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高中数学竞赛


第十七章 整数问题 一、常用定义定理 1.整除:设 a,b∈Z,a≠0,如果存在 q∈Z 使得 b=aq,那么称 b 可被 a 整除,记作 a|b,且 称 b 是 a 的倍数,a 是 b 的约数。b 不能被 a 整除,记作 a b. 2.带余数除法:设 a,b 是两个给定的整数,a≠0,那么,一定存在唯一一对整数 q 与 r,满 足 b=aq+r,0?r<|a|,当 r=0 时 a|b。 3.辗转相除法:设 u0,u1 是给定的两个整数,u1≠0,u1 u0,由 2 可得下面 k+1 个等式: u0=q0u1+u2,0<u2<|u1|; u1=q1u2+u3,0<u3<u2; u2=q2u3+u4,0<u4<u3; … uk-2=qk-2u1+uk-1+uk,0<uk<uk-1; uk-1=qk-1uk+1,0<uk+1<uk; uk=qkuk+1. 4.由 3 可得: (1)uk+1=(u0,u1); (2)d|u0 且 d|u1 的充要条件是 d|uk+1; (3)存在整数 x 0,x1,使 uk+1=x0u0+x1u1. 5.算术基本定理:若 n>1 且 n 为整数,则 n ? p1 1 p 2 2 ? p k k ,其中 pj(j=1,2,…,k)是质数 a a a (或称素数) ,且在不计次序的意义下,表示是唯一的。 6.同余:设 m≠0,若 m|(a-b),即 a-b=km,则称 a 与 b 模同 m 同余,记为 a≡b(modm),也 称 b 是 a 对模 m 的剩余。 7. 完全剩余系: 一组数 y1,y2,…,ys 满足: 对任意整数 a 有且仅有一个 yj 是 a 对模 m 的剩余, 即 a≡yj(modm),则 y1,y2,…,ys 称为模 m 的完全剩余系。 p-1 p 8.Fermat 小定理:若 p 为素数,p>a,(a,p)=1,则 a ≡1(modp),且对任意整数 a,有 a ≡ a(modp). 9.若(a,m)=1,则 a ? (m ) ≡1(modm), ? (m)称欧拉函数。 a a a 10. (欧拉函数值的计算公式)若 m ? p1 1 p 2 2 ? p k k ,则 ? (m)= m ? (1 ? p i ?1 k 1 i ). 11. (孙子定理)设 m1,m2,…,mk 是 k 个两两互质的正整数,则同余组: x≡b1(modm1),x≡b2(modm2),…,x≡bk(modmk)有唯一解, ' x≡ M 1 M1b1+ M 2 M2b2+…+ M k Mkbk(modM), ' ' 其中 M=m1m2mk; M i = M ,i=1,2,…,k; M i' M i ≡1(modmi),i=1,2,…,k. mi 二、方法与例题 1.奇偶分析法。 例 1 有 n 个整数,它们的和为 0,乘积为 n, (n>1) ,求证:4|n。 [证明] 设这 n 个整数为 a1,a2,…,an,则 a1,a2,…,an=n, ① a1+a2+…+an=0。 ② 首先 n 为偶数,否则 a1,a2,…,an 均为奇数,奇数个奇数的和应为奇数且不为 0,与②矛盾, 1 所以 n 为偶数。 所以 a1,a2,…,an 中必有偶数, 如果 a1,a2,…,an 中仅有一个偶数, a1,a2,…,an 则 中还有奇数个奇数,从而 a1+a2+…+an 也为奇数与②矛盾,所以 a1,a2,…,an 中必有至少 2 个 偶数。所以 4|n. 2.不等分析法。 3 3 3 2 2 2 例 2

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