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2014-2015学年江苏省宿迁市马陵中学高二(下)期中数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年江苏省宿迁市马陵中学高二(下)期中数学试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1. (5 分) (2015 春?宿迁校级期中)设函数 ,则导函数 y′= .

考点: 导数的运算. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 根据题意和求导公式求出函数的导数即可.
所有

解答: 解:由题意得,

=



故答案为:



点评: 本题考查求导公式的应用,属于基础题. 2. (5 分) (2015 春?宿迁校级期中)已知函数 f(x)=e ,则 f′(0)的值为 1 考点: 导数的运算. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 先求导,再带值计算即可.
所有

x



解答: 解:f′(x)=(e )′=e , ∴f′(0)=1. 故答案为:1. 点评: 本题考查了常用求导公式,以及函数值的求法,属于基础题. 3. (5 分) (2015 春?宿迁校级期中) 函数 f (x) =2x ﹣6x+11 的单调递减区间为 (﹣1, 1) . 考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: 先求出函数的导数,通过解导函数小于 0,从而求出函数的递减区间.
所有

x

x

3

解答: 解:f(x)=2x ﹣6x+11,f′(x)=6x ﹣6, 令 f′(x)<0,解得:﹣1<x<1, 故答案为: (﹣1,1) ; 点评: 本题考察了函数的单调性,导数的应用,是一道基础题. 4. (5 分) (2015 春?宿迁校级期中)曲线 y=ax 在点(1,a)处的切线的斜率为 2,则 a= 1 . 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题;导数的概念及应用.
2

3

2

所有

分析: 首先求出函数的导数,然后求出 f'(1)=2,进而求出 a 的值. 解答: 解:∵f'(x)=2ax, 曲线 y=ax 在点(1,a)处的切线的斜率为 2, ∴f'(1)=2a=2, 解得:a=1. 故答案为:1. 点评: 本题考查了导数的运算以及导数与斜率的关系,比较容易,属于基础题.
2 2

5. (5 分) (2015 春?宿迁校级期中)曲线 y=x 在点 P 处的切线的倾斜角为 为 .

,则点 P 的坐标

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: 求出原函数的导函数,得到函数在 P 点处的导数,由导数值等于 1 求得 P 的横坐标, 则答案可求.
所有

解答: 解:∵y=x ,∴y′=2x, 设 P(x0,y0) ,则 y′
2

2

=2x0, ,

又曲线 y=x 上的点 P 处的切线的倾斜角为 ∴2x0=1,x0= . ∴y0=( ) = . ∴点 P 的坐标为( , ) . 故答案为: ;
2

点评: 本题考查了利用导数研究过曲线上的某点的切线方程, 过曲线上的某点的切线的斜率, 就是函数在该点处的导数值,是基础题. 6. (5 分) (2015 春?宿迁校级期中)若 f(x)=2xf′(1)+x ,则 f′(1)= ﹣2 . 考点: 导数的运算. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 利用求导法则求出 f(x)的导函数,把 x=1 代入导函数中得到关于 f′(1)的方程,求 出方程的解即可得到 f′(1)的值. 解答: 解:求导得:f′(x)=2x+2f′(1) , 把 x=1 代入得:f′(1)=2+2f′(1) , 解得:f′(1)=﹣2. 故答案为:﹣2
所有

2

点评: 本题要求学生掌握求导法则.学生在求 f(x)的导函数时注意 f′(1)是一个常数,这 是本题的易错点. 7. (5 分) (2015 春?宿迁校级期中)已知 f(x)=ax +bx +c,其导函数 f′(x)的图象如图所 示,则函数 f(x)取得极小值时 x 的值是 0 .
3 2

考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 由图象得到函数 f(x)的单调区间,从而求出函数的极小值点. 解答: 解:由图象得:在(﹣∞,0) , (2,+∞)上,f′(x)<0, 在(0,2)上,f′(x)>0, ∴函数 f(x)在(﹣∞,0) , (2,+∞)递减,在(0,2)递增,
所有

∴f(x)极小值=f(0) , 故答案为:0. 点评: 本题考查了函数的单调性,考查导数的应用,是一道基础题. 8. (5 分) (2015 春?宿迁校级期中)已知函数 f(x)=x +ax +bx 在 x=1 处有极值为 2,则 f(2) 等于 2 . 考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的综合应用.
3 2 3 2

所有

分析: 由函数 f(x)=x +ax +bx 在 x=1 处有极值为 2,利用导数的性质列出方程组求出 a 和 b,由此能求出 f(2) . 解答: 解:∵f(x)=x +ax +bx, 2 ∴f′(x)=3x +2ax+b, 3 2 ∵函数 f(x)=x +ax +bx 在 x=1 处有极值为 2, ∴
3 3 2

,解得 a=﹣4,b=5,
2

∴f(x)=x ﹣4x +5x, 3 2 ∴f(2)=2 ﹣4×2 +5×2=2. 故答案为:2. 点评: 本题考查函数值的求法,解题时要认真审题,注意导数性质的合理运用. 9. (5 分) (2015 春?宿迁校级期中)已知函数 y=x ﹣bx 在[1,+∞)上是增函数,则实数 b 的取值范围是 (﹣∞, ] .
3 2

考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的概念及应用.

所有

分析: 先求出函数的导数,再将问题转化为 b 解答: 解:y′=3x ﹣2bx, 3 2 若函数 y=x ﹣bx 在[1,+∞)上是增函数, 只需令 y′≥0,∴只需 b 而 故答案为: = ,因此 b .
2

x 在[1,+∞)上恒成立即可.

x 在[1,+∞)上恒成立即可, ,

点评: 本题考查了函数的单调性,函数恒成立问题,考查导数的应用,是一道基础题. 10. (5 分) (2015 春?宿迁校级期中)做一个容积为 256cm 的方底无盖水箱,若用料最省, 则此时水箱的高度是 4 . 考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用.
所有

3

分析: 设底面边长为 a,高度为 x,可得:a x=256,其表面积为: S=a +4ax=
2

2

=a +

2

,利用基本不等式的性质即可得出.

解答: 解:设底面边长为 a,高度为 x, 2 由题意可得:a x=256, 其表面积为:S=a +4ax=
2

=a +

2

=3×64=192.

当且仅当 a=8,x=4 时取等号. ∴若用料最省,则此时水箱的高度是 4. 故答案为:4. 点评: 本题考查了长方体的表面积与体积计算公式、基本不等式的性质,考查了推理能力与 计算能力,属于中档题.

11. (5 分) (2013?深圳二模)若直线 y=kx 是 y=lnx 的切线,则 k=



考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题. 分析: 欲求 k 的值,只须求出切线的斜率的值即可,故先利用导数求出在切处的导函数值, 再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决. 解答: 解:∵y=lnx,
所有

∴y'= ,当 x=1 时, 设切点为(m,lnm) ,得切线的斜率为 ,

所以曲线在点(m,lnm)处的切线方程为:

y﹣lnm= ×(x﹣m) . 它过原点,∴﹣lnm=﹣1,∴m=e, ∴ 故答案为: . 点评: 本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等 基础知识,考查运算求解能力.属于基础题.

12. (5 分) (2015 春?宿迁校级期中)若函数 y=﹣ b 的取值范围为 考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: 根据函数 y=﹣

﹣2x+5 有三个单调区间,则实数 .

所有

﹣2x+5 有三个单调区间,可知 y′有正有负,而导函数是二次

函数,导函数的图象与 x 轴有两个交点,△ >0,即可求得 b 的取值范围. 解答: 解:∵函数 y=﹣
2

﹣2x+5 有三个单调区间,

∴y′=﹣4x +2bx﹣2 的图象与 x 轴有两个不同的交点, 2 ∴△=4b ﹣32>0 解得 b∈ , 故答案为: . 点评: 考查利用导数研究函数的单调性,把函数有三个单调区间,转化为导函数的图象与 x 轴的交点个数问题,体现了转化的思想,属中档题. 13. (5 分) (2014 春?姜堰市校级期末)f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 x<0 时,f(x)+x?f′ (x)<0,且 f(﹣4)=0,则不等式 xf(x)>0 的解集为 {x|x<﹣4,或 0<x<4} . 考点: 导数的运算. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用导数求得函数 y=xf(x)在(﹣∞,0)上是减函数,函数 y=xf(x)在(0,+∞) 上是增函数,且可得 f(4)=f(﹣4)=0,从而求得不等式 xf(x)>0 的解集. 解答: 解:∵当 x<0 时,f(x)+x?f′(x)<0, 即[xf(x)]′<0, 故函数 y=xf(x)在(﹣∞,0)上是减函数. 再根据 f(x)为偶函数,可得函数 y=xf(x)是奇函数 且在(0,+∞)上是减函数. 故由 f(﹣4)=0,可得 f(4)=0,如图所示: 故不等式 xf(x)>0 的解集为{x|x<﹣4,或 0<x<4}, 故答案为:{x|x<﹣4,或 0<x<4}.
所有

点评: 本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用,利用导数研究函数的单调性,属于基础 题. 14. (5 分) (2008?扬州二模)已知二次函数 f(x)=ax +bx+c 的导数为 f′(x) ,f′(0)>0, 对于任意实数 x 都有 f(x)≥0,则 的最小值为 2 .
2

考点: 导数的运算;函数的最值及其几何意义. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先根据题目的条件建立关于 a、b、c 的关系式,再结合基本不等式求出最小即可,注 意等号成立的条件. 2 解答: 解:∵f(x)=ax +bx+c ∴f′(x)=2ax+b,f′(0)=b>0 ∵对任意实数 x 都有 f(x)≥0
所有

∴a>0,c>0,b ﹣4ac≤0 即

2



=





=

≥2

故答案为 2 点评: 本题主要考查了导数的运算,以及函数的最值及其几何意义和不等式的应用,属于基 础题. 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤. 15. (14 分) (2015 春?宿迁校级期中)求下列函数的导数: x (1)f(x)=﹣2x+3 ; 2 (2)f(x)=log2x﹣x ; (3)f(x)=(x ﹣9) (x﹣ ) .
2

考点: 专题: 分析: 解答:

导数的运算. 导数的概念及应用. 根据导数的运算法则求导即可. x 解: (1)f′(x)=﹣2+3 ln3,
所有

(2)f′(x)=
2

﹣2x,
2 2

(3)f′(x)=(x ﹣9)′(x﹣ )+(x ﹣9) (x﹣ )′=2x(x﹣ )+(x ﹣9) (1+ ﹣12﹣ .

)=3x

2

点评: 本题考查了导数的基本运算,属于基础题. 16. (14 分) (2015 春?宿迁校级期中)求函数 f(x)= x+sinx 在区间[0,2π]上的最值.

考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: 清楚函数的导数,求出极值点,判断函数的单调性,求出极值以及端点的函数值,然 后求解最值.
所有

解答: 解: 因为 x∈[0,2π],所以令 f′(x)>0 得 所函数 ﹣﹣﹣(6 分) 令 f′(x)<0 得 所函数 分) 由 f(0)=0, , , 的减区间为 的增区间为

分 , ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9

,f(2π)=π 得:

当 x=2π 时,函数 f(x)取得最大值为 π; 当 x=0 时, 函数 f (x) 取得最小值为 0. ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (14 分) 点评: 本题考查函数的最值的求法,导数的综合应用,考查计算能力.

17. (14 分) (2015 春?宿迁校级期中)已知曲线 C:y=x+ (1)求证:曲线 C 上的各点处的切线的斜率小于 1; (2)求曲线 C 上斜率为 0 的切线方程.

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题;证明题;导数的综合应用. 分析: (1)求导 y′=1﹣ (2)令 y′=1﹣

所有

<1,从而可判断函数 y=x+ 图象上各点处切线的斜率都小于 1.

=0 得 x=±1,从而由导数的几何意义求切线方程.

解答: 解: (1)证明:∵y=x+ , ∴y′=1﹣ <1,

即对函数 y=x+ 定义域内的任一 x,其导数值都小于 1, 由导数的几何意义可知, 函数 y=x+ 图象上各点处切线的斜率都小于 1. (2)令 y′=1﹣ =0,得 x=±1,

当 x=1 时,y=1+1=2; 当 x=﹣1 时,y=﹣2, ∴曲线 y=x+ 的斜率为 0 的切线有两条,其切点分别为(1,2)与(﹣1,﹣2) , 切线方程分别为 y=2 或 y=﹣2. 点评: 本题考查了导数的几何意义与导数的综合应用,属于中档题. 18. (16 分) (2015 春?宿迁校级期中)某出版社出版一读物,为了排版设计的需要,规定: 一页上所印文字的矩形区域需要占去 150cm ,上、下边各要留 1.5cm 宽的空白,左、右两边 各要留 1cm 宽的空白,出版商为了节约纸张,应选用怎样尺寸的矩形纸张来设计版面?
2

考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题: 导数的综合应用.

所有

分析: 设所印文字的矩形区域的长宽分别为 x, 数的导数通过函数的单调性求解函数 y 取得最小值.

,求出所选纸张的面积表达式,利用函

解答: 解:设所印文字的矩形区域的长宽分别为 x,

﹣﹣(1 分)

则所选纸张的面积为

x∈(2,+∞)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(5 分)

,x∈(2,+∞) ,

,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8 分)

当 x∈(2,10)时,y′<0,所以 x∈(2,10)时,函数 y 为减函数, 当 x∈(10,+∞)时,y′>0,所以 x∈(2,10)时,函数 y 为增函数,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10 分) 所以当 x=10 时,函数 y 取得最小值为 216, 故应选用长为 18,宽为 12 的矩形纸张来设计版面.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分)

点评: 本题考查实际问题的解决,函数的导数的应用,考查转化思想以及计算能力. 19. (16 分) (2005?山东)已知 x=1 是函数 f(x)=mx ﹣3(m+1)x +nx+1 的一个极值点, 其中 m,n∈R,m<0. (Ⅰ)求 m 与 n 的关系表达式; (Ⅱ)求 f(x)的单调区间; (Ⅲ)当 x∈[﹣1,1]时,函数 y=f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3m,求 m 的取 值范围. 考点: 利用导数研究函数的极值;函数恒成立问题;利用导数研究函数的单调性. 分析: (Ⅰ)求出 f′(x) ,因为 x=1 是函数的极值点,所以得到 f'(1)=0 求出 m 与 n 的关 系式; (Ⅱ)令 f′(x)=0 求出函数的极值点,讨论函数的增减性确定函数的单调区间; (Ⅲ)函数图象上任意一点的切线斜率恒大于 3m 即 f′(x)>3m 代入得到不等式即 3m(x﹣
所有

3

2

1)[x﹣(1+ )]>3m,又因为 m<0,分 x=1 和 x≠1,当 x≠1 时 g(t)=t﹣ ,求出 g(t)的 最小值.要使 <(x﹣1)﹣ 恒成立即要 g(t)的最小值> ,解出不等式的解集求出 m

的范围. 2 解答: 解: (Ⅰ)f′(x)=3mx ﹣6(m+1)x+n. 因为 x=1 是 f(x)的一个极值点,所以 f'(1)=0,即 3m﹣6(m+1)+n=0. 所以 n=3m+6. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f′(x)=3mx ﹣6(m+1)x+3m+6=3m(x﹣1)[x﹣(1+ )]
2

当 m<0 时,有 1>1+ ,当 x 变化时 f(x)与 f'(x)的变化如下表: x (﹣∞,1+ ) 1+ (1+ ,1) 1 (1,+∞)

f′(x) <0 0 >0 0 <0 f(x) 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 由上表知,当 m<0 时,f(x)在(﹣∞,1+ )单调递减,在(1+ ,1)单调递增,在(1, +∞)单调递减. (Ⅲ)由已知,得 f′(x)>3m,即 3m(x﹣1)[x﹣(1+ )]>3m, ∵m<0.∴(x﹣1)[x﹣1(1+ )]<1. (*) 1 x=1 时. (*)式化为 0<1 怛成立. ∴m<0. 0 2 x≠1 时∵x∈[﹣1,1],∴﹣2≤x﹣1<0. (*)式化为 <(x﹣1)﹣ .
0

令 t=x﹣1,则 t∈[﹣2,0) ,记 g(t)=t﹣ , 则 g(t)在区间[﹣2,0)是单调增函数.∴g(t)min=g(﹣2)=﹣2﹣ 由(*)式恒成立,必有 <﹣ ?﹣ <m,又 m<0.∴﹣ <m<0. 综上 1 、2 知﹣ <m<0. 点评: 考查学生利用待定系数法求函数解析式的能力,利用导数研究函数极值和单调性的能 力,以及掌握不等式恒成立的条件.
2 0 0

=﹣ .

20. (16 分) (2005?湖南)已知函数 f(x)=lnx,g(x)= ax +bx,a≠0. (Ⅰ)若 b=2,且 h(x)=f(x)﹣g(x)存在单调递减区间,求 a 的取值范围; (Ⅱ)设函数 f(x)的图象 C1 与函数 g(x)图象 C2 交于点 P、Q,过线段 PQ 的中点作 x 轴 的垂线分别交 C1,C2 于点 M、N,证明 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线不平行. 考点: 函数单调性的性质;利用导数研究曲线上某点切线方程;两条直线平行的判定. 专题: 综合题;压轴题. 分析: (Ⅰ)先求函数 h(x)的解析式,因为函数 h(x)存在单调递减区间,所以 h'(x) <0 有解,求出 a 的取值范围; (Ⅱ)先利用导数分别表示出函数在 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线,结合过线段 PQ 的中点作 x 轴的垂线分别交 C1,C2 于点 M、N,建立关系式,通过反证法进行证明即可.
所有

解答: 解: (Ⅰ)b=2 时,h(x)=lnx﹣ ax ﹣2x,

2

则 h′(x)= ﹣ax﹣2=﹣



因为函数 h(x)存在单调递减区间,所以 h'(x)<0 有解. 2 又因为 x>0 时,则 ax +2x﹣1>0 有 x>0 的解. 2 2 ①当 a>0 时,y=ax +2x﹣1 为开口向上的抛物线,ax +2x﹣1>0 总有 x>0 的解; 2 2 ②当 a<0 时,y=ax +2x﹣1 为开口向下的抛物线,而 ax +2x﹣1>0 总有 x>0 的解; 2 则△ =4+4a≥0,且方程 ax +2x﹣1=0 至少有一正根.此时,﹣1<a<0. 综上所述,a 的取值范围为(﹣1,0)∪(0,+∞) . (Ⅱ)设点 P、Q 的坐标分别是(x1,y1) , (x2,y2) ,0<x1<x2. 则点 M、N 的横坐标为 x= ,

C1 在点 M 处的切线斜率为 k1= ,x=

,k1=



C2 在点 N 处的切线斜率为 k2=ax+b,x=

,k2=

+b.

假设 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线平行,则 k1=k2. 即 = +b,


2 2

= (x2 ﹣x1 )+b(x2﹣x1) = (x2 +bx2)﹣( =y2﹣y1 =lnx2﹣lnx1.
2

+bx1)

所以

=

.设 t=

,则 lnt=

,t>1①

令 r(t)=lnt﹣

,t>1.则 r′t= ﹣

=



因为 t>1 时,r'(t)>0,所以 r(t)在[1,+∞)上单调递增.故 r(t)>r(1)=0. 则 lnt> .这与①矛盾,假设不成立.

故 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线不平行.

点评: 本题考查了函数单调性的应用,以及利用导数研究曲线上某点处的切线问题,属于难 题.


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