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2013-2014下宁德期末质检高二下理科试题(A卷)


宁德市 2013-2014 学年度第二学期高二期末质量检测

数学(理科 A)试题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,第 I 卷 1 至 2 页,第 II 卷 3 至 5 页。考试 时间 120 分钟,满分 150 分。 注意事项: 1、答题前,考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名,考生要认真核对答题

卡 上粘贴的条形码的“准考证号,姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2、第 I 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其他答案标号,第 II 卷用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上作答, 答案无效。 3、考试结束,考生必须将试题卷和答题卡一并交回。

第 I 卷(选择题
且只有一个项是符合题目要求的.

共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,有 1. 已知复数 Z ? ?1 ? i ( i 为虚数单位),则复数 Z 的共轭复数为( A. 1 ? i B. 1 ? i C. ? 1 ? i 2.已知离散型随机变量 ? 的分布列如下表所示: ) . D. ?1 ? i

?
P
则表中

0 0.4

1

2 0.3

p

p 值等于(

) B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 ) .

A. 0.1

3. 观察下列关于变量 x 和 y 的三个散点图,它们从左到右的对应关系依次是(

A.正相关、负相关、不相关 C.负相关、正相关、不相关

B.正相关、不相关、负相关 D.负相关、不相关、正相关

4. 已知函数 f ( x) 的导函数 f ?( x) 的图像如右图所示,那么 函数 f ( x) 的图像最有可能的是(
[来源:学科网 ZXXK]

y

) .
y O -1 1 2 y x

y

y

[来源:学|科|网]

-2 O -2 O 1

2 x -2 O

1 2 x A)试题 数学(理科

-2

1 O 1 页 2 共 x9 页 第

-2 O 1 2 x

A

B

C

D

5.在一项科学实验中,要先后实施 5 个程序,程序 A 和 B 在实施时必须相邻,问实验顺序的编排方法共 有( )种. A.24 种 6.二项式 B.48 种
11

C.60 种 ) .

D.120 种

? x ? 2?

展开式中,二项式系数最大的项是( B.第 5、6 项 C.第 6 项

A.第 5 项

D.第 6、7 项

7.利用数学归纳法证明不等式 1 ?

1 1 1 ? ??? n ? n ( n ? 2, n ? N )的过程中,由假设 n ? k 时结 2 3 2 ?1
) .
k ?1

论成立推导 n ? k ? 1 时结论成立,不等式左边增加了( A.1 项 B. k 项 C. 2



D. 2 项 y

k

8.如图,圆 O : x2 ? y 2 ? ?2 内的正弦曲线 y ? sin x 与 x 轴 围成的区域记为 M (图中阴影部分) ,随机往圆 O 内 投一个点 A ,则点 A 落在区域 M 内的概率是( A. ) . D.

??
2 ?3

O

?

x

4 ?2

B.

4 ?3

C.

2 ?2

(第 8 题图) 9. 观察下列各式:则 72 ? 49,73 ? 343,74 ? 2401, ,?,则 72014 的末两位数字为( A.01 10. 已知 f ? x ? ? B.43 C.07 D.49 ) . )

ln x ? ln x , f ? x ? 在 x ? x0 处取得最大值,以下各式正确的序号为( 1? x 1 1 ① x0 ? ;② x0 ? ;③ f ? x0 ? ? x0 ;④ f ? x0 ? ? x0 ;⑤ f ? x0 ? ? x0 . 2 2
A.①③ B.①④ C.②④ D.②⑤

第 II 卷(非选择题

共 100 分)

注意事项:用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上作答,答案无效. 二、填空题 :本大题共 5 小题, 每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置.
2 11. 在对我市高中学生某项身体素质的测试中,测试结果 ? 服从正态分布 N (1, ? ) (? ? 0) ,若 ? 在(0,

2)内取值的概率为 0.8,则 ? 在(0,1)内取值的概率为 12. 计算



13. 若函数 f ? x ? ? x ? ax ? 3x ?1 有极值,则实数 a 的取值范围是
3 2

?

2

0

4 ? x 2 dx ?

. .

14. 将 2 名教师,4 名学生分成 2 个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成,不同的安排方案共有 种 (用数字作答).
数学(理科 A)试题 第 2 页 共 9 页

1 15. 如图,在杨辉三角中,斜线 l 的上方从 1 按箭头方向可以 构成一个“锯齿形”的数列 {an } : 1,3,3, 4,6,5,10, ?, 记其前 n 项和为 Sn ,则 S41 的值为 . 1 1 5 1 1 4 3 1 2 3 1 1 1

6 4 1 10 10 5 1

(第 15 题图) 三、解答题 :本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 13 分) 已知复数 Z1 ? a ? i, Z2 ? 1 ? bi (a, b ? R) , i 为虚数单位.

Z2 ; Z1 (Ⅱ)若 Z1 ? Z 2 为纯虚数, Z1 ? Z 2 为实数,求 a , b .
(Ⅰ)若 a ? 1, b ? 2 ,求

17.(本题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

1 . x

(Ⅰ)写出函数 f ( x ) 的导函数,并用定义证明; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 图象在点 P 1, f ?1? 处的切线方程.

?

?

18.(本题满分 13 分) 已知 f ( x) ? ?1 ? mx ??1 ? x ? ? a0 ? a1 x ? a 2 x ?
n 2

+an ?1 x n ?1 ? m ? R, n ? N ? ? ,

其中 a1 ? a2 ? ?3 . (Ⅰ)求 m , n 的值; (Ⅱ)求 f ( x ) 展开式中所有含 x 的奇次幂的项的系数和.

数学(理科 A)试题

第 3 页

共 9 页

19.(本题满分 13 分) 2014 年,世界羽联汤姆斯杯在印度首都新德里进行,决赛的比赛规则是:五场三胜制,第一、三、五 场安排单打,第二、四场安排双打,每场比赛无平局.甲队在决赛中遇到乙队,已知每场单打比赛甲队赢 的概率都为

2 1 ,每场双打比赛甲队赢的概率都为 . 3 2 (Ⅰ)求甲队最终以 3 :1 获胜的概率;
(Ⅱ)求乙队获胜的概率.

20.(本题满分 14 分) 为了解甲、乙两厂产品的质量,从两厂生产的产品中分别随机抽取各 10 件样品,测量产品中某种元素 的含量(单位:毫克).如图是测量数据的茎叶图: 甲 厂 8 8 6 2 5 1 4 1 2 0 0 1 2 0 0 3 1 3 3 5 5 8 9 乙 厂

规定:当产品中的此种元素含量不小于 16 毫克时,该产品为优等品. (Ⅰ)试用上述样本数据估计甲、乙两厂生产的优等品率; (Ⅱ)从乙厂抽出的上述 10 件样品中,随机抽取 3 件,求抽到的 3 件样品中优等品数 X 的分布列及其数学 期望 E ? X ? ; (Ⅲ) 从甲厂的 10 件样品中有放回地逐个随机抽取 3 件, 也从乙厂的 10 件样品中有放回地逐个随机抽取 3 件,求抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多 2 件的概率.

21.(本题满分 14 分)

数学(理科 A)试题

第 4 页

共 9 页

已知函数 f ( x) ?

a ? lnx ? a ? R ? . x

(Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) ? 2 x 的极值; (Ⅲ)若 f ( x) ? x2 在 x ? ?1, ?? ? 时恒成立,求实数 a 的取值范围.

数学(理科 A)试题

第 5 页

共 9 页

宁德市 2013—2014 学年度第二学期高二期末质量检测

数学(理科 A 卷)试题参考答案及评分标准
一、选择题:本题考查基础知识和基本运算。本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 1.D 2.C 3.B 12. ? 4.A 5.B 6.D 7.D 8.B 9.D 10.B

二、填空题 :本题考查基础知识和基本运算。本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分。 11.0.4 13. ? ??, ?3?

?3, ?? ?

14.12

15. 2021

三、解答题:本大题 共 6 小题,共 80 分。 16. 本题主要考查复数的基本概念、几何意义以及四则运算等基础知识,考查运算求解能力及方程思想。 满分 13 分。 解:(Ⅰ) 若 a ? 1, b ? 2 , 则 Z1 ? 1 ? i, Z2 ? 1 ? 2i ??????????????????????1 分

?

(Ⅱ) Z1 ? Z2 ? ? a ?1? + ?b ?1? i ,

Z2 1 ? 2i ?1 ? 2i ??1 ? i ? 3 ? i 3 1 ? ? ? ? ? i ??????????????6 分 Z1 1 ? i 2 2 2 2

Z1 ? Z2 ? ? a ?1? + ?1? b? i ?????????????????????8 分
Z1 ? Z 2 为纯虚数, Z1 ? Z 2 为实数,
?a ? 1 ? 0 ? ? ? b +1 ? 0 , ?1 ? b ? 0 ? ?a ? ?1 ?? .?????????????????????13 分 ? b ?1

注: b+1 ? 0 未写出扣 1 分. 17. 本题主要考查导数的定义、导数的几何意义以及曲线的切线等基础知识。考查运算化简能力、推理论 证能力和极限思想。满分 13 分。 解:(Ⅰ) ( )? ? ?

1 x

1 ,??????????????????????????1 分 x2

1 1 x ??x ? d? ? x?x ? d ? f ( x ? d ) ? f ( x) x ? d x ?1 ,????????5 分 ? ? ? d d d x?x ? d ? 1 让 d 趋于 0 ,上式趋于 ? 2 . ????????????????????7 分 x (Ⅱ) f ?1? ? 1,故 P ?1,1? . ??????????????????????8 分
由(Ⅰ)可知,曲线 f ( x ) 在点 P 处的切线斜率为 k ? f ? ?1? ? ?1 , ??????10 分 所以所求切线方程为

用定义证明如下:

y ?1 ? ? ? x ?1?

????????????????12 分

即 x ? y ? 2 ? 0 .??????????????????????????13 分 18. 本题主要考查二项式定理、赋值法等基础知识,考查观察能力、运算求解能力、推理能力和函数与方 程思想。满分 13 分。 解: (Ⅰ)根据二项式定理可得,
数学(理科 A)试题 第 6 页 共 9 页

1 1 ? a1 ? ?Cn ? m ? m ? n , a2 ? Cn2 ? mCn

1 n ? n ? 1? ? mn 2

m ? n ? ?3 ? ? 依题设,有 ? 1 ??????????????????4 分 n ? n ? 1? ? mn ? ?3 ? ?2
解之得 ?

?m ? 3 .???????????????????????????6 分 ?n ? 6
f ( x) ? ?1 ? 3 x ??1 ? x ? ? a0 ? a1 x ? a 2 x 2 ?
6

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知

+a7 x 7

???7 分

? f (1) ? a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 +a7 ? 0 , f (?1) ? a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? ?128 ,????????? 11 分
所以 a1 ? a3 ? a5 ? a7 ?

f ?1? ? f ? ?1? ? 64 .????????????? 13 分 2

19. 本题主要考查相互独立事件、互斥事件、对立事件等概率知识。考查运算求解能力、分析问题解决问 题能力、化归思想以及应用意识, 考查必然与或然思想等。满分 13 分。 解: (Ⅰ)记“甲队最终以 3 :1 获胜”为事件 A. ???????????????1 分 甲队以 3 :1 获胜,则甲队须第四场赢,且前三场比赛中有两场赢.因为各场比赛相互独立,所以

?? 2 ? 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? 1? 1 2 1 P(A) ? ?? ? ? ?1 ? ? ? C2 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? 3 ? 3 ? 2? ?? 3 ? ? 2 ? ? 2 9 ?
所以甲队最终以 3 :1 获胜的概率为

2 .????????????????????5 分 9

(Ⅱ)记“乙队胜”为事件 B,则事件 B 表示 “甲队获胜” . “甲队获胜”包含:以 3 : 0 获胜,以 3 :1 获胜,以 3 : 2 获胜.?????????6 分 其中,甲队以 3 : 0 获胜的概率为 甲队 3 : 2 获胜的概率为

1 ?2? ? ? ? ? 2 ?3?

2

2 ?????????????8 分 9

?? 2 ?2 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2? 1 ? 2 1 1 2 ? 2 ? 1 ? 1 ? ? 2 13 ?? ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? C2C2 ? ? ?1 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? 3 ? 3 ? 2 ? 2 ?? ?? 3 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 2 ? ? 3 54 ?
?????????????????????????11 分

?P B ?

2 2 13 37 17 ? ? = ,? P ? B ? =1 ? P B = 9 9 54 54 54 17 所以乙队胜的概率为 .?????????????????????????13 分 54
注:若第(Ⅱ)题直接求乙队胜概率,则可如下给分: “ 3 : 0 获胜”得 1 分, “ 3 :1 获胜” 得 2 分, “3: 2 获胜” 得 3 分, “求和”得 1 分。
数学(理科 A)试题 第 7 页 共 9 页

? ?

? ?

20. 本题主要考查排列组合、茎叶图、随机变量分布列、数学期望等基础知识,考查数据处理能力、运算 求解能力以及应用意识,考查必然与或然思想等.满分 14 分。

6 3 ? .????????1 分 10 5 5 1 ? .??????????2 分 乙厂抽取的样本中有优等品 5 件,优等品率为 10 2 (Ⅱ) X 的取值为 0,1,2,3. ????????????????????3 分
解: (Ⅰ)甲厂抽取的样本中有优等品 6 件,优等品率为

P( X ? 0) ?

0 3 1 2 1 3 0 C5 C5 1 C5 C5 C52C5 C5 C5 5 5 1 ? , P ( X ? 1) ? ? P ( X ? 2) ? ? , P ( X ? 3) ? ? 3 3 3 3 C10 12 C10 12 C10 12 C10 12

X 的分布列为: X
P 0 1 2 3

1 12

5 12

5 12

1 12

????????????????????????????7 分

1 5 5 1 3 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? ?????????8 分 12 12 12 12 2 (Ⅲ) 抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多 2 件包括 2 个事件,即 A =“抽取的优等品书甲厂 2 件,乙厂 0 件” ,
X 的数学期望为: E ? X ? ? 0 ?
B =“抽取的优等品书甲厂 3 件,乙厂 1 件” ?????????9 分

27 ? 3? ? 2? 0 ? 1? ? 1? P(A) ? C32 ? ? ? ? ? C3 ? ? ?? ? ? ?5? ? 5? ? 2 ? ? 2 ? 500 81 ? 3? ?1? 1?1? P(A) ? C ? ? ? C3 ? ? ?? ? ? ?5? ? 2 ? ? 2 ? 1000
3 3 3 1 2

2

0

3

??????????????11 分

??????????????13 分

抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多 2 件的概率为

P (A) ? P ( B ) ?

27 200

????????????????????????14 分

21. 本题主要考查函数与导数等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查分类与整合思想、数 形结合思想、函数与方程思想及化归思想等。满分 14 分。 (0, +?) 解:(I)函数 f ( x ) 的定义域为 ,

a 1 x?a ? ? 2 , ??????????????????????? 1 分 x2 x x ① 当 a ? 0 时, x ? ? , ? f ?( x) ? 0 恒成立, (0, +?) 所以函数 f ( x ) 在区间 上单调递增。 ② 当 a ? 0 时, x ? 0 ,? 令 f ?( x) ? 0 ? x ? a ;令 f ?( x) ? 0 ? x ? a . (0,a) (a,+?) ? f ( x) 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增. ???????? 3 分 f ?( x) ? ?
综上所述: 当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在区间 上单调递增; (0, +?)

(0,a) (a,+?) 当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增. ?????????????????????? 4 分
数学(理科 A)试题 第 8 页 共 9 页

(Ⅱ)令 g ( x) ? f ( x) ? 2 x ,当 a ? 1 时, g ( x) ?

1 1 2 x2 ? x ?1 g ?( x) ? ? 2 ? ? 2 ? ? , ????????????? 5 分 x x x2 x2 1 令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? ,或x = ? 1(舍去) , 2 1 1 当 0 ? x ? 时, g ?( x) ? 0 ;当 x ? 时, g ?( x) ? 0 . ????????????? 7 分 2 2 1 1 所以,当 x ? 时, g ( x) 取极小值为 g ( )=3 ? ln 2 , g ( x) 无极大值.?????? 8 分 2 2 a 2 2 (Ⅲ) f ( x) ? x ? x ? ? ln x ? 0 , x

1 ? ln x ? 2 x , x ? 0 . x ? 2 x ? 1?? x ? 1?

x ? ?1, ?? ? ,? a ? x3 ? x ln x . ??????????????????????9 分
令 h( x) ? x3 ? x ln x ,则 k ? x ? ? h?( x) ? 3x ? ln x ?1 ,
2

k? ? x? ? 6x ?

1 6 x2 ?1 ? , x x

x ??1, ??? 时, k?( x) ? 0 ,
? ? ? k ( x) 在区间 ?1,+? ? 上单调递增,? k ( x) ? k (1) ? 2 ,???????????12 分 ? ? ? ? ? h?( x) ? 0 ,? h( x) ? x3 ? x ln x 在 ?1,+? ? 上单调递增, ? ?

x ??1, ??? ,? h( x) ? h(1) ? 1 ,
所以? a ? 1 . ????????????????????????????14 分

数学(理科 A)试题

第 9 页

共 9 页


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