当前位置:首页 >> 数学 >> 2017届苏教版 数列的综合应用 课时跟踪检测

2017届苏教版 数列的综合应用 课时跟踪检测


第 1 页

共 5 页

课时跟踪检测(三十三)
? 一保高考,全练题型做到高考达标

数列的综合应用

1.在数列{an}中,a1=1,数列{an+1-3an}是首项为 9,公比为 3 的等比数列. (1)求 a2,a3;
? an (2)求数列? 3n ? ? ?的前 n 项和 Sn. ?

解:(1)∵数列{an+1-3an}是首项为 9,公比为 3 的等比数列, ∴an+1-3an=9×3n 1=3n 1,
- +

∴a2-3a1=9,a3-3a2=27, ∴a2=12,a3=63. (2)∵an+1-3an=3n 1,∴


an+1 an + - n=1, 3n 1 3

? an ? 1 ∴数列? 3n ?是首项为 ,公差为 1 的等差数列, 3 ? ?
2 ? an ? n n?n-1? 3n -n ∴数列? 3n ?的前 n 项和 Sn= + = . 3 2 6 ? ?

2.(2016· 苏北四市调研)已知数列{an}为等差数列,a1=1,公差 d>0,数列{bn}为等比 数列,且 a2=b1,a6=b2,a18=b3. (1)求数列{an}和数列{bn}的通项公式; c1 c2 cn 1 2 (2)设数列{cn}满足对任意正整数 n 均有 + +?+b = an ,m 为正整数,求所有满足 b1 b2 2 n 不等式 102<c1+c2+?+cm<103 的 m 的值. 解:(1)由已知得 a2,a6,a18 成等比数列,
2 所以 a2 6=a2a18,(a1+5d) =(a1+d)(a1+17d),

化简得 8d2-8a1d=0, 由 d>0,a1=1,{an}为等差数列,所以 a1=d=1,an=n, 又 b1=2,b2=6,b3=18,{bn}为等比数列,所以 bn=2· 3n 1.


c1 c2 cn 1 (2)因为 + +?+ = n2, bn 2 b1 b2 c1 1 当 n=1 时, = ,c1=1, b1 2

? ? 当 n≥2 时,? ? ?

cn-1 cn 1 2 c1 +?+ + = n, b1 bn-1 bn 2 cn-1 1 c1 +?+ = ?n-1?2, b1 bn-1 2


两式相减得 cn=(2n-1)· 3n 1,

第 2 页

共 5 页

又 n=1 时也符合上式, 所以 cn=(2n-1)· 3n 1,n∈N*,


cn=(2n-1)· 3n 1>0,c1=1,c1+c2=10,c1+c2+c3=55,c1+c2+c3+c4=244,c1+c2


+c3+c4+c5=973,c1+c2+c3+c4+c5+c6=3 646, 所以 m=4 或 5. 3.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,S3=6,正项数列{bn}满足 b1· b2· b3· ?· bn =2Sn. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)若 λbn>an 对 n∈N*均成立,求实数 λ 的取值范围. 解:(1)∵a1=1,S3=6,∴3a1+3d=6, ∴数列{an}的公差 d=1,an=n.
?b1· b2· b3· ?· bn=2Sn, ① ? 由题知,? ?b1· b2· b3· ?· bn-1=2Sn-1?n≥2?, ?



①÷ ②得 bn=2Sn-Sn-1=2an=2n(n≥2), 又 b1=2S1=21=2,满足上式,故 bn=2n. n (2)λbn>an 恒成立?λ> n恒成立, 2 n 设 cn= n, 2 当 n≥2 时,cn<1,数列{cn}单调递减, 1 1 ∴(cn)max= ,故 λ> . 2 2 1 ? 所以实数 λ 的取值范围为? ? 2,+∞?. 4.数列{an}满足 a1=1,an+1=2an(n∈N*),Sn 为其前 n 项和.数列{bn}为等差数列,且 满足 b1=a1,b4=S3. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)设 cn= 1 1 1 ,数列{cn}的前 n 项和为 Tn,证明: ≤Tn< . 3 2 bn· log2a2n+2

解:(1)由题意知,{an}是首项为 1,公比为 2 的等比数列, ∴an=a1· 2n 1=2n 1.
- -

∴Sn=2n-1. 设等差数列{bn}的公差为 d,则 b1=a1=1,b4=1+3d=7, ∴d=2,bn=1+(n-1)×2=2n-1. (2)证明:∵log2a2n+2=log222n 1=2n+1,


第 3 页

共 5 页

∴cn=

1 1 = bn· log2a2n+2 ?2n-1??2n+1?

1 1 1 = ? 2n-1-2n+1 ?, 2? ? 1 1 1 1 1 1 ∴Tn= ?1-3+3-5+?+2n-1-2n+1?= 2? ? 1 ? n 1? 1- = . 2? 2n+1? 2n+1 1 1 1 ∵n∈N*,∴Tn= ?1-2n+1?< , 2? ? 2 当 n≥2 时,Tn-Tn-1= n-1 n 1 - = >0, 2n+1 2n-1 ?2n+1??2n-1?

1 ∴数列{Tn}是一个递增数列,∴Tn≥T1= . 3 1 1 综上所述, ≤Tn< . 3 2 ? 二上台阶,自主选做志在冲刺名校

xn+xn+2 1.(2016· 南京师大附中调研)对于数列{xn},若对任意 n∈N*,都有 <xn+1 成立, 2 则称数列{xn}为“减差数列”.设数列{an}是各项都为正数的等比数列,其前 n 项和为 Sn, 7 且 a1=1,S3= . 4 (1)求数列{an}的通项公式,并判断数列{Sn}是否为“减差数列”; (2)设 bn=(2-nan)t+an,若数列 b3,b4,b5,?是“减差数列”,求实数 t 的取值范围. 解:(1)设数列{an}的公比为 q, 7 因为 a1=1,S3= , 4 7 所以 1+q+q2= , 4 即 4q2+4q-3=0, 所以(2q-1)(2q+3)=0. 1 1 因为 q>0,所以 q= ,所以 an= n-1, 2 2 1 1- n 2 1 Sn= =2- n-1, 1 2 1- 2 所以 Sn+Sn+2 1 1 1 =2- n- n+2<2- n=Sn+1, 2 2 2 2

第 4 页

共 5 页

所以数列{Sn}是“减差数列”. n tn-1 1 (2)由题设知,bn=?2-2n-1?t+ n-1=2t- n-1 . ? ? 2 2 由 bn+bn+2 <bn+1(n≥3,n∈N*), 2 tn-1 t?n+2?-1 t?n+1?-1 <2t- , n +t- n+2 2 2n 2

得 t- 即

tn-1 t?n+2?-1 t?n+1?-1 + > ,化简得 t(n-2)>1. + 2n 2n 2n 2

1 又当 n≥3 时,t(n-2)>1 恒成立,即 t> 恒成立, n-2 1 所以 t>?n-2?max=1.

?

?

故 t 的取值范围是(1,+∞). 2.(2016· 南通一调)已知数列{an}是等比数列,且 an>0. (1)若 a2-a1=8,a3=m. ①当 m=48 时,求数列{an}的通项公式; ②若数列{an}是唯一的,求 m 的值; (2)若 a2k+a2k-1+?+ak+1-(ak+ak-1+?+a1)=8,k∈N*,求 a2k+1+a2k+2+?+a3k 的最小值. 解:设数列{an}的公比为 q,则由题意,得 q>0.
?a1q-a1=8, ? (1)①由 a2-a1=8,a3=m=48,得? 2 ? ?a1q =48,

?a1=16-8 3, ?a1=16+8 3, 解得? 或? ?q=3+ 3, ?q=3- 3.
所以数列{an}的通项公式为 an=(16-8 3)(3+ 3)n
-1

或 an=(16+8 3)(3- 3)n 1.


? ?a1q-a1=8, ②要使满足条件的数列{an}是唯一的, 即关于 a1 与 q 的方程组? 2 有唯一正 ?a1q =m ?

数解. 所以方程 8q2-mq+m=0 有唯一解. 则 Δ=m2-32m=0,解得 m=32 或 m=0. 因为 a3=m>0,所以 m=32,此时 q=2. 经检验,当 m=32 时,数列{an}唯一,其通项公式为 an=2n 2.


(2)由 a2k+a2k-1+?+ak+1-(ak+ak-1+?+a1)=8, 得 a1(qk-1)(qk 1+qk 2+?+1)=8,且 q>1.
- -

第 5 页

共 5 页

则 a2k+1+a2k+2+?+a3k=a1q2k(qk 1+qk 2+?+1)=
- -

1 8q2k k =8?q -1+qk-1+2?≥32. k ? ? q -1

当且仅当 qk-1=

1 , qk-1

k 即 q= 2,等号成立. 所以 a2k+1+a2k+2+?+a3k 的最小值为 32.


更多相关文档:

课时跟踪检测(三十四) 数列的综合应用

课时跟踪检测(三十四) 数列的综合应用_其它课程_...(1)求经过 n 年,该市被更换的公交车总数 S(n)...文档贡献者 longanywn 贡献于2017-01-23 ...

课时跟踪检测34 数列的综合应用

课时跟踪检测(三十四) 数列的综合应用 (分Ⅰ、Ⅱ卷,共 2 页) 第Ⅰ卷:夯基保分卷 1.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=a -1(a≠0),则数列{an}( A....

...湘教版一轮复习课时跟踪检测34 数列的综合应用]

2015高三数学(理)湘教版一轮复习课时跟踪检测34 数列的综合应用]_高中教育_教育专区。2015高三数学(理)湘教版一轮复习课时跟踪检测34 数列的综合应用]课时...

...课时跟踪检测33 数列的综合应用 文 湘教版

2015高考数学一轮复习 课时跟踪检测33 数列的综合应用 文 湘教版_高三数学_数学_高中教育_教育专区。今日推荐 四季养生 中医养生与保健 中医养生知识大全 女人养...

课时跟踪检测(三十四) 数列的综合应用

课时跟踪检测(三十四) 数列的综合应用 (分 A、B 卷,共 2 页) A 卷:夯基保分 1.(2015· 云南检测)在数列{an}中,a1=1,数列{an+1-3an}是首项为 9...

课时跟踪检测(二十八) 数列的综合应用

课时跟踪检测(二十八) 数列的综合应用 1.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=an-1(a≠0),则数列{an}( A.一定是等差数列 B.一定是等比数列 C.或者是等差数列...

...湘教版一轮复习课时跟踪检测33 数列的综合应用]

2015高三数学(文)湘教版一轮复习课时跟踪检测33 数列的综合应用]_高中教育_教育专区。2015高三数学(文)湘教版一轮复习课时跟踪检测33 数列的综合应用]课时...

课时跟踪检测(三十三) 数列的综合应用

课时跟踪检测(三十三) 数列的综合应用 (分Ⅰ、Ⅱ卷,共 2 页) 第Ⅰ卷:夯基保分卷 1.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=an-1(a≠0),则数列{an}( A.一定...

课时跟踪检测(三十三) 数列的综合应用

课时跟踪检测(三十三) 数列的综合应用_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高三文科数学总复习 第1 页 共 4 页 课时跟踪检测(三十三) ?一保高考,全练题型做到...

2017届苏教版 直接证明与间接证明 课时跟踪检测

2017届苏教版 直接证明与间接证明 课时跟踪检测_数学_高中教育_教育专区。第 1...· 常州模拟)在数列{an}中,已知 a1= , a =,bn+2=3log an(n∈N*). ...
更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com