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第十二章 概率与统计


第十二章 第一部分
一、选择题

概率与统计 五年高考荟萃

2009 年高考题
1.(09 山东 11)在区间 ??1,1? 上随机取一个数 x , cos 为

?x 1 的值介于 0 到 之间的概率 2 2
( )

?x 1 的值介于 0 到 之 2 2 ? ?x

? ? ?x ? 2 2 2 ?? 或 ? ? ∴ ?1 ? x ? ? 或 ? x ? 1 ,区间长度为 , 间,需使 ? ? 2 2 3 3 2 2 3 3 3 2 ?x 1 1 由几何概型知 cos 的值介于 0 到 之间的概率为 3 ? .故选 A. 2 2 2 3
【解析】 在区间[-1, 1]上随机取一个数 x,即 x ?[?1,1] 时,要使 cos 答案 A 2.(09 山东文)在区间 [ ? 率为 A.

1 A. 3

B.

2

?

C.

1 2

2 D. 3

? ?

1 , ] 上随机取一个数 x, cos x 的值介于 0 到 之间的概 2 2 2
( ).

1 3

B.

2

?

C.

【解析】 在区间 [ ?

? ?

1 2

D.

2 3

1 ? ? ? ? ? 之间,需使 ? ? x ? ? 或 ? x ? ,区间长度为 ,由几何概型知 cos x 的值介 2 2 3 3 2 3

, ] 上随机取一个数 x,即 x ? [ ? , ] 时,要使 cos x 的值介于 0 到 2 2 2 2

? ?

?
1 1 于 0 到 之间的概率为 3 ? .故选 A. 2 ? 3
答案 A 3.(09 安徽卷理)考察正方体 6 个面的中心,甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线,乙也 从这 6 个点中任意选两个点连成直线,则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等 于 A. ( )

1 75

B.

2 75

C.

3 75

D.

4 75

?B ?
C

【解析】如图,甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线,乙也从这 6 个点中任意选两个点连成直线,共有 C6 ? C6 ? 15 ?15 ? 225
2 2

?F

?E ?A

?D

-1-

种不同取法,其中所得的两条直线相互平行但不重合有

AC // DB, AD // CB, AE // BF , AF // BE, CE // FD, CF // ED
共 12 对,所以所求概率为 p ? 答案 D

12 4 ? ,选 D 225 75

4.(2009 安徽卷文)考察正方体 6 个面的中心,从中任意选 3 个点连成三角形,再把剩下 的 3 个点也连成三角形,则所得的两个三角形全等的概率等于 A.1 B. C. D. 0 ( )

3 【解析】依据正方体各中心对称性可判断等边三角形有 C6 个.由正方体各中心的对称性

可得任取三个点必构成等边三角形,故概率为 1,选 A。 答案 A

5、 (2009 江西卷文)甲、乙、丙、丁 4 个足球队参加比赛,假设每场比赛各队取胜的概率 相等,现任意将这 4 个队分成两个组(每组两个队)进行比赛,胜者再赛,则甲、乙相遇 的概率为 A. ( B. ) D.

1 6

1 4

C.

1 3

1 2

【解析】所有可能的比赛分组情况共有 4 ? 种,故选 D . 答案 D

2 2 C4 C2 ? 12 种,甲乙相遇的分组情况恰好有 6 2!

6.(2009 江西卷理)为了庆祝六一儿童节,某食品厂制作了 3 种不同的精美卡片,每袋食 品随机装入一张卡片, 集齐 3 种卡片可获奖, 现购买该种食品 5 袋, 能获奖的概率为 ( )

33 48 C. 81 81 5 5 3 ? (3 ? 2 ? 3) 50 ? 故选 D 【解析】 P ? 35 81
A. B. 答案 D

31 81

D.

50 81

7.(2009 四川卷文)设矩形的长为 a ,宽为 b ,其比满足 b ∶ a =

5 ?1 ? 0.618 ,这种 2

矩形给人以美感,称为黄金矩形。黄金矩形常应用于工艺品设计中。下面是某工艺品厂随 机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本:

-2-

甲批次:0.598 乙批次:0.618

0.625 0.613

0.628 0.592

0.595 0.622

0.639 0.620

根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数,与标准值 0.618 比较,正确结论 是 A.甲批次的总体平均数与标准值更接近 B.乙批次的总体平均数与标准值更接近 C.两个批次总体平均数与标准值接近程度相同 D.两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定 【解析】甲批次的平均数为 0.617,乙批次的平均数为 0.613 答案 A ( )

8.(2009 辽宁卷文)ABCD 为长方形,AB=2,BC=1,O 为 AB 的中点,在长方形 ABCD 内随 机取一点,取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为 A. ( D. 1 ? )

? 4

B. 1 ?

? 4

C.

? 8

? 8
? 2

【解析】长方形面积为 2,以 O 为圆心,1 为半径作圆,在矩形内部的部分(半圆)面积为

因此取到的点到 O 的距离小于 1 的概率为 取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为 1 ? 答案 B

? ? ÷ 2= 2 4

? 4
1 ,则 P ? E I F ? 的 4
( )

9.(2009 年上海卷理)若事件 E 与 F 相互独立,且 P ? E ? ? P ? F ? ? 值等于 A. 0 B.

1 16

C.

1 4

D.

1 2

【解析】 P ? E I F ? = P ? E ? ? P ? F ? ? 答案 B 二、填空题

1 1 1 ? = 4 4 16

10.( 2009 广 东 卷 理 ) 已知离散型随机变量 X 的分布列如右表.若 EX ? 0 , DX ? 1 , 则a ? ,b ? .

【解析】由题知 a ? b ? c ?

11 1 1 2 2 2 ? 1 ,解得 , ? a ? c ? ? 0 ,1 ? a ? 1 ? c ? 2 ? 12 6 12
-3-

a?

5 1 ,b ? . 12 4

答案 11.(2009 安徽卷理)若随机变量 X ~ N (? , ? 2 ) ,则 P( X ? ? ) =________. 答案

1 2

12.(2009 安徽卷文)从长度分别为 2、3、4、5 的四条线段中任意取出三条,则以这三条线 段为边可以构成三角形的概率是________。 【解析】依据四条边长可得满足条件的三角形有三种情况:2、3、4 或 3、4、5 或 2、4、 5,故 P ?

3 3 ? =0.75. 3 C4 4

答案 0.75 13.(2009 江苏卷)现有 5 根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为 2.5,2.6,2.7,2.8,2.9, 若从中一次随机抽取 2 根竹竿,则它们的长度恰好相差 0.3m 的概率为 【解析】 考查等可能事件的概率知识。 从 5 根竹竿中一次随机抽取 2 根的可能的事件总数为 10,它们的长度恰好相差 0.3m 的 事件数为 2,分别是:2.5 和 2.8,2.6 和 2.9,所求概率为 0.2。 答案 0.2 14.(2009 江苏卷)某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1,2,3,4,5 的学生进行投篮练 习,每人投 10 次,投中的次数如下表: 学生 甲班 乙班 1号 6 6 2号 7 7
2

.

3号 7 6 .

4号 8 7

5号 7 9

则以上两组数据的方差中较小的一个为 s = 【解析】 考查统计中的平均值与方差的运算。 甲班的方差较小,数据的平均值为 7, 故方差 s ?
2

(6 ? 7)2 ? 02 ? 02 ? (8 ? 7) 2 ? 02 2 ? 5 5

答案 15.(2009 湖北卷文)甲、乙、丙三人将参加某项测试,他们能达标的概率分别是 0.8、0.6、 0.5,则三人都达标的概率是 ,三人中至少有一人达标的概率是 。

【解析】三人均达标为 0.8×0.6×0.5=0.24,三人中至少有一人达标为 1-0.24=0.76 答案 0.24 0.76
-4-

16. (2009 福建卷文) 点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点, 若在该圆周上随机取一点 B, 则劣弧 AB 的长度小于 1 的概率为 。

【解析】如图可设 AB ? 1 ,则 AB ? 1 ,根据几何概率可知其整体事件 是其周长 3 ,则其概率是 答案

2 。 3

2 3
123 127 则该样本标准差 s ?

17. (2009 重庆卷文)从一堆苹果中任取 5 只,称得它们的质量如下(单位:克)125 124 121 (克) (用数字作答) .

【解析】因为样本平均数 x ?

1 (125 ? 124 ? 121 ? 123 ? 127) ? 124 , 则 样 本 方 差 5

1 s 2 ? (12 ? O 2 ? 32 ? 12 ? 32 ) ? 4, 所以 s ? 2 5
答案 2 三、解答题 18、 (2009 浙江卷理) (本题满分 14 分)在 1, 2, 3, (I)求这 3 个数中恰有 1 个是偶数的概率; (II) 设 ? 为这 3 个数中两数相邻的组数 (例如: 若取出的数为 1, 2,3 , 则有两组相邻的数1, 2 和 2, 3 ,此时 ? 的值是 2 ) .求随机变量 ? 的分布列及其数学期望 E? . 解(I)记“这 3 个数恰有一个是偶数”为事件 A,则 P( A) ? (II)随机变量 ? 的取值为 0,1, 2, ? 的分布列为
1 C4 C52 10 ? ; 3 C9 21

, 9 这 9 个自然数中,任取 3 个数.

?
P

0

1

2

5 12

1 2 5 1 1 2 ? 1? ? 2 ? ? 12 2 12 3

1 12

所以 ? 的数学期望为 E? ? 0 ?

19、 (2009 北京卷文) (本小题共 13 分) 某学生在上学路上要经过 4 个路口, 假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的, 遇到红灯 的概率都是

1 ,遇到红灯时停留的时间都是 2 min. 3

(Ⅰ)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率; (Ⅱ)这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 4min 的概率. 解(Ⅰ)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A,因为事件 A 等
-5-

于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯” ,所以事 件 A 的概率为 P ? A? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ?

? ?

1? ? 3? ?

1? 1 4 . ? 3 ? 3 27

(Ⅱ) 设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 4min 为事件 B, 这名学 生在上学路上遇到 k 次红灯的事件 Bk ? k ? 0,1, 2? .

? 2 ? 16 则由题意,得 P ? B0 ? ? ? ? ? , ? 3 ? 81 32 24 1?1? ? 2? 2 ?1? ? 2? P ? B1 ? ? C4 ? ? ? ? ? , P ? B2 ? ? C4 ? ? ? ? ? . 81 ? 3 ? ? 3 ? 81 ? 3? ? 3?
由于事件 B 等价于“这名学生在上学路上至多遇到两次红灯” , ∴事件 B 的概率为 P ? B ? ? P ? B0 ? ? P ? B1 ? ? P ? B2 ? ? 20、 (2009 北京卷理) (本小题共 13 分) 某学生在上学路上要经过 4 个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到 红灯的概率都是
1 3 2 2

4

8 . 9

1 ,遇到红灯时停留的时间都是 2min. 3

(Ⅰ)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率; (Ⅱ)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 ? 的分布列及期望. 解 (Ⅰ)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A,因为事件 A 等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯” ,所 以事件 A 的概率为 P ? A? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ?

? ?

1? ? 3? ?

1? 1 4 . ? 3 ? 3 27

(Ⅱ)由题意,可得 ? 可能取的值为 0,2,4,6,8(单位:min). 事件“ ? ? 2k ”等价于事件“该学生在路上遇到 k 次红灯” ( k ? 0,1,2,3,4) ,

?1? ? 2? ∴ P ?? ? 2k ? ? C ? ? ? ? ? 3? ? 3?
4 k

k

4? k

? k ? 0,1, 2,3, 4? ,

∴即 ? 的分布列是

?

0

2

4

6

8

-6-

32 8 8 27 81 81 16 32 8 8 1 8 ? 2? ? 4? ? 6? ? 8? ? . ∴ ? 的期望是 E? ? 0 ? 81 81 27 81 81 3
P

16 81

1 81

21、(2009 山东卷理)(本小题满分 12 分) 在某校组织的一次篮球定点投篮训练中, 规定每人最多投 3 次; 在 A 处每投进一球得 3 分,在 B 处每投进一球得 2 分;如果前两次得分之和超过 3 分即停止投篮,否则投第 三次,某同学在 A 处的命中率 q 1 为 0.25,在 B 处的命中率为 q 2 ,该同学选择先在 A 处投一球,以后都在 B 处投,用 ? 表示该同学投篮训练结束后所得的总分,其分布列 为

?
p

0 0.03

2 P1

3 P2

4 P3

5 P4

(1)求 q 2 的值; (2)求随机变量 ? 的数学期望 E ? ; (3)试比较该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分与选择上述方式投篮得分超过 3 分的概 率的大小。 解 (1)设该同学在 A 处投中为事件 A,在 B 处投中为事件 B,则事件 A,B 相互独立,且 P(A)=0.25, P( A) ? 0.75 , P(B)= q 2 , P(B) ? 1 ? q2 . 根据分布列知: ? =0 时 P( ABB) ? P( A)P(B)P(B) ? 0.75(1 ? q2 )2 =0.03,所以

1 ? q2 ? 0.2 ,q 2 =0.8.
(2)当 ? =2 时, P1= P( ABB ? ABB) ? P( ABB) ? P( ABB)

? P( A) P( B) P( B) ? P( A) P( B) P( B) =0.75 q 2 ( 1 ? q2 )×2=1.5 q 2 ( 1 ? q2 )=0.24
当 ? =3 时, P2 = P( ABB) ? P( A)P(B)P(B) ? 0.25(1 ? q2 )2 =0.01, 当 ? =4 时, P3= P( ABB) ? P( A)P(B)P(B) ? 0.75q22 =0.48, 当 ? =5 时, P4= P( ABB ? AB) ? P( ABB) ? P( AB)

-7-

? P( A)P(B)P(B) ? P( A)P(B) ? 0.25q2 (1 ? q2 ) ? 0.25q2 =0.24
所以随机变量 ? 的分布列为

?
p

0 0.03

2 0.24

3 0.01

4 0.48

5 0.24

随机变量 ? 的数学期望 E? ? 0 ? 0.03 ? 2 ? 0.24 ? 3 ? 0.01 ? 4 ? 0.48 ? 5 ? 0.24 ? 3.63 (3)该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率为 P( BBB ? BBB ? BB)

? P( BBB) ? P( BBB) ? P( BB) ? 2(1 ? q2 )q22 ? q22 ? 0.896 ;
该同学选择(1)中方式投篮得分超过 3 分的概率为 0.48+0.24=0.72. 由此看来该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率大. 22、 (2009 安徽卷理) (本小题满分 12 分) 某地有 A、B、C、D 四人先后感染了甲型 H1N1 流感,其中只有 A 到过疫区.B 肯定是受 A 感染的.对于 C,因为难以断定他是受 A 还是受 B 感染的,于是假定他受 A 和受 B 感染 的概率都是

1 1 .同样也假定 D 受 A、B 和 C 感染的概率都是 .在这种假定之下,B、C、D 2 3

中直接 受 A 感染的人数 X 就是一个随机变量.写出 X 的分布列(不要求写出计算过程),并求 .. X 的均值(即数学期望). 本小题主要考查古典概型及其概率计算, 考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和 均值的概念,通过设置密切贴近现实生活的情境,考查概率思想的应用意识和创新意识。 体现数学的科学价值。本小题满分 12 分。 解 随机变量 X 的分布列是 X P X 的均值为 EX ? 1? 1 2 3

1 3 1 1 1 11 ? 2 ? ? 3? ? 3 2 6 6

1 2

1 6

附:X 的分布列的一种求法 共有如下 6 种不同的可能情形,每种情形发生的概率都是 ① ② ③ ④

1 : 6
⑤ ⑥

-8-

A—B—C— D

A—B—C └D

A—B—C └D

A—B—D └C

A—C—D └B

在情形①和②之下,A 直接感染了一个人;在情形③、④、⑤之下,A 直接感染了两个人; 在情形⑥之下,A 直接感染了三个人。 23、 (2009 江西卷理) (本小题满分 12 分) 某公司拟资助三位大学生自主创业, 现聘请两位专家, 独立地对每位大学生的创业方案进 行评审.假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是

1 .若某人获得两个“支持” , 2

则给予 10 万元的创业资助;若只获得一个“支持” ,则给予 5 万元的资助;若未获得“支 持” ,则不予资助,令 ? 表示该公司的资助总额. (1) 写出 ? 的分布列; (2) 求数学期望 E? . 解(1) ? 的所有取值为 0,5,10,15, 20, 25,30

1 3 15 5 P (? ? 5 )? P(? ? 10) ? P(? ? 1 5 ? ) 64 32 64 16 15 3 1 P (? ? 20) ? P (? ? 25) ? P (? ? 3 0 ? ) 64 32 64 3 15 5 15 3 1 ? 10 ? ? 15 ? ? 20 ? ? 25 ? ? 30 ? ? 15 . (2) E? ? 5 ? 32 64 16 64 32 64 P (? ? 0 )?
24、(2009 湖北卷理)(本小题满分 10 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 一个盒子里装有 4 张大小形状完全相同的卡片,分别标有数 2,3,4,5;另一个盒子也 装有 4 张大小形状完全相同的卡片,分别标有数 3,4,5,6。现从一个盒子中任取一张 卡片,其上面的数记为 x;再从另一盒子里任取一张卡片,其上面的数记为 y,记随机变 量 ?=x+y ,求? 的分布列和数学期望。 解 依题意,可分别取? ? 5 、6、 ???? 11 取,则有

1 1 2 3 ? , p (? ? 6) ? , p(? ? 7) ? 4 ? 4 16 16 16 4 3 2 1 p (? ? 8) ? , p (? ? 9) ? , p (? ? 10) ? , p (? ? 11) ? 16 16 16 16 p (? ? 5) ?
? ? 的分布列为

?
p

5

6

7

8

9

10

11

1 16

2 16

3 16
-9-

4 16

3 16

2 16

1 16

E? ? 5 ?

1 2 3 4 3 2 1 ? 6 ? ? 7 ? ? 8 ? ? 9 ? ? 10 ? ? 11? ? 8 . 16 16 16 16 16 16 16

25、 (2009 辽宁卷理) (本小题满分 12 分) 某人向一目射击 4 次,每次击中目标的概率为。该目标分为 3 个不同的部分,第一、二、 三部分面积之比为 1:3:6。击中目标时,击中任何一部分的概率与其面积成正比。 (Ⅰ)设 X 表示目标被击中的次数,求 X 的分布列; (Ⅱ) 若目标被击中 2 次, A 表示事件 “第一部分至少被击中 1 次或第二部分被击中 2 次” , 求 P(A) 解(Ⅰ)依题意 X 的分列为

(Ⅱ)设 A1 表示事件“第一次击中目标时,击中第 i 部分” ,i=1,2. B1 表示事件“第二次击中目标时,击中第 i 部分” ,i=1,2. 依题意知 P(A1)=P(B1)=0.1,P(A2)=P(B2)=0.3,

A ? A1 B1 ? A1 B1 ? A1 B1 ? A2 B2 ,
所求的概率为

P( A) ? P( A1 B1 ) ? P( A1 B1 ) ? P (A1 B1) ? P( A2 B2 ) P( A1 B1 ) ? P( A1 )P(B1 ) ? P (A1 )P(B1 ) ? P( A2 ) P( B2 )
0.1 ? 0 .? 9 0? .9 0 ? . 1 ?0 . 1 ? 0 . 1 ? 0 .? 3 0.3 0 . 2 8……
26、 (2009 湖南卷文) (本小题满分 12 分) 为拉动经济增长,某市决定新建一批重点工程,分别为基础设施工程、民生工程和产业 建设工程三类,这三类工程所含项目的个数分别占总数的 立地从中任选一个项目参与建设.求: (I)他们选择的项目所属类别互不相同的概率; (II)至少有 1 人选择的项目属于民生工程的概率. 解 记第 i 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件

1 1 1 、 、 .现有 3 名工人独 2 3 6

Ai , Bi , Ci , i=1,2,3.由题意知 A1 , A2 , A3 相互独立, B1 , B2 , B3 相互独立, C1, C2 , C3
- 10 -

相互独立, Ai , Bj , Ck (i,j,k=1,2,3,且 i,j,k 互不相同)相互独立, 且 P( Ai ) ?

1 1 1 , P( Bi ) ? , P(Ci ) ? . 2 3 6 1 1 1 1 ? ? ? . 2 3 6 6

(Ⅰ)他们选择的项目所属类别互不相同的概率 P= 3! P( A 1 ) P( B2 ) P(C3 ) ? 6 ? 1B2C3 ) ? 6P( A

(Ⅱ)至少有 1 人选择的项目属于民生工程的概率

1 3 19 . 3 27 27、 (2009 全国卷Ⅰ文) (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) .........
P= 1 ? P( B1 B2 B3 ) ? 1 ? P( B1 ) P( B2 ) P( B3 ) ? 1 ? (1 ? ) ? 甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利,比赛结束。假 设在一局中,甲获胜的概率为 0.6,乙获胜的概率为 0.4,各局比赛结果相互独立。已知 前 2 局中,甲、乙各胜 1 局。 (Ⅰ)求再赛 2 局结束这次比赛的概率; (Ⅱ)求甲获得这次比赛胜利的概率。 【解析】本小题考查互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率,综合 题。 解 记 “第 i 局甲获胜” 为事件 Ai (i ? 3,4,5) , “第 j 局甲获胜” 为事件 Bi ( j ? 3,4,5) 。

(Ⅰ)设“再赛 2 局结束这次比赛”为事件 A,则

A ? A3 ? A4 ? B3 ? B4 ,由于各局比赛结果相互独立,故 P( A) ? P( A3 ? A4 ? B3 ? B4 ) ? P( A3 ? A4 ) ? P( B3 ? B4 ) ? P( A3 ) P( A4 ) ? P( B3 ) P( B4 )
? 0.6 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.52 。
(Ⅱ)记“甲获得这次比赛胜利”为事件 B,因前两局中,甲、乙各胜 1 局,故甲获得 这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中,甲先胜 2 局,从而

B ? A3 ? A4 ? B3 ? A4 ? A5 ? A3 ? B4 ? A5 ,由于各局比赛结果相互独立,故
P( B) ? P( A3 ? A4 ? B3 ? A4 ? A5 ? A3 ? B4 ? A5 )
? P ( A3 ? A4 ) ? P ( B3 ? A4 ? A5 ) ? P ( A3 ? B4 ? A5 ) ? P ( A3 ) P ( A4 ) ? P ( B3 ) P ( A4 ) P ( A5 ) ? P ( A3 ) P ( B4 ) P ( A5 ) ? 0.6 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.6 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.648
28、 (2009 陕西卷文) (本小题满分 12 分)
- 11 -

椐统计,某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为 0,1,2 的概率分别为 0.4,0.5,0.1 (Ⅰ) 求该企业在一个月内共被消费者投诉不超过 1 次的概率; (Ⅱ)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消 费者投诉 2 次的概率。 解 解答 1(Ⅰ)设事件 A 表示“一个月内被投诉的次数为 0”事件 B 表示“一个月内 被投诉的次数为 1” 所以 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? 0.4 ? 0.5 ? 0.9 (Ⅱ)设事件 Ai 表示“第 i 个月被投诉的次数为 0”事件 Bi 表示“第 i 个月被投诉的次数 为 1”事件 Ci 表示“第 i 个月被投诉的次数为 2”事件 D 表示“两个月内被投诉 2 次” 所以 P( Ai ) ? 0.4, P( Bi ) ? 0.5, P(Ci ) ? 0.1(i ? 1, 2) 所以两个月中,一个月被投诉 2 次,另一个月被投诉 0 次的概率为 P( AC 1 2 ? A2C1 ) 一、二月份均被投诉 1 次的概率为 P( B1B2 ) 所以 P( D) ? P( AC 1 2 ?A 2C1 ) ? P( B 1B2 ) ? P( AC 1 2 ) ? P( A 2C1 ) ? P( B 1B2 ) 由事件的独立性的

p( D) ? 0.4 ? 0.1 ? 0.1? 0.4 ? 0.5 ? 0.5 ? 0.33
解答 2(Ⅰ)设事件 A 表示“一个月内被投诉 2 次”设事件 B 表示“一个月内被投诉 的次数不超过 1 次” 所以 p( A) ? 0.1,? P( B) ? 1 ? P( A) ? 1 ? 0.1 ? 0.9 (Ⅱ)同解答 1(Ⅱ) 29、(2009 湖南卷理)(本小题满分 12 分) 为拉动经济增长,某市决定新建一批重点工程,分别为基础设施工程、民生工程和产业 建设工程三类,这三类工程所含项目的个数分别占总数的. 立地从中任选一个项目参与建设。 (I)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率; (II)记 ? 为 3 人中选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程的人数,求

1 1 1 、 、 ,现在 3 名工人独 2 3 6

? 的分布列及数学期望。
- 12 -

解:记第 1 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件

A1 , B1 , C1 ,i=1,2,3.由题意知 A1 A2 A3 相互独立, B1 B2 B3 相互独立, C1 C2C3 相互独
立, A 1, B 1 , C1 (i,j,k=1,2,3,且 i,j,k 互不相同)相互独立,且 P( A 1 )=,P( B 1) =

1 1 ,P( C1 )= 3 6
1 1 1 1 ? ? = 2 3 6 6

(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率 P=3!P( A 1 B2 C3 )=6P( A 1 )P( B2 )P( C3 )=6 ?

(2) 解法 1 设 3 名工人中选择的项目属于民生工程的人数为? , 由己已知,? -B ( 3, ) , 且 ? =3? 。

1 3

1 , 27 2 2 2 1 3 ( ) ( ) = P( ? =1)=P(? =2)= C3 3 3 9 1 2 4 1 ( ) ( )2 = P( ? =2)=P(? =1)= C3 3 3 9 2 8 0 ( )3 = P( ? =3)=P(? =0)= C3 3 27
1 ( ) = 所以 P( ? =0)=P(? =3)= C3
3

1 3

故 ? 的分布是

?
P

0

1

2

3

1 27

2 9 1 2 4 8 +1 ? +2 ? +3 ? =2 27 9 9 27

4 9

8 27

? 的数学期望 E ? =0 ?

解法 2 第 i 名工人选择的项目属于基础工程或产业工程分别为事件 D1 , i=1,2,3 ,由此已知, D1 ·D, D1 相互独立,且 P( D1 )-( A 1 , C1 )= P( A 1 )+P( C1 )= 所以 ? -- B(3, ) ,既 P (? ? K ) ? C3 ( ) ( )
K K

1 1 2 + = 2 6 3
, k ? 0,1, 2,3.

2 3

2 3

1 3

3? K

故 ? 的分布列是

?

0

1

2

3

- 13 -

p

1 27

2 9

4 9

8 27

30、 (2009 四川卷理) (本小题满分 12 分) 为振兴旅游业, 四川省 2009 年面向国内发行总量为 2000 万张的熊猫优惠卡, 向省外人士 发行的是熊猫金卡(简称金卡) ,向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡) 。某旅游公司 组织了一个有 36 名游客的旅游团到四川名胜旅游, 其中 在省外游客中有

3 是省外游客, 其余是省内游客。 4

1 2 持金卡,在省内游客中有 持银卡。 3 3

(I)在该团中随机采访 3 名游客,求恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率; (II)在该团的省内游客中随机采访 3 名游客,设其中持银卡人数为随机变量 ? ,求 ? 的 分布列及数学期望 E? 。 本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概率计算,考 察运用概率只是解决实际问题的能力。 解: (Ⅰ)由题意得,省外游客有 27 人,其中 9 人持金卡;省内游客有 9 人,其中 6 人持 银卡。设事件 B 为“采访该团 3 人中,恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人” , 事件 A , 1 为“采访该团 3 人中,1 人持金卡,0 人持银卡” 事件 A2 为“采访该团 3 人中,1 人持金卡,1 人持银卡” 。

P( B) ? P( A1 ) ? P( A2 )

?
?

1 2 1 1 C9 C2 1 C C 9 C 6 ? 3 3 C36 C36

1 21

9 27 ? 34 170 36 ? 85
所以在该团中随机采访 3 人,恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率是

36 。 85

??????????????????????6 分 (Ⅱ) ? 的可能取值为 0,1,2,3

P(? ? 0 ) ?

3 C3 1 ? , 3 C9 84

P(? ? 1) ?

1 2 C6 C3 3 ? 3 C9 14

- 14 -

P(? ? 2) ?

2 1 3 C6 C3 15 C6 15 , ? P ( ? ? 3) ? ? , 3 3 C9 28 C9 21

所以 ? 的分布列为

?
P

0

1

2

3

1 3 15 5 14 84 28 21 1 3 15 5 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 2 , ????????12 分 所以 E? ? 0 ? 84 14 28 21
31、 (2009 重庆卷理) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)问 7 分, (Ⅱ)问 6 分) 某单位为绿化环境,移栽了甲、乙两种大树各 2 株.设甲、乙两种大树移栽的成活率分 别为

2 1 和 ,且各株大树是否成活互不影响.求移栽的 4 株大树中: 3 2

(Ⅰ)两种大树各成活 1 株的概率; (Ⅱ)成活的株数 ? 的分布列与期望. 解 设 Ak 表示甲种大树成活 k 株,k=0,1,2

Bl 表示乙种大树成活 l 株,l=0,1,2
则 Ak , Bl 独立. 由独立重复试验中事件发生的概率公式有

2 1 1 1 P ( Ak ) ? C k 2 ( ) k ( ) 2? k , P( Bl ) ? C l 2 ( )l ( ) 2?l . 3 3 2 2
据此算得

1 , 9 1 P ( B0 ) ? , 4 P ( A0 ) ?

4 4 , P ( A2 ) ? . 9 9 1 1 P ( B1 ) ? , P ( B2 ) ? . 2 4 P ( A1 ) ?

(Ⅰ) 所求概率为

4 1 2 P( A2 ? B1 ) ? P( A1 ) ? P( B1 ) ? ? ? 9 2 9
(Ⅱ) 解法一:

.

? 的所有可能值为 0,1,2,3,4,且
1 1 1 P(? ? 0) ? P( A0 ? B0 ) ? P( A0 ) ? P( B0 ) ? ? ? , 9 4 36 1 1 4 1 1 P(? ? 1) ? P( A0 ? B1 ) ? P( A1 ? B0 ) ? ? ? ? ? , 9 2 9 4 6
- 15 -

1 1 4 1 4 1 13 P(? ? 2) ? P( A0 ? B2 ) ? P( A1 ? B1 ) ? P( A2 ? B0 ) ? ? ? ? ? ? = , 9 4 9 2 9 4 36 4 1 4 1 1 P(? ? 3) ? P( A1 ? B2 ) ? P( A2 ? B1 ) ? ? ? ? ? . 9 4 9 2 3 4 1 1 P(? ? 4) ? P( A2 ? B2 ) ? ? ? . 9 4 9
综上知 ? 有分布列

?
P

0 1/36

1 1/6

2 13/36

3 1/3

4 1/9

从而, ? 的期望为

E? ? 0 ?
解法二:

1 1 13 1 1 7 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? (株) 36 6 36 3 9 3

分布列的求法同上 令 ?1,?2 分别表示甲乙两种树成活的株数,则

?1 : B(2, ),? 2 : B(2, )
故有 E?1 =2 ? = ,E? 2 ? 2 ? 从而知 E? ? E?1 ? E? 2 ?

2 3

1 2

2 4 3 3

1 ?1 2

7 3

32、 (2009 重庆卷文) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)问 7 分, (Ⅱ)问 6 分) 某单位为绿化环境,移栽了甲、乙两种大树各 2 株.设甲、乙两种大树移栽的成活率分别 为

5 4 和 ,且各株大树是否成活互不影响.求移栽的 4 株大树中: 6 5

(Ⅰ)至少有 1 株成活的概率; (Ⅱ)两种大树各成活 1 株的概率. 解 设 Ak 表示第 k 株甲种大树成活, k ? 1, 2 ; 设 Bl 表示第 l 株乙种大树成活, l ? 1, 2

则 A1 , A2 , B1 , B2 独立,且 P( A1 ) ? P( A2 ) ? (Ⅰ)至少有 1 株成活的概率为:

5 4 , P( B1 ) ? P( B2 ) ? 6 5

1 1 899 1 ? P( A1 ? A2 ? B1 ? B2 ) ? 1 ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? P ( B1 ) ? P ( B2 ) ? 1 ? ( ) 2 ( ) 2 ? 6 5 900
(Ⅱ)由独立重复试验中事件发生的概率公式知,两种大树各成活 1 株的概率为:

- 16 -

1 P ? C2

5 1 1 4 1 10 8 4 ? C2 ? ? ? 66 5 5 36 25 45

2005—2008 年高考题
一、选择题 1.(2008 年全国Ⅱ理 6)从 20 名男同学,10 名女同学中任选 3 名参加体能测试,则选到的 3 名同学中既有男同学又有女同学的概率为( ) A.

9 29

B.

10 29

C.

19 29

D.

20 29

【解析】 P ?

1 2 2 1 C20 C10 ? C20 C10 20 ? 3 29 C30

答案 D 2、 (2007 年辽宁理)一个坛子里有编号为 1,2,?,12 的 12 个大小相同的球,其中 1 到 6 号球是红球,其余的是黑球,若从中任取两个球,则取到的都是红球,且至少有 1 个球的号 码是偶数的概率是( ) A.

1 22

B.

1 11

C.

3 22

D.

2 11

答案 D 3 、 (2007 年湖北理 ) 连掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n ,记向量 a = (m,n) 与向量

? ?? b ? (1, ? 1) 的夹角为 ? ,则 ? ? ? 0, ? 的概率是( ? ??
A.



5 12

B.

1 2

C.

7 12

D.

5 6

答案 C 4、 (2007 年浙江理 5) 已知随机变量 ? 服从正态分布 N (2,? 2 ) , P(? ≤ 4) ? 0.84 ,则 P(? ≤ 0) ? ( A. 0.16 答案 A B. 0.32 C. 0.68 D, 0.84 )

5、 (2007年安徽理)以 ? ( x) 表示标准正态总体在区间( ? ?, x )内取值的概率,若随机变
2 量 ? 服从正态分布 N (?, ? ) ,则概率 P ( ? ? ? ? ? ) 等于

(A) ? ( ? ? ? ) - ? ( ? ? ? ) (C) ? ( 答案 B

(B) ? (1) ? ? (?1) (D) 2? ( ? ? ? )

1? ?

?

)

6、 (2006 江苏)某人 5 次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为 x,y,10,11,9.已 知这组数据的平均数为 10,方差为 2,则|x-y|的值为 A.1 B.2 C.3 D.4
- 17 -





【解析】由题意可得:x+y=20,(x-10) +(y-10) =8,解这个方程组需要用一些技巧,因为不要 直接求出 x、y,只要求出 x ? y ,设 x=10+t, y=10-t, x ? y ? 2 t ? 4 ,选 D 答案 D 二、填空题 7、 (2007 天津文 15)随机变量 ? 的分布列如下:

2

2

?
P

?1

0
b

1

a

c


其中 a,b,c 成等差数列,若 E? ? 答案

1 ,则 D? 的值是 3

5 9 1 ,他投球 10 次,恰好投进 3 个 2

8、 (2007 年湖北理)某篮运动员在三分线投球的命中率是 球的概率 答案 . (用数值作答)

15 128

9、 (2007 年全国Ⅱ理 14)在某项测量中,测量结果 ? 服从正态分布 N(1,?2) (?>0) ,若 ? 在(0,1)内取值的概率为 0.4,则 ? 在(0,2)内取值的概率为 。

答案 0.8 【解析】在某项测量中,测量结果 ? 服从正态分布 N(1,?2) (?>0) ,正态分布图象的对 称轴为 x=1,? 在(0,1)内取值的概率为 0.4,可知,随机变量 ξ 在(1,2)内取值的概率于 ? 在(0,1)内取值的概率相同,也为 0.4,这样随机变量 ξ 在(0,2)内取值的概率为 0.8。 10 、 ( 2005 年 全 国 Ⅱ 理 15 ) 设 l 为 平 面 上 过 点 ? 0, 1? 的 直 线 , l 的 斜 率 等 可 能 地 取

?2 2, ? 3, ?
望 E? ? 答案

5 5 , 0, ,3, 2 2 ,用 ? 表示坐标原点到 l 的距离,则随机变量 ? 的数学期 2 2


4 7

1 1 2 ,x2= ,x3= ,x4=1, 它 们 的 概 率 分 别 为 3 2 3 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 1 4 p1= ,p2= ,p3= ,p4= ,∴随机变量ζ 的数学期望 Eζ = ? ? ? ? ? ? ?1 = 7 7 7 7 7 3 7 2 7 3 7 7
【 解 析 】 随 机 变 量 可 能 的 取 值 为 x1= 三、解答题 11、 (2008 年全国Ⅱ理理 18)购买某种保险,每个投保人每年度向保险公司交纳保费 a 元, 若投保人在购买保险的一年度内出险,则可以获得 10 000 元的赔偿金.假定在一年度内有
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10 000 人购买了这种保险, 且各投保人是否出险相互独立. 已知保险公司在一年度内至少支 付赔偿金 10 000 元的概率为 1 ? 0.99910 . (Ⅰ)求一投保人在一年度内出险的概率 p ; (Ⅱ)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为 50 000 元,为保证盈利的期望不 小于 0,求每位投保人应交纳的最低保费(单位:元) . 解:各投保人是否出险互相独立,且出险的概率都是 p ,记投保的 10 000 人中出险的人数 为 ? ,则 ? ~ B(104,p) . (Ⅰ)记 A 表示事件:保险公司为该险种至少支付 10 000 元赔偿金,则 A 发生当且仅当 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 ? ? 0,·
4

P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? P(? ? 0) ? 1 ? (1 ? p)10 ,
又 P( A) ? 1 ? 0.99910 ,故 p ? 0.001 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 (Ⅱ)该险种总收入为 10 000a 元,支出是赔偿金总额与成本的和. 支出 盈利 盈利的期望为
4
4

4

10 000? ? 50 000 ,

? ? 10 000a ? (10 000? ? 50 000) ,
E? ? 1 0 0 0 a 0 ?
?3

1 0 0E ? 0? 0
?3

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 5, 0· 0 0 0

由 ? ~ B(10 , 10 ) 知, E? ? 10 000 ?10 ,

E? ? 104 a ?104 E? ? 5 ?104
? 104 a ? 104 ?104 ?10?3 ? 5 ?104 .

E? ≥ 0 ? 104 a ? 104 ?10 ? 5 ?104 ≥ 0
? a ? 10 ? 5 ≥ 0 ? a ≥15 (元) .
故每位投保人应交纳的最低保费为 15 元.?????????????????? 12 分 12、 (2008 年全国Ⅱ理 18)购买某种保险,每个投保人每年度向保险公司交纳保费 a 元,若 投保人在购买保险的一年度内出险,则可以获得 10 000 元的赔偿金.假定在一年度内有 10 000 人购买了这种保险, 且各投保人是否出险相互独立. 已知保险公司在一年度内至少支
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付赔偿金 10 000 元的概率为 1 ? 0.99910 . (Ⅰ)求一投保人在一年度内出险的概率 p ; (Ⅱ)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为 50 000 元,为保证盈利的期望不 小于 0,求每位投保人应交纳的最低保费(单位:元) . 解:各投保人是否出险互相独立,且出险的概率都是 p ,记投保的 10 000 人中出险的人数 为 ? ,则 ? ~ B(104,p) . (Ⅰ)记 A 表示事件:保险公司为该险种至少支付 10 000 元赔偿金,则 A 发生当且仅当

4

? ? 0 , P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? P(? ? 0) ? 1 ? (1 ? p)10 ,
又 P( A) ? 1 ? 0.99910 ,故 p ? 0.001 . (Ⅱ)该险种总收入为 10 000a 元,支出是赔偿金总额与成本的和. 支出 盈利 盈利的期望为
4
4

4

10 000? ? 50 000 ,

? ? 10 000a ? (10 000? ? 50 000) ,
E? ? 1 0 0 0 a 0 ?
?3

1 0 0E ? 0? 0
?3

5, 0 000

由 ? ~ B(10 , 10 ) 知, E? ? 10 000 ?10 ,

E? ? 104 a ?104 E? ? 5 ?104
? 104 a ? 104 ?104 ?10?3 ? 5 ?104 .

E? ≥ 0 ? 104 a ? 104 ?10 ? 5 ?104 ≥ 0
? a ? 10 ? 5 ≥ 0 ? a ≥15 (元) .
故每位投保人应交纳的最低保费为 15 元. 13、 (2007 年福建文) 甲、 乙两名跳高运动员一次试跳 2 米高度成功的概率分别是 0.7 ,0.6 , 且每次试跳成功与否相互之间没有影响,求: (Ⅰ)甲试跳三次,第三次才成功的概率; (Ⅱ)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率; (Ⅲ)甲、乙各试跳两次,甲比乙的成功次数恰好多一次的概率. 解:记“甲第 i 次试跳成功”为事件 Ai , “乙第 i 次试跳成功”为事件 Bi ,依题意得

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2, 3 )相互独立. P( Ai ) ? 0.7 , P( Bi ) ? 0.6 ,且 Ai , Bi ( i ? 1,
(Ⅰ) “甲第三次试跳才成功”为事件 A1 A2 A3 ,且三次试跳相互独立,

? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 )P( A2 )P( A3 ) ? 0.3? 0.3? 0.7 ? 0.063.
答:甲第三次试跳才成功的概率为 0.063 . (Ⅱ) “甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件 C . 解法一:

C ? A1 B1 ? A1B1 ? A1B1 ,且 A1 B1 , A1B1 , A1B1 彼此互斥,

? P(C) ? P( A1 B1 ) ? P( A1 B1 ) ? P( A1 B1 ) ? P( A1 )P(B1 ) ? P( A1 )P(B1 ) ? P( A1)P(B1)
? 0.7 ? 0.4 ? 0.3 ? 0.6 ? 0.7 ? 0.6 ? 0.88 .
解法二: P(C) ? 1 ? P( A 1 ) P( B 1 ) ? 1 ? 0.3? 0.4 ? 0.88 . 答:甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为 0.88 . (Ⅲ)设“甲在两次试跳中成功 i 次”为事件 Mi (i ? 01 , , 2) , “乙在两次试跳中成功 i 次”为事件 Ni (i ? 0, 1, 2) , 事件“甲、乙各试跳两次,甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为 M1 N0 ? M 2 N1 ,且

M1 N0 , M 2 N1 为互斥事件,

? 所求的概率为 P(M1N0 ? M 2 N1 ) ? P(M1N0 ) ? P(M 2 N1 )
? P(M1 ) P( N0 ) ? P(M 2 ) P( N1 )
1 1 ? C2 ? 0.7 ? 0.3? 0.42 ? 0.72 ? C2 ? 0.6 ? 0.4

? 0.0672 ? 0.2352 ? 0.3024
答:甲、乙每人试跳两次,甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为 0.3024 . 14、 (2007 年全国Ⅱ文 19)从某批产品中,有放回地抽取产品二次,每次随机抽取 1 件, 假设事件 A : “取出的 2 件产品中至多有 1 件是二等品”的概率 P( A) ? 0.96 . (1)求从该批产品中任取 1 件是二等品的概率 p ; (2)若该批产品共 100 件,从中任意抽取 2 件,求事件 B : “取出的 2 件产品中至少有一 件二等品”的概率 P ( B ) .
- 21 -

(1)记 A0 表示事件“取出的 2 件产品中无二等品” , A1 表示事件“取出的 2 件产品中恰 有 1 件二等品” . 则 A0,A1 互斥,且 A ? A0 ? A 1 ,故

P( A) ? P( A0 ? A1 )
? P( A0 ) ? P ( A1 ) ? (1 ? p) 2 ? C1 2 p (1 ? p ) ? 1 ? p2
于是 0.96 ? 1 ? p 2 . 解得 p1 ? 0.2,p2 ? ?0.2 (舍去) . (2)记 B0 表示事件“取出的 2 件产品中无二等品” , 则 B ? B0 .
2 C80 316 若该批产品共 100 件, 由 (1) 知其中二等品有 100 ? 0.2 ? 20 件, 故 P( B0 ) ? 2 ? . C100 495

P( B) ? P( B0 ) ? 1 ? P( B0 ) ? 1 ?

316 179 ? 495 495

15、 (2007 重庆理) 某单位有三辆汽车参加某种事故保险, 单位年初向保险公司缴纳每辆 900 元的保险金,对在一年内发生此种事故的每辆汽车,单位可获 9000 元的赔偿(假设每辆 车最多只赔偿一次) ,设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为 各车是否发生事故相互独立,求一年内该单位在此保险中: (Ⅰ)获赔的概率; (Ⅱ)获赔金额 ? 的分布列与期望. (18) (本小题 13 分)

1 1 1 , , ,且 9 10 11

2, 3 .由题意知 A1 , A2 , A3 独立, 解:设 Ak 表示第 k 辆车在一年内发生此种事故, k ? 1,
且 P ( A1 ) ?

1 1 1 , P ( A2 ) ? , P( A3 ) ? . 9 10 11

(Ⅰ)该单位一年内获赔的概率为

8 9 10 3 1 ? P( A1 A2 A3 ) ? 1 ? P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) ? 1 ? ? ? ? . 9 10 11 11
(Ⅱ) ? 的所有可能值为 0 , 9000 , 18000 , 27000 .

8 9 10 8 P(? ? 0) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) ? ? ? ? , 9 10 11 11

P(? ? 9000) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 )P( A2 )P( A3 ) ? P( A1)P( A2 )P( A3 ) ? P( A1)P( A2 )P( A3 )

- 22 -

1 9 10 8 1 10 8 9 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 9 10 11 9 10 11 9 10 11 242 11 ? ? , 990 45

P(? ? 18000) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 )P( A2 )P( A3 ) ? P( A1)P( A2 )P( A3 ) ? P( A1)P( A2 )P( A3 )
1 1 10 1 9 1 8 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 9 10 11 9 10 11 9 10 11 27 3 ? ? , 990 110

P(? ? 27000) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 )P( A2 )P( A3 )
1 1 1 1 ? ? ? ? . 9 10 11 990
综上知, ? 的分布列为

?
P
求 ? 的期望有两种解法: 解法一:由 ? 的分布列得

0

9000

18000

27000

8 11

11 45

3 110

1 990

E? ? 0 ? ?

8 11 3 1 ? 9000 ? ? 18000 ? ? 27000 ? 11 45 110 990

29900 ≈ 2718.18 (元) . 11

2, 3, 解法二:设 ?k 表示第 k 辆车一年内的获赔金额, k ? 1,
则 ?1 有分布列

?1
P
故 E?1 ? 9000 ?

0

9000

8 9

1 9

1 ? 1000 . 9 1 1 ? 900 , E?3 ? 9000 ? ? 818.18 . 同理得 E? 2 ? 9000 ? 10 11
综上有 E? ? E?1 ? E?2 ? E?3 ? 1000 ? 900 ? 818.18 ? 2718.18 (元) .

- 23 -

16、 (2006 北京卷)某公司招聘员工,指定三门考试课程,有两种考试方案. 方案一:考试三门课程,至少有两门及格为考试通过; 方案二:在三门课程中,随机选取两门,这两门都及格为考试通过. 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是 0.5,0.6,0.9,且三门课程考试是 否及格相互之间没有影响.求: (Ⅰ)该应聘者用方案一考试通过的概率; (Ⅱ)该应聘者用方案二考试通过的概率. 解:记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为 A,B,C, 则 P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(C)=0.9. (Ⅰ) 应聘者用方案一考试通过的概率 p1=P(A·B· C )+P( A ·B·C)+P(A· B ·C)+P(A·B·C) =0.5×0.6×0.1+0.5×0.6×0.9+0.5×0.4×0.9+0.5×0.6×0.9 =0.03+0.27+0.18+0.27=0.75. (Ⅱ) 应聘者用方案二考试通过的概率 p2=

1 1 1 P(A·B)+ P(B·C)+ P(A·C) 3 3 3 1 1 = ×(0.5×0.6+0.6×0.9+0.5×0.9)= ×1.29=0.43 3 3

17、 (2006 年全国Ⅱ理 18)某批产品成箱包装,每箱 5 件.一用户在购进该批产品前先取 出 3 箱,再从每箱中任意抽取 2 件产品进行检验.设取出的第一、二、三箱中分别有 0 件、1 件、2 件二等品,其余为一等品. (Ⅰ)用ξ 表示抽检的 6 件产品中二等品的件数,求ξ 的分布列及ξ 的数学期望; (Ⅱ)若抽检的 6 件产品中有 2 件或 2 件以上二等品,用户就拒绝购买这批产品,求这批 产品级用户拒绝的概率. 解(1.)

? ? 0,1, 2,3
2 C32 18 C4 9 ? ? ? 2 2 C5 C5 100 50 1 1 1 2 2 C3 C2 C4 C4 C2 15 ? ? ? ? 2 2 2 2 C5 C5 C5 C5 50

P( ? ? 0)=

P( ? ? 1 )=

1 1 2 C32 C4 C3 C2 C1 24 4 ? ? ? ? 2 2 2 2 C5 C5 C5 C5 50 1 2 C4 C2 2 ? ? 2 2 C5 C5 50

P(? ? 2) ?

P(? ? 3) ?

所以 ? 的分布列为

?
P

0

1

2

3
2 50

9 24 15 50 50 50 9 24 15 2 ? 的数学期望 E( ? )= 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 1.2 50 50 50 50
- 24 -

(2)P( ? ? 2 )= P (? ? 2) ? P(? ? 3) ?

15 2 17 ? ? 50 50 50

第二部分

三年联考汇编

2009 年联考题
一、选择题 1、 (2009 年山东省乐陵一中高三模拟)一块各面均涂有油漆的正方体被锯成 1000 个大小相 同的小正方体, 若将这些小正方体均匀地搅混在一起, 则任意取出一个正方体其两面涂有油 漆的概率是 A. ( B. )

1 12

1 10

C.

3 25

D.

12 125

答案 D 2、 (2009 广东江门市模拟)如图 1,分别以正方形 ABCD 的四条边为直径画半圆,重叠部 分如图中阴影区域,若向该正方形内随机投一点,则该点落在阴影区域的概率为 ( A. )

4 ?? 2

B.

? ?2
2

C.

4 ?? 4

D.

? ?2
4

答案 3、 (湖北省武汉二中 2009 届高三 3 月测试题)某市组织一次高三调研考试, 考试后统计的数学成绩服从正态分布,其密度函数为

f ( x) ?

1 2? ?10

?e

?

( x ?80)2 200

图1

( x ? R) ,则下列命题中不正确的是

(

)

A. 该市这次考试的数学平均成绩为 80 分 B. 分数在 120 分以上的人数与分数在 60 分以下的人数相同 C. 分数在 110 分以上的人数与分数在 50 分以下的人数相同 D. 该市这次考试的数学成绩标准差为 10 答案 B 4、(2009 宁波十校联考)将一枚骰子抛掷两次,若先后出现的点数分别为 b, c ,则方程

x 2 ? bx ? c ? 0 有实根的概率为
A

( C



19 36
A

B

1 2

5 9

D

17 36 S 4


答案

5、 (2009 和平区一模) 在面积为 S 的△ABC 的边 AB 上任取一点 P, 则△PBC 的面积大于 的概率是 (A) ( (B)

1 4

1 2

(C)

3 4

(D)

2 3

答案 C
- 25 -

二、填空题 6、 (2009 广东中山市一模)若数据 x1 , x2 , x3 ,

, xn 的平均数 x =5,方差 ? 2 ? 2 ,则数据
,方差为 .

3x1 ?1, 3x2 ?1, 3x3 ?1,
答案

, 3xn ?1 的平均数为

7、 (2009 福建厦门一中)设 a, b ? (0,1) ,则关于 x的方程x ? 2ax ? b ? 0 在 (??, ?) 上有 两个不同的零点的概率为______________
2

答案

1 3

8、(湖北省孝感市 2009 届高三 3 月统考理) 设三个正态分布 N ?1 ,? 12 ( ?1 ? 0 ) 、 N ?2 , ? 2 2

?

?

?

?

(?2 ? 0 ) 、 N ?3 ,? 32 ( ? 3 ? 0 )的密度函数图象 如图所示,则 ?1 、 ?2 、 ?3 按从小到大 的顺序排列 .... 是______________; ?1 、 ? 2 、 ? 3 按从小到大 的顺 .... 序排列是_____________. 答案 ?2 ? ?1 ? ?3 , ?1 ? ? 3 ? ? 2 9、(2009 金陵中学三模)在边长为 2 的正三角形 ABC 中,以 A 为圆心, 3 为半径画一 弧,分别交 AB,AC 于 D,E.若在△ABC 这一平面区域内任丢一粒豆子,则豆子落在扇形 ADE 内的概率是____________. 答案

?

?

3? 6

10、 (2009 金华一中 2 月月考)从 1,2,3,4,5,6 这 6 个数字中, 任取 2 个数字相加, 其和为 偶数的概率是 ______ . 答案

2 5

三、解答题

11、(2009 高三冲刺)甲、乙两位小学生各有 2008 年奥运吉祥物“福娃”5 个(其中“贝
贝” 、 “晶晶” 、 “欢欢” 、 “迎迎”和“妮妮各一个” ) ,现以投掷一个骰子的方式进行游戏,规则如下:当出现向上 的点数是奇数时,甲赢得乙一个福娃;否则乙赢得甲一个福娃,规定掷骰子的次数达次 时,或在此前某人已赢得所有福娃时游戏终止。记游戏终止时投掷骰子的次数为 ? (1)求掷骰子的次数为 7 的概率; (2)求 ? 的分布列及数学期望 E ? 。 解: (1)当 ? =7 时,甲赢意味着“第七次甲赢,前 6 次赢 5 次,但根据规则,前 5 次中 必输 1 次” ,由规则,每次甲赢或乙赢的概率均为

1 ,因此 2

- 26 -

1 1 1 5 1 1 ( ) ? ( )4 ? ? ? P(? ? 7) = 2C5 2 2 2 2 64
(2)设游戏终止时骰子向上的点数是奇数出现的次数为 m ,向上的点数是偶数出现的次

?| m ? n |? 5 ? 数为 n,则由 ?m ? n ? ? ,可得:当 m ? 5, n ? 0或m ? 0, n ? 5时,? ? 5;当m ? 6 ?1 ? ? ? 9 ?
n ? 1 或 m ? 1 , n ? 6 时, ? ? 7 当 m ? 7 , n ? 2 或 m ? 2, n ? 7时, ? ? 9. 因此 ? 的
可能取值是 5、7、9 每次投掷甲赢得乙一个福娃与乙赢得甲一个福娃的可能性相同,其概率都是

3 1 ? . 6 2

1 1 5 1 5 55 P(? ? 5) ? 2 ? ( ) 5 ? , P(? ? 7) ? , P(? ? 9) ? 1 ? ? ? 2 16 64 16 64 64
所以 ? 的分布列是:

?
P

5

7

9

1 16

5 64

55 64

E? ? 5 ?

1 5 55 275 ? 7? ? 9? ? 16 64 64 32

12、(北京市石景山区 2009 年 4 月高三一模理) 某工厂在试验阶段大量生产一种零件.这种零件有 A 、 B 两项技术 指标需要检测,设各项技术指标达标与否互不影响.若 A 项技术指标达标的概率为 有且仅有一项技术指标达标的概率为 件为合格品. (Ⅰ)求一个零件经过检测为合格品的概率; (Ⅱ)任意依次抽出 5 个零件进行检测,求其中至多 3 个零件是合格品的概率; (Ⅲ)任意依次抽取该种零件 4 个,设 ? 表示其中合格品的个数,求 E? 与 D? . 解: (Ⅰ)设 A 、 B 两项技术指标达标的概率分别为 P 1、P 2.

3 , 4

5 .按质量检验规定:两项技术指标都达标的零 12

3 ? P1 ? ? ? 4 由题意得: ? , ? P (1 ? P ) ? (1 ? P ) P ? 5 2 1 2 ? 1 12 ?
解得: P2 ?

2 . 3
- 27 -



一个零件经过检测为合格品的概率 P ? P1 P2 ?

3 2 1 ? ? . 4 3 2

(Ⅱ)任意抽出 5 个零件进行检查,其中至多 3 个零件是合格品的概率为:

1 13 5 1 5 1 ? C 54 ( ) 5 ? C 5 ( ) ? . 2 2 16 1 1 1 1 (Ⅲ)依题意知 ? ~ B(4, ) , E? ? 4 ? ? 2 , D? ? 4 ? ? ? 1 . 2 2 2 2
13、 (2009 龙岩一中文)将一颗骰子先后抛掷 2 次,观察向上的点数,求: (1)两数之和为 5 的概率; (2)两数中至少有一个奇数的概率; (3)以第一次向上点数为横坐标 x,第二次向上的点数为纵坐标 y 的点(x,y)在圆 2 2 x +y =15 的内部的概率. 解: 将一颗骰子先后抛掷 2 次,此问题中含有 36 个等可能基本事件 (1)记“两数之和为 5”为事件 A,则事件 A 中含有 4 个基本事件, 所以 P(A)=

4 1 ? ; 36 9 1 . 9

答:两数之和为 5 的概率为

(2)记“两数中至少有一个奇数”为事件 B,则事件 B 与“两数均为偶数”为对立事件, 所以 P(B)= 1 ?

9 3 ? ; 36 4 3 . 4
2 2

答:两数中至少有一个奇数的概率

(3)基本事件总数为 36,点(x,y)在圆 x +y =15 的内部记为事件 C,则 C 包含 8 个事 件, 所以 P(C)=

8 2 ? . 36 9
2 2

答:点(x,y)在圆 x +y =15 的内部的概率

2 . 9

14、 (湖北省八校 2009 届高三第二次联考文)在某社区举办的 《2008 奥运知识有奖问答比赛》 中,甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题,已知甲回答对 这道题的概率是 .

3 1 1 ,甲、丙两人都回答错 的概率是 ,乙、丙两人都回答对 的概率是 . .... .... 4 12 4
(Ⅰ)求乙、丙两人各自回答对这道题的概率. (Ⅱ)求甲、乙、丙三人中恰有两人回答对该题的概率. 解: 记 “甲回答对这道题” 、 “ 乙回答对这道题” 、 “丙回答对这道题” 分别为事件 A 、B 、

1 1 ? ? ?P( A) ? P(C ) ? 12 ?[1 ? P( A)] ? [1 ? P(C )] ? 12 3 C ,则 P ( A) ? ,且有 ? ,即 ? 1 1 4 ? P( B) ? P(C ) ? ? P( B) ? P(C ) ? 4 4 ? ? 3 2 ∴ P ( B ) ? , P (C ) ? 8 3

- 28 -

(2)由(1) P ( A) ? 1 ? P ( A) ?

1 1 , P( B) ? 1 ? P( B) ? . 4 3

则甲、乙、丙三人中恰有两人回答对该题的概率为:

P ? P( A ? B ? C ) ? P( A ? B ? C ) ? P( A ? B ? C ) ?

3 3 1 3 5 2 1 3 2 15 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 8 3 4 8 3 4 8 3 32

15(09 江西高二其中)某科技公司遇到一个技术难题,紧急成立甲、乙两个攻关小组,按 要求各自单独进行为期一个月的技术攻关, 同时决定对攻关期满就攻克技术难题的小组给 予奖励.已知此技术难题在攻关期满时被甲小组攻克的概率为 为

2 ,被乙小组攻克的概率 3

3 . 4

(1)设 ? 为攻关期满时获奖的攻关小组数,求 ? 的分布列及 E? ; (2)设? 为攻关期满时获奖的攻关小组数与没有获奖的攻关小组数之差的平方,记“函数

7 f ( x) ? ? ? 在定义域内单调递减”为事件 C ,求事件 C 的概率. 2
解: 记 “甲攻关小组获奖” 为事件 A, 则 P ( A) ? , 记 “乙攻关小组获奖” 为事件 B, 则 P( B) ? . (1)由题意,ξ 的所有可能取值为 0,1,2.
2 3 1 P(? ? 0) ? P( A ? B ) ? (1 ? )(1 ? ) ? , 3 4 12 2 3 2 3 5 2 3 1 P(? ? 1) ? P( A ? B) ? ( A ? B ) ? (1 ? ) ? ? ? (1 ? ) ? , P(? ? 2) ? P( A ? B) ? ? ? , 3 4 2 3 4 3 4 12 2 3 3 4

x

∴ξ 的分布列为: ξ P 0
1 12

1
5 12

2
1 2

∴ E? ? 0 ?

1 5 1 17 ? 1? ? 2 ? ? 12 12 2 12



(2)∵获奖攻关小组数的可能取值为 0,1,2,相对应没有获奖的攻关小组的取值为 2,1, 0.∴η 的可能取值为 0,4. 当 η=0 时, 当 η=4 时,
7 7 f ( x) ?| ? ? |x ? ( ) x 在定义域内是增函数. 2 2 7 1 x f ( x) ?| ? ? |? ( ) 在定义域内是减函数. 2 2 1 1 7 ? ? . 2 12 12

∴ P(C ) ? P(? ? 4) ? P( A ? B) ? P( A ? B ) ?

9 月份更新
一、填空题 1、 (2009 上海十四校联考)在集合 {x | x ? 恰好满足方程 cos x ?

nx , n ? 1,2,3, ?,10} 中任取一个元素,所取元素 6

1 的概率是 2
- 29 -

答案

1 5

2 、( 2009 上 海 八 校 联 考 ) 已 知 集 合 A ? { z | z ? 1 ? i ? i 2 ?

? i n , n ? N *} ,

( z1 可以等于 z2 ),从集合 B 中任取一元素,则该元素的 B ? {? | ? ? z1 ? z2 , z1 、 z2 ? A} , 模为 2 的概率为______________。 答案

2 7

3、 (2009 上海奉贤区模拟考)在 1,2,3,4,5 这五个数字中任取不重复的 3 个数字组成 一个三位数, 则组成的三位数是奇数的概率是 答案 。 (用分数表示)

3 5

4、 (2009 冠龙高级中学 3 月月考文)某小组有三名女生,两名男生,现从这个小组中任意 选出一名组长,则其中一名女生小丽当选为组长的概率是 。 答案

1 5

5、 (2009 冠龙高级中学 3 月月考理甲、乙两人各进行一次射击如果两人击中目标的概率都 是 0.6,则其中恰有一人击中目标的概率是 。

答案 P( AB) ? P( AB) ? P( A)P( B) ? P( A) P(B) ? 0.6 ? (1 ? 0.6) ? (1 ? 0.6) ? 0.6 ? 0.48 6、 (2009 上海普陀区)正方体骰子六个表面分别刻有 1 ~ 6 的点数. 现同时掷了两枚骰子, 则得到的点数之和大于 10 的概率为 . 答案

1 ; 12

7、 (2009 上海青浦区)市场上有一种“双色球”福利彩票,每注售价为 2 元,中奖概率为 6.71%,一注彩票的平均奖金额为 14.9 元.如果小王购买了 10 注彩票,那么他的期望收益 是 元.

答案 ? 8.66 元 二、解答题 8、 (2009 上海卢湾区 4 月模考)袋中有 8 个颜色不同,其它都相同的球,其中 1 个为黑球, 3 个为白球,4 个为红球 (1)若从袋中一次摸出 2 个球,求所摸出的 2 个球恰为异色球的概率; (2)若从袋中一次摸出 3 个球,且所摸得的 3 球中,黑球与白球的个数都没有超过红 球的个数, 记此时得到红球的个数为 ? , 求随机变量 ? 的概率分布律, 并求 ? 的数学期望 E? 和方差 D? .
1 1 1 解: (1)摸出的 2 个球为异色球的不同摸法种数为 C7 ? C3 C4 ? 19 种,从 8 个球中摸

- 30 -

2 出 2 个球的不同摸法种数为 C8 ? 28 ,故所求概率为

19 ; 28

(6 分)

(2)符合条件的摸法包括以下三种:一种是所摸得的 3 球中有 1 个红球,1 个黑球,1
1 1 个白球,共有 C4 C3 ? 12 种不同摸法,一种是所摸得的 3 球中有 2 个红球,1 个其它颜色球, 2 1 3 共有 C4 C4 ? 24 种不同摸法,一种是所摸得的 3 球均为红球,共有 C4 ? 4 种不同摸法,故

符合条件的不同摸法共有 40 种. 由题意随机变量 ? 的取值可以为 1 , 2 , 3 . 得随机变量 ? 的概率分布律为: x 1 2 3

P(? ? x)
3 3 1 9 E? ? 1 ? ?2 ? ? 3 ? ? , 10 5 10 5
9? 3 ? ? 9? 3 ? D? ? ?1 ? ? ? ??2 ? ? ? ? 3 ? 5? 5 ? ? 5 ? 10 ?
2 2

3 10

3 5

1 10

(12 分) (13 分)

9? ? ? 5?

2

1 9 . ? ? 10 25

(14 分)

9、 (2009 上海卢湾区一模)(理)袋中有同样的球 5 个,其中 3 个红色, 2 个黄色,现从 中随机且不返回地摸球,每次摸 1 个,当两种颜色的球都被摸到时,即停止摸球,记随 机变量 ? 为此时已摸球的次数,求:. (1)随机变量 ? 的概率分布律;(2)随机变量 ? 的数学期望与方差. (文)袋中有同样的球 9 个,其中 6 个红色, 3 个黄色,现从中随机地摸 6 球,求: (1)红色球与黄色球恰好相等的概率(用分数表示结果) (2)红色球多于黄色球的不同摸法的和数.
1 1 1 C2 C3C2 3 (理)解:(1)随机变量 ? 可取的值为 2, 3, 4, P (? ? 2) ? ? ; 1 1 C5 C4 5 1 1 1 P22C3 ? P32C2 P33C2 3 1 ? ; P ( ? ? 4) ? ? ; 1 1 1 1 1 1 1 C5 C4 C 3 10 C5 C4 C3C2 10

P (? ? 3) ?

得随机变量 ? 的概率分布律为:

x
P (? ? x )

2
3 5

3
3 10

4
1 10

(2)随机变量 ? 的数学期望为: E? ? 2 随机变量 ? 的方差为:

3 3 1 5 ?3 ?4 ? ; 5 10 10 2

D? ? (2 ? 2.5)2

3 3 1 9 ? (3 ? 2.5)2 ? (4 ? 2.5) 2 ? 5 10 10 20
- 31 -

(文)解:(1) p ?

3 3 C6 C3 5 ? ; 6 C9 21

6 0 5 1 4 2 (2) C6 C3 ? C6 C3 ? C6 C3 ? 64 .

10、 (2009 上海九校联考)学习小组有 6 个同学,其中 4 个同学从来没有参加过数学研究性 学习活动,2 个同学曾经参加过数学研究性学习活动. (1)现从该小组中任选 2 个同学参加数学研究性学习活动, 求恰好选到 1 个曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率; (2)若从该小组中任选 2 个同学参加数学研究性学习活动,活动结束后, 该小组没有参加过数学研究性学习活动的同学个数 ? 是一个随机变量, 求随机变量 ? 的分布列及数学期望 E? . 解: (1)记“恰好选到 1 个曾经参加过数学研究性学习活动的同学”为事件的 A ,
1 1 C4 C2 8 则其概率为 P( A) ? ? . 2 C6 15

???4 分

答:恰好选到 1 个曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率为 (2)随机变量 ? ? 2,3,4

8 15

???5 分

P(? ? 2) ?

2 C4 2 ? ; 2 C6 5

??6 分

1 1 C4 C 8 P(? ? 3) ? 2 2 ? ; C6 15 2 C2 1 ? ; 2 C6 15

???8 分

P(? ? 4) ?

???10 分

∴随机变量 ? 的分布列为

?
P

2

3

4

2 5

8 15

1 15
??12 分

∴ E? ? 2 ? 2 ? 3 ? 8 ? 4 ? 1 ? 8 . 5 15 15 3

2007—2008 年联考题
一、选择题

- 32 -

1、(2007 南京模拟)6 件产品中有 4 件合格品, 2 件次品.为找出 2 件次品,每次任取一个 检验,检验后不再放回,恰好经过 4 次检验找出 2 件次品的概率为 A. ( D. )

3 5

B.

1 3

C.

4 15

1 5

答案 C 2、 (2007 潍坊高三二轮复习)已知 ? ={(x,y)|x+y ? 6,x ? 0,y ? 0},A={(x,y)| x ? 4,y ? 0, x-2y ? 0},若向区域 ? 上随机投一点 P , 则点 P 落入区域 A 的概率为 ( ) 2 2 1 1 A. B. C. D. 3 3 9 9 答案 D 二、填空题 3、 (2008 滨海高校月考)某人 5 上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为 x,y,10,11,9.已 知这组数据的平均数为 10,方次差为 2,则 x 2 ? y 2 的值为 .

答案 208 4、 (2007 石景山区高三二轮复习)一次单元测试由 50 个选择题构成,每个选择题有 4 个选 项,其中恰有一个是正确的答案,每题选择正确得 3 分,不选或选错得 0 分,满分 150 分.学生甲选对任一题的概率为 0.8,则该生在这次测试中成绩的期望值是 _________,标 准差是_____________. 答案 120 6 2 三、解答题 5、 (2008 年东北三省三校高三第一次联合模拟考试) 一个袋中有大小相同的标有 1,2,3,4,5,6 的 6 个小球,某人做如下游戏,每次从袋 中拿一个球 (拿后放回) , 记下标号。 若拿出球的标号是 3 的倍数, 则得 1 分, 否则得 ? 1 分。 (1)求拿 4 次至少得 2 分的概率; (2)求拿 4 次所得分数 ? 的分布列和数学期望。 解(1)设拿出球的号码是 3 的倍数的为事件 A,则 P( A) ? 得 2 分包括 2 分和 4 分两种情况。

1 2 , P ( A) ? ,拿 4 次至少 3 3

8 1 1 1 3 1 3 2 P1 ? C4 ( ) ( ) ? , P2 ? ( ) 4 ? ,? P ? P 1 ? P 2 ? 3 3 81 3 81 9
(2) ? 的可能取值为 ? 4,?2,0,2,4 ,则

2 16 32 1 1 2 3 P(? ? ?4) ? ( ) 4 ? ; P(? ? ?2) ? C4 ( )( ) ? ; 3 81 3 3 81 24 8 1 2 1 2 2 2 P(? ? 0) ? C4 ( ) ( ) ? ; P (? ? 2) ? ; P (? ? 4) ? ; 3 3 81 81 81 ? 分布列为

- 33 -

-4

-2

0

2

4

P
?
16 81 32 81 24 81 8 81 1 81

E? ? ?4 ?

16 32 24 8 1 3 ? (?2) ? ? 0? ? 2? ? 4? ? ? 81 81 81 81 81 4

6、 (2007 浦东新区高三二轮复习)某研究所试制出一大批特种陶瓷刀,他们从这批产品中 随机抽取了 50 个样本,检测它们的硬度和耐磨度.硬度和耐磨度各分为 5 个档次,检测 结果如下表.如表中所示硬度为 5、 耐磨度为 4 的刀具有 3 把.若在该批产品中任选一把刀 具,其硬度记为 x ,耐磨度记为 y . (1)试根据这 50 个样本估计 y ? 5 的概 率是多少? x ? 3 且 y ? 3 的概率是多少? (2)若从这一大批产品中任 意取出 3 把 刀具,则这 3 把刀具至少有 2 把的耐磨度 为 5 的概率是多少? (3)根据这 50 个样本估计 y 的期望值. 解:(1) P( y ? 5) ?

1?1? 2 ?1 1 ? ; 50 10 1? 7 4 P( x ? 3, y ? 3) ? ? ; 50 25 1 ,故任取 3 把,至少有 2 10

(2)由(1)可知,任取 1 把刀具,其耐磨度为 5 的概率 p ?
2 ( 把耐磨度为 5 的概率为 C3

1 2 9 1 1 3 9 0 7 ) ( ) ? C3 )( ) ? ; 3( 10 10 10 10 250
5 4 3 2 1

(3)由题意可知 y 的分布列为

y
P

5 50

6 50

15 50

15 50

9 50

? Ey ? 5 ?

5 6 15 15 9 133 ? 4? ? 3? ? 2? ? 1? ? . 50 50 50 50 50 50

- 34 -


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