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【金榜新学案】(新课标)2014高考数学大二轮 专题2 第1课时三角函数的图象与性质课件 文


第1课时 三角函数的图象与性质

高频考点

考情解读

主要考查三角函数的概念、同角三角函数 三角函数的概念 的关系及诱导公式的应用,有时与其他知 及诱导公式 识综合考查. 考查三角函数的性质时,多与三角恒等变 三角函数的性质 换、解三角形、平面向量相联系,难度中 等. 函数y=Asin(ωx 考查形式大致有三种:

一是由函数的图象 +φ)的图象及变 求解析式;二是根据函数的解析式确定函 数的相关性质;三是三角函数图象变换. 换

1.巧记六组诱导公式 kπ 对于“ ± α,k∈Z 的三角函数值“与“α 角的三角函数 2 值”的关系可按下面口诀记忆:奇变偶不变,符号看象限.

2.辨明常用三种函数的易误性质
函数 图象
? π +2kπ? 在[-π+2kπ, ? π 2 ? ? 在?-2 +kπ, 2kπ](k∈Z)上单调 ? (k∈Z)上单调递增;在 单调性 递增;在[2kπ,π+ π ? ?π ?(k∈Z)上 3π + k π 2 k π]( k ∈ Z ) 上单调 2 ? +2kπ, + 2kπ? ? ( k ∈ ? 2 ?2 递减 单调递增 Z)上单调递减 对称中心: 对称中心:(kπ,0)(k∈Z); ?π ? 对称中心: ? +kπ,0?(k∈Z); 对称轴: 对称性 ?kπ ? ?2 ? π ? ,0?(k∈Z) 对称轴: x= +kπ(k∈Z) ?2 ? 2 x=kπ(k∈Z) ? π 在?-2+2kπ,

y=sin x

y=cos x

y=tan x

3.识破三角函数的两种常见变换 向左?φ>0?或向右?φ<0? (1)y=sin x ―――――――→ y=sin(x+φ) 平移|φ|个单位

三角函数的基本问题
(1)已知角 α 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴的正 3 半轴重合,终边与单位圆交点的横坐标是- ,若 α∈(0,π), 5 则 tan α=________. (2)已知 2 A.5 2 2 C.5或-5
?π ? sin(π-α)=-2sin?2+α?,则 ? ?

sin α· cos α 等于(

)

2 B.-5 1 D.-5

3 解析: (1)由三角函数定义可知 cos α=- , 5 4 又 α∈(0,π),sin α= 1-cos α=5,
2

sin α 4 所以 tan α= =- . cos α 3

(2)由已知得 sin α=-2cos α, ∴tan α=-2. sin αcos α ∴sin α· cos α= 2 sin α+cos2α -2 tan α 2 = 2 = =-5,故选 B. tan α+1 4+1

4 答案: (1)-3 (2)B

(1)当角的终边所在的位置不是唯一确定的时 候要注意分情况解决,机械地使用三角函数定义就会出现错

误.
(2)使用三角函数诱导公式常见的错误有两个,一个是函数 名称,一个是函数值的符号,一定要特别注意.

1.(1)已知点

? P?sin ?

3π 3π? ?落在角 θ 的终边上,且 θ∈ , cos 4 4?

[0,2π),则 θ 的值为________. (2)已知 α 为锐角,且
?π ? 2tan(π-α)-3cos?2+β?+5=0,tan(π ? ?

+α)+6sin(π+β)=1,则 sin α 的值是( 3 5 A. 5 3 10 C. 10 3 7 B. 7 1 D. 3

)

3π cos 4 解析: (1)由三角函数的定义可知 tan θ= 3π =-1. sin 4 3π 3π 又 sin >0,cos <0,故角 θ 的终边落在第四象限,又 θ 4 4 7π ∈[0,2π),所以 θ= . 4 (2)由已知可得-2tan α+3sin β+5=0,tan α-6sin β=1, 3 10 解得 tan α=3,故 sin α= 10 .

7π 答案: (1) 4 (2)C

三角函数的性质
(2013· 天津卷 ) 已知函数 f(x) =- 6sin xcos x-2cos2x+1,x∈R. (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求
? π? f(x)在区间?0,2?上的最大值和最小值. ? ? ? π? 2sin ?2x+4? + ? ?

π π 解析: (1)f(x)=- 2sin 2x· cos4- 2cos 2x· sin4+3sin 2x -cos 2x=2sin 2x-2cos 2x=2
? π? 2sin?2x-4?. ? ?

2π 所以 f(x)的最小正周期 T= 2 =π. (2)因为
? ?3π π? 3π? f(x)在区间?0, 8 ?上是增函数,在区间? 8 ,2?上是 ? ? ? ? ?3π? f? 8 ?=2 ? ? ?π ? 2,f?2?=2,故函数 ? ?

减函数.又 f(0)=-2,
? π? ?0, ?上的最大值为 2? ?

f(x)在区间

2 2,最小值为-2.

(1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判 断三角函数的奇偶性,往往是在定义域内,先化简三角函数

式,尽量化为y=Asin(ωx+φ)+B的形式,然后再求解.
(2) 求 函 数 y = Asin(ωx + φ)( 或 y = Acos(ωx + φ) , 或 y = Atan(ωx+φ))的单调区间 ①将ω化为正. ②将ωx+φ看成一个整体,由三角函数的单调性求解.

2.(2013· 东城检测)已知函数 f(x)= 3sin xcos x+cos2x+a. (1)求 f(x)的最小正周期及单调递减区间; (2)若 的值.
? π π? 3 f(x)在区间?-6,3?上的最大值与最小值的和为2, 求 ? ?

a

解析:

1+cos 2x 3 (1)因为 f(x)= 2 sin 2x+ +a 2

? π? 1 =sin?2x+6?+a+2, ? ?

所以 T=π. π π 3π 由 +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,k∈Z, 2 6 2 π 2π 得6+kπ≤x≤ 3 +kπ,k∈Z. 故函数
?π ? 2π f(x)的单调递减区间是?6+kπ, 3 +kπ?(k∈Z). ? ?

π π (2)因为- ≤x≤ , 6 3
? π? π π 5π 1 所以-6≤2x+6≤ 6 ,-2≤sin?2x+6?≤1. ? ?

因为函数

? π π? f(x) 在 ?-6,3? 上 的 最 大 值 与 最 小 值 的 和 为 ? ?

? 1? ? 1 1? 3 ?1+a+ ?+?- +a+ ?= , 2? ? 2 2? 2 ?

所以 a=0.

函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
? π? (2013· 广东韶关)函数 y=sin(ωx+φ)?ω>0,|φ|<2? ? ?

π 7π 在同一个周期内,当 x= 时,y 取最大值 1,当 x= 时,y 取 4 12 最小值-1. (1)求函数的解析式 y=f(x); (2)函数 y=sin x 的图象经过怎样的变换可得到 y=f(x)的图 象; (3)若函数 f(x)满足方程 f(x)=a(0<a<1), 求在[0,2π]内的所 有实数根之和.

?7π π? 2π 解析: (1)∵ =2×?12-4?, ω ? ?

∴ω=3,
?3 ? 又∵sin?4π+φ?=1, ? ?

3π π ∴ 4 +φ=2kπ+2, π π 又|φ|< ,得 φ=- , 2 4 ∴函数的解析式为
? π? f(x)=sin?3x-4?. ? ?

? π? π (2)y=sin x 的图象向右平移4个单位, 得到 y=sin?x-4?的图 ? ?

象,再由

? π? 1 ? ? y=sin x-4 的图象上所有点的横坐标变为原来的3, ? ? ? π? y=sin?3x-4?的图象. ? ?

纵坐标不变,得到

? π? 2 ? ? (3)∵f(x)=sin 3x-4 的最小正周期为 π, 3 ? ? ? π? ∴f(x)=sin?3x-4?在[0,2π]内恰有 ? ?

3 个周期, 6 个实数根且 x1+x2

? π? ∴sin?3x-4?=a(0<a<1)在[0,2π]内有 ? ?

=2x0.

x0 为第一个周期内最大值的横坐标, π π 即 3x0-4=2, 3π ∴x0=12. 6π ∴x1+x2=12. 22 38 同理,x3+x4= π,x5+x6= π, 12 12 6π 22π 38π 11π 故所有实数根之和为12+ 12 + 12 = 2 .

(1) 在利用图象求三角函数 y = Asin(ωx + φ) 的

有关参数时,注意直接从图中观察振幅、周期,即可求出 A 、
ω,然后根据图象过某一特殊点来求φ,若是利用零点值来求, 则要注意是ωx+φ=kπ(k∈Z),根据点在单调区间上的关系来确 定一个k的值,此时要利用数形结合,否则就易步入命题人所设 置的陷阱.

(2)作三角函数图象左右平移变换时,平移的单位数是指单 个变量 x 的变化量,因此由 y=sin ωx(ω>0)的图象得到 y= sin(ωx+φ)的图象时,应将图象上所有点向左(φ>0)或向右(φ< |φ| 0)平移 ω 个单位,而非|φ|个单位.

3.(2012· 四川卷)函数 f(x)=6cos 2 + 3sin ωx-3(ω>0) 在一个周期内的图象如图所示,A 为图象的最高点,B、C 为图 象与 x 轴的交点,且△ABC 为正三角形. (1)求 ω 的值及函数 f(x)的值域;
? 10 2? 8 3 (2)若 f(x0)= ,且 x0∈?- 3 ,3?, 5 ? ?

2ωx

求 f(x0+1)的值.

解析:

? ? 2ωx (1)f(x)=3?2cos 2 -1?+ ? ?

3sin ωx

=3cos ωx+ 3sin ωx =2
? π? 3sin?ωx+3?. ? ?

依题设,等边△ABC 的高为 2 3,从而 BC=4. 2π π 所以函数 f(x)的周期 T=4×2=8,即 =8,ω= . ω 4 函数 f(x)的值域为[-2 3,2 3].

8 3 (2)因为 f(x0)= 5 , 由(1)有 f(x0)=2
?πx0 π? 4 ∴sin? 4 +3?= . ? ? 5 ?πx0 π? 8 3 3sin? 4 +3?= , 5 ? ?



? 10 2? πx0 π ? π π? x0∈?- 3 ,3?,知 + ∈?-2,2?, 4 3 ? ? ? ? ?πx0 π? cos? 4 +3?= ? ? ? 4? 3 2 1-?5? =5. ? ?

所以

故 f(x0+1)=2 =2 =2 =2

?πx0 π π? 3sin? 4 +4+3? ? ?

??πx0 π? π? ? ? ? + + 3sin? ?? 4 3? 4 ? ? ? ? ?πx0 π? ?πx0 π? π π? ? 3?sin? 4 +3?cos4+cos? 4 +3?sin4? ? ? ? ? ? ? ? ?4 3×? ? 5× ?

2 3 2? ? 7 6 = 5 . 2 +5× 2 ? ?

思想诠释 数形结合思想——“图解”三角方程根的问题
3 已知函数 f(x)=sin ωx· cos ωx+ 3cos ωx- 2 (ω>
2

0),直线 x=x1,x=x2 是 y=f(x)图象的任意两条对称轴,且|x1 π -x2|的最小值为4.

(1)求 f(x)的表达式; π (2)将函数 f(x)的图象向右平移 个单位后,再将得到的图象 8 上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数 y =g(x)的图象,若关于 x 的方程 g(x)+k=0 只有一个实数解,求实数 k 的取值范围.
? π? 在区间?0,2?上有且 ? ?

解析:

1+cos 2ωx 1 3 1 (1)f(x)=2sin 2ωx+ 3 - 2 =2sin 2ωx 2

? π? 3 + cos 2ωx=sin?2ωx+3?, 2 ? ?

π π 由题意知,最小正周期 T=2× = , 4 2 2π π π T=2ω=ω=2,所以 ω=2,
? π? ∴f(x)=sin?4x+3?. ? ?

? π? π (2)将 f(x)的图象向右平移8个单位后,得到 y=sin?4x-6?的 ? ?

图象,再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐 标不变,得到
? π? y=sin?2x-6?的图象.所以 ? ? ? π? g(x)=sin?2x-6?. ? ?

π π π 5π 令 2x-6=t,∵0≤x≤2,∴-6≤t≤ 6 . g(x)+k=0
? π? 在区间?0,2?上有且只有一个实数解, 即函数 ? ?

g(t)

=sin t 与 y=-k

? π 5π? 在区间?-6, 6 ?上有且只有一个交点.如图, ? ?

1 1 由正弦函数的图象可知-2≤-k<2或-k=1. 1 1 ∴-2<k≤2或 k=-1.

1.本题求 k 的范围利用了数形结合思想,其 思路为: 作出函数 g(t)=sin t 与 y=-k
? π 5π? 在区间?-6, 6 ?上的图象, 有 ? ?

一交点的实数 k 的取值范围,即为关于 x 的方程 g(x)+k=0,在
? π? 区间?0,2?上有且只有一个实数解时相应实数 ? ?

k 的取值范围.

2 .三角函数中应用数形结合思想的常见类型有以下四

种:
(1)三角函数的图象的画法问题; (2)含有参数的方程的解的个数问题; (3)函数解析式中含有参数的最值问题; (4)利用三角函数图象对实际问题作出分析等.

函数f(x)=sin πx+cos πx+|sin πx-cos πx|对任意的x∈R都 有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则|x2-x1|的最小值为________.

解析:

依题意得, 当 sin πx-cos πx≥0, 即 sin πx≥cos πx

时,f(x)=2sin πx;当 sin πx-cos πx<0,即 sin πx<cos πx 时, f(x)=2cos πx.令 f(x1)、f(x2)分别是函数 f(x)的最小值与最大值, 3 结合函数 y=f(x)的图象可知,|x2-x1|的最小值是4. 3 答案: 4


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