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全国高中数学联赛竞赛大纲(修订稿)及全部定理内容


全国高中数学联赛竞赛大纲及全部定理内容
一、平面几何
1、 数学竞赛大纲所确定的所有内容。 补充要求:面积和面积方法。 2、 几个重要定理:梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。 3、 几个重要的极值:到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。到三角形三顶点距离的平方和最小的点-重心。三角形内到三边距离之积最大的点--重心。 4、几何不等式。 5、简

单的等周问题。了解下述定理: 在周长一定的n边形的集合中,正n边形的面积最大。 在周长一定的简单闭曲线的集合中,圆的面积最大。 在面积一定的n边形的集合中,正n边形的周长最小。 在面积一定的简单闭曲线的集合中,圆的周长最小。 6、几何中的运动:反射、平移、旋转。 7、复数方法、向量方法。 平面凸集、凸包及应用。

二、代数
1、 在一试大纲的基础上另外要求的内容: 周期函数与周期,带绝对值的函数的图像。 三倍角公式,三角形的一些简单的恒等式,三角不等式。 2、 第二数学归纳法。 递归,一阶、二阶递归,特征方程法。 函数迭代,求n次迭代,简单的函数方程。 3、n个变元的平均不等式,柯西不等式,排序不等式及应用。 4、复数的指数形式,欧拉公式,棣美弗定理,单位根,单位根的应用。 5、 圆排列,有重复的排列与组合,简单的组合恒等式。 6、一元 n 次方程(多项式)根的个数,根与系数的关系,实系数方程虚根成对定理。 7、 简单的初等数论问题,除初中大纲中所包括的内容外,还应包括无穷递降法,同余,欧几里得除法,非负 最小完全剩余类,高斯函数,费马小定理,欧拉函数,孙子定理,格点及其性质。

三、立体几何
1、多面角,多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。 2、正多面体,欧拉定理。 3、体积证法。 4、截面,会作截面、表面展开图。

四、平面解析几何
1、直线的法线式,直线的极坐标方程,直线束及其应用。 2、二元一次不等式表示的区域。 3、三角形的面积公式。 4、圆锥曲线的切线和法线。 5、圆的幂和根轴。

五、其它
抽屉原理。 容斤原理。 极端原理。 集合的划分。 覆盖。

数学竞赛中涉及的重要定理
1、 第二数学归纳法:
有一个与自然数 n 有关的命题,如果: (1)当 n=1 时,命题成立; (2)假设当 n≤k 时命题成立,由此可推得当 n=k+1 时,命题也成立。那么,命题对于一切自然数 n 来说都 成立。

2、 3、

棣美弗定理: 无穷递降法:

设复数 z=r(cosθ+isinθ),其 n 次方 z^n = r^n (cos(nθ)+isin(nθ)),其中 n 为正整数。

证明方程无解的一种方法。其步骤为: 假设方程有解,并设 X 为最小的解。从 X 推出一个更小的解 Y。从而与 X 的最小性相矛盾。所以,方程无解。 4、 同余: 两个整数 a,b,若它们除以整数 m 所得的余数相等,则称 a,b 对于模 m 同余,记作 a ≡ b (mod m) , 读作 a 同余于 b 模 m,或读作 a 与 b 关于模 m 同余。 比如 26 ≡ 14 (mod 12) 【定义】设m是大于 1 的正整数,a,b 是整数,如果 m|(a-b),则称 a 与 b 关于模 m 同余,记作 a≡b(mod m),读作 a 同余于 b 模 m.。有如下事实: (1)若 a≡0(mod m),则 m|a; (2)a≡b(mod m)等价于 a 与 b 分别用 m 去除,余数相同. 5、欧几里得除法: 即辗转相除法。 详见高中数学课标人教 B 版必修三 6、完全剩余类: 从模 n 的每个剩余类中各取一个数,得到一个由 n 个数组成的集合,叫做模 n 的一个完全剩余系。例如, 一个数除以 4 的余数只能是 0,1,2,3,{0,1,2,3}和{4,5,-2,11}是模 4 的完全剩余系。可以看出 0 和 4,1 和 5,2 和-2,3 和 11 关于模 4 同余,这 4 组数分别属于 4 个剩余类。 7、 高斯函数:

f(x)=ae-(x-b)^2/c^2 8、费马小定理:

其中 a、b 与 c 为实数常数 ,且 a > 0.

假如 p 是质数,且(a,p)=1,那么 a^(p-1) ≡1(mod p) 假如 p 是质数,且 a,p 互质,那么 a 的(p-1)次方除以 p 的余数恒等。

9、欧拉函数:
φ 函数的值:通式:φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中 p1, p2…pn 为 x 的所有质因数, x 是不为 0 的整数。φ(1)=1(唯一和 1 互质的数就是 1 本身) 。 若 n 是质数 p 的 k 次幂,φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1),因为除了 p 的倍数外,其他数都跟 n 互质。 欧拉函数是积性函数——若 m,n 互质,φ(mn)=φ(m)φ(n)。 特殊性质:当 n 为奇数时,φ(2n)=φ(n), 证明于上述类似。

10、孙子定理:
此定理的一般形式是设 m = m1 , … , mk 为两两互素的正整数, m=m1, …mk , m=miMi, i=1, 2, … , k 。则同余式组 x≡b1(modm1),…,x≡bk(modmk)的解为 x≡M'1M1b1+…+M'kMkbk (modm) 。式中 M'iMi≡1 (modmi) ,i=1,2,…,k 。

11、裴蜀定理:
对任何整数 a、b 和它们的最大公约

数 d,关于未知数 x 和 y 的线性丢番图方程(称为裴蜀等式) :若 a,b 是整数,且(a,b)=d,那么对于任意的整数 x,y,ax+by 都一定是 d 的倍数,特别地,一定存在整数 x,y,使 ax+by=d 成立。 它的一个重要推论是:a,b 互质的充要条件是存在整数 x,y 使 ax+by=1.

11、梅涅劳斯定理:
如果在△ABC 的三边 BC、CA、AB 或其延长线上有点 D、 BD CE AF ? ? E、F 且 D、E、F 三点共线,则 DC EA FB =1

12、梅涅劳斯定理的逆定理:
如果在△ABC 的三边 BC、CA、AB 或其延长线上 BD CE AF ? ? 有点 D、E、F,且满足 DC EA FB =1,则 D、E、F 三点共线。

13、塞瓦定理:
设 O 是△ABC 内任意一点,AO、BO、CO 分别交对边于 N、P、
AM BN CP ? ? ?1 M,则 MB NC PA

14、塞瓦定理的逆定理:
设 M、N、P 分别在△ABC 的
AM BN CP ? ? ?1 边 AB、BC、CA 上,且满足 MB NC PA ,则 AN、BP、CM 相交于一点。

15、广勾股定理的两个推论:
推论 1:平行四边形对角线的平方和等于四边平方和。 推论 2:设△ABC 三边长分别为 a、b、c,对应边上中线长分别为 ma、mb、mc 1 1 1 2b 2 ? 2c 2 ? a 2 2a 2 ? 2c 2 ? b 2 2a 2 ? 2b 2 ? c 2 则:ma= 2 ;mb= 2 ;mc= 2

16、三角形内、外角平分线定理:
BD AB ? AC 内角平分线定理:如图:如果∠1=∠2,则有 DC
外角平分线定理:如图,AD 是△ABC 中∠A 的外角平分线交 BC 的延长线与 D,

BD AB ? AC 则有 DC

17、托勒密定理:
四边形 ABCD 是圆内接四边形,则有 AB·CD+AD·BC=AC·BD

18、三角形位似心定理:
如图,若△ABC 与△DEF 位似,则通过对应点的三直线 AD、BE、CF 共点于 P

19、正弦定理、
a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C 在△ABC 中有 (R 为△ABC 外接圆半径)

余弦定理:
a、b、c 为△ABC 的边,则有: a2=b2+c2-2bc·cosA; b2=a2+c2-2ac·cosB; c2=a2+b2-2ab·cosC;

20、西姆松定理:
点 P 是△ABC 外接圆周上任意一点,PD⊥BC,PE⊥AC,PF⊥AB,D、E、F 为垂足,则 D、E、F 三点共线, 此直线称为西姆松线。

21、欧拉定理:
△ABC 的外接圆圆心为 O,半径为 R,内切圆圆心为 I,半径为 r,记 OI=d,则有:d2=R2-2Rr.

22、巴斯加线定理:
圆内接六边形 ABCDEF(不论其六顶点排列次序如何) ,其三组对边 AB 与 DE、BC 与 EF、CD 与 FA 的交点 P、Q、R 共线。


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