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必修一复习方案与全优评估 指数函数与对数函数


1.指数与指数函数 (1)利用分数指数幂进行根式的运算,其顺序是先把根式化为分数指数幂,再根据分数 指数幂的运算性质进行计算. (2)指数函数的底数 a>0 且 a≠1,这是隐含条件. (3)指数函数 y=ax 的单调性,与底数 a 有关.当底数 a 与 1 的大小不确定时,一般需分 类讨论. (4)指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系是:在 y 轴右侧, 图像从上到下相应的底数由大变小;在 y 轴左侧,图像从下到上相应的底数由大变小. 1 (5)函数 y=ax 与函数 y=( )x 的图像关于 y 轴对称. a (6)与指数函数有关的函数方程问题的求解,要充分用好指数函数的图像和性质. 2.对数与对数函数 (1)指数式 ab=N 与对数式 logaN=b 的关系以及这两种形式的互化是对数运算的关键. (2)在使用运算性质 logaMn=nlogaM 时,要特别注意条件,在无 M>0 的条件下应为 logaMn=nloga|M|. n 1 (3)注意对数恒等式、对数换底公式及等式 logambn= logab,logab= 在解题中的灵 m logba 活运用. (4)对数函数 y=logax 与 y=log1x 的图像关于 x 轴对称.
a

(5)指数函数 y=ax 与对数函数 y=logax 互为反函数,其图像关于直线 y=x 对称. (6)与对数函数有关的函数的图像与性质的研究,要充分用好对数函数的图像与性质, 及函数图像的平移和对称变换. (7)与对数函数有关的方程,常见有两类:一是通过对数运算性质化为代数方程求解; 二是利用数形结合法求解.

[例 1] 化简:

4

1

(1)

a3-8a3b
2

3 4b3+2 ab+a3

÷ (1-2 2

3 b 3 )× ab; a

(2)(lg 2)3+3lg 2· lg 5+(lg 5)3; 2lg 2+lg 3 (3) . 1 1 1+ lg 0.36+ lg 8 2 3
1 1 1 1 1 3 3 1 1 1 a3(a-8b) 3 3 [解] (1)原式= ×1 ab= × a× a3b3=a b. 1 1 1 1 1× a - 8 b (2b3)2+2a3b3+(a3)2 a3-2b3

a3(a-8b)

a3

(2)原式=(lg 2+lg 5)[(lg 2)2-lg 2· lg 5+(lg 5)2]+3lg 2· lg 5=(lg 2)2+2lg 2· lg 5+(lg 5)2 =(lg 2+lg 5)2=1. (3)原式= 1+lg [借题发挥] 指数式的运算首先要注意化简顺序,一般负指数先转化为正指数,根式化为指数运算, 其次若出现分式则要注意分子、 分母因式分解以达到约分的目的. 对数运算首先注意公式应 用过程中范围的变化,前后要等价.熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式、换 底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧. lg 4+lg 3 lg 12 lg 12 = = =1. lg 12 1 + lg 0.6 + lg 2 3 0.36+lg 8

1 1 1.若 2.5x=1 000,0.25y=1 000,则 - =________. x y 解析:由已知得:x=log2.51 000,y=log0.251 000 1 1 1 1 lg 2.5 lg 0.25 ∴ - = - = - x y log2.51 000 log0.251 000 lg 103 lg 103 1 1 2.5 1 1 = (lg 2.5-lg 0.25)= lg = lg 10= . 3 3 0.25 3 3 1 答案: 3 2.已知 logax=4,logay=5,试求 A=(x 1 1 1 解:logaA= [logax+ (- logax-2logay)] 2 3 2 15 2 = ( logax- logay) 26 3 15 2 = ( × 4- × 5)=0. 26 3 ∴A=1. 3 1 1 )2的值. xy2

[例 2] (1)已知函数 f(x)=loga(2x+b-1)(a>0,a≠1)的图像如右图所 示,则 a,b 满足的关系是( A.0<a 1<b<1


)

B.0<b<a 1<1


C.0<b 1<a<1


D.0<a 1<b 1<1
- -

1 (2)已知函数 y=ax2-3x+3,当 x∈[1,3]时有最小值 ,求 a 的值. 8 [解] (1)由图像,知该函数为增函数. ∴a>1.又当 x=0 时,-1<f(0)<0, 1 即-1<logab<0,即 loga <logab<loga1. a 1 - ∴ <b<1.结合 a>1,知 0<a 1<b<1. a [答案] A 3 3 (2)令 t=x2-3x+3=(x- )2+ , 2 4 3 当 x∈[1,3]时,t∈[ ,3], 4
3 1 ①若 a>1,则 ymin=a4= , 8

1 解得 a= ,与 a>1 矛盾. 16 1 1 ②若 0<a<1,则 ymin=a3= ,解得 a= ,满足题意. 8 2 1 综合①,②知 a= . 2 [借题发挥] 指数函数、 对数函数是中学数学中重要的基本初等函数. 它们的图像与性质始终是高考 考查的重点.由于指数函数 y=ax,对数函数 y=logax(a>0,a≠1)的图像与性质都与 a 的取 值有密切的联系,a 变化时,函数的图像与性质也随之改变,因此,在 a 的值不确定时,要 对它们进行分类讨论.

3.函数 f(x)=ax 正确的是( )

-b

的图像如右图,其中 a,b 为常数,则下列结论

A.a>1,b<0

B.a>1,b>0 C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0 解析:由 f(x)=ax a<1; 函数 f(x)=ax 答案:D
?4x-4 (x≤1), ? 4.函数 f(x)=? 2 的图像和函数 g(x)=log2x ? ?x -4x+3(x>1)
-b -b

的图像可以观察出,函数 f(x)=ax

-b

在定义域上单调递减,所以 0<

的图像是在 f(x)=ax 的基础上向左平移得到的,所以 b<0.

的图像的交点个数是( A.4 C.2

) B .3 D.1

解析:作出函数 f(x)与 g(x)的图像,如图所示,由图像可知:两 函数图像的交点有 3 个. 答案:B 1 a 5.定义在[-1,1]上的偶函数 f(x),已知当 x∈[-1,0]时的解析式 f(x)= x- x(a∈R). 4 2 (1)写出 f(x)在[0,1]上的解析式; (2)求 f(x)在[0,1]上的最大值. 解:(1)设 x∈[0,1],则-x∈[-1,0]. 1 a ∴f(-x)= -x- -x=4x-a· 2x. 4 2 ∵函数 f(x)是偶函数, ∴f(x)=f(-x)=4x-a· 2x,x∈[0,1]. (2)当 x∈[0,1]时,f(x)=4x-a· 2x, a 2 a2 令 t=2 ,则 t∈[1,2].∴g(t)=t -at=(t- ) - . 2 4
x 2

a 当 ≤1,即 a≤2 时,g(t)max=g(2)=4-2a; 2 a 3 当 1< ≤ ,即 2<a≤3 时,g(t)max=g(2)=4-2a; 2 2 3 a 当 < ≤2,即 3<a≤4 时,g(t)max=g(1)=1-a; 2 2 a 当 >2,即 a>4 时,g(t)max=g(1)=1-a. 2 综上知,当 a≤3 时,f(x)的最大值是 4-2a; 当 a>3 时,f(x)的最大值是 1-a.

[例 3] 比较下列各组数的大小. 2 6 (1)log3 与 log5 ; 3 5 (2)log1.10.7 与 log1.20.7; (3)已知 log1b<log1a<log1c,比较 2b,2a,2c 的大小关系.
2 2 2

2 6 [解] (1)∵log3 <log31=0,而 log5 >log51=0, 3 5 2 6 ∴log3 <log5 . 3 5 (2)∵0<0.7<1,1.1<1.2, ∴0>log0.71.1>log0.71.2, ∴ 1 1 < , log0.71.1 log0.71.2

即由换底公式可得 log1.10.7<log1.20.7. (3)∵y=log1x 为减函数,且 log1b<log1a<log1c,
2 2 2 2

∴b>a>c,而 y=2x 是增函数, ∴2b>2a>2c. [借题发挥] 比较几个数大小的常用方法有:单调性法、图像法、搭桥法、特殊 值法、作差法、作商法等.其中第(2)小题可以运用图像法解.提示: 作出函数 y=log1.1x 与 y=log1.2x 的图像 如图所示,两图像与 x=0.7 相交, 可知 log1.10.7<log1.20.7.

6.三个数 60.7、0.76、log0.76 的大小顺序为( A.0.76<log0.76<60.7 C.log0.76<60.7<0.76

)

B.0.76<60.7<log0.76 D.log0.76<0.76<60.7

解析:∵0<0.7<1,6>1,∴log0.76<0,而 0<0.76<1,60.7>1,故 log0.76<0.76<60.7. 答案:D 7.若 x∈(1,10),则(lg x)2,lg x2,lg(lg x)的大小顺序是( A.(lg x)2<lg x2<lg(lg x) B.lg(lg x)<lg x2<(lg x)2 C.lg x2<lg(lg x)<(lg x)2 )

D.lg(lgx)<(lg x)2<lg x2 解析:∵x∈(1,10),∴不妨令 x= 10, 则 lg(lg x)=lg(lg 10)<0,(lg x)2=(lg 1 10)2= , 4

lg x2=lg( 10)2=1, ∴lg(lg x)<(lg x)2<lg x2. 答案:D

[例 4] 已知函数 f(x)=log2(2x+1). (1)求证:函数 f(x)在(-∞,+∞)内是增加的; (2)若关于 x 的方程 log2(2x-1)=m+f(x)在[1,2]上有解,求 m 的取值范围. [解] (1)证明:任取 x1<x2, 2x1+1 则 f(x1)-f(x2)=log2(2x1+1)-log2(2x2+1)=log2 , 2x2+1 ∵x1<x2,∴0<2x1+1<2x2+1. 2x1+1 2x1+1 ∴0< <1,log2 <0.∴f(x1)<f(x2), 2x2+1 2x2+1 即函数 f(x)在(-∞,+∞)内是增加的. (2)法一:∵m=log2(2x-1)-log2(2x+1) 2x-1 2 =log2 x =log2(1- x ). 2 +1 2 +1 2 2 2 当 1≤x≤2 时, ≤ x ≤ , 5 2 +1 3 1 2 3 ∴ ≤1- x ≤ . 3 2 +1 5 1 3 ∴m 的取值范围是[log2 ,log2 ]. 3 5 法二:解方程 log2(2x-1)=m+log2(2x+1), 2m+1 得 x=log2( ),∵1≤x≤2, 1-2m 2m+1 1 3 ∴1≤log2( )≤2,解得 log2 ≤m≤log2 . 3 5 1-2m 1 3 ∴m 的取值范围是[log2 ,log2 ]. 3 5 [借题发挥] 1 - 若本例中函数不变,如何解不等式 f(4x)>f(( )x 3)? 2

8.函数 f(x)=log2(3x+1)的值域为( A.(0,+∞) C.(1,+∞)

)

B.[0,+∞) D.[1,+∞)

解析:∵3x+1>1,∴log2(3x+1)>0. 答案:A 9.已知函数 f(x)=log4(4x+1)+kx(x∈R)是偶函数,求 k 的值. 解:∵函数 f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x), 即 log4(4 x+1)-kx=log4(4x+1)+kx.


∴2kx=log4(4 x+1)-log4(4x+1)


4x+1 4x 4 +1 =log4 x =log4 x 4 +1 4 +1
-x

1 =log4 x=-x. 4 1 ∴2k=-1.∴k=- . 2

(时间 90 分钟,满分 120 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.已知函数 f(x)=logax(a>0,a≠1)的图像如右图所示,函数 y=g(x)的图 像与 y=f(x)的图像关于直线 y=x 对称,则函数 y=g(x)的解析式为( A.g(x)=2x 1 C.g(x)=( )x 2 B.g(x)=log1x
2

)

D.g(x)=log2x

解析:由点(2,-1)在 y=logax 的图像上, 1 得 loga2=-1,∴a= . 2 1 ∴f(x)=log1x,从而 g(x)=( )x. 2 2 答案:C 1 2. log612-log6 2等于( 2 A.6 2 )

B.12 2

1 C. 2

D.3

1 解析:原式=log6 12-log6 2=log6 6= . 2 答案:C 1 3.若集合 A={x|log1x≥ },则? RA=( 2 2 A.(-∞,0]∪( C.(-∞,0]∪[ 2 ,+∞) 2 2 ,+∞) 2 B.( D.[ ) 2 ,+∞) 2 2 ,+∞) 2

1 2 解析:log1x≥ ,即 log1x≥log1 2 2 2 2 2 ∴0<x≤ 2 2 ,即 A={x|0<x≤ }. 2 2 2 }. 2

∴? RA={x|x≤0 或 x> 答案:A

4.(2012· 重庆高考)已知 a=log23+log2 3,b=log29-log2 3,c=log32,则 a,b,c 的大小关系是( )

A.a=b<c B.a=b>c C.a<b<c D.a>b>c 3 3 解析:a=log23+log2 3=log23 3= log23>1,b=log29-log2 3=log23 3= log23>1, 2 2 c=log32<log33=1,故 a=b>c. 答案:B 5.设 a=log54,b=(log53)2,c=log45,则( A.a<c<b C.a<b<c B.b<c<a D.b<a<c )

解析:a=log54<1,log53<log54<1, b=(log53)2<log53,c=log45>1,故 b<a<c. 答案:D 2 6.函数 f(x)=lg( -1)的图像关于( 1-x A.y 轴对称 C.原点对称 解析:f(x)=lg B.x 轴对称 D.直线 y=x 对称 1+x ,则 f(x)的定义域为(-1,1), 1-x )

又∵f(-x)=lg

1-x 1+x 1 =lg =-lg =-f(x), 1+x 1+x 1-x 1-x

∴f(x)为奇函数,∴该函数的图像关于原点对称. 答案:C 1 1 7.设 2a=5b=m,且 + =2,则 m=( a b A. 10 C.20 B.10 D.100 )

解析:由 2a=5b=m,得 a=log2m,b=log5m, 1 1 ∴ + =logm2+logm5=logm10. a b 1 1 ∵ + =2.∴logm10=2. a b ∴m2=10,∵m>0,∴m= 10. 答案:A b 8.函数 y=ax2+bx 与 y=log| |x(ab≠0,|a|≠|b|)在同一直角坐标系中的图像可能是( a )

b 解析:函数 y=ax2+bx 的两个零点是 0,- . a b 对于 A、B,由抛物线的图像知,- ∈(0,1), a b ∴| |∈(0,1). a b ∴函数 y=log| |x 不是增函数,错误; a b 对于 C,由抛物线的图像知 a<0 且- <-1, a b b ∴b<0 且 >1.∴| |>1. a a b ∴函数 y=log| |x 应为增函数,错误; a b 对于 D,由抛物线的图像知 a>0,- ∈(-1,0), a b b ∴| |∈(0,1).满足 y=log| |x 为减函数. a a 答案:D

log (x-1) (x≥2), ? ? 2 9.设函数 f(x)=? 1 x 若 f(x0)>1,则 x0 的取值范围是( ?(2) -1 (x<2), ? A.(-∞,0)∪(2,+∞) C.(-∞,-1)∪(3,+∞) 解析:当 x0≥2 时,∵f(x0)>1, ∴log2(x0-1)>1,即 x0>3; 1 当 x0<2 时,由 f(x0)>1 得( )x0-1>1, 2 1 1- ( )x0>( ) 1,∴x0<-1. 2 2 ∴x0∈(-∞,-1)∪(3,+∞). 答案:C B.(0,2) D.(-1,3)

)

10. 用 min{a, b, c}表示 a, b, c 三个数中的最小值. 设 f(x)=min{2x, x+2, 10-x}(x≥0), 则 f(x)的最大值为( A.4 C.6 ) B.5 D.7

解析:本题是新定义型问题,主要考查数形结合思想的应用. 由题意知,函数 f(x)是三个函数 y1=2x,y2=x+2,y3=10-x 中的 较小者, 作出三个函数在同一个平面直角坐标系的图像(如右图实线部分 为 f(x)的图像)可知 A(4,6)为函数 f(x)图像的最高点,∴f(x)max=6. 答案:C 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.把答案填写在题中的横线上)
1 2 1 - 11.(2011· 四川高考)计算(lg -lg 25)÷ 100 =____________. 4

解析:原式=(lg 答案:-20

1 - )÷ 10 1=-2× 10=-20. 100

12.设函数 f(x)=x(ex+ae x)(x∈R)是偶函数,则实数 a 的值为________.


解析:因为 f(x)是偶函数,所以恒有 f(-x)=f(x), 即-x(e x+aex)=x(ex+ae x),
- -

化简得 x(e x+ex)(a+1)=0.


因为上式对任意实数 x 都成立,所以 a=-1. 答案:-1 1 13.方程( )x=|log3x|的解的个数是________. 3

1 解析:如图,画出函数 y=( )x 与 y=|log3x|的图像,两图像的交点 3 个数为 2. 答案:2 1 14.已知定义域为 R 的偶函数 f(x)在[0,+∞)上是增函数,且 f( )=0,则不等式 f(log4x) 2 >0 的解集是________. 1 1 解析:∵f(x)是偶函数,∴f(- )=f( )=0, 2 2 又∵f(x)在[0,+∞)上是增函数, ∴f(x)在(-∞,0]上是减函数, ∴f(log4x)>0 1 1 log4x> 或 log4x<- , 2 2

1 ∴x>2 或 0<x< . 2 1 答案:(0, )∪(2,+∞) 2 三、解答题(本大题共 4 小题,满分 50 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤) 15.(本小题满分 12 分) (1)解方程:lg(x+1)+lg(x-2)=lg 4; (2)求不等式 21
-2x

1 > 的解集. 8

解:(1)原方程可化为 lg(x+1)(x-2)=lg 4, ∴(x+1)(x-2)=4,解得 x=-2 或 3,
? ?x+1>0, 又? ?x-2>0 ?

x>2,

∴方程的根为 3; (2)原不等式可变为:21
-2x

>2 3,


又 y=2x 为 R 上的增函数, ∴1-2x>-3,解得:x<2. 所以解集为{x|x<2}. 16.(本小题满分 12 分)某医药研究所开发一种新药,如果成年人 按规定的剂量服用,据监测,服药后每毫升血液中的含药量 y(毫克) 与时间 t(小时)之间近似满足如图所示的曲线. (1)写出服药后 y 与 t 之间的函数关系式 y=f(t); (2)进一步测定:每毫升血液中含药量不少于 0.25 毫克时药物对治疗疾病有效.求服药

一次治疗疾病的有效时间. 解:(1)当 t∈[0,1]时,函数的解析式为 y=kt, 将 M(1,4)代入得 k=4,∴y=4t. 1 - 又当 t∈(1,+∞)时,函数的解析式为 y=( )t a, 2 将点(3,1)代入得 a=3. 1 - ∴y=( )t 3. 2 4t (0≤t≤1), ? ? 综上有 y=f(t)=? 1 t-3 (t>1); ? ?(2) 1 (2)由 f(t)≥0.25,解得 ≤t≤5. 16 所以服药一次治疗疾病的有效时间为 1 79 5- = 个小时. 16 16 17.(本小题满分 12 分)设函数 2 ,x≤1, ? ? f(x)=? x x log3 · log3 ,x>1. ? 3 9 ? 3 (1)求 f(log2 )的值; 2 (2)求 f(x)的最小值. 3 解:(1)∵log2 <log22=1, 2
3 3 3 2 - ∴f(log2 )=2 log2 2 =2log2 2 = , 2 3
-x

3 2 即 f(log2 )= ; 2 3 1 1 - (2)当 x∈(-∞,1]时,f(x)=2 x=( )x≥ , 2 2 1 即 f(x)min= . 2 当 x∈(1,+∞)时,f(x)=(log3x-1)(log3x-2), 令 log3x=t,则 t>0, 3 1 ∴y=(t-1)(t-2)=(t- )2- . 2 4 3 1 1 ∵t>0,∴当 t= 时,ymin=- < . 2 4 2 1 ∴f(x)的最小值是- . 4

1 18.(本小题满分 14 分)已知函数 f(x)=2x- |x|, 2 (1)若 f(x)=2,求 x 的值; (2)若 2tf(2t)+mf(t)≥0 对于 t∈[1,2]恒成立, 求实数 m 的取值范围. 解:(1)当 x≤0 时,f(x)=0; 1 当 x>0 时,f(x)=2x- x, 2 1 由条件可知 2x- x=2,即 22x-2× 2x-1=0. 2 解得 2x=1+ 2或 2x=1- 2(舍去). ∴x=log2(1+ 2); 1 1 (2)当 t∈[1,2]时,2t(22t- 2t)+m(2t- t)≥0. 2 2 即 m(22t-1)≥-(24t-1), ∵22t-1>0,∴m≥-(22t+1). ∵t∈[1,2],∴-(22t+1)∈[-17,-5]. 故 m 的取值范围是[-5,+∞).


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