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直线的倾斜角与斜率PPT讲义



直线

直线 圆

3.1.1 直线的倾斜角与斜率

直角坐标系使几何研究又一 次腾飞,几何从此跨入了一 个新的时代。让我们给直线 插上方程的“翅膀”吧!

y A

1.由一点能否确定一条直线? 2.观察并回答问题:
B C 1

在图中,直线 AB,AC 都经过哪一点?
它们相对于 x 轴的倾斜程度相同吗?

O

1

x

问题1:如何确定一条直线在直角坐标 系的位置呢? 两点或一点和方向
y

问题2:如果已知一点还需附加什么条 件,才能确定直线? 一点和方向
问题3:如何表示方向?
o

x

用角

直线的倾斜角定义
一般地,平面直角坐标系内,直线向上 的方向与 x 轴正方向所成的最小正角 ? 叫做 这条直线的倾斜角.
y A

直线向上的方向 与 x 轴正方向

B

? O

1 1 x

最小正角

直线的倾斜角定义 一般地,平面直角坐标系内,直线向上 的方向与 x 轴正向所成的最小正角 ? 叫做这 条直线的倾斜角.
y A

规定:当直线和x轴平行或

重合时,它的倾斜角为0°
1 x

B

? O

1

倾斜角的范围:0?≤?<180?

Y

p

?
O

. .

Y

p

0 0 ? ? ? 900
X
O

.

900 ? ? ? 1800

?

X
(2)

(1)
Y Y

p

? ? 90 o
X O

p ? ? 0o
X

.

O

(3)

(4)

想一想 你认为下列说法对吗? 1、所有的直线都有唯一确定的倾斜 角与它对应。

2、每一个倾斜角都对应于唯一的一
条直线。

日常生活中,还有没有表示倾斜程度的量?

升 高 量 前进量

铅直高度 坡度 ? 水平长度

结论:坡度越大,楼梯越陡.

直线的斜率定义 倾斜角不是 90? 的直线,它的倾斜角的正

切值叫做这条直线的斜率,通常用 k 表示,即 k=tan? ?. 练习一
已知直线的倾斜角,求对应的斜率 k : (1)?=0?; (3)?=135?; (2)?=30?; (4)?=120?.

应用:
例1:如图,直线 l1 的倾斜角 ?1 =300,直线 l2⊥l1,求l1,l2 的斜率。
y
l2

l1

?1
O

?2
x

例2 直线 l1、 l2、 l3的斜率分别是k1、 k2、 k3,试比较斜率的大小
l1 l2 l3

如果给定直线的倾斜角,我们当然可以根据斜率 的定义 k =tanα求出直线的斜率; 如果给定直线上两点坐标,直线是确定的,倾斜 角也是确定的,斜率就是确定的,那么又怎么求出直 线的斜率呢? 探究: 已知两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)(其中x1≠x2), 求直线P1P2的斜率?

y

如图,α为锐角
P2 ( x2 , y2 )

y2

y1

?
P 1 ( x1 , y1 )

Q( x2 , y1 )

? ? ?P2 P Q, 1
在Rt?P2 P 1Q中
QP2

y2 ? y1 k ? tan? ? tan?P2 P ? 1Q ? P x2 ? x1 1Q

o

?

x1

x2

x

如图α为钝角,

y
y2 y1
P2 ( x2 , y2 )

? ? 180 ? ? ,
?

tan? ? tan( 180? ? ? )
?
Q( x2 , y1 )

P 1 ( x1 , y1 )

o

x2

x1

?

x

y2 ? y1 y2 ? y1 ? k ? tan? ? ? ? x1 ? x2 x2 ? x1

? ? tan? 在Rt?P2QP 中 1 P2Q y2 ? y1 ? tan? ? x1 ? x2 P 1Q

当直线与坐标轴平行或重合时,上述公 式还适用吗?
y P ( x , y ) 1 1 1 o
P2 ( x2 , y2 )

l x

y2 ? y1 k? ?0 x2 ? x1

y

y2

P2 ( x2 , y2 )
P 1 ( x1 , y1 )

y1

y2 ? y1 k? x2 ? x1
答:斜率不存在, 因为分母为0。

o

x

3.斜率公式 经过两点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) 的直线的斜率公式

y2 ? y1 k? ( x1 ? x2 ) x2 ? x1

公式的特点:
(1) 与两点的顺序无关;

(2) 公式表明,直线的斜率可以通过直线上任意两 点的坐标来表示,而不需要求出直线的倾斜角 (3) 当x1=x2时,公式不适用,此时α=900

Y

p

?
O

.
(1)

00 ? ? ? 900 Y

K>0

p

. .

900 ? ? ? 1800

?

K<0

X

O (2)

X

Y

p

.

K不存在 Y

K=0

p

? ? 90
X

o

??0
X

o

O

O

(3)

(4)

(3,2),( B -4,1),C(0, ?1 ), 例1:已知点 A

(1).求直线AB,BC,CA的斜率,并判断这 些直线的倾斜角是锐角还是钝角 (2).过点C的直线 l 与线段AB有公共点, 求 l 的斜率k的取值范围
y A B O C
1? 2 1 解:() 1 k AB ? ? 锐角 ?4 ? 3 7 ?1 ? 1 1 k BC ? ?? 钝角 0 ? (?4) 2 ?1 ? 2 kCA ? ?1 锐角 0?3 x

1 (2)k ?[1,+?)?(-?,- ] 2

例题分析
例2、在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率 分别为1,-1,2和-3的直线 l1 , l2 , l3及l4 。
y

l3
A3 (1,2) A1 (1,1)

l1

O

l2 A4 (1,-3) l4

A2 (1,-1)

x

例2 从 M ( 2 , 2 )射出一条光线, 经过 x 轴反射 后过点 N( ? 8 , 3 ) , 求反射点 P 的坐标
解:设P(x,0) 因为入射角等于反射角
y

? K MP ? ?K PN
2 3 ? 2?x 8? x

N(-8,3)
2 -2

M(2,2)
2

解得 x ? ?2

O P

x

? 反射点 P ( ? 2 ,0 )

定义

1.直线的倾斜角
范围

2.直线的斜率:
k=tan ?(?≠90?)
y 2 ? y1 k? x2 ? x1 (其中x1≠x2)


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