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2007年辽宁省沈阳市高中二年级数学竞赛试题


辽宁省沈阳市高中二年级数学竞赛试题 2007 年辽宁省沈阳市高中二年级数学竞赛试题
一.选择题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 1.设圆 C 的方程为 x + y 2 x 2 y 2 = 0 ,直线 l 的方程为 ( m + 1) x my 1 = 0 ,圆 C 被
2 2

直线 l 截得的弦长等于 (A) 4
2 2

(B) 2 2
2

(C) 2

(D) 与 m 有关

2. sin A sin B sin C = 0 且 sin A = 2 sin B sin C ,则 ABC 是 (A) 钝角三角形 (C) 等腰直角三角形 (B) 锐角三角形 (D) 等边三角形

3. f ( x ) 的定义域为 ( ∞, a ) ∪ ( a, +∞ ) , f ( x ) ≥ 0 的解集为 M , f ( x ) < 0 的解集为 N ,下列 结论正确的是 (A) M = CR N (C) M ∪ N = R (B) CR M ∩ CR N = (D) CR M ∪ CR N = R

4.已知 a, b, c 为三条不同的直线,且 a 平面 M , b 平面 N , M ∩ N = c . (1) 若 a 与 b 是异面直线,则 c 至少与 a 、 b 中的一条相交; (2) 若 a 不垂直于 c ,则 a 与 b 一定不垂直; (3) 若 a ∥ b ,则必有 a ∥ c ; (4) 若 a ⊥ b , a ⊥ c ,则必有 M ⊥ N . 其中正确的命题的个数是 (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

5.已知函数 f ( x ) = x 2 + 2 x + 1 ,若存在实数 t ,当 x ∈ [1, m] 时 f ( x + t ) ≤ x 恒成立,则实数 m 的最大值为 (A) 2 (B) 3
x 2

(C) 4

(D) 5

6.命题 p :关于 x 的不等式 4e + x 2 x m > 0 对于一切实数 x 均成立,命题 q : m ≤ 3 , 则 p 是 q 成立的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 二.填空题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 7, 正三棱锥 P ABC 外接球的球心为 O , 半径为 1 , OA + OB + OC = 0 . VP ABC = 且 则 8.设 a > 0 ,若关于 x 的方程 1 + .

log 2 (2 lg a x) = 2 log x 2 有唯一解,则 a = . log 2 x 9.一城市的汽车牌照是由 0 到 9 的 10 个数字和除 I 、 O 外的 24 个字母组成的 5 位号码,要 求后三位必须是数字,前两位可以数字或字母,字母前面不能有数字,数字不能全为 0 .那么,
这个城市最多可以发放的牌照数是 .(以数字作答)

1

10.已知关于的方程 x 2 + 2 px ( q 2 2) = 0 ( p, q ∈ R )无实根,则 p + q 的取值范围是
*

.

11.袋中有 3m( m ∈ N ) 个球,其中有彩色球 m 个.甲、乙、丙三人按甲、乙、丙、甲、乙、 丙、 的顺序依次从袋中取球,每次取后都放回,规定先取出彩色球者为获胜.则甲、乙、丙获 胜的概率比为 .(以整数比作答) 12. ABC 中, AB = 2 ,AC = 3 ,BC = 4 , 为 ABC 的内心, AO = λ AB + BC , 在 若 O 且 则λ + = .(提示:在 ABC 中,角 A 的平分线与 BC 交于 E ,则 AB : AC = BE : EC ) 三.解答题(本题共 4 道小题,满分 90 分) 13. (本小题满分 20 分) 如图,在 ABC 中, AB = AC , D 是 ABC 外接圆 AC 上的一点, AE ⊥ BD 于 E ,求证:

BE = CD + DE .
A

D E B
14.(本小题满分 20 分) 函数

C

f ( x) = log 2 [ax 2 + (a + 2) x + 2(a + 2)] 在 区
间 [ a + 2, 2( a + 2)] 上恒有定义,求实数 a 的取值范围.

2

15. (本小题满分 25 分) 椭圆 C :

x2 y2 + = 1( a > b > 0 ) 的左、 右焦点分别为 F1 、F2 , a2 b2

右顶点为 A , P 为椭圆 C 上任意一点.已知 PF1 PF2 的最大值为 3 ,最小值为 2 . (1) 求椭圆 C 的方程; (2) 若直线 l :y = kx + m 与椭圆 C 相交于 M 、N 两点 M 、N 不是左右顶点) 且以 MN ( , 为直径的圆过点 A .求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标.

3

16 . ( 本 小 题 满 分

25 分 ) 已 知 数 列

{an }

中 a1 = 1 , . 关 于 x 的 方 程

x 2 an +1 sin(cos x) + (2an + 1)sin1 = 0 有唯一解.
(1) 求数列 {an } 的通项公式; (2) 设 bn = nan ,求数列 {bn } 的前 n 项和 sn ; (3) 设 cn = [1 +

1 ]n ,求证: cn < 3 . log 2 (an + 1)

4

辽宁省沈阳市高中二年级数学竞赛试题 2007 年辽宁省沈阳市高中二年级数学竞赛试题
一.选择题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 1.设圆 C 的方程为 x + y 2 x 2 y 2 = 0 ,直线 l 的方程为 ( m + 1) x my 1 = 0 ,圆 C 被
2 2

直线 l 截得的弦长等于 (A) 4
2 2

(B) 2 2
2

(C) 2

(D) 与 m 有关

[答] ( A )

2. sin A sin B sin C = 0 且 sin A = 2 sin B sin C ,则 ABC 是 (A) 钝角三角形 (C) 等腰直角三角形 (B) 锐角三角形 (D) 等边三角形 [答] ( C )

3. f ( x ) 的定义域为 ( ∞, a ) ∪ ( a, +∞ ) , f ( x ) ≥ 0 的解集为 M , f ( x ) < 0 的解集为 N ,下列 结论正确的是 (A) M = CR N (C) M ∪ N = R (B) CR M ∩ CR N = (D) CR M ∪ CR N = R [答] ( D )

4.已知 a, b, c 为三条不同的直线,且 a 平面 M , b 平面 N , M ∩ N = c . (1) 若 a 与 b 是异面直线,则 c 至少与 a 、 b 中的一条相交; (2) 若 a 不垂直于 c ,则 a 与 b 一定不垂直; (3) 若 a ∥ b ,则必有 a ∥ c ; (4) 若 a ⊥ b , a ⊥ c ,则必有 M ⊥ N . 其中正确的命题的个数是 (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 [答] ( C )

5.已知函数 f ( x ) = x 2 + 2 x + 1 ,若存在实数 t ,当 x ∈ [1, m] 时 f ( x + t ) ≤ x 恒成立,则实数 m 的最大值为 (A) 2 (B) 3
x 2

(C) 4

(D) 5

[答] ( C

)

6.命题 p :关于 x 的不等式 4e + x 2 x m > 0 对于一切实数 x 均成立,命题 q : m ≤ 3 , 则 p 是 q 成立的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 二.填空题(本题满分 30 分,每小题 5 分) [答] ( B )

7 , 正 三 棱 锥 P ABC 外 接 球 的 球 心 为 O , 半 径 为 1 , 且 OA + OB + OC = 0 . 则

VP ABC =

3 4

.

8. a > 0 , 设 若关于 x 的方程 1 +

log 2 (2 lg a x) = 2 log x 2 有唯一解, a = 则 100 . log 2 x 9.一城市的汽车牌照是由 0 到 9 的 10 个数字和除 I 、 O 外的 24 个字母组成的 5 位号码,要

5

求后三位必须是数字,前两位可以数字或字母,字母前面不能有数字,数字不能全为 0 .那么, 这个城市最多可以发放的牌照数是 915399 .(以数字作答) 10.已知关于的方程 x 2 + 2 px ( q 2 2) = 0 ( p, q ∈ R )无实根,则 p + q 的取值范围是

(2, 2)

.
*

11.袋中有 3m( m ∈ N ) 个球,其中有彩色球 m 个.甲、乙、丙三人按甲、乙、丙、甲、乙、 丙、 的顺序依次从袋中取球,每次取后都放回,规定先取出彩色球者为获胜.则甲、乙、丙获 胜的概率比为 9:6:4 .(以整数比作答) 12. ABC 中, AB = 2 ,AC = 3 ,BC = 4 , 为 ABC 的内心, AO = λ AB + BC , 在 若 O 且 则 λ+ =

7 9 AB : AC = BE : EC )
13. (本小题满分 20 分)

. ( 提 示 : 在 ABC 中 , 角 A 的 平 分 线 与 BC 交 于 E , 则

三.解答题(本题共 4 道小题,满分 90 分) 如图,在 ABC 中, AB = AC , D 是 ABC 外接圆 AC 上的一点, AE ⊥ BD 于 E ,求证:

BE = CD + DE .
证明:延长 BD 到 F 使 AF = AC .连结 AF 、 CF 、 CD ,则有 ∠AFB = ∠ABF , ∠AFC = ∠ACF . ∵ D 在 ABC 的外接圆上, ∴ ∠ACD = ∠ABD , 从而 ∠AFD = ∠ACD , ∴∠DCF = ∠DFC , ∴ DF = CD . ∵ AE ⊥ BF , AB = AF ,

A

F D E B
C

∴ BE = EF = ED + DF = ED + CD .
14.(本小题满分 20 分) 函数

f ( x) = log 2 [ax 2 + (a + 2) x + 2(a + 2)] 在区间 [a + 2, 2(a + 2)] 上恒有定义,求实数 a 的取值范
围. 解 : 设 g ( x ) = ax 2 + ( a + 2) x + 2( a + 2) , 则 f ( x ) = log 2 [ ax + ( a + 2) x + 2( a + 2)] 在 区 间
2

[a + 2, 2(a + 2)] 上恒有定义即 g ( x) > 0 在 [a + 2, 2(a + 2)] 上恒成立.
当 a = 0 时, g ( x ) = 2 x + 4 > 0 于 [2, 4] 上恒成立. 当 a > 0 时, g ( x ) 的对称轴

a+2 < 0 , g ( x) 在 [a + 2, 2(a + 2)] 上单调增加,所以, 2a

g (a + 2) = (a + 2)(a 2 + 3a + 4) > 0 ,
由 a + 2 > 0 , a + 3a + 4 > 0 ,所以 a ∈ (0, +∞) .
2

6

当 a < 0 时, g ( x ) > 0 于 [ a + 2, 2( a + 2)] 上恒成立,则
2

g (a + 2) > 0 , g[2(a + 2)] > 0

由 g ( a + 2) = ( a + 2)( a 2 + 3a + 4) > 0 , a + 3a + 4 > 0 ,得

a + 2 > 0 ,即 a > 2 ;
由 g[2( a + 2)] = ( a + 2)(2a + 5a + 3) > 0 ,得 2a + 5a + 3 > 0 ,
2 2

解得 a <

3 3 或 a > 1 ,所以, 2 < a < 或 1 < a < 0 . 2 2 3 综上, a ∈ 2, ) ∪ 1, ∞) ( ( + . 2 x2 y2 + = 1 ( a > b > 0 )的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,右 a2 b2

15.(本小题满分 25 分) 椭圆 C :

顶点为 A , P 为椭圆 C 上任意一点.已知 PF1 PF2 的最大值为 3 ,最小值为 2 . (1) 求椭圆 C 的方程; (2) 若直线 l :y = kx + m 与椭圆 C 相交于 M 、N 两点 M 、N 不是左右顶点) 且以 MN ( , 为直径的圆过点 A .求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标. 解:(1) ∵ P 是椭圆上任一点,∴ PF1 | + | PF2 |= 2a 且 a c ≤| PF1 |≤ a + c , |

y = PF1 PF2 =| PF1 | | PF2 | cos ∠F1 PF2
1 = [| PF1 |2 + | PF2 |2 4c 2 ] 2 1 = [| PF1 |2 + (| 2a | PF1 |) 2 4c 2 ] 2

= (| PF1 | a ) 2 + a 2 2c 2 .
当 | PF1 |= a 时, y 有最小值 a 2c ;当 | PF2 |= a c 或 a + c 时, y 有最大值 a c .
2 2 2 2

a2 c2 = 3 ∴ 2 , 2 a 2c = 2
∴ 椭圆方程为

a 2 = 4 , 2 c =1

b2 = a2 c 2 = 3 .

x2 y 2 + = 1. 4 3

(2) 设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,将 y = kx + m 代入椭圆方程得

(4k 2 + 3) x 2 + 8kmx + 4m 2 12 = 0 .

7

∴ x1 + x2 =

8km 4m 2 12 , x1 x2 = . 4k 2 + 3 4k 2 + 3

∵ y1 = kx1 + m , y2 = kx2 + m , y1 y2 = k 2 x1 x2 + (km 2)( x1 + x2 ) + m 2 , ∵ MN 为直径的圆过点 A ∴ AM AN = 0 ,∴ 7 m 2 + 16km + 4k 2 = 0 ,

2 ∴ m = k 或 m = 2k 都满足 > 0 , 7
若 m = 2k 直线 l 恒过定点 (2, 0) 不合题意舍去, 若m =

2 2 2 k 直线 l : y = k(x ) 恒过定点 ( ,0) . 7 7 7
25 分 ) 已 知 数 列

16 . ( 本 小 题 满 分

{an }

中 a1 = 1 , . 关 于 x 的 方 程

x 2 an +1 sin(cos x) + (2an + 1)sin1 = 0 有唯一解.
(1) 求数列 {an } 的通项公式; (2) 设 bn = nan ,求数列 {bn } 的前 n 项和 sn ; (3) 设 cn = [1 +

1 ]n ,求证: cn < 3 . log 2 (an + 1)
2

解:(1) 设 f ( x ) = x an +1 sin(cos x ) + (2an + 1)sin1 ,显然 f ( x ) 是偶函数.

∵ 关于 x 的方程 x 2 an +1 sin(cos x) + (2an + 1)sin1 = 0 有唯一解, ∴ x = 0 是方程 x 2 an +1 sin(cos x) + (2an + 1)sin1 = 0 的唯一解, ∴ 02 an +1 sin(cos 0) + (2an + 1)sin1 = 0 ,即 an +1 = 2an + 1 .

∴ an+1 + 1 = 2(an + 1) ,∴ an + 1 = 2n-1 (a1 + 1) = 2n ,∴ an = 2n 1.(n ∈ N * ) .
(2) sn = 1× (2 1) + 2 × (2 1) + ...... + n × (2 1)
1 2 n

= 1× 21 + 2 × 2 2 + ...... + n × 2n (1 + 2 + ... + n)

n(n + 1) +2. 2 1 n 1 1 1 1 n 1 n (3) cn = (1 + ) = 1 + cn + ...... + cn ( ) ≤ 2 + + ..... + n n n 2! n! 1 1 1 n1 < 2 + 1 + ..... + n-1 < 2 + 1 ( ) < 3 . 2 2 2
= (n -1) × 2n +1

8


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