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2008年全国高中数学联赛江西省预赛试题(含详细答案)


2008 年全国高中数学联赛江西省预赛试题
一、选择题(每小题 6 分,共 36 分)
1 、若函数 f ? x ? ? lg ax 2 ? 4 x ? a ? 3 的值域为 R ,则实数 a 的取值范围是(
A 、 ? 4, ??? ; B 、 ? 0, 4? ; C 、 ? 0, 4? ; D 、 ? ??, ?1?

?

r />
?

).

? 4, ??? .

2 、设 a 2 ? b2 ? 1 ,? b ? 0 ? ,若直线 ax ? by ? 2 和椭圆

a x2 y 2 ? ? 1 有公共点,则 的取值 b 6 2

范围是(

).
C 、 ? ??, ?1?

? 1 1? A 、 ? ? , ? ; B 、 ? ?1,1? ; ? 2 2?

?1, ??? ;

D 、 ? ?2, 2? .

3 、四面体 ABCD 的 六 条 棱 长 分 别 为 7,13,18, 27,36, 41 , 且 知 AB ? 41 , 则
CD ? A 、7



. B 、 13



C 、 18



D 、 27 .

4 、若对所有实数 x ,均有 sin k x ? sin kx ? cosk x ? cos kx ? cosk 2 x ,则 k ? (
A 、6 ; B 、5 ;

).

C 、4 ;

D 、3 .

5 、设 an ? 2 ? 7

?

?

2 n ?1

, bn 是 an 的小数部分,则当 n ? N * 时, anbn 的值(

) .

A 、必为无理数; B 、必为偶数; C 、必为奇数; D 、可为无理数或有理数. 6 、设 n 为正整数,且 3n ? 1 与 5n ? 1 皆为完全平方数,对于以下两个命题:

(甲). 7 n ? 13 必为合数; (乙). 8 ?17n 2 ? 3n ? 必为两个平方数的和. 你的判断是( ) A.甲对乙错; B. 甲错乙对; 二、填空题(每小题 9 分,共 54 分)
7 、过点 P ?1,1? 作直线 l ,使得它被椭圆
l 的方程为

C.甲乙都对;

D.甲乙都不一定对.

x2 y 2 ? ? 1 所截出的弦的中点恰为 P ,则直线 9 4

.

8 、设 x ? R ,则函数 f ? x ? ? x 2 ? 1 ?

? x ?12?

2

? 16 的最小值为

.

9、 四面体 ABCD 中, 面 ABC 与面 BCD 成 60 0 的二面角, 顶点 A 在面 BCD 上的射影 H

是 ?BCD 的垂心, G 是 ?ABC 的重心,若 AH ? 4 , AB ? AC ,则 GH ?
10 、 sin 200 ? sin 400 ? sin 800 ?



.

11 、数列 ?an ? 满足: a1 ? 1 ,且对每个 n ? N * , an , an ?1 是方程 x2 ? 3nx ? bn ? 0 的两根,

则 ? bk ?
k ?1

20

. 使得 A 中 , 2008? 中取出一个 k 元子集 A , .

12 、 从前 2008 个正整数构成的集 M ? ?1, 2,

任两数之和不能被这两数之差整除,则 k 的最大值为 三、解答题:

13 、 ( 20 分) AD 是直角三角形 ABC 斜边 BC 上的高, ( AB ? AC ) , I1 , I 2 分别是

?ABD, ? ACD的内心, ?AI1I 2 的外接圆 O 分别交 AB, AC 于 E , F ,直线 EF , BC 交于

点M ; 证明: I1 , I 2 分别是 ?ODM 的内心与旁心.

14 、 ( 20 分)设 x, y, z 为非负实数,满足 xy ? yz ? zx ? 1 ,证明:

1 1 1 5 ? ? ? . x? y y?z z?x 2

15 、 ( 20 分)对于 2n 元集合 M ? ?1,2,

,2n? ,若 n 元集 A ? ?a1, a2 ,
n n

, an ? ,

B ? ?b1, b2 ,

, bn ? 满足: A B ? M , A B ? ? ,且 ? ak ? ? b k ,则称 A B 是集 M 的
k ?1 k ?1

一个“等和划分” ( A B与B 试确定集 M ? ?1,2,

A 算是同一个划分) .

. ,12? 共有多少个“等和划分”

2008 年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答
一、选择题(每小题 6 分,共 36 分)
1 、若函数 f ? x ? ? lg ax 2 ? 4 x ? a ? 3 的值域为 R ,则实数 a 的取值范围是(
A 、 ? 4, ??? ; B 、 ? 0, 4? ; C 、 ? 0, 4? ; D 、 ? ??, ?1?

?

?

).

? 4, ??? .

答案: B . 解:欲使 f ? x ? 的值域为 R ,当使真数 ax2 ? 4 x ? a ? 3 可取到一切正数,故或者 a ? 0 ; 或者 a ? 0 且 42 ? 4a ? a ? 3? ? 0 ,解得 0 ? a ? 4
2 、设 a 2 ? b2 ? 1 ,? b ? 0 ? ,若直线 ax ? by ? 2 和椭圆

a x2 y 2 ? ? 1 有公共点,则 的取值 b 6 2

范围是(

).
C 、 ? ??, ?1?

? 1 1? A 、 ? ? , ? ; B 、 ? ?1,1? ; ? 2 2?

?1, ??? ;

D 、 ? ?2, 2? .

答: C . 解:将 y ?
2 ? ax 代入椭圆方程并整理得, ? 3a 2 ? b 2 ? x 2 ? 12ax ? 12 ? 6b 2 ? 0 , b
2

因直线和椭圆有公共点,则判别式 ?12a ? ? 4 ? 3a 2 ? b 2 ??12 ? 6b 2 ? ? 0 ,利用
a 2 ? b2 ? 1 ,化简得 a 2 ? b 2 ,所以
a a ? 1 .即 ? ? ??, ?1? b b

?1, ?? ? .

3 、四面体 ABCD 的六条棱长分别为 7,13,18, 27,36, 41 ,且知 AB ? 41 ,则
CD ? . A 、 7 ; B 、 13 ; C 、 18 ; D 、 27 . 答案: B . 解:四面体中,除 CD 外,其余的棱皆与 AB 相邻接,若长 13 的棱与 AB 相邻,不妨设 BC ? 13 ,据构成三角形条件,可知 AC ??7,18, 27? , ? AC ? 36, ? BD ? 7 ,

? ? AD, CD? ? ?18,27? ,于是 ?ABD 中,两边之和小于第三边,矛盾。
因 此 只 有 CD ? 13 . 另 一 方 面 , 使 AB ? 41, CD ? 13 的 四 面 体 ABCD 可 作 出 , 例 如 取
BC ? 7, AC ? 36, BD ? 18, AD ? 27 .故选 B
4 、若对所有实数 x ,均有 sin k x ? sin kx ? cosk x ? cos kx ? cosk 2 x ,则 k ? (

).

A 、6 ; 答: D .

B 、5 ;

C 、4 ;

D 、3 .

解: 记 f ? x ? ? sink x ? sin kx ? cosk x ? cos kx ? cosk 2x , 则由条件,f ? x ? 恒为 0 , 取x? 得 sin

?
2



k? ?? k ? ? ? ?1? ,则 k 为奇数,设 k ? 2n ? 1 ,上式成为 sin ? n? ? ? ? ?1 ,因此 n 为偶 2 2? ?

数,令 n ? 2 m ,则 k ? 4m ? 1 ,故选择支中只有 k ? 3 满足题意.
5 、设 an ? 2 ? 7

?

?

2 n ?1

, bn 是 an 的小数部分,则当 n ? N * 时, anbn 的值(

) .

A 、必为无理数; B 、必为偶数; C 、必为奇数; D 、可为无理数或有理数. 答: C .

解:令 u ? 2 ? 7, v ? 2 ? 7 ,则 u ? v ? 4, uv ? ?3 , u , v 是方程 x 2 ? 4 x ? 3 的两根,
?1 ?2 则 u 2 ? 4u ? 3, v2 ? 4v ? 3 , 所 以 当 n ? 2 时 , u n ? 4 u n?1 ? 3 u n?2 , vn ? 4 vn ,令 ? 3 vn

Sn ? u n ? vn ,则当 n ? 2 时, Sn ? Sn?1 ? Sn?2 , S0 ? 2, S1 ? 4 ,故所有 Sn 为偶数,

? 7 ? 2? ? u ? v 因 0 ? ? 7 ? 2? ? 1 ,所以 ? 7 ? 2 ? a b ? ? 7 ? 2? ? ? 7 ? 2? ?3
7 ?2
2 n ?1

?

?

?

2 n ?1

2 n ?1

2 n ?1

? S2n?1 ? 2k ,

?

7 ?2

?

2 n ?1

? 2k ?

? ?

7 ?2
2 n ?1

?

2 n ?1



2 n ?1

2 n ?1

为 an 的小数部分,即 bn ?

?

7 ?2



2 n ?1

2 n ?1

2 n ?1

n n

? 奇数.

6 、设 n 为正整数,且 3n ? 1 与 5n ? 1 皆为完全平方数,对于以下两个命题:

(甲). 7 n ? 13 必为合数; (乙). 8 ?17n 2 ? 3n ? 必为两个平方数的和. 你的判断是( A.甲对乙错; 答案: C ) B. 甲错乙对; C.甲乙都对; D.甲乙都不一定对.

解:设 3n ? 1 ? a2 , 5n ?1 ? b2 , a , b 为正整数;则
7n ? 13 ? 9 ? 3n ? 1? ? 4 ? 5n ? 1? ? ? 3a ? ? ? 2b ? ? ? 3a ? 2b ?? 3a ? 2b ? ?○ 1 ,
2 2

由此知, 3a ? 2b 为正整数,且 3a ? 2b ? 1 ,因为若 3a ? 2b ? 1 ,则
27 n ? 9 ? ? 3a ? ? ? 2b ? 1? ? 4b 2 ? 4b ? 1 ,即 27 n ? 4 ? n 2 ? n ? 2 ? ,则 4 n ,记
2 2

n ? 4k ,得 5n ? 1 ? 20k ? 1 不为平方数,矛盾!所以 3a ? 2b ? 2 ,故由○ 1 得, 7 n ? 13 为合数;又因为 8 ?17n 2 ? 3n ? ? ? ?? 3n ? 1? ? ? 5n ? 1? ? ?? ? 4 ? 3n ? 1? ? ? 5n ? 1? ? ?
2 2 ? 2? 2 2 ?? ?a ? b ? ? ?? 2a ? ? b ? ? ? 2a ? b ? ? ? ab ? ,故选 C .(例如 65 是上述 n 之一). 2 2 2

二、填空题(每小题 9 分,共 54 分)
7 、过点 P ?1,1? 作直线 l ,使得它被椭圆
l 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 所截出的弦的中点恰为 P ,则直线 9 4

.

答案: 4 x ? 9 y ? 13 . 解:设直线 l 的方程为 y ? k ? x ?1? ?1 ,代入椭圆方程,整理得,

? 9k

2

? 4 ? x 2 ? 18k ?1 ? k ? x ? 9k 2 ? 18k ? 27 ? 0 ,设其两根为 x1 , x2 ,则

x1 ? x2 ? 1, 2

即?

18k ?1 ? k ? 4 4 ? 2, k ? ? ,所以直线 l 的方程为 y ? ? ? x ? 1? ? 1 ,即 4 x ? 9 y ? 13 2 9 9k ? 4 9

8 、设 x ? R ,则函数 f ? x ? ? x 2 ? 1 ?

? x ?12?
C A

2

? 16 的最小值为
P

. 再

答案: 13 . 解:如图,取 A 为数轴原点, AB ? 12 , 作 AB 垂线 AC , BD ,使
AC ? 1, BD ? 4 ,在数轴上取点 P ,使
AP ? x , 则f? x ?? C P D P ?

B

D E

, 当 C , P, D



线时, f 值最小,此时 f min ? CD ? AE ? 122 ? 52 ? 13 .
9、 四面体 ABCD 中, 面 ABC 与面 BCD 成 60 0 的二面角, 顶点 A 在面 BCD 上的射影 H

是 ?BCD 的垂心, G 是 ?ABC 的重心,若 AH ? 4 , AB ? AC ,则 GH ? . 4 21 . 答案: 9 1 解:设面 AHD 交 BC 于 F ,则因 AB ? AC ,故 G 在 AF 上,且 GF ? AF , 3
?AFH ? 600 , 于是 AF ?

AH 8 1 4 8 ? ,FH ? AF ? ,GF ? , 在三角形 GFH 0 sin 60 2 3 3 3 3
4 21 9

中,由余弦定理得 GH ?

10 、 sin 200 ? sin 400 ? sin 800 ?

.

答案:

3 . 8

解: 8sin 200 ? sin 400 ? sin 800 ? 4 ? cos 200 ? cos 600 ? sin 800
? 4sin 800 cos 200 ? 2sin 800 ? 2 ? sin1000 ? sin 600 ? ? 2sin 80 0 ? 2sin 600 ? 3 ,

所以 sin 200 ? sin 400 ? sin 800 ?

3 . 8

11 、数列 ?an ? 满足: a1 ? 1 ,且对每个 n ? N * ,an , an ?1 是方程 x2 ? 3nx ? bn ? 0 的两根,

则 ? bk ?
k ?1

20

.

答: 6385 . 解:对每个 n ? N * , an ? an?1 ? ?3n ??○ 1 , an an?1 ? bn ??○ 2 , 将○ 1 写作 an?1 ?

3 ? n ? 1? 3 3n 3 ? 3n 3 ? ? ? 因此 ?an ? ? ? 是一个公比为 ?1 的等 ? ? ? ? an ? ? ? , 2 4? 2 4 2 4? ? ?
3 ? 2n ? 1? 3n 3 n ?1 7 n ?1 7 ? ? ? ?1? ? ? ?1? ? , ,即 an ? ? 2 4 4 4 4

比数列,故 an ?
an ?1 ? ?

20 3 ? 2n ? 1? 9 29 n 21 n 7 ? ? ?1? ? ;于是 bn ? an an ?1 ? n 2 ? ? ? ?1? ? ; ? bk ? 6385 . 4 8 8 4 4 k ?1

12 、 从前 2008 个正整数构成的集 M ? ?1, 2,

使得 A 中 , 2008? 中取出一个 k 元子集 A , .

任两数之和不能被这两数之差整除,则 k 的最大值为 答案: 670 . 解:首先,我们可以取 670 元集 A ? ?1,4,7,

,2008? , A 中任两数之和不能被 3 整

除,而其差是 3 的倍数;其次,将 M 中的数自小到大按每三数一段,共分为 670 段:
1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9, , 2005, 2006, 2007, 2008,

从 A 中任取 671 个数,必有两数 x, y 取自同一段,则 x ? y ? 1 或 2 ,注意 x ? y 与
x ? y 同奇偶,于是 ? x ? y ? ? x ? y ? .因此 k 的最大值为 670 .

三、解答题:
13 、 ( 20 分) AD 是直角三角形 ABC 斜边 BC 上的高, ( AB ? AC ) , I1 , I 2 分别是

?ABD, ?ACD 的内心, ?AI1I 2 的外接圆 O 分别交 AB, AC 于 E , F ,直线 EF , BC 交于

点M ;

证明: I1 , I 2 分别是 ?ODM 的内心与旁心. 证:如图,连 DI1, DI 2 , BI1, AI 2 , I1F ,由 ?EAF ? 900 ,则圆心 O 在 EF 上,设直径
EF 交 AD 于 O? ,并简记 ?ABC 的三内角为 A, B, C ,由 ?I1 BD ?

B 1 ? ?DAC 2 2

? ?I 2 AD, ?I1DB ? 450 ? ?I 2 DA ,
DI1 DB 所 以 ?D B I ,且 ? 1 ∽ ?DAI 2 , 得 DI 2 DA

A
F O E I1 M I2

?I1DI 2 ? 900 ? ?BDA ,故 ?I1DI 2 ∽ ?BDA ,
B 而 ?DI1 I 2 ? B, ?AI1 D ? 900 ? , 2

B

D

C

注意 ?AI1D ? ?AI1F ? ?FI1I 2 ? ?DI1I 2 , ?AI1 F ? ?AEF , ?FI1I 2 ? ?FAI 2 ?

B , 2

所以 ?AEF ? 900 ? B ? C ? ?DAB ,因此 O?E ? O?A ,同理得 O?F ? O?A ,故 O? 与 O 重 合,即圆心 O 在 AD 上,而 ?EOD ? ?OEA ? ?OAE ? 2?OAE ? 2C ,

?EOI1 ? 2?EAI1 ? ?BAD ? C ,所以 OI1 平分 ?DOM ;
同理得 OI 2 平分 ?DOF ,即 I1 是 ?ODM 的内心, I 2 是 ?ODM 的旁心.
证二: 如图, 因为 ?BAC ? 90? , 故 ?AI1I 2 的外接圆圆心 O 在 EF 上, 连 OI1 , OI 2, I1D, I 2 D , 则由 I1 , I 2 为内心知,
A
F O E I1 M H I2

?I1 AI 2 ? 45? , 所以 ?I1OI 2 ? 2?I1 AI 2 ? 90? ? ?I1DI 2 ,
于是 O, I1 , D, I 2 四点共圆,所以
B

D

C

?I 2 I1O ? ?I1I 2O ? 45? ,又因 ?I 2 DO ? ?I 2 I1O ? 45? ? ?I 2 DA ,因此点 O 在 AD 上,即 O 为
EF 与 AD 的交点.设 AD 与 O 交于另一点 H ,而由 ?EAI1 ? ?I1 AH 2 ,

?HAI 2 ? ?FAI 2 ,可知, I1 , I 2 分别为 EH , HF 的中点,所以 ?EOI1 ? ?DOI1 , ?DOI 2 ? ?FOI 2 .因此,点 I1 , I 2 分别为 ?OMD 的内心与旁心.
14 、 ( 20 分)设 x, y, z 为非负实数,满足 xy ? yz ? zx ? 1 ,证明:

1 1 1 5 ? ? ? . x? y y?z z?x 2

简证:为使所证式有意义, x, y, z 三数中至多有一个为 0 ; 据对称性,不妨设 x ? y ? z ? 0 ,则 x ? 0, y ? 0, z ? 0 ,对正数 x, y 作调整, 由于
1 1 ? ? y?z z?x 2

? y ? z ?? z ? x ?

?

2 1? z2

,取等号当且仅当 x ? y ,
1 ? x2 ,于是 2x

此时条件式成为 x 2 ? 2 xz ? 1 ,则 x ? 1 ,且有 z ?

1 4x 1 1 1 1 2 ? ? , ? ? ? ? 2 2x 1 ? x2 x ? y y ? z z ? x 2x 1? z

只要证

1 4x 5 ? ? ,即 1 ? 9 x2 ? 5x ? 5x3 ? 0 ,也即 ?1 ? x ? ? 5 x2 ? 4 x ? 1? ? 0 ,此为显 2 2x 1? x 2

然,取等号当且仅当 x ? y ? 1, z ? 0 ,故命题得证. 详证:为使所证式有意义, x, y, z 三数中至多有一个为 0 ;据对称性,不妨设
x ? y ? z ? 0 ,则 x ? 0, y ? 0, z ? 0, xy ? 1;

?1 ? 、当 x ? y 时,条件式成为 x
0

2

? 2 xz ? 1 , z ?

1 ? x2 , x2 ? 1 ,而 2x

1 1 1 2 1 2 1 4x ? ? ? 2x ? ? ? ? ? , 2 x? y y?z z?x z ? x 2x 1 ? x 2x 1 ? x2 ?x 2x

只要证,

1 4x 5 ? ? ,即 1 ? 9 x2 ? 5x ? 5x3 ? 0 ,也即 ?1 ? x ? ? 5 x2 ? 4 x ? 1? ? 0 ,此为 2 2x 1? x 2

显然;取等号当且仅当 x ? y ? 1, z ? 0 .

? 2 ? 、再证,对所有满足 xy ? yz ? zx ? 1 的非负实数 x, y, z ,皆有
0

1 1 1 5 ? ? ? .显然,三数 x, y, z 中至多有一个为 0 ,据对称性, x? y y?z z?x 2
1 ,令 x ? cot A , y ? cot B , A, B 为锐角,以 仍设 x ? y ? z ? 0 ,则 x ? 0, y ? 0, z ?0, xy ?

A, B 为内角,构作 ?ABC ,则 cot C ? ? cot ? A ? B ? ?

1 ? cot A cot B 1 ? xy ? cot A ? cot B x? y

? z ? 0 ,于是 C ? 900 ,且由 x ? y ? z ? 0 知, cot A ? cot B ? cot C ? 0 ;于是

A ? B ? C ? 900 ,即 ?ABC 是一个非钝角三角形.

下面采用调整法,对于任一个以 C 为最大角的非钝角三角形 ABC ,固定最大角 A? B C , 将 ?ABC 调 整 为 以 C 为 顶 角 的 等 腰 ?A?B?C , 其 中 ?A? ? ?B? ? ,且设 2
t ? cot A? B C 1 1 1 ? t a n ,记 f ? x, y, z ? ? ,据 ?10 ? 知, ? ? 2 2 x? y y?z z?x

f ?t, t, z ? ?

5 . 2

今证明, f ? x, y, z ? ? f ?t, t, z ? .即

1 1 1 1 2 ? ? ? ? ??○ 1 . x ? y y ? z z ? x 2t t ? z

即要证

? 1 1? ? 1 1 2 ? ? ??? ? ? ? ??0 ? x ? y 2t ? ? y ? z z ? x t ? z ?

??○ 2
A? B , 2

先证 x ? y ? 2 t ??○ 3 ,即证 cot A ? cot B ? 2 cot

A? B sin ? A ? B ? 2cos 2 A? B ? sin A sin B ,也即 即 ,此即 sin 2 ? A? B 2 sin A sin B sin 2

1? cos ? A ? B? ? sin Asin B ,即 cos ? A ? B? ? 1 ,此为显然.
由于在 ?A?B?C 中, t 2 ? 2tz ? 1,则
2 ?t ? z ? 2 ?t ? z ? 2 ? ? ;而在 ?ABC 中, t ? z ? t ? z ?2 1? z2

1 1 x ? y ? 2z x ? y ? 2z ,因此○ 2 式成为 ? ? ? y ? z z ? x ? y ? z ?? z ? x ? 1? z2

? x ? y ? 2t ? ? ?
只要证,

?

? 1 1 ? ??0 2 2t ? x ? y ? ? ? 1? z ?

??○ 4 ,

1 1 ? ? 0 ??○ 5 ,即证 2t ? x ? y ? ? 1 ? z 2 ,注意○ 3 式以及 2 1 ? z 2t ? x ? y ?
2

? 1? t2 ? 1? t2 2 2 4 2 z? ,只要证 4t 2 ? 1 ? ? 6 ? ,即 15 t ? 1 ? 2t ,也即 t ?15t ? 2 ? ? 1 ?○ 2t ? 2t ?

由于最大角 C 满足: 600 ? C ? 900 ,而 t ? cot

A? B C 1 ? tan ,则 ? t ? 1 ,所以 2 2 3

1? 1 ? 6 成立,因此○ 5 得证,由○ 3 及○ 5 得○ 4 成立,从 t 2 ?15t 2 ? 2 ? ? ?15 ? ? 2 ? ? 1 ,故○ 3? 3 ?

而○ 1 成立,即 f ? x, y, z ? ? f ?t, t, z ? ,因此本题得证.
15 、 ( 20 分)对于 2n 元集合 M ? ?1,2,

,2n? ,若 n 元集 A ? ?a1, a2 ,
n n

, an ? ,

B ? ?b1, b2 ,

, bn ? 满足: A B ? M , A B ? ? ,且 ? ak ? ? b k ,则称 A B 是集 M
k ?1 k ?1

的一个“等和划分” ( A B与B 试确定集 M ? ?1,2, 个数,设 A ? ?a1, a2 ,

A 算是同一个划分) .

. ,12? 共有多少个“等和划分”

解一:不妨设 12 ? A ,由于当集 A 确定后,集 B 便唯一确定,故只须考虑集 A 的

, a6 ? , a6 为最大数,由 1 ? 2 ?

? 12 ? 78 ,则

a1 ? a2 ?

? a6 ? 39 , a6 ? 12 ,于是 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 27 ,

故 A1 ? ?a1, a2 , a3 , a4 , a5? 中有奇数个奇数.

?1? 、若 A1 中有 5 个奇数,因 M 中的六个奇数之和为 36 ,而 27 ? 36 ? 9 ,则
A1 ? ?1,3,5,7,11? ,这时得到唯一的 A ? ?1,3,5,7,11,12? ;

? 2 ? 、若 A1 中有 3 个奇数、两个偶数;用 p 表示 A1 中这两个偶数 x1 , x2 之和; q 表
示 A1 中这三个奇数 y1 , y2 , y3 之和, 则 p ? 6, q ? 9 , 于是 q ? 21, p ? 18 . 共得 A1 的 24 种 情形. 其中, ?10 ? 、当 p ? 6, q ? 21 ,则 ? x1, x2 ? ? ? 2,4? , ? y1, y2 , y3 ? ? ?1,9,11? , ?3,7,11? ,

?5,7,9? ;可搭配成 A1 的 3 个情形;

? 2 ? 、当 p ? 8, q ?19 ,则 ? x , x ? ? ? 2,6? , ? y , y , y ? ? ?1,7,11? , ?3,5,11? , ?3,7,9? ;可搭
0

1

2

1

2

3

配成 A1 的 3 个情形;

? 3 ? 、当 p ? 10, q ? 17 ,则 ? x , x ? ? ? 2,8? , ? 4,6? , ? y , y , y ? ? ?1,5,11? , ?1,7,9? ,
0

1

2

1

2

3

?3,5,9? ,可搭配成 A1 的 6 个情形;
2 , 当 p ?1 ?4 ? 、
0

q 1 5?

, 则 ? x1, x2 ? ? ? 2,10? , ? 4,8? , ? y1, y2 , y3 ? ? ?1,3,11? , ?1,5,9? , ?3,5,7? ,

可搭配成 A1 的 6 个情形;

? 5 ? 、当 p ? 14, q ?13
0

,则 ? x1, x2 ? ? ? 4,10? , ? 6,8? ,? y1, y2 , y3 ? ? ?1,3,9? , ?1,5,7 ? ,可搭配

成 A1 的 4 个情形;

? 6 ? 、当 p ? 16, q ? 11 ,则 ? x , x ? ? ? 6,10? , ? y , y , y ? ? ?1,3,7? ;
0

1

2

1

2

3

可搭配成 A1 的 1 个情形;

? 7 ? 、当 p ? 18, q ? 9 ,则 ? x , x ? ? ?8,10? , ? y , y , y ? ? ?1,3,5? ;
0

1

2

1

2

3

可搭配成 A1 的 1 个情形.

? 3? 、 若 A1 中 有 一 个 奇 数 、 四 个 偶 数 , 由 于 M

中 除 12 外 , 其 余 的 五 个 偶 数 和

2 ? 4 ? 6 ? 8 ? 10 ? 30 ,从中去掉一个偶数,补加一个奇数,使 A1 中五数之和为 27 ,分

别得到 A1 的 4 个情形: ? 7,2,4,6,8? , ?5,2,4,6,10? , ?3,2,4,8,10? , ?1,2,6,8,10? . 综合以上三步讨论,可知集 A 有 1 ? 24 ? 4 ? 29 种情形,即 M 有 29 种“等和划分” . 解二:元素交换法,显然 ? ai ? ? bi ? 39 ,恒设 12 ? A ;
i ?1 i ?1 6 6

?1 ? 、首先注意极端情况的一个分划: A ? ?1,2,3,10,11,12?, B ? ?4,5,6,7,8,9? ,显
0

0

0

然数组 ?1, 2,3? 与 ?10,11,12? 中,若有一组数全在 A 中,则另一组数必全在 A 中; 以下考虑 10,11 两数至少一个不在 A 中的情况, 为此,考虑 A0 , B0 中个数相同且和数相 等的元素交换:

? 2 ? 、 ?10,1? ? ?5,6? , ?4,7? ; ?10,2? ? ?5,7? , ? 4,8? ; ?10,3? ? ?6,7? , ?5,8? , ? 4,9? ;
0

?10, 2,3? ? ? 4,5,6? ;共得到 8 个对换;

? 3 ? 、 ?11,1? ? ?5,7? , ? 4,8? ; ?11, 2? ? ?6,7? , ?5,8? , ? 4,9? ; ?11,3? ? ?6,8? , ?5,9? ;
0

?11,1,3? ? ? 4,5,6? ; ?11, 2,3? ? ? 4,5,7? ;共得到 9 个对换;

? 4 ? 、 ?10,11,1? ? ?6,7,9? , ?5,8,9? ; ?10,11,2? ? ?6,8,9? ; ?10,11,3? ? ?7,8,9? ;
0

?10,11,1,2? ? ? 4,5,7,8? , ? 4,5,6,9? ; ?10,11,1,3? ? ? 4,6,7,8? , ? 4,5,7,9? ;

?10,11,2,3? ? ?5,6,7,8? , ? 4,6,7,9? , ?4,5,8,9? ;共得到 11 个对换.每个对换都得到一个
新的划分,因此,本题共得 1 ? 8 ? 9 ? 11 ? 29 种等和划分.


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