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高一数学暑假复习专题一(集合)


高一数学暑假复习专题 1 集合
一、知识点回顾: 1、定义: 例一、判断下列集合是否为同一个集合 ① A ? ?1,2? , B ? ?1,2? ② A ? ?x ? N | 0 ? x ? 5?, B ? ?x ? R | 0 ? x ? 5? ③ A ? ? y | y ? 2x ? 1 , B ? ?

?

?


?? x, y ? | y ? 2x ?1? ④ A ? ?x | x ? 5?, B ? ? y | y ? 5?
?a? ; ?1, 2,3?
4 ?1, 2 , 3?, ; ?
?

2、元素与集合的关系 例二、用适当的符号填空:

?

?a? ; ?a?

?a, b? ; ?a? ?a? ; ?

3、集合与集合的关系
2 例三、若集合 A ? ?1,3, x? , B ? x ,1 ,且 B ? A ,则 x ?

?

?

例四、已知集合 A ? x 1 ? x ? 4 , B ? x x ? a ,若 A ? B ,则实数 a 的取值集合为
?

?

?

?

?

例五、满足 ?1? ? M ? ?1, 2,3? 的集合 M 为 ? 4、集合的运算 1、交集:一般地,对于两个给定集合 A, B ,由属于 A 又属于 B 的所有元素构成的集合, 叫做 A, B 的交集。记作: A ? B 2、交集的性质:

A? B ? B ? A A ? A? A ; 如果 A ? B ,则 A ? B ? A 。

A?? ? ? ? A ? ?

3、并集:一般地,对于两个给定集合 A, B ,由两个集合的所有元素构成的集合,叫做 A, B 的并集。记作: A ? B 4、并集的性质:

A ? B? B A ? A ? A? A A?? ? ? ? A ? A ; 如果 A ? B ,则 A ? B ? B 5、补集:如果给定的集合 A 是全集 U 的一个子集,由 U 中不属于 A 的所有元素构成的集
合,叫做 A 在 U 中的补集。记作“ CU A ” 6、补集的性质:

A ? CU A ? U A ? CU A ? ?

CU (CU A) ? A

★经典例题: 例一、已知集合 M ? ?0,1,2,4,5,7?, N ? ?1,4,6,8,9?, P ? ?4,7,9? , 则 ? M ? N ? ? ? M ? P? 等于 例二、设集合 M ? {m ? Z | ?3 ? m ? 2} , N ? {n ? Z | ?1≤ n ≤3} ,则 M ? N ? 例三、 A ? ?x | ?1 ? x ? 3? , B ? ?x | x ? a? ,若 A ? B ? ? ,则实数 a 的取值范围是

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2 1. 设全集 U ? R, 集合 M ? x x ? 1 , P ? x x ? 1 ,则 M ______ P 2 2. 集合 P ? x x ? 3 x ? 2 ? 0 , Q ? x mx ? 1 ? 0 , 若 P ? Q ,则实数 m 的值是

?

?

?

?

?

?

?

?

3.已知集合 A 有 n 个元素,则集合 A 的子集个数有

个,真子集个数有

个 .

2 4.已知集合 A= { -1,3, m -1 } ,集合 B= { 3,m } .若 B ? A ,则实数 m = 2

5.已知含有三个元素的集合 {a,

b ,1} ? {a 2 , a ? b, 0}, 求 a2004 ? b2005 的值. a

6、设集合 U ? ( x, y ) y ? x ? 1 , A ? ?? x, y ?

?

?

? ?

y ?1 ? ? 1? ,则 CU A ? x ?

2 2 7、已知集合 A ? x x ? px ? 2 ? 0 , B ? x x ? x ? q ? 0 ,且 A ? B ? ??2,0,1? ,

?

?

?

?

求实数 p, q 的值。
2 2 8、已知集合 A ? ??2? , B ? x x ? ax ? a ? 12 ? 0 ,若 A ? B ? B ,求实数 a 的取值范

?

?

围.

提高部分 (一)一元二次方程和一元二次函数
(必背)1.根的判别式
2 一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的根的情况可以由 b ? 4ac 来判定,我们把
2

b 2 ? 4ac 叫做一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的根的判别式,通常用符号“Δ ”来
表示. 对于一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) ,有⑴、当 Δ >0 时,方程有两个不相等的实数
2

根 x1, 2 ?

b ? b ? b 2 ? 4ac ;⑵、当 Δ =0 时,方程有两个相等的实数根 x1 ? x 2 ? ? ; 2a 2a

⑶、当 Δ <0 时,方程没有实数根. 例 1 求解下列方程:

⑴ x2-3x+3=0; (2) x ? 3x ? 2 ? 0 ; (3) 4 x ? 4 x ? 1 ? 0 ; (4) 2 x ? x ? 2 ? 0
2 2 2

(必背)2.根与系数的关系(韦达定理) 如果 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两根分别是 x1 , x 2 ,那么 x1 ? x 2 ? ?
2

b c , x1 ? x 2 ? 。 a a

例2 设 x1 , x 2 是方程 2 x ? 3x ? 7 ? 0 的两个根,求下列各式的值:
⑴、 x1
2

? x2

2

⑵、 ( x1

? 3)(x2 ? 3)

⑶、

1 1 ? x1 x 2

例 3 已知方程 5 x ? kx ? 6 ? 0 的一个根是 2,求它的另一个根及 k 的值。
2

(必背)3、一元二次函数: y ? ax ? bx ? c(a ? 0) ,当______时,图象开口向上,当______
2

时,图象开口向下;与 x 轴交点的横坐标为方程 ax

2

? bx ? c ? 0(a ? 0) 的根,当Δ>0 时,

函数图像与 x 轴有____交点,坐标为___________;当Δ=0 时,函数图像与 x 轴有______ 交点,坐标为_____;当________时,方程没有实数根,图象与 x 轴_______.图象与 y 轴交点 坐标为______,对称轴所在的直线方程为_______________ 例4 画出下列函数图象 (1) y ? x2 ? 5x ? 6 ; (2) y ? x2 ? 4x ? 4 ;(3) y ? 2x2 ? x ? 4 ; (4) y ? ? x 2 ? 2 x ? 5 练习:1、关于 x 的方程 mx2+ (2m+1)x+m=0 有两个不相等的实数根,则实数 m 的取值 范围_____ 2、方程 kx2+4x-1=0 的两根之和为-2,则 k= 3、程 2x2-x-4=0 的两根为 α、β,则 α2+β2= . . .

4、知关于 x 的方程 x2-ax-3a=0 的一个根是-2,则它的另一个根是
2

5、若关于 x 的方程 x ? x ? a ? 4 ? 0 的一根大于零、另一根小于零,求实数 a 的取 值范围。 6、若关于 x 的方程 x ? x ? a ? 0 的一根大于 1、另一根小于 1,求实数 a 的取值范
2

围。 7、 k 取何值时,方程 x ? (k ? 1) x ? k ? 2 ? 0 有两个相等的实数根,并求出方程的 这两个根。
2

(二)一元二次不等式与集合的含义和表示
2 (必背)一、当 a ? 0 时,一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0 (或 ? 0 )的解集

与二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 图象及一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 的解的关系:
2

? ? b 2 ? 4ac

??0

??0

??0

y ? ax2 ? bx ? c

ax2 ? bx ? c ? 0
根的情况

ax2 ? bx ? c ? 0

ax2 ? bx ? c ? 0
例 1 解下列不等式: (1) x ? 7 x ? 12 ? 0 ;
2

(2) ? x ? 2 x ? 3 ? 0 ;
2

(3) x ? 2 x ? 1 ? 0 ;
2

(4) x ? 2 x ? 2 ? 0 .
2

2 2 例2 已知不等式 x ? ax ? b ? 0 的解集为 {x | ?1 ? x ? 2} , 求不等式 bx ? ax ? 1 ? 0 的解 集.

?巩固练习
1.解下列不等式: (1) 3x ? 7 x ? 2 ? 0 ;
2

(2) ? 6 x ? x ? 2 ? 0 ;
2

(3) 4 x ? 4 x ? 1 ? 0 ;
2

(4) x ? 3x ? 5 ? 0 .
2

2.函数 y ?

? 2 x 2 ? x ? 1 的定义域为____________________________.

3.不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集为 {x | ?
2

1 1 ? x ? } ,求 a ? b . 2 3

4.求 a 的值,使关于 x 的不等式 ax ? 2 x ? 6a ? 0 (a ? 0) 的解集为 {x | x ? 2 或 x ? 3} .
2

例 1、 (1)求方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 的解集;
2

(2)求不等式 x ? 3 ? 2 的解集.

例 2、求方程 x ? x ? 1 ? 0 所有实数解所构成的集合。
2

例 3、已知集合 A= a ? 2, 2a 2 ? a ,若 3 ? A ,求 a 的值.

?

?

例 4、不等式组 ? 轴上。

?2 x ? 1 ? 0 的解集为 A ,U ? R ,试求 A 及 CU A ,并把它们分别表示在数 3x ? 6 ? 0 ?

练习 1、已知集合 A ? ?1, 4 ? , B ? ? ??, a ? ,若 A ≠ B ,求实数 a 的取值范围。

2、已知集合 A ? {x | ax2 ? 2 x ? 1 ? 0, a ? R, x ? R} 。 (1)若 A 中只有一个元素,求 a 的值; 围。 (2)若 A 中至多有一个元素,求 a 的取值范

3、设集合 P ? {x | x 2 ? x ? 6 ? 0}, Q ? {x | x ? a ? 0} 。 (1)设 P ? Q, 求实数 a 的取值范围。 (2)若 P ? Q ? {x | 0 ? x ? 3}, 求实数 a 的取值范围。


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