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专题24 正弦定理和余弦定理的应用


专题二十四 正弦定理和余弦定理的应用 【高频考点解读】 能够运用正弦定理、 余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 【热点题型】 题型一 考查测量距离

例 1、如图所示,有两座建筑物 AB 和 CD 都在河的对岸(不知道它们的高度,且不能到 达对岸),某人想测量两座建筑物尖顶 A、C 之间的距离,但只有卷尺和测量仪两种工具.若 此人在地面上选一条基线 EF, 用卷尺测得 EF 的长度为 a, 并用测角仪测量了一些角度: ∠AEF =α,∠AFE=β,∠CEF=θ,∠CFE=φ,∠AEC=γ.请你用文字和公式写出计算 A、C 之间距 离的步骤和结果.

【提分秘籍】求距离问题时要注意 (1)选定或确定要创建的三角形,要首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知则直接 解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解; (2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理. 题型二 考查高度问题

例 2、如图,在湖面上高为 10 m 处测得天空中一朵云的仰角为 30° ,测得湖中之影的俯

角为 45° ,则云距湖面的高度为(精确到 0.1 m)( A.2.7 m B.17.3 m

) D.373 m

C.37.3 m

【解析】在△ACE 中, tan 30° = CE CM-10 = . AE AE

CM-10 ∴AE= . tan 30° 在△AED 中,tan 45° = CM+10 ∴AE= , tan 45° ∴ CM-10 CM+10 = , tan 30° tan 45° DE CM+10 = , AE AE

10? 3+1? ∴CM= =10(2+ 3)≈37.3(m). 3-1 【答案】C 【提分秘籍】求解高度问题首先应分清 (1)在测量高度时,要理解仰角、俯角的概念,仰角和俯角都是在同一铅垂面内视线与水 平线的夹角; (2)准确理解题意,分清已知条件与所求,画出示意图; (3)运用正、余弦定理,有序地解相关的三角形,逐步求解问题的答案,注意方程思想的 运用. 题型三 考查方位角

例 3、如图,一船在海上自西向东航行,在 A 处测得某岛 M 的方位角为北偏东 α 角,前 进 m km 后在 B 处测量该岛的方位角为北偏东 β 角,已知该岛周围 n km 范围内(包括边界)有 暗礁,现该船继续东行,当 α 与 β 满足条件________时,该船没有触礁危险.

【提分秘籍】 解决方位角问题其关键是弄清方位角概念.结合图形恰当选择正、余弦定理解三角形, 同时注意平面图形的几何性质的应用. 题型四 考查函数思想在解三角形中的应用

21 11 3 例 4、如图所示,已知树顶 A 离地面 米,树上另一点 B 离地面 米,某人在离地面 米 2 2 2 的 C 处看此树,则该人离此树________米时,看 A,B 的视角最大.

【提分秘籍】 函数思想在解三角形中常与余弦定理应用及函数最值求法相综合,此类问题综合性较强,

能力要求较高,要求考生要有一定的分析问题解决问题的能力. 解答本题利用了函数思想,求解时把速度表示为时间的函数,利用函数最值求法完成解 1 答,注意函数中以 为整体构造二次函数,求最值. t


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