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高中数学思想方法专题复习(含答案)


数学思想方法专题复习
一、高考动向:
数学思想和方法是数学知识在更高层次上的慨括。高考对数学思想和方法的考查必然要 结合数学知识考查进行,注重通性、通法,淡化技巧。在中学数学教学与高考考查中,共识 的数学思想有:函数与方程、数形结合、分类与睁合、化归与转化、特殊与一般、有限与无 限、或然与必然等思想。数学基本方法有:待定系数法、换元法、配方法、割补法、反证法、

数学归纳法等。

二、主干知识整合
1.函数与方程思想 (1)函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征,用联系和变化的观点提出数学对象, 抽象其数学特征,建立各变量之间固有的函数关系,通过函数形式,利用函数的有关性质, 使问题得到解决; (2)方程思想的实质就是将所求的量设成未知数,用它表示问题中的其他各量,根据题中 隐含的等量关系,列方程(组),通过解方程(组)或对方程(组)进行研究,以求得问题的解决; (3)函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的,是相辅相成的,函数思想重在对 问题进行动态的研究,方程思想则是在动中求静,研究运动中的等量关系. 2.数形结合思想 (1)根据数与形之间的对应关系, 通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想, 包含“以 形助数”和“以数辅形”两个方面; (2)数形结合是数学解题中常用的思想方法,运用数形结合思想,使某些抽象的数学问题 直观化、形象化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质,发现解题思路, 而且能避免复杂的计算与推理,大大简化了解题过程; (3)数形结合的重点是研究“以形助数”,这在解选择题、填空题中更显其优越,要注意 培养这种思想意识,做到心中有图,见数想图,以开拓自己的思维视野. 3.分类与整合思想 在解某些数学问题时,我们常常会遇到这样一种情况:解到某一步之后,发现问题的发 展是按照不同的方向进行的.当被研究的问题包含了多种情况时,就必须抓住主导问题发展 方向的主要因素,在其变化范围内,根据问题的不同发展方向,划分为若干部分分别研究.这 里集中体现的是由大化小,由整体化为部分,由一般化为特殊的解决问题的方法,其研究的 基本方向是“分”,但分类解决问题之后,还必须把它们整合在一起,这种“合—分—合” 的解决问题的思想,就是分类与整合思想. 4.化归与转化思想
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在解决一个问题时人们的眼光并不落在结论上,而是去寻觅、追溯一些熟知的结果,由 此将问题化难为易,化繁为简,化大为小,各个击破,达到最终解决问题的目的,这种解决 问题的思想就是化归与转化思想.

三、要点热点探究
探究点一 列方程(组)解题 例 1 (1)公差不为零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a4 是 a3 与 a7 的等比中项,8=32, S 则 S10 等于( A.18 C.60 ) B.24 D.90

(2)过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 作倾斜角为 45° 的直线交抛物线于 A,B 两点,若线段 AB 的长为 8,则 p=________. 【分析】 (1)根据数列中的基本量方法,列方程组求数列的首项和公差;(2)根据弦长公式建立 关于 p 的方程. (1)C (2)2 【解析】 (1)由 a2=a3a7 得(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+6d),得 2a1+3d=0,再 4

56 90 由 S8=8a1+ d=32 得 2a1+7d=8,则 d=2,a1=-3,所以 S10=10a1+ d=60.故选 C. 2 2
2 ?y =2px, ? p (2)设 A(x1, 1), 2, 2), y B(x y 由题意可知过焦点的直线方程为 y=x- , 联立有? p 2 ?y=x-2, ?

p2 消元后得 x2-3px+ =0.又|AB|=x1+x2+p=8,解得 p=2. 4 ? 探究点二 使用函数方法解决非函数问题 例 2 (1)已知{an}是一个等差数列,且 a2=1,a5=-5,则数列{an}前 n 项和 Sn 的最大值 是________. → → → (2)长度都为 2 的向量OA, 的夹角为 60° 点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB (劣弧)上, OB , OC → → =mOA+nOB,则 m+n 的最大值是________. 【分析】 (1)根据方程思想求出数列的首项和公差,建立 Sn 关于 n 的函数;(2)将向量坐标化, → 建立 m+n 关于动向量OC的函数关系.
?a1+d=1, ? 2 3 ? (1)4 (2) 【解析】 (1)设{an}的公差为 d, 由已知条件, 解出 a1=3, 3 ? ?a1+4d=-5,

d=-2. n?n-1? Sn=na1+ d=-n2+4n=4-(n-2)2.所以 n=2 时,Sn 取到最大值 4. 2

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→ → → (2)建立平面直角坐标系, 设向量OA=(2,0), 向量OB=(1, 3). 设向量OC=(2cosα, 2sinα), π → → → 0≤α≤ .由OC=mOA+nOB,得(2cosα,2sinα)=(2m+n, 3n), 3 即 2cosα=2m+n,2sinα= 3n,解得 m=cosα- 故 m+n=cosα+ π 2 3 1 2 3 ? sinα= sin?α+3?≤ ? 3 . 3 3 y2 =1 的离心率 e 的取值范围是( ?a+1?2 B.( 2, 5) D.( 3, 5)
2 2 2

1 2 sinα,n= sinα. 3 3

x2 变式训练 若 a>1,则双曲线a2- A.(1, 2) C.[ 2, 5]

)

c a +?a+1? 1 1 1 B 【解析】 e =?a?2= =1+?1+a?2, 所以当 a>1 时, <1, 0< ? ? ? ? 因为a是减函数, a2 a 所以 2<e2<5,即 2<e< 5. ? 探究点三 联用函数与方程的思想 例 3 函数 f(x)=(2x-1)2,g(x)=ax2(a>0),满足 f(x)<g(x)的整数 x 恰有 4 个,则实数 a 的 取值范围是________.

?49,81? 【解析】 在同一坐标系内分别作出满足条件的函数 f(x)=(2x-1)2,g(x)=ax2 ?16 25?
的图象,则由两个函数的图象可知,y=f(x),y=g(x)的图象在区间(0,1)内总有一个交点,

令: h(x)=f(x)-g(x)=(4-a)x2-4x+1, 要使满足不等式(2x-1)2<ax2 的解集中的整数解恰 有 4 个,
?h?4?<0, ?49-16a<0, ? ? 49 81 则需? ?? ? <a≤ . 16 25 ? ? ?h?5?≥0 ?81-25a≥0

? 探究点四 以形助数探索解题思路 例4 (1)不等式|x+3|-|x-1|≤a2-3a 对任意实数 x 恒成立, 则实数 a 的取值范围为( )

A.(-∞,-1]∪[4,+∞) B.(-∞,-2]∪[5,+∞) C.[1,2]
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D.(-∞,1]∪[2,+∞) (2)已知点 P 在抛物线 y2=4x 上,那么点 P 到点 Q(2,-1)的距离与点 P 到抛物线焦点距 离之和取得最小值时,点 P 的坐标为( 1 A.?4,-1? ? ? C.(1,2) ) 1 B.?4,1? ? ? D.(1,-2)

【分析】 (1)把不等式的左端看作一个函数,问题等价于这个函数的最大值不大于不等 式右端的代数式的值,通过画出函数图象找到这个函数的最大值即可;(2)画出抛物线,根据 抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离,把问题归结为两点之间的距离.

?-4?x<-3?, ? (1)A (2)A 【解析】(1)f(x)=|x+3|-|x-1|=?2x+2?-3≤x<1?, ?4?x>1?. ?

画出函数 f(x)的图象,

如图,可以看出函数 f(x)的最大值为 4,故只要 a2-3a≥4 即可,解得 a≤-1 或 a≥4.正确选 项为 A.

(2)点 P 到抛物线焦点距离等于点 P 到抛物线准线距离,如图,PF+PQ=PS+PQ,故最 1 小值在 S,P,Q 三点共线时取得,此时 P,Q 的纵坐标都是-1,代入 y2=4x 得 x= ,故点 P 4 1 坐标为?4,-1?,正确选项为 A. ? ?

? 探究点五 数量分析解决图形问题(以数助形) 例 5 “龟兔赛跑”讲述了这样的故事:领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟,骄傲起来,

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睡了一觉,当它醒来时,发现乌龟快到达终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先 到达了终点??,用 S1,S2 分别表示乌龟和兔子所行的路程,t 为时间,则下图与故事情节相 吻合的是( )

图 22-2 【分析】乌龟的速度是恒定的,表现在时间和路程的图象上是直线上升的,这个过程没 有变化;兔子的速度也是恒定的,表现在时间与路程的图象上也是直线上升的,并且比乌龟 的时间和路程的图象上升的要快,但中间一段时间内,函数图象是水平的.根据时间和路程 的关系以及乌龟首先达到目的地,故选 B. 探究点五 分类与整合思想 例 1 已知函数 f(x)=|x|+|x-1|+|x-2|. (1)写出函数的单调区间; (2)设 g(x)=-x2+bx,若对任意的 x1,x2∈[-1,4],f(x1)≥g(x2)恒成立,求实数 b 的取值 范围. 【分析】 (1)根据绝对值的概念,通过把实数集分割为四个子集,在各个子集上,函数解 析式就可以去掉绝对值符号,转化为一般的一次函数,通过研究各个段上的函数单调性,把 其整合为整个函数的单调性;(2)问题等价于在区间[-1,4]上,函数 f(x)的最小值大于或者等于 函数 g(x)的最大值,根据函数 g(x)的对称轴和单调性分类求解 g(x)的最大值,通过最值的不等 式,得出各个情况的结果,最后整合为一个整体结论.

?-3x+3,x≤0, ?-x+3,0<x≤1, 【解答】 (1)函数 f(x)=? x+1,1<x≤2, ?3x-3,x>2. ?

由于这个函数的图象是连续不断的, 在(-

∞,0]和(0,1]上,函数是单调递减的,在(1,2],(2,+∞)上,函数是单调递增的,在 x=1 处 图象连续.所以函数 f(x)的单调递减区间是(-∞,1],单调递增区间是[1,+∞). (2)由(1)知,函数 f(x)在区间[-1,4]上的 x=1 处取得最小值,即 f(x)min=f(1)=2.

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b 当 ≤-1,即 b≤-2 时,函数 g(x)在[-1,4]上单调递减,其最大值为 g(-1)=-1-b.由 2 2≥-1-b 得 b≥-3.故此时-3≤b≤-2; b b2 b b b2 当-1< <4, 即-2<b<8 时, 函数 g(x)在 x= 处取得最大值, 其最大值为 g?2?= .由 2≥ ? ? 4 2 2 4 得-2 2≤b≤2 2.故此时-2<b≤2 2; b 当 ≥4,即 b≥8 时,函数 g(x)在[-1,4]上单调递增,其最大值为 g(4)=-16+4b.由 2≥ 2 9 -16+4b,得 b≤ .故此时 b 无解. 2 综上所述,b 的取值范围是[-3,2 2]. 1-a 例 2 已知函数 f(x)=lnx-ax+ (0<a<1),讨论函数 f(x)的单调性. x 【分析】 求出导数后,讨论函数 f(x)的导数的符号即可. a-1 ax2-x+1-a 1 【解答】 f′(x)= -a+ 2 =- ,x∈(0,+∞).由 f′(x)=0,即 ax2-x x x x2 1 +1-a=0,解得 x1=1,x2= -1. a 1 1 1 (1)若 0<a< ,则 x2>x1.当 0<x<1 或者 x> -1 时,f′(x)<0;当 1<x< -1 时,f′(x)>0.故此 2 a a 1 1 时函数 f(x)的单调递减区间是(0,1),?a-1,+∞?,单调递增区间是?1,a-1?. ? ? ? ? 1 1 (2)若 a= 时,x1=x2,此时 f′(x)≤0 恒成立,且仅在 x= 处等于零,故此时函数 f(x)在 2 2 (0,+∞)上单调递减; 1 1 1 (3)若 <a<1,则 0<x2<x1.当 0<x< -1 或者 x>1 时,f′(x)<0;当 -1<x<1 时,f′(x)>0.故 2 a a 1 1 此时函数 f(x)的单调递减区间是?0,a-1?,(1,+∞),单调递增区间是?a-1,1?. ? ? ? ? 1 1 综上所述:当 0<a< 时,函数 f(x)的单调递减区间是(0,1),?a-1,+∞?,单调递增区间 ? ? 2 1 1 1 是?1,a-1?;当 a= 时,函数 f(x)的单调递减区间是(0,+∞);当 <a<1,函数 f(x)的单调递 ? ? 2 2 1 1 减区间是?0,a-1?,(1,+∞),单调递增区间是?a-1,1?. ? ? ? ? ? 探究点六。 化归与转化思想 例3 (1)已知函数 f(x)=x3+2x2-ax+1.若函数 g(x)=f′(x)在区间(-1,1)上存在零点,则

实数 a 的取值范围是________. (2) 若抛物线 y=x2+4ax+3-4a,y=x2+(a-1)x+a2,y= x2+2ax-2a 中至少有一条与 x 轴相交,则实数 a 的取值范围是________.
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【分析】 (1)很显然,函数 g(x)是二次函数,二次函数在一个开区间上存在零点,情况是 很复杂的,但这个二次函数可以把参数分离出来,这样就把问题转化为求一个具体的函数的 值域;(2)至少有一条与 x 轴相交情况,包括七种情况,直接求解比较困难,从其反面考虑. 4 3 (1)?-3,7? (2)?-∞,-2?∪[-1,+∞) ? ? ? ? 【解析】 (1)g(x)=f′(x)=3x2+4x-a,g(x)=f′(x)在区间(-1,1)上存在零点,等价于 3x2 +4x=a 在区间(-1,1)上有解, 等价于 a 的取值范围是函数 y=3x2+4x 在区间(-1,1)上的值域, 4 4 不难求出这个函数的值域是?-3,7?.故所求的 a 的取值范围是?-3,7?. ? ? ? ?

?Δ1=?4a? -4?3-4a?<0, ? 2 2 (2)由?Δ2=?a-1? -4a <0, ?Δ =?2a?2+8a<0, ? 3
3 - 或 a≥-1. 2 例 4 ________.

2

3 解得- <a<-1, 再求它的补集, a 的取值范围是: 则 a≤ 2

π π 5π 3π (1)若 cos ?2+α? =2sin ?α-2? ,则 sin(α-2π)sin(α-π)-sin ? 2 +α? sin ? 2 -α? = ? ? ? ? ? ? ? ?

(2)函数 f(x)=sinx+cosx+sin2x 的最小值是________. 【分析】 (1)化简已知和求解目标,然后采取适当的方法; (2)把 sinx+cosx 看做一个整体, 用这个整体表示已知函数. (1)- 3 5 (2)- 【解析】 (1)已知条件即 sinα=2cosα,求解目标即 cos2α-sin2α.已知条 5 4

cos2α-sin2α 1-tan2α 3 件转化为 tanα=2,求解目标转化为 2 2 = 2 ,把已知代入得求解结果是- . 5 cos α+sin α 1+tan α 1 (2)令 t=sinx+cosx, t2=1+sin2x, t∈[- 2, 2].此时函数化为 y=t+t2-1=?t+2? 则 且 ? ?
2

5 - ,故所求函数的最小值为 4

5 - . 4 ? 创新链接 11 活用数学思想方法解题 数学思想方法在解题中具有指导作用,灵活使用数学思想对优化解题过程、得出正确答 案具有重要意义. 在数学思想方法中,函数与方程是相互联系的,在一定条件下,它们可以相互转化,如 解方程 f(x)=0 就是求函数 y=f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标;方程 f(x)=g(x)的解就是 函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象交点的横坐标. 函数思想在于揭示问题的数量关系的本质特征, 运用函数思想解题,重在对问题中的变量的动态研究,从变量的运动、变化、联系和发展角

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度打开思路;而方程思想则是动中求静,研究运动中的等量关系.函数思想与方程思想常常 是相辅相成的,函数的研究离不开方程,方程的研究也要借助函数,以寻找解决问题的思路.

四、典题体验:
例 1 是函数与方程思想的综合运用,函数思想与方程思想是可以相互转化的,可以用函 数思想研究方程,也可以用方程思想研究函数;例 2 是数形结合的深层次运用.数形结合思 想不仅仅是画出函数图象和借助于数量分析函数图象,在解决数学问题的过程中我们有时不 必画出函数图象或其他图形,但在寻找问题的解答思路时,头脑中要有函数图象或者图形, 如求单位正方体的外接球面积时,我们是不画出图形的,但解题时头脑中是有这个图形的, 这种“无形胜有形”的情况是数形结合思想在解题中的深层次运用. 例 1 (1)已知 x3+sinx-2a=0,4y3+sinycosy+a=0,则 cos(x+2y)=________. (2)若函数 f(x)=ax(a>1)的定义域和值域均为[m,n],则 a 的取值范围是________. 【答案】 (1)1 (2)?1,ee? ? ? π π 【解析】 (1)构造函数 f(t)=t3+sint-2a, f′(t)=3t2+cost, t∈?-2,2?时, 则 当 f′(t)>0, ? ? π π 当 t??-2,2?时,3t2>1,cost≥-1,此时 f′(t)>0,故函数 f(t)是 R 上的增函数.根据题意 f(x) ? ? =f(-2y),故 x=-2y,所以 cos(x+2y)=1. (2)根据题意 m,n(m<n)是方程 ax=x 的根,构造函数 g(x)=ax-x,问题等价于这个函数有 两个不同的零点.g′(x)=axlna-1,由 g′(x)>0 得 x>logalogae,由 g′(x)<0 得 x<logalogae, 故 x=logalogae 是函数 g(x)在 R 上唯一的极小值点,也是最小值点,且当 x 无限小时,函数值 无限大,当 x 值无限大时,函数值也无限大,故只要函数 g(x)最小值小于零,即可使函数 g(x)=ax-x 有两 个不同的零点.由 g(logalogae)<0 得 alogalogae<logalogae,此即 logae<logalogae,即 e<logae,即
1 1 1 1 lna< =lnee,故 a<ee,故所求 a 的取值范围是(1,ee). e 1

例 2 已知函数 f(x)=-x2+8x,g(x)=6lnx+m.是否存在实数 m,使得 y=f(x)的图象与 y =g(x)的图象有且只有三个不同的交点?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,说明理由.

【解答】 函数 y=f(x)的图象与 y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点, 即函数 φ(x)=g(x) -f(x)的图象与 x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点. ∵φ(x)=x2-8x+6lnx+m,
2 6 2x -8x+6 2?x-1??x-3? ∴φ′(x)=2x-8+ = = (x>0), x x x

当 x∈(0,1)时,φ′(x)>0,φ(x)是增函数; 当 x∈(1,3)时,φ′(x)<0,φ(x)是减函数;
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当 x∈(3,+∞)时,φ′(x)>0,φ(x)是增函数; 当 x=1,或 x=3 时,φ′(x)=0. ∴φ(x)极大值=φ(1)=m-7,φ(x)极小值=φ(3)=m+6ln3-15. ∵当 x 充分接近 0 时,φ(x)<0,当 x 充分大时,φ(x)>0. ∴ 要 使 φ(x) 的 图 象 与 x 轴 正 半 轴 有 三 个 不 同 的 交 点 , 必 须 且 只 需
? ?φ?x?极大值=m-7>0, ? 即 7<m<15-6ln3. ?φ?x?极小值=m+6ln3-15<0, ?

所以存在实数 m,使得函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点,m 的取 值范围为(7,15-6ln3). 一些数学定理和公式是分类的,不同的情况公式的形式,如数列的通项与前 n 项和的关 系,等比数列的求和公式等,试题中涉及这些时,就需要分类讨论.例 3 是由数学的定理、 法则、公式等引发的分类讨论,可以和[要点热点探究]中的例题配合使用;在解答综合性试题 时,一个问题往往是由几个问题组成的,整个问题的结论,是通过这一系列的小问题得出的, 这种情况下,就可以把所要解决的问题转化为几个小问题进行解决,这就是化大为小,例 4 的目的就是如此. 例 3 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2+1,数列{bn}是首项为 1,公比为 b 的等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{anbn}的前 n 项和 Tn. 【分析】 (1)根据数列的通项和前 n 项和的关系,分类求解;(2)等比数列的公比为 b,这 里的 b 可能为 1,要分情况处理,同时要根据第一问的结果确定求和的方法,根据经验,数列 {an}从第二项起成等差数列,这样一个等差数列和一个等比数列对应项乘积组成的数列,可以 使用错位相减的方法求和. 【解答】 (1)当 n=1 时,a1=S1=2; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2+1-(n-1)2-1=2n-1.
?2,n=1, ? 所以 an=? ? ?2n-1,n≥2. ?2,n=1, ? (2)当 b=1 时,anbn=? ? ?2n-1,n≥2.

此时 Tn=2+3+5+?+(2n-1)=n2+1;
? ?2,n=1, 当 b≠1 时,anbn=? n-1 ? ??2n-1?b ,n≥2.

此时 Tn=2+3b+5b2+?+(2n-1)bn 1,① 两端同时乘以 b 得,bTn=2b+3b2+5b3+?+(2n-1)bn.② ①-②得,
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(1-b)Tn=2+b+2b2+2b3+?+2bn 1-(2n-1)bn =2(1+b+b2+b3+?+bn 1)-(2n-1)bn-b = 2?1-bn? -(2n-1)bn-b, 1-b




2?1-bn? ?2n-1?bn b 所以 Tn= - . 2- ?1-b? 1-b 1-b

?n +1,b=1, ? 所以 Tn=?2?1-bn? ?2n-1?bn b ? ?1-b?2 - 1-b -1-b,b≠1. ?
例 4 已知 f(x)是二次函数,f′(x)是它的导函数,且对任意的 x∈R,f′(x)=f(x+1)+x2 恒 成立. t>0, 若 曲线 C: y=f(x)在点 P(t, f(t))处的切线为 l, 与坐标轴围成的三角形面积为 S(t). l 求 S(t)的最小值. 【分析】 本题首先要求出函数 f(x)的解析式, 其次要求出函数在点 P 处的切线 l 的方程, 第三要求出切线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积 S(t),第四要求出 S(t)的最小值. 【解答】 设 f(x)=ax2+bx+c(其中 a≠0),则 f′(x)=2ax+b,f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1) +c=ax2+(2a+b)x+a+b+c. 由已知,得 2ax+b=(a+1)x2+(2a+b)x+a+b+c,

2

?a+1=0, ? ∴?2a+b=2a, ?a+b+c=b, ?
∴f(x)=-x2+1.

?a=-1, ? 解之得?b=0, ?c=1, ?

所以 P(t,1-t2),切线 l 的斜率 k=f′(t)=-2t, ∴切线 l 的方程为 y-(1-t2)=-2t(x-t), 即 y=-2tx+t2+1. 从而 l 与 x 轴的交点为 A? t2+1 ? 2 ? 2t ,0?,l 与 y 轴的交点为 B(0,t +1),

?t2+1?2 ∴S(t)= (其中 t>0). 4t ?t2+1?? 3t+1?? 3t-1? ∴S′(t)= . 4t2 当 0<t< 3 3 时,S′(t)<0,S(t)是减函数;当 t> 时,S′(t)>0,S(t)是增函数, 3 3 3? 4 3 = . ?3? 9

∴[S(t)]min=S?

例 5 设 a 为实数,函数 f(x)=x3-x2-x+a. (1)求 f(x)的极值;

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(2)当 a 在什么范围内取值时,函数 f(x)=0 只有一个实数根? 【分析】 (1)按照导数研究函数性质的方法,根据导数等于零的点及其导数在这个点附近 的符号变化进行判断求解; (2)方程 f(x)=0 只有一个实数根等价于函数 y=f(x)的图象与 x 轴只有一个公共点,根据三次函 数存在两个极值点、三次函数图象的变化趋势,只要函数的极大值小于零,或者极小值大于 零即可. 1 【解答】 (1)f′(x)=3x2-2x-1,令 f′(x)=0,得 x1=- ,x2=1. 3 当 x 变化时,f′(x),f(x)变化情况如下表: x f′(x) f(x)

?-∞,-1? 3? ?
+ 单调递增

- 0

1 3

?-1,1? ? 3 ?
- 单调递减

1 0 极小值

(1,+∞) + 单调递增

极大值

1 5 ∴f(x)的极大值是 f?-3?= +a,极小值是 f(1)=a-1. ? ? 27 (2)根据三次函数的特征,当 x 足够大时,一定有 f(x)>0,当 x 足够小时一定有 f(x)<0,结 合函数的单调性和极值,函数 y=f(x)与 x 轴只有一个公共点的充要条件是极大值小于零或极 5 5 小值大于零,即 +a<0 或 a-1>0,即 a<- 或者 a>1. 27 27 5 所以当 a∈?-∞,-27?∪(1,+∞)时,函数 y=f(x)的图象与 x 轴仅有一个交点. ? ? 【点评】 本题第一问是研究函数性质,但必须通过解导数等于零的方程,根据方程的根 确定函数的极值点,研究函数要考解方程;第二问是研究方程的根,要借助于函数的性质, 对方程根的情况作出判断,方程的研究要借助函数.本题表明函数与方程是相辅相成的.

变式题

?x≥0, ? x+2y+3 设 x,y 满足约束条件?y≥x, 则 的取值范围是( x+1 ?4x+3y≤12, ?
B.[2,6] D.[3,11]

)

A.[1,5] C.[3,10]

y+1 y+1 D 【解析】 目标的几何意义不明显,可以变换为 1+2· ,其中 的几何意义是明 x+1 x+1 y+1 y+1 确的,即区域内的点与点(-1,-1)连线的斜率.变换求解目标为 1+2· ,令 z= ,其 x+1 x+1

?x≥0, ? 几何意义是区域?y≥x, 内的点到点 M(-1,-1)连线的斜率.如图,显然 z 的值满足 ?4x+3y≤12 ?

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kMA≤z≤kMB,kMA=1,kMB=5,故 1≤z≤5,所以 3≤

x+2y+3 ≤11. x+1

变式训练

1 ? 2n+1 ? 1?? 1? ? n∈N,n>1.求证: 1+3 1+5 ? 1+2n-1 > 2 ? ?? ? ? ? 【解答】 证明:问题等价于证明

?1+1??1+1???1+ 1 ? ? 3?? 5? ? 2n-1? 1
2n+1

> , 2

构造函数 f(n)=

?1+1??1+1???1+ 1 ? ? 3?? 5? ? 2n-1?
2n+1

,通过函数的单调性解决问题.

1 1 1 1+ 1+ ?1+ 3 5 2n-1 设 f(n)= (n≥2),则 2n+1 1 1 1 1+ ?1+5??1+ ? 3? 2n+1 f?n+1? = × f?n? 2?n+1?+1 2n+1 2?n+1? 2?n+1? = > =1, 2 1? 1? 1 4?n+1? -1 4?n+1?2 1+ ?1+ 1+ ? 5? 3 2n-1 即 f(n+1)>f(n),即函数 f(n)单调递增,所以 f(n)>f(2). 4 3 f(2)= = 5 16 > 45 16 1 1 = ,故 f(n)> , 64 2 2

1 1 1 2n+1 所以?1+3??1+5????1+2n-1?> . ? ?? ? 2 ? ?

五、规律技巧提炼
1.在高中数学的各个部分,都有一些公式和定理,这些公式和定理本身就是一个方程, 如等差数列的通项公式、余弦定理、解析几何的弦长公式等,当试题与这些问题有关时,就

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需要根据这些公式或者定理列方程或方程组求解需要的量. 2.当问题中涉及一些变化的量时,就需要建立这些变化的量之间的关系,通过变量之间 的关系探究问题的答案,这就需要使用函数思想. 3.在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复 数的几何意义等都实现以形助数的途径,当试题中涉及这些问题的数量关系时,我们可以通 过形分析这些数量关系,达到解题的目的. 4.有些图形问题,单纯从图形上无法看出问题的结论,这就要对图形进行数量上的分析, 通过数的帮助达到解题的目的. 5.分类讨论的几种情况 (1)由数学的概念、图形的位置等引发的分类讨论:数学中的概念有些就是分类的,如绝 对值的概念、直线的斜率的概念等,如果试题中涉及这些概念,就要进行分类讨论; (2)由数学的定理、法则、公式等引发的分类讨论:一些数学定理和公式是分类的,不同 的情况公式的形式,如数列的通项与前 n 项和的关系,等比数列的求和公式等,试题中涉及 这些时,就需要分类讨论; (3)由参数变化引发的分类讨论:当要解决的问题中涉及参数时,由于参数在不同范围内 取值时,问题的发展方向不同,这就要把参数划分为几个部分进行分类解决; (4)问题的具体情况引发的分类讨论:有些数学问题本身就要分情况解决,如概率计算中 要根据要求,分类求出基本事件的个数,这种情况下也需要分类讨论. 6.化归转化思想的几种情况 (1)化为已知:当所要解决的问题和我们已经掌握的问题有关系时,把所要解决的问题化 为已知问题,是化归的基本形式之一; (2)化难为易:化难为易是解决数学问题的基本思想,当我们遇到的问题是崭新的,解决 起来困难时,就要有把这个问题化为我们熟悉的问题,熟悉的问题我们有解决的方法,就是 容易的问题,这是化难为易的一个方面;当我们所面临的问题正面解决较为困难时,从其反 面考虑,也是化难为易的一个方面; (3)化繁为简:在一些问题中,已知条件或求解结论比较繁,这时就可以通过化简这些较 繁的已知或者结论为简单的情况,再解决问题,有时把问题中的某个部分看做一个整体,进 行换元,这种方法也是化繁为简的转化思想的体现; (4)化大为小:在解答综合性试题时,一个问题往往是由几个问题组成的,整个问题的结 论,是通过这一系列的小问题得出的,这种情况下,就可以把所要解决的问题转化为几个小 问题进行解决,这就是化大为小.

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六、专项训练

高考专题训练

数形结合思想

1.已知直线 l1:4x-3y+6=0 和 l2:x=-1,抛物线 y2=4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是( A.2 解析: B.3 11 C. 5 37 D.16 )

设 P 到 l1 的距离为 d1,P 到 l2 的距离为 d2,由抛物线的定义知 d2 =|PF|,F(1,0)为抛物线焦点,所以 d1+d2=d1+|PF|.过 F 作 FH⊥l1 于 H,设 F 到 l1 的距离为 d3,则 d1+|PF|≥d3.当且仅当 H,P,F 三点共 10 线时,d1+d2 最小,由点到直线距离公式易得 d3= 5 =2. 答案:A x2 y2 2.已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,若过点 F 且倾 斜角为 60° 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点, 则此双曲线的离 心率的取值范围是( A.(1,2] )

B.(1,2) D.(2,+∞)

C.[2,+∞)

c2-a2 b 解析:如图所示,根据直线与渐近线斜率的大小关系:a= a
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= e2-1≥ 3,从而 e≥2.

答案:C 3.若函数 f(x)=logax-x+a(a>0 且 a≠1)有两个零点,则实数 a 的取值范围为( A.0<a<1 ) B.a>1 D.1<a<2

C.a>0 且 a≠1

解析:设函数 y=logax(a>0 且 a≠1)和函数 y=x-a,则函数 f(x) =logax-x+a 有两个零点,就是函数 y=logax(a>0 且 a≠1)与函数 y= x-a 有两个交点,由图象可知当 0<a<1 时,两函数只有一个交点,不 符合;当 a>1 时,函数 y=logax 图象过点(1,0),而直线 y=x-a 与 x 轴交点(a,0)在点(1,0)右侧,所以一定有两个交点,故 a>1. 答案:B π 4. 0≤x≤1 时, 当 不等式 sin2x≥kx, 则实数 k 的取值范围是________. 解析:

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π π 在同一坐标系下, 作出 y1=sin2x 与 y2=kx 的图象, 要使不等式 sin2 x≥kπ 成立,由图可知需 k≤1. 答案:k≤1 1 5.函数 f(x)=3x3+ax2-bx 在[-1,2]上是单调减函数,则 a+b 的最小 值为________. 解析:∵y=f(x)在区间[-1,2]上是单调减函数, ∴f′(x)=x2+2ax-b≤0 在区间[-1,2]上恒成立. 结合二次函数的图象可知 f′(-1)≤0 且 f′(2)≤0,

?1-2a-b≤0, ?2a+b-1≥0, ? ? ? 即 也即? ?4+4a-b≤0 ?4a-b+4≤0. ? ?

作出不等式组表示的平面区域如图:

1 当直线 z=a+b 经过交点 P(-2,2)时,z=a+b 取得最小值,且 1 3 3 zmin=-2+2=2.∴z=a+b 取得最小值2. 3 答案:2 点评:由 f′(x)≤0 在[-1,2]上恒成立,结合二次函数图象转化为 关于 a,b 的二元一次不等式组,再借助线性规划问题,采用图解法求
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a+b 的最小值.
?-1<x<1, ? 6.用计算机产生随机二元数组成区域? 对每个二元数组(x, ? ?-2<y<2.

y),用计算机计算 x2+y2 的值,记“(x,y)”满足 x2+y2<1 为事件 A, 则事件 A 发生的概率为________. 解析:本题为几何概型问题,应转化为图形的面积比求解.如图,
?-1<x<1, ? 画出不等式组? 及(x,y)满足 x2+y2<1 的平面区域. ? ?-2<y<2

π ∴P(A)=8. 7.若关于 x 的方程 x2+2kx+3k=0 的两根都在-1 和 3 之间,求 k 的 取值范围. 解:

令 f(x)=x +2kx+3k,其图象与 x 轴交点的横坐标就是方程 f(x)=0 的解,由 y=f(x)
- 17 -

2

的图象(如图)可知,要使两根都在-1,3 之间,只需 f(-1)>0,f(3)>0,f?- ?=f(-k)<0, ? 2a? -1<-k<3 同时成立,解得-1<k<0,故 k∈(-1,0).

?

b?

高考专题训练

函数与方程思想
)

1. 若方程 2ax2-x-1=0 在(0,1)内恰有一解, a 的取值范围是( 则 A.a<-1 B.a>1 C.-1<a<1

D.0≤a<1

解析:令 f(x)=2ax2-x-1,要使 f(x)在(0,1)内恰有一解,结合图 形,则必有 f(0)f(1)<0. 答案:B 2.关于 x 的方程 9x+(4+a)3x+4=0 有两个实数解,则实数 a 的取值 范围是( A.a>0 ) B.a<-8 C.a>0 或 a<-8 D. a≥0 或 a≤-8

解析:令 t=3x,问题等价于方程 t2+(4+a)t+4=0 在(0,+∞)上

? 4+a ? 有两个实根.令 f(t)=t +(4+a)t+4,则有?- 2 >0, ?f?0?=4>0, ?
2

Δ=?4+a?2-16>0, 解

得 a<-8,故选 B. 答案:B 点评:解答本题要注意等价转化,把方程问题转化为函数零点问 题解决,注意转化的等价性. 3.已知 f(x)是以 2 为周期的偶函数,当 x∈[0,1]时,f(x)=x,那么在区 间[-1,3]内,关于 x 的方程 f(x)=kx+k+1(k∈R 且 k≠-1)的根的个数 ( ) A.不可能有三个 B.最少有一个,最多有四个 C.最少有一个,最多有三个
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D.最少有二个,最多有四个 解析:y=kx+k+1 过定点(-1,1),结合 y=f(x)的图象(连续),当 k=-1 时,在 x∈[-1,0]有无数个解,又 k≠-1,故选 B.

答案:B 4.对于满足 0≤p≤4 的所有实数 p,使不等式 x2+px>4x+p-3 成立 的 x 的取值范围是________. 解析:设 f(p)=p(x-1)+x2-4x+3,f(p)为关于 p 的一次函数,要
?f?0?=x2-4x+3>0, ? 使 f(p)>0 对 p∈[0,4]恒成立,则? 解得 x>3 或 x< 2 ? ?f?4?=x -1>0.

-1. 5.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2] 上是增函数,若方程 f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根 x1, x2,x3,x4,则 x1+x2+x3+x4=________. 解析:

因为定义在 R 上的奇函数, 满足 f(x-4)=-f(x), 所以 f(x-4)=f(- x).由 f(x)为奇函数,所以函数图象关于直线 x=2 对称且 f(0)=0.由 f(x

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-4)=-f(x)知 f(x-8)=f(x),所以函数是以 8 为周期的周期函数.又因 为 f(x)在[0,2]上是增函数,所以 f(x)在[-2,0]上也是增函数,如图所示, 那么方程 f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根 x1,x2,x3,x4. 不妨设 x1<x2<x3<x4,由对称性知,x1+x2=-12,x3+x4=4.所以 x1+x2 +x3+x4=-12+4=-8. 答案:-8 6.已知函数 α,β 满足 α3-3α2+5α=1,β 3-3β 2+5β=5,求 α+β 的 值. 解:构造函数 f(x)=x3-3x2+5x=(x-1)3+2(x-1)+3, 则有 f(α)=1,f(β)=5. 又 g(t)=t3+2t 在 R 上是单调递增的奇函数,且 g(α-1)=f(α)-3=-2, g(β-1)=f(β)-3=2, 故 g(α-1)=-g(β-1)=g(1-β),得 α-1=1-β,即 α+β=2.

高考专题训练

转化与化归思想
)

e4 e 5 e 6 1.16,25,36(其中 e 为自然常数)的大小关系是( e4 e5 e6 A.16<25<36 e5 e4 e6 C.25<16<36 e6 e5 e4 B.36<25<16 e6 e4 e5 D.36<16<25

e4 e4 e5 e 5 e6 e6 ex 解析:由于16=42,25=52,36=62,故可构造函数 f(x)=x2,于是 e4 e5 e6 f(4)=16,f(5)=25,f(6)=36. e · -e · e ?x -2x? x 2x ?e ? 而 f′(x)=?x2?′= = ,令 f′(x)>0 得 x<0 或 4 x x4 ? ?
x x 2 x x 2

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e 4 e5 x>2, 即函数 f(x)在(2, +∞)上单调递增, 因此有 f(4)<f(5)<f(6), 16<25 即 e6 <36,故选 A. 答案:A A+B 1 2.在△ABC 中,已知 tan 2 =sinC,给出以下四个论断:①tanA· tanB =1; ②0<sinA+sinB≤ 2; ③sin2A+cos2B=1; ④cos2A+cos2B=sin2C. 其中正确的是( A.①③ C.①④ )

B.②④ D.②③

A+B C? ? 1 C - 解析:因为 tan 2 =sinC,所以 tan?90° 2 ?=sinC, C=2sin 2 ? ? tan 2 C cos 2 C C C C C cos 2 ,即 C =2sin 2 cos 2 .因为 0° <C<180° ,所以 cos 2 ≠0,则有 sin2 2 sin 2 1 C 2 =2,即 sin 2 = 2 ,解得 C=90° ,则有 0° <A,B<90° . 1 1 ①tanA· =tanA· =tan2A. tanB tan?90° -A? 当 A≠45° 时,tan2A≠1.所以结论①错.②因为 0° <A,B<90° ,所 以 sinA+sinB>0.又 sinA+sinB=sinA+cosA,而(sinA+cosA)′=cosA -sinA=0,解得 A=45° 0° .当 <A<45° 时,cosA-sinA>0;当 45° <A<90° 时,cosA-sinA<0. 因此当 0° <A<90° sinA+sinB 在 A=45° 时, 时取到极大值, 所以 sinA +sinB≤sin45° +cos45° 2.即②正确.③sin2A+cos2B=sin2A+sin2A = =2sin2A.当 A≠45° sin2A+cos2B=2sin2A≠1.因此结论③错. 时, ④cos2A

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+cos2B=cos2A+sin2A=1=sin290° =sin2C.即④正确,故选 B. 对于相当数量的数学问题,解答的过程都是由繁到简的转化过 程.本题是一道三角判断题,由所给的已知条件直接判断四个结论是 困难的,因此对所给已知条件进行适当的化简变形是必不可少的.通 过使用诱导公式、同角公式、倍角公式以及方程的思想,最终解得 C =90° .于是原问题等价于“在 Rt△ABC 中,C=90° ,给出以下四个论 断: ①tanA· cotB=1; ②0<sinA+sinB≤ 2; ③sin2A+cos2B=1; ④cos2A +cos2B=sin2C.判断其中正确的论断. ”本题是由繁到简进行等价转化 的典型试题.答案:B x2 y2 3.已知点 F1、F2 分别是双曲线a2-b2=1 的左、右焦点,过 F1 且垂直 于 x 轴的直线与双曲线交于 A、B 两点,若△ABF2 为锐角三角形,则 该双曲线的离心率 e 的取值范围是( A.(1,+∞) ) D.(1,1+ 2)

B.(1, 3) C.( 2-1, 2+1)
2

b? ? 解析:易求 A?-c, a ?,△ABF2 为锐角三角形,则∠AF2F1<45° 即 ? ? b2 2 a <2c,e -2e-1<0,1- 2<e< 2+1,又 e>1,故 1<e<1+ 2. 4.已知 k<-4,则函数 y=cos2x+k(cosx-1)的最小值是( A.1 B.-1 C.2k+1 D.-2k+1 )

解析:利用换元的方法,转化为二次函数在闭区间上的最值.答案:A 5.设 a,b∈R,a2+2b2=6,则 a+b 的最小值是( A.-2 2 5 3 B.- 3 C.-3 7 D.-2 )

解析:令 a= 6sinα,b= 3cosα 转化为三角函数问题.答案:C |a| 6.已知非零向量 a,b,若 a+2b 与 a-2b 互相垂直,则|b|等于( )

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1 A.4

B.4

1 C.2

D.2

|a| 解析:(a+2b)· (a-2b)=0?|a|=2|b|,|b|=2.答案:D 7.已知集合 A={y|y2 -(a2 +a+1)y+a(a2 +1)>0},B={y|y2 -6y+ 8≤0},若 A∩B≠?,则实数 a 的取值范围为________. 解析:由题意得 A={y|y>a2+1 或 y<a},B={y|2≤y≤4},我们不 妨先考虑当 A∩B=?时 a 的取值范围.如图:

?a≤2 ? ? ?a≤2 由? 2 得? , ?a +1≥4 ?a≥ 3或a≤- 3 ? ?

∴a≤- 3或 3≤a≤2. 即 A∩B=?时,a 的取值范围为 a≤- 3或 3≤a≤2.而 A∩B≠?时,a 的取值范围显然是其补集,从而所求范围为{a|a>2 或- 3<a< 3}. 答案:{a|a>2 或- 3<a< 3} 点评:一般地,我们在解题时,若正面情形较为复杂,就可以先 考虑其反面,再利用其补集求得其解,这就是“补集思想”. 8.将组成篮球队的 12 名队员名额分配给 7 个学校,每校至少 1 名, 不同的分配方法种类有________种.
6 解析:转化为分组问题.用隔板法共有 C11=462.

9.如果函数 f(x)=x2+bx+c 对任意实数 t 都有 f(2+t)=f(2-t),那么 f(2),f(1),f(4)的大小关系是________. 解析:数形结合 f(2)<f(1)<f(4)
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?a,a≥b ? 10.对 a,b∈R,记 max{a,b}=? ,函数 f(x)=max{|x+1|, ? ?b,a<b

|x-2|}(x∈R)的最小值是________. 3 解析:转化为函数问题.答案:2 11.设函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d∈R,a>0),其中 f(0)=3, f′(x)是 f(x)的导函数. (1)若 f′(-1)=f′(3)=-36,f′(5)=0,求函数 f(x)的解析式; (2)若 c=-6,函数 f(x)的两个极值点为 x1,x2 满足-1<x1<1<x2<2. 设 λ=a2+b2-6a+2b+10,试求实数 λ 的取值范围. 解:∵f(0)=3,∴d=3. (1)据题意,f′(x)=3ax2+2bx+c, 由 f′(-1)=f′(3)=-36 知 x=1 是二次函数 f′(x)图象的对称轴, 又 f′(5)=f′(-3)=0, 故 x1=-3,x2=5 是方程 f′(x)的两根. 设 f′(x)=m(x+3)(x-5), 将 f′(-1)=-36 代入得 m=3, ∴f′(x)=3(x+3)(x-5)=3x2-6x-45, 比较系数得:a=1,b=-3,c=-45. 故 f(x)=x3-3x2-45x+3 为所求. (2)据题意,f(x)=ax3+bx2-6x+3, 则 f′(x)=3ax2+2bx-6, 又 x1,x2 是方程 f′(x)=0 的两根, 且-1<x1<1<x2<2,a>0,

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?f′?-1?>0 ?f′?1?<0 则? f′?2?>0 ?a>0 ?

?3a-2b-6>0 ?3a+2b-6<0 ,即? 6a+2b-3>0 ?a>0 ?

.

则点(a,b)的可行区域如图. ∵λ=(a-3)2+(b+1)2, ∴λ 的几何意义为点 P(a,b)与点 A(3,-1)的距离的平方,观察图 形易知点 A 到直线 3a+2b-6=0 的距离的平方 d2 为 λ 的最小值 d2= ?3×3-2×1-6?2 1 =13, 32+22
?1 ? 故 λ 的取值范围是?13,+∞?. ? ?

高考专题训练
a 等于(

分类讨论思想

1.已知二次函数 f(x)=ax2+2ax+1 在区间[-3,2]上的最大值为 4,则 ) 3 B.-8 C.3 3 D.8或-3

A.-3

解析:当 a<0 时,在 x∈[-3,2]上,当 x=-1 时取得最大值,得 a =-3;

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3 当 a>0 时,在 x∈[-3,2]上,当 x=2 时取得最大值,得 a=8.答案:D 2.对一切实数,不等式 x2+a|x|+1≥0 恒成立,则实数 a 的取值范围 是( ) B.[-2,+∞) C.[-2,2] D.[0,+∞)

A.(-∞,-2)

解析:本题是不等式恒成立问题,可以构造函数,把函数转化为 y a =x+x型,通过求解函数的最值得到结论.由不等式 x2+a|x|+1≥0 对 一切实数恒成立.①当 x=0 时,则 1≥0,显然成立;②当 x≠0 时, 1 1 可得不等式 a≥-|x|-|x|对 x≠0 的一切实数成立.令 f(x)=-|x|-|x|= 1? ? -?|x|+|x|?≤-2.当且仅当|x|=1 时,“=”成立.
? ?

∴f(x)max=-2,故 a≥f(x)max=-2. 答案:B 3.已知 a=(-1,-2),b=(1,λ).若 a 与 b 的夹角为钝角,则 λ 的 取值范围是( 1? ? A.?-∞,-2?
? ?

)
? 1 ? ? 1 ? B.?-2,+∞? C.?-2,2?∪(2,+∞) D.(2,+∞) ? ? ? ?

1 解析:∵〈a,b〉为钝角,∴a· b<0,即有 λ>-2.又当 λ=2 时,a 与 b 反向.故选 C. 4.连掷两次骰子得到的点数为 m 和 n,记向量 a=(m,n),与向量 b π =(1,-1)的夹角为 θ,则 θ∈(0,2]的概率是________. 解析:∵m>0,n>0, ∴a=(m,n)与 b=(1,-1)不可能同向. π ∴夹角 θ≠0.∴θ∈(0,2]?a· b≥0,∴m≥n. 当 m=6 时,n=6,5,4,3,2,1;
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当 m=5 时,n=5,4,3,2,1;当 m=4 时,n=4,3,2,1; 当 m=3 时,n=3,2,1;当 m=2 时,n=2,1; 6+5+4+3+2+1 7 当 m=1 时,n=1;∴概率是 =12. 6×6 an-1 5.已知 a>0,且 a≠1,数列{an}的前 n 项和为 Sn,它满足条件 S =
n

1 1-a.数列{bn}中,bn=an· n.求数列{bn}的前 n 项和 Tn; lga an-1 1 分析:(1)本题从 S =1-a可以得出 Sn,进而由 an 和 Sn 的关系
n

?S1 ? an = ? ? ?Sn-Sn-1

?n=1?, ?n≥2?.

)可求出数列{an}的通项,也就求出了{bn}

的通项公式.(2)应注意分 a>1 和 0<a<1 讨论. an-1 a?an-1? a?a1-1? 1 解:(1) S =1-a,∴Sn= .当 n=1 时,a1=S1= a-1 a-1 n a?an-1? a?an-1-1? n =a;当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= - =a . a-1 a-1 ∴an=an(n∈N*).此时,bn=an· n=n·nlga. lga a ∴Tn=b1+b2+?+bn=lga(a+2a2+3a3+?+nan). 设 un=a+2a2+3a3+?+nan,∴(1-a)un=a+a2+a3+?+an- na
n+1

a?an-1? = -nan+1. a-1

nan+1 a?an-1? ∴un= - . a-1 ?a-1?2 n·n+1 a?an-1? a ∴Tn=lga[ - ]. a-1 ?a-1?2 y2 x2 6.设 A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆a2+b2=1(a>b>0)上两点.已知 m=

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?x1 y1? ?x2 y2? 3 ? , ?,n=? , ?,若 m· n=0 且椭圆的离心率 e= 2 ,短轴长为 2, ?b a? ?b a?

O 为坐标原点. (1)求椭圆的方程; (2)若直线 AB 过椭圆的焦点 F(0,c)(c 为半焦距),求直线 AB 的斜 率 k; c 3 分析:(1)由 e=a= 2 及 b=1 可求 a.(2)设出 AB 的直线方程,代入椭 圆方程,结合根与系数的关系及条件 m· n=0,解出 k 值.(3)应分 kAB 不存在及 kAB 存在两种情况讨论求解. a2-b2 c 3 解:(1)∵2b=2,∴b=1,∴e=a= a = 2 . y2 2 ∴a=2,c= 3.椭圆的方程为 4 +x =1. (2)由题意,设 AB 的方程为 y=kx+ 3,

?y=kx+ 3, 由?y2 2 ? 4 +x =1,
∴x1+x2=

整理得(k2+4)x2+2 3kx-1=0.

-2 3k -1 ,x1x2= 2 . 2 k +4 k +4

由已知 m· n=0 得: k2? ? x1 x2 y1 y 2 1 3 2 + 2 =x1x2 + (kx1 + 3)(kx2 + 3)= ?1+ ? x1x2 + 4? b a 4 4 k(x1 +x2) ?
2 1 ? 3 k +4? 3 -2 3k 3 +4= 4 ?-k2+4?+ 4 k· 2 + =0.解得 k=± 2. k +4 4 ? ?

点评:本题是平面向量与解析几何的交汇题,综合考查了椭圆方程,离心率,定值等知 识与方法,当直线位置不确定时,应注意分斜率存在与斜率不存在讨论.

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