ) ,即两正数的算术平均值不小于其几何平 2 a?b ? a?b ? ? ab (a, b ? R ? ) ,变形得: ab ? ? ( a, b ? R ? ) ,由此可知,当积为定值, ? 2 ? 2 ? 和有最小值;当和为定值,积有最大值。 3.知道基本不等式还有其推广形式: 1 对任意 a, b, c ? R ? ,有 a ? b ? c ? 3 3 abc ,当且仅当 a ? b ? c 时等号成立; ○ 2 对任意 a1 , a2 , ○ 2 , an ? R? ,有 a1 ? a2 ? an ? n n a 1 a 2 an ,当且仅当 a1 ? a2 ? ? an 例 1.(1)当 x ? 0 , x ? 1 的取值范围,并指出取的最小值时的 x 的值; x (2)当 x ? 0 ,求 2 x ? 4 的最值,并指出取最值时 x 的值; x (3)若 x ? 1 ,求 x ? 1 的取值范围; x ?1 1 (4)如果 x ? 3 ,求 x 2 ? 3x ? 1 的取值范围; x ?3 1 ,并指出等号成立的条件; 8 例 2.(1)已知 x, y ? R ? ,且 x ? 2 y ? 1 ,求证: xy ? (2)已知 0 ? x ? 1 ,求当 x 取何值时, x(1 ? x) 值最大; (3)已知 0 ? x ? 1 ,则当 x ?_________ 时, 3x(1 ? 2 x) 有最大值 _________ ; 2 (4)当 x ?________ 时, x 1 ? x2 有最大值 ___________ ; 例 3.已知 a, b ? R 且 a ? b ? 1 ,求 ? 1 1 ? 的最小值; a b 变式 一:已知 a, b ? R 且 3a ? 2b ? 1 ,求 ? 1 1 ? 的最小值; a b 变式二:已知 a, b ? R 且 2a ? 3b ? 1 ,求 ? 2 1 ? 的最小 值; a b 变式三 :已知 a, b ? R 且 ? 2 1 ? ? 1 ,求 a ? b 的最小值; a b 例 4.对于问题“已知正数 x, y 满足 x ? 2 y ? 1 ,求 1 1 ? 的最小值”有如下做法: x y 1 1 ?1 1? 1 x ? 2 y ? 1 且 x, y ? 0 , ? ? ? ? ? ? ( x ? 2 y) ? 2 ? 2 2 xy ? 4 2 , x y ?x y? xy 2 ?1 1? ?? ? ? ? 4 2 ? x y ?min 判断以上解法是否正确?说明理由;若不正确 ,请

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