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【导与练】(新课标)2016高考数学二轮复习 仿真模拟卷(一)文


高考仿真模拟卷(一)
(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知集合 A={1,2,3},B={1,3},则 A∩B 等于( ) (A){2} (B){1,2} (C){1,3} (D){1,2,3} 2. 等于( ) (C)1-2i (D)-1-2i =(2,0), =(1,4),则 等于( )



(A)1+2i (B)-1+2i

3.在△ABC 中 ,D 为 BC 边的中点,若

(A)(-2,-4) (B)(0,-4) (C)(2,4) (D)(0,4) 4.投掷两枚骰子,则点数之和是 6 的概率为( (A) (B) (C) (D)

)

5.已知等差数列{an}满足 a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前 10 项的和 S10 等于( (A)138 (B)135 (C)95 (D)23

)

6. 若 α 、 β ∈ R 且 α ≠ k π + (k ∈ Z), β ≠ k π + (k ∈ Z), 则“ α + β = ”是“ (

tan α

-1)(

tan β -1)=4”的(

)

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 7.为得到函数 y=cos(2x+ )的图象,只需将函数 y=sin 2x 的图象( )

(A)向左平移 个长度单位 (B)向右平移 个长度单位

(C)向左平移 个长度单位 (D)向右平移 个长度单位

8.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为 ,则输入的实数 x 的值是(

)

1

(A) (B)

(C)

(D)

9.若三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,SA⊥平面 ABC,SA=2

,AB=1,AC=2,∠

BAC=60°,则球 O 的表面积为( ) (A)64π (B)16π (C)12π (D)4π a b x 10.已知实数 a,b 满足 2 =3,3 =2,则函数 f(x)=a +x-b 的零点所在的区间是( ) (A)(-2,-1) (B)(-1,0) (C)(0,1) (D)(1,2) 11.如图,一个四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示,则这个四棱锥的侧面积为(

)

(A)2 (C)2( +

(B)6 ) (D)2( + )+2
2

12.设直线 x=t 与函数 f(x)=x ,g(x)=ln x 的图象分别交于点 M,N,则当|MN|达到最小时 t 的 值为( ) (A)1 (B) (C) (D)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知变量 x,y 满足约束条件 则 z=x+y 的最大值是 .

14.若函数 f(x)=

,则 f′(2)=

.

2

15.在平面直角坐标系中,若不等式组 等于 2,则 a= .

(a 为常数)所表示的平面区域内的面积

16.过双曲线 - =1(a>0,b>0)的右顶点 A 作斜率为-1 的直线,该直线与双曲线的两条渐近线

的交点分别为 B,C.若 三、解答题(共 70 分) 17.(本小题满分 12 分)

=

,则双曲线的离心率是

.

在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a +c (1)求 sin C 的值; (2)求△ABC 的面积.

2

2

ac=b ,cos A= ,b=2.

2

18.(本小题满分 12 分) 为了了解某省各景点在大众中的熟知度,随机对 15~65 岁的人群抽样了 n 人,回答问题“该 省有哪几个著名的旅游景点?”统计结果如下图表:

组号 第1组 第2组

分组 [15,25) [25,35)

回答正确 的人数 a 18

回答正确的人数 占本组的频率 0.5 x
3

第3组 第4组 第5组

[35,45) [45,55) [55,65]

b 9 3

0.9 0.36 y

(1)分别求出 a,b,x,y 的值; (2)从第 2,3,4 组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取 6 人,求第 2,3,4 组每组各抽取多少 人? (3)在(2)抽取的 6 人中随机抽取 2 个,求所抽取的人中恰好没有第 3 组人的概率.

19.(本小题满分 12 分) 如图,三棱锥 P ABC 中,PA⊥平面 ABC,PA=1,AB=1,AC=2,∠BAC=60°.

(1)求三棱锥 P ABC 的体积; (2)证明:在线段 PC 上存在点 M,使得 AC⊥BM,并求 的值.

20.(本小题满分 12 分)
4

已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,左、右焦点分别为 F1,F2,且|F1F2|=2,点(1, )在椭 圆 C 上. (1)求椭圆 C 的方程; (2)过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,且△AF2B 的面积为 l 相切的圆的方程. ,求以 F2 为圆心且与直线

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=(x+1)ln x-x+1. 2 (1)若 xf′(x)≤x +ax+1 恒成立,求 a 的取值范围; (2)证明:(x-1)f(x)≥0.

5

请在第 22,23,24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4 1:几何证明选讲 如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,以 AB 为直径的☉O 交 AC 于 D,过点 D 作☉O 的切线交 BC 于 E,AE 交☉O 于点 F.

(1)证明:E 是 BC 的中点; (2)证明:AD?AC=AE?AF.

23.(本小题满分 10 分)选修 4 4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,曲线 C 的极坐标方程为ρ =4 sin(θ + ),现以极点 O 为原点,极轴为 x 轴的

非负半轴建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为

(t 为

参数). (1)写出直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程; (2)设直线 l 和曲线 C 交于 A,B 两点,定点 P(-2,-3),求|PA|?|PB|的值.

6

24.(本小题满分 10 分)选修 4 5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (1)当 a=-2 时,求不等式 f(x)<g(x)的解集; (2)设 a>-1,且当 x∈[- , )时,f(x)≤g(x),求 a 的取值范围.

高考仿真模拟卷(一) 1.C 2.B 3.D 4.A 5.C 因为(a3+a5)-(a2+a4)=2d=6, 所以 d=3,a1=-4, 所以 S10=10a1+ =95.故选 C.

6.A 由(

tan α -1)(

tan β -1)=4 整理得 tan β +1=4,

3tan α tan β -

tan α -



tan α tan β -tan α -tan β =

,

=-

,

可得 tan(α +β )=-

,

所以α +β = +kπ (k∈Z),当 k=0 时,α +β = ,

所以“α +β = ”是“(

tan α -1)(

tan β -1)=4”的充分不必要条件.故

7

选 A. 7.A y=cos(2x+ )=sin(2x+ )=sin 2(x+ ),

只需将函数 y=sin 2x 的图象向左平移 个单位得到函数 y=cos(2x+ )的图象.故选 A.

8.B 该程序的作用是计算分段函数 y=

的函数值.当 x>1 时,若 y= ,即 log2x= ,

则 x=

,当 x≤1 时,若 y= ,即 x-1= ,得 x= 不合题意.故选 B.

9.A 三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上, 因为 AB=1,AC=2,∠BAC=60°, 所以 BC= ,所以∠ABC=90°,

所以△ABC 截球 O 所得的圆 O′的半径 r=1, 因为 SA⊥平面 ABC,SA=2 ,

所以球 O 的半径 R=4, 2 所以球 O 的表面积 S=4π R =64π .故选 A. a b 10.B 因为实数 a,b 满足 2 =3,3 =2, 所以 a=log23>1,0<b=log32<1, x 因为函数 f(x)=a +x-b, x 所以 f(x)=(log23) +x-log32 单调递增, 因为 f(0)=1-log32>0, f(-1)=log32-1-log32=-1<0, x 所以根据函数的零点判定定理得出函数 f(x)=a +x-b 的零点所在的区间为(-1,0),故选 B. 11.C 根据三视图画出直观图,

得出 PA=2,AC=2,AB=

,PB=

,

PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 为正方形, 所以这个四棱锥的侧面积为 2? ?2? 故选 C. 12.D 由题意画出函数图象如图所示, +2? ? ? =2( + ),

8

由图可以看出|MN|=y=t -ln t(t>0). y′=2t- = = .

2

当 0<t< 时,y′<0,可知 y 在此区间内单调递减;

当 t> 时,y′>0,可知 y 在此区间内单调递增.

故当 t= 时,|MN|有最小值.故选 D. 13.解析:作出可行域如图所示,

故目标函数在直线 x-y+3=0 与 x=1 的交点(1,4)处取得最大值, 所以 zmax=1+4=5. 答案:5 14.解析:因为 f(x)= ,

所以 f′(x)=

=

,

所以 f′(2)=

.

答案:

9

15.解析:直线 ax-y+1=0 过点(0,1),当 a<0 时,不等式组所表示的平面区域如图(1)阴影部分 所示,显然面积不可能为 2,故只能 a≥0,此时不等式组所表示的平面区域如图(2)阴影部分 所示,区域为三角形区域,若这个三角形的面积为 2,则 AB=4,即点 B 的坐标为(1,4),代入 y=ax+1 得 a=3.

答案:3 16.解析:直线 l:y=-x+a 与渐近线 l1:bx-ay=0 交于 B( , ),

l 与渐近线 l2:bx+ay=0 交于 C( 因为 A(a,0), 所以 =(, ),

,

),

=(

,-

),

因为

=

,

所以-

=

,

所以 b=2a, 2 2 2 所以 c -a =4a , 所以 e = =5,
2

所以 e= 答案:

.

17.解:(1)由余弦定理可得 b =a +c -2accos B, 因为 a +c 2 2

2

2

2

ac=b ,

2

所以 cos B= ,

10

所以 sin B= ,

因为 cos A= ,所以 sin A= , 所以 sin C=sin(A+B) =sin Acos B+cos Asin B = ? + ?

=

;

(2)由正弦定理可得 = ,

所以 = ,

所以 a= ,

所以 S△ABC= absin C

= ? ?2?

=

.

18.解:(1)由频率表中第 4 组数据可知, 第 4 组总人数为 =25,

再结合频率分布直方图可知 n= 所以 a=100?0.01?10?0.5=5, b=100?0.03?10?0.9=27, x= =0.9,

=100,

11

y=

=0.2;

(2)因为第 2,3,4 组回答正确的人数共有 54 人, 所以利用分层抽样在 54 人中抽取 6 人,每组分别抽取的人数为: 第 2 组: ?6=2 人;

第 3 组: ?6=3 人;

第 4 组: ?6=1 人. (3)设第 2 组 2 人为 A1,A2; 第 3 组 3 人为 B1,B2,B3; 第 4 组 1 人为 C1. 则 从 6 人 中 随 机 抽 取 2 人 的 所 有 可 能 的 结 果 为 (A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C1), (B1,B2),(B1,B3),(B1,C1),(B2,B3),(B2,C1),(B3,C1)共 15 个基本事件, 其中恰好没有第 3 组人共 3 个基本事件, 所以所抽取的人中恰好没有第 3 组人的概率是 P= = . 19.(1)解:由题设 AB=1,AC=2, ∠BAC=60°, 可得 S△ABC= ?AB?AC?sin 60°

= . 由 PA⊥平面 ABC,可知 PA 是三棱锥 P ABC 的高, 又 PA=1, 所以三棱锥 P ABC 的体积 V= ?S△ABC?PA= . (2)证明: 如图,在平面 ABC 内,过点 B 作 BN⊥AC,垂足为 N.在平面 PAC 内,过点 N 作 MN∥PA 交 PC 于点 M,连接 BM.

12

由 PA⊥平面 ABC 知 PA⊥AC, 所以 MN⊥AC. 由于 BN∩MN=N,故 AC⊥平面 MBN, 又 BM? 平面 MBN, 所以 AC⊥BM. 在 Rt△BAN 中,AN=AB?cos ∠BAC= ,

从而 NC=AC-AN= ,

由 MN∥PA,得

=

= .

20.解:(1)设椭圆 C 的方程为 + =1(a>b>0), 由题意可得椭圆 C 两焦点坐标分别为 F1(-1,0),F2(1,0).

所以 2a=

+

= + =4.

所以 a=2, 又 c=1, 2 所以 b =4-1=3, 故椭圆 C 的方程为 + =1. (2)当直线 l⊥x 轴时,计算得到: A(-1,- ),B(-1, ),

= ?|AB|?|F1F2|= ?3?2=3,不符合题意. 当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y=k(x+1), 由 消去 y 得(3+4k )x +8k x+4k -12=0,
2 2 2 2

13

显然Δ >0 成立,设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+x2=,

x1x2= 又|AB| =

,

?

=

?

,

即|AB|=

?

=

,

又圆 F2 的半径 r= = ,

所以

= |AB|r

= ?

?

=

=

,
4 2

化简得 17k +k -18=0, 2 2 即(k -1)(17k +18)=0, 解得 k=±1, 所以 r= = ,
2 2

故圆 F2 的方程为(x-1) +y =2.

14

21.(1)解:f′(x)=

+ln x-1=ln x+ (x>0),

xf′(x)=xln x+1, 2 xf′(x)≤x +ax+1 等价于 ln x-x≤a. 令 g(x)=ln x-x, 则 g′(x)= -1, 当 0<x<1 时,g′(x)>0; 当 x≥1 时,g′(x)≤0,x=1 是 g(x)的最大值点, g(x)≤g(1)=-1, 综上,a 的取值范围是[-1,+∞). (2)证明:由(1)知 g(x)≤g(1)=-1, 即 ln x-x+1≤0. 当 0<x<1 时,f(x)=(x+1)ln x-x+1=xln x+(ln x-x+1)<0, 则(x-1)f(x)>0, 当 x≥1 时,f′(x)=ln x+ >0, 所以 f(x)在[1,+∞)上是增函数, 所以 f(x)≥0,则(x-1)f(x)≥0, 综上得(x-1)f(x)≥0. 22.证明:(1)连接 BD,

因为 AB 为☉O 的直径, 所以 BD⊥AC, 又∠ABC=90°, 所以 CB 切☉O 于点 B, 又 ED 切☉O 于点 D, 因此 EB=ED,所以∠EBD=∠EDB, 又因为∠CDE+∠EDB=90°=∠EBD+∠C, 所以∠CDE=∠C, 所以 ED=EC,因此 EB=EC, 即 E 是 BC 的中点. (2)连接 BF,显然 BF 是 Rt△ABE 斜边上的高, 可得△ABE∽△AFB, 于是有 = , 即 AB =AE?AF,
2

15

同理可得 AB =AD?AC, 所以 AD?AC=AE?AF. 23.解:(1)ρ =4
2

2

sin (θ + )=4sin θ +4cos θ ,
2 2

所以ρ =4ρ sin θ +4ρ cos θ ,所以 x +y -4x-4y=0, 2 2 即曲线 C 的直角坐标方程为(x-2) +(y-2) =8; 直线 l 的普通方程为 x-y+2 -3=0.
2 2

(2)把直线 l 的参数方程代入到圆 C:x +y -4x-4y=0, 得 t -(4+5
2

)t+33=0,

设方程的两根为 t1,t2, 则 t1t2=33. 因为点 P(-2,-3)显然在直线 l 上, 由直线的参数方程下 t 的几何意义知 |PA||PB|=|t1t2|=33. 24.解:(1)当 a=-2 时,不等式 f(x)<g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<0.

设 y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,

则 y=

其图象如图所示. 结合图象可得,y<0 时 0<x<2, 故原不等式的解集为{x|0<x<2}. (2)当 a>-1,且当 x∈[- , )时,f(x)=1+a, 不等式 f(x)≤g(x)化为 1+a≤x+3, 故 x≥a-2 对 x∈[- , )都成立.

故- ≥a-2,

解得 a≤ ,

16

故 a 的取值范围为(-1, ].

17


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