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2017年全国高中数学联赛(福建赛区)预赛暨2017年福建省高中数学竞赛试卷参考答案


2017 年全国高中数学联赛(福建省赛区)预赛 暨 2017 年福建省高中数学竞赛试卷参考答案
(考试时间:2017 年 5 月 21 日上午 9:00-11:30,满分 160 分) 一、填空题(共 10 小题,每小题 6 分,满分 60 分。请直接将答案写在题中的横线上) 1.已知集合 A ? ? x log2 ( x ? 1) ? 1? , B ? ? x 取值范围为 【答案】
(? 1 ,5 )
x ? a ? 2 ? ,若 A ? B ? ? ,则实数 a 的



【解答】由 log2 ( x ?1) ? 1 ,得 0 ? x ? 1 ? 2 , 1 ? x ? 3 , A ? (1, 3) 。 由 x ? a ? 2 ,得 ?2 ? x ? a ? 2 , a ? 2 ? x ? a ? 2 , B ? (a ? 2 , a ? 2) 。 若 A ? B ? ? ,则 a ? 2 ? 1 或 a ? 2 ? 3 , a ? ?1 或 a ? 5 。 ∴
A ? B ? ? 时, a 的取值范围为 (?1 , 5) 。

2 .已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且函数 y ? f ( x ? 1) 为偶函数,当 ?1 ? x ? 0 时,
9 f ( x) ? x3 ,则 f ( ) ? 2



【答案】

1 8

【解答】由函数 y ? f ( x ? 1) 为偶函数,知 f (? x ? 1) ? f ( x ? 1) 。 又 f ( x) 为奇函数, ∴ ∴
f ( x ? 2) ? f (? x) ? ? f ( x) , f ( x ? 4) ? ? f ( x ? 2) ? f ( x) 。
9 1 1 1 1 f ( ) ? f ( ) ? ? f ( ? ) ? ?( ? ) 3 ? 。 2 2 2 2 8

3 . 已 知

?an ?
3

为 等 比 数 列 , 且 a1a2017 ? 1 , 若
2

f ( x) ?

2 1 ? x2

, 则

f ( 1a ? )

f( a) 2 ?
2017

f L(? a ) ?

f0( 1a ?7 )



【答案】

【解答】由 f ( x) ?

1 2 2 2 2 x2 2 f ( x ) ? f ( ) ? ? ? ? ? 2。 知, 1 ? x2 x 1 ? x 2 1 ? ( 1 )2 1 ? x 2 x 2 ? 1 x

∵ ∴ ∴ ∴

?an ? 为等比数列,且 a1a2017 ? 1 ,
a1 a2 0 1? a a 3? L2 0 1? a 7 a a 2 2? 016 5 f(a ) ? 1 )? f ( a 2017 f ( a2? ) f(a ?) 201 6
。 1 a ? 2017
1

f(a ?3)

f(a L )5 ? 2? 01

。 f(a? (? a)1 2 2 0)1 7 f

2? f (a ? f (2 a? ) 1 )

f ( L ) 3a ?

?

f 2(a 0? 17 )

? ? f (a1 ) ? f (a2017 )? ? ? f (a2 ) ? f (a2016 )? ? ? f (a3 ) ? f (a2015 )? ? L ? ? f (a2017 ) ? f (a1 )?
1

? 2 ? 2017 。



f(a ? 1 )? f ( a 2 )

f (3a ? L )

?

f( ) 2a 0 1 7?


。 2 017

4.将 8 个三好生名额分配给甲、乙、丙、丁 4 个班级,每班至少 1 个名额,则甲班恰好 分到 2 个名额的概率为 【答案】
2 7

【解答】将 8 个三好生名额分配给甲、乙、丙、丁 4 个班级,每班至少 1 个名额的不同
3 分配方案有 C7 (用隔板法:将 8 个名额排成一排,在它们形成的 7 个空挡中插入 3 ? 35 种。

块隔板,则每种插入隔板的方式对应一种名额分配方式,反之亦然。 )
2 其中,甲班恰好分到 2 个名额的分配方案有 C5 (相当于将 6 个名额分配个 3 个 ? 10 种。

班级,每班至少 1 个名额。 ) 所以,所求的概率为
10 2 ? 。 35 7

5.三棱锥 P ? ABC 中, △ABC 是边长为 2 3 的等边三角形, PB ? PC ? 5 ,且二面角
P ? BC ? A 的大小为 45 ? ,则三棱锥 P ? ABC 的外接球的表面积为



【答案】

25?

【解答】如图,取 BC 中点 D ,连 AD , PD 。 由 △ABC 是边长为 2 3 的等边三角形, PB ? PC ? 5 知,
AD ? BC , PD ? BC , PD ? 2 。



?P D 为 A 二 面 角 P ? BC ? A 的 平 面 角 ,

P

?PDA ? 45? , BC ? 面 PAD , 面 PAD ? 面 ABC 。

作 PO1 ? AD 于 O1 ,则 PO1 ? 面 ABC 。 ∴

PO1 ? O1D ? 1, O1 A ? 2 , O1 为 △ABC 的外心,三

A O1 B D

C

棱锥 P ? ABC 为正三棱锥。 设三棱锥 P ? ABC 外接球的球心为 O ,半径为 R 。 则 O 在直线 PO1 上,且 PO1 ? PO ∴
2 2 R? ( R ? 12) ? 2 ?R ,
2

? O1 A2 ? OA2 。

5 ,三棱锥 P ? ABC 的外接 2

O

球的表面积为 4? R 2 ? 25? 。 6.已知 P 为双曲线 C :
x2 y 2 ? ? 1 上一点, F1 、 F2 为双曲线 C 的左、右焦点, M 、 I 分 4 12

别为 △PF1F2 的重心、内心,若 M I ? x 轴,则 △PF1F2 内切圆的半径为 【答案】



6
2

【解答】如图,不妨设点 P 在第一象限, D 、 E 、 F 分别为 ⊙ I 与 △PF1F2 三边相切的切 点。 则由切线长定理以及双曲线定义,得

2a ? PF1 ? PF2 ? ( PF ? FF1 ) ? ( PE ? EF2 ) ? FF1 ? EF2 ? F1D ? F2 D
? ( xD ? c) ? (c ? xD ) ? 2xD


xD ? a ? 2 , xM ? xI ? xD ? 2 。

设 P( x0 , y0 ) , 由 M 为 △PF1F2 重 心 , 知

x0 ? 3xM ? 6 , y0 ? 4 6 。

PF1 ? (6 ? 4)2 ? (4 6 ? 0) 2 ? 14 ,

PF2 ? (6 ? 4)2 ? (4 6 ? 0)2 ? 10 。

设 △PF1F2 内切圆半径为 r ,则
S△PF1F2 ? 1 ( PF1 ? PF2 ? F1F2 ) ? r ? 16r 。 2

另一方面,
1 1 S△PF1F2 ? ? F1 F2 ? y0 ? ? 8 ? 4 6 ? 16 6 。 2 2



16r ? 16 6 , r ? 6 。
A 2 ( c o s? n ) i s 2 ? C A , 2

B、 C 所对的边分别是 a 、 b、 i s c o sC 7. 在 △ABC 中, 内角 A 、 且n c,

cos A ?

3 , a ? 4 ,则 △ABC 的面积为 5
6



【答案】

【解答】由 sin C cos ∴ ∴ ∴
sin C ( ?1

A A A A A ? (2 ? cos C ) sin ,知 2sin C cos 2 ? 2(2 ? cos C ) sin cos 。 2 2 2 2 2
cA o?s C cos A ? sin A2 sC i n? sin(C ? A) ? 2sin A 。 sin ,

cA o s? ) ? ( 2 C c o s , A )sin s iC n? sin C cos A ? 2sin A ? cos C sin A 。
2s A i n c ? b ? 2a 。 ,即

sin C ? s iC n
sin C ? s iB n ?

又 cos A ? ∴

3 ,a ? 4。 5

3 42 ? b 2 ? c 2 ?2 b cc o s,即 A 42 ? b 2 ? (8 ? b) 2 ? 2b(8 ? b) ? ,解得 b ? 3 或 b ? 5 。 5

3



? b?3 ? b?5 ,或 ? 。 ? ? c?5 ? c?3
△ABC 的面积 S ?



1 1 4 bc sin A ? ? 3 ? 5 ? ? 6 。 2 2 5

8.若关于 x 的方程 x 2 ? ax ? b ? 3 ? 0 ( a , b ? R )在区间 ?1, 2? 上有实根,则 a2 ? (b ? 4)2 的最小值为 【答案】 ∴ ∵ ∴ ∴
2
2 2 2 2 2 ?a ? (x ? 1) ?2 a x (2 x ? 1 ) ?a x



【解答】由 x 2 ? ax ? b ? 3 ? 0 知, b ? ? x 2 ? ax ? 3 。
2 2 a2 ? ( b ? 4 ) ? a2 ? ( ? x2 ?a x ? 1)

? ( x2 ? 1)( x2 ? 1 ? 2ax ? a2 ) ? ( x2 ?1)( x ? a)2 ? x2 ? 1 。

x ??1, 2? ,
2 a2 ? ( b ? 4 ) ? x2 ? 1 ?,当 2 x ? 1 , a ? ?1 , b ? 3 时,等号成立。

a2 ? (b ? 4)2 的最小值为 2。

11

9.函数 f ( x) ? 2x ? 7 ? 12 ? x ? 44 ? x 的最大值为 【答案】 【解答】由柯西不等式知,

( 2 x ? 7 ? 12 ? x ? 44 ? x ) 2 ? ( 3 ?
? (3 ? 2 ? 6)(

2x ? 7 12 ? x 44 ? x 2 ? 2? ? 6? ) 3 2 6

2 x ? 7 12 ? x 44 ? x ? ? ) ? 112 。 3 2 6 9 4 36 6 ? ? ,即 , x ? 8 时等号成立。 2 x ? 7 12 ? x 44 ? x 44 ? x 6

当且仅当

3 2 ? ? 2x ? 7 12 ? x 3 2



f ( x) 的最大值为 11。

10. A 、 B 、C 为圆 O 上不同的三点,且 ?AOB ? 120? ,点 C 在劣弧 ? AB 内(点 C 与 A 、 B uuu r uur uu u r 不重合) ,若 OC ? ? OA ? ? OB ( ? , ? ? R ) ,则 ? ? ? 的取值范围为 。 【答案】

2? ?1,

【解答】如图,连结 OC 交 AB 于点 D 。 uuu r uuu r uuu r uur uu u r 设 OD ? mOC ,则由 OC ? ? OA ? ? OB ,得 uuu r uur uu u r OD ? m? OA ? m? OB 。 ∵ ∴
A 、 D 、 B 三点共线,

C A E O D B

m? ? m? ? 1, ? ? ? ?

1 。 m

不妨设圆的半径为 1,作 OE ? AB 于 E ,由 ?AOB ? 120? ,知
4

OE ?

1 。 2 O D? O E ? 1 ,且点 C 在劣弧 ? , AB 内(点 C 与 A 、 B 不重合) 2

∵ ∴ ∴

1 ? m ? 1 。于是, 1 ? ? ? ? ? 2 。 2

? ? ? 的取值范围为 ?1, 2? 。

另解:如图,以 O 为原点,线段 AB 的垂直平分线所在直线为 y 轴建立直角坐标系。 不妨设圆 O 半径为 2,则由 ?AOB ? 120? ,知 A(? 3 , 1) , B( 3 , 1) 。 设 C (2cos ? , 2sin ? ) 。 uuu r uur uu u r 则由 OC ? ? OA ? ? OB ,得

(2cos ? , 2sin ? ) ? ?(? 3 , 1) ? ?( 3 , 1) 。


? ? ?? 2 s i n? 。
30 ? ?? ? 1 5 0 ? 。

∵ 点 C 在劣弧 ? , AB 内(点 C 与 A 、 B 不重合) ∴ ∴ ∴
1 ?sin ?? , 1 ? ? ? ? 2sin ? ? ?1, 2? 。 2

? ? ? 的取值范围为 ?1, 2? 。

5

二、解答题(共 5 小题,每小题 20 分,满分 100 分。要求写出解题过程) 11.若数列 ?an ? 中的相邻两项 an 、 an ? 1 是关于 x 的方程 x2 ? nx ? cn ? 0 ( n ? 1,2,3,…) 的两个实根,且 a1 ? 1 。 (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ? c 2 n ? 1 ,求数列 ?bn ? 的通项公式及 ?bn ? 的前 n 项的和 Tn 。 (必要时,可以利用: 12 ? 22 ? 32 ? L ? n 2 ?
n(n ? 1)(2n ? 1) ) 6

【解答】 (1)依题意,由韦达定理,得 an ? an ? 1 ? n , cn ? anan ? 1 。 ∴ ∴

(an ? 1 ? an ? 2 ) ? (an ? an ? 1 ) ? (n ?1) ? n ? 1 ,即 an ? 2 ? an ? 1。 ……………… 5 分
a1 , a3 , a5 ,…;和 a2 , a4 , a6 ,…,都是公差为 1 的等差数列。

又 a1 ? 1 , a2 ? 1 ? a1 ? 0 。 ∴ 对 ?k ? N * , a2 k ? 1 ? k , a2k ? k ?1。
? n ?1 , n为奇数 ? ? 2 即 an ? ? 。 ? n ? 2 , n为偶数 ? ? 2

……………………… 10 分

(2)由(1)知, bn ? c 2 n ? 1 ? a 2 n ? 1 ? a 2 n ?

2n ? 1 ? 1 2n ? 2 ? ? n(n ? 1) ? n 2 ? n 。 2 2

……………………………… 15 分 ∴
Tn ? (12 ? 22 ? 32 ? L ? n 2 ) ? (1 ? 2 ? 3 ? L ? n) ? ? n(n ? 1)(n ? 1) 。 3 n(n ? 1)(2n ? 1) n(n ? 1) ? 6 2

……………………………… 20 分

6

12.已知椭圆 C :

x2 y 2 2 。过点 P 作两 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )过点 P(?2 , 1) ,且离心率为 2 a b 2

条互相垂直的直线分别交椭圆于 A 、 B 两点( A 、 B 与点 P 不重合) 。求证:直线 AB 过定点, 并求该定点的坐标。 【解答】依题意,有
4 1 c a 2 ? b2 2 ? ? 1 ,且 。 ? ? 2 2 a b a a 2

解得 a 2 ? 6 , b2 ? 3 。 ∴ 椭圆 C 的方程为
x2 y 2 ? ? 1。 6 3

…………………………… 5 分

易知直线 AB 斜率存在,设 AB 方程为 y ? kx ? m 。

? y ? kx ? m ? 由 ? x2 y 2 ,得 ? ?1 ? 3 ? 6

(2k 2 ? 1) x2 ? 4mkx ? 2m2 ? 6 ? 0 ……… ①
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 则 x1 ? x2 ? ?
4mk 2m 2 ? 6 x x ? , 。 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

… ………………………… 10 分 uu r uur 由 PA ? PB 知, PA ? PB ? 0 。 ∴

( x1 ? 2 ) x (2 ? 2? ) y1( ?

1 y2 ) (?

? 1x )1 ? (

x22 ? )(

, ? 1) ?k2 x ( ? k2x 1? )( m? 1 ) ?m

0

即 (k 2 ?1) x1x2 ? (km ? k ? 2)( x1 ? x2 ) ? m2 ? 2m ? 5 ? 0 。 ∴ ∴ ∴
2m 2 ? 6 4mk (k ? 1) ? 2 ? (km ? k ? 2) ? (? 2 ) ? m2 ? 2m ? 5 ? 0 。 2k ? 1 2k ? 1
2

3m2 ? 8mk ? 4k 2 ? 2m ?1 ? 0 。
(3 m? 2 k ? 1 )m (? k 2? 1 ?) 。 0

…………………………… 15 分

1) ,知 m ? 2k ? 1 ? 0 。 由直线 AB 不过点 P(?2 ,



3m ? 2 k? 1 ? , 0 m?

2 1 2 1 k ? ,直线 AB 方程化为 y ? kx ? k ? 。 3 3 3 3

2 1 ? )。 ∴ 直线 AB 过定点 D ( ? , 3 3

…………………………… 20 分

7

13.如图, PA 、 PBC 分别是圆 O 的切线和割线,其中 A 为切点, M 为切线 PA 的中点, 弦 AD 、 BC 相交于点 E ,弦 AB 延长线上的点 F ,满足 ?FBD ? ?FED 。 求证: P 、 F 、 D 三点共线的充分必要条件是 M 、 B 、 D 三点共线。 【 解 答 一 】 由 PA 为 圆 O 的 切 线 知 ,
?PAD ? ?ABD ? 180? 。

A M P B F D E C

又 ?FBD ? ?ABD ? 180? , ∴ ∴
?P A D? ? F B D ? ? F。 ED EF ∥ AP 。

………………… 5 分

(1)若 M 、 B 、 D 三点共线。 设直线 AB , DP 交于点 F1 。

(第 13 题)
A M P F F1 B E C

AM PF1 DE 则由塞瓦定理知, ? ? ? 1。 MP F1D EA
…………………………… 10 分 ∵ ∴
AM ? MP ,

PF1 AE , EF1∥AP 。 ? F1D ED

D

又点 F 、 F1 均在直线 AB 上,因此 F 、 F1 重合。 ∴
P 、 F 、 D 三点共线。

……………………………… 15 分

(2)若 P 、 F 、 D 三点共线。 设直线 DB 、 AP 相交于点 M 1 。 则由塞瓦定理知,

AM1 PF DE ? ? ?1。 M1P FD EA
P

A M M1 B F D E C

∵ ∴

EF∥AP ,

PF AE ? , FD ED

AM 1 ? 1 , AM1 ? M1P , M 1 为 PA 的中点 M1P

M 、 M 1 重合。



M 、 B 、 D 三点共线。

由(1) 、 (2)可得, P 、 F 、 D 三点共线的充分必要条件是 M 、 B 、 D 三点共线。 ………………………………………………… 20 分

8

【解答二】由 ?FBD ? ?FED 知, B 、 F 、 D 、
E 四点共圆。

A M P B F D E C

∴ ∴ ∴

?A F E? ? B D。 E ?A F E ? ? B D E ? ? P。 AF EF ∥ AP 。………………… 5 分

由 PA 为圆 O 的切线知, ?BDE ? ?PAF 。

(1)若 M 、 B 、 D 三点共线。 连结 BM 、 DP 、 DF 。 由 M 为切线 PA 的中点知,
MP MB ? MP ? MA ? MB ? MD ,即 。 MD MP
2 2

A M P B F E C

………………… 10 分 ∴ ∴
△M P B ∽△ M D P 。
?M D P ? ? M P B ? ? A。 PB

D

又由 B 、 F 、 D 、 E 四点共圆以及 EF∥AP 知,
?MDF ? ?BDF ? ?BEF ? ?APB 。

∴ ∴

?M D F ? ? M D P 。 P 、 F 、 D 三点共线。

………………… 15 分

(2)若 P 、 F 、 D 三点共线。 设直线 DB 、 AP 相交于点 M 1 ,则 ?PDM1 ? ?FDB ? ?FEB ? ?M1PB 。 又 ?PM1B ? ?DM1P , ∴ ∴ ∴

△M1PB ∽△M1DP 。
2 M1 P ? M ? M D 1 B 1 。

A M 1M P B F D E C

又 M1 A2 ? M1B ? M1D ,

M1P ? M1 A , M1P ? M1 A 。
2 2

因此, M 1 为 PA 的中点, M 、 M 1 重合。 ∴
M 、 B 、 D 三点共线。

由(1) 、 (2)可得, P 、 F 、 D 三点共线的充分必要条件是 M 、 B 、 D 三点共线。 ………………………………… 20 分

9

14.已知 a ? 0 , f ( x) ? ln(2 x ? 1) ? 2ax ? 4aex ? 4 。 (1)当 a ? 1 时,求 f ( x) 的最大值; (2)判断函数 f ( x) 零点的个数,并说明理由。 【解答】 (1)当 a ? 1 时, f ( x) ? ln(2x ? 1) ? 2x ? 4ex ? 4 , f ?( x) ? ∵
1 4 x ? ? 时, f ??( x) ? ? ? 4e x ? 0 , 2 2 (2 x ? 1) 1 ? ? ) 上为减函数。 f ?( x ) 在 ( ? , 2 2 ? 2 ? 4e x 。 2x ?1



又 f ?(0) ? 2 ? 2 ? 4 ? 0 , ∴ ∴ ∴
? 1 ?x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ; x ? 0 时, f ?( x) ? 0 。 2

? 1 ? f ( x) 在区间 ? ? , 0 ? 上为增函数,在 ?0 , ? ?? 上为减函数。 ? 2 ?
a ? 1 时, f ( x) 的最大值为 f (0) ? 0 。

……………………………… 5 分

(2) f ?( x) ?

2 4 ? 2a ? 4ae x , f ??( x) ? ? ? 4ae x 2 2x ?1 (2 x ? 1)

1 当 a ? 0 ,且 x ? ? 时, f ??( x) ? 0 。 2



1 ? ? ) 上为减函数。 f ?( x ) 在 ( ? , 2 1 x ? ? 时, f ?( x) ? ?? ; x ??? 时, f ?( x) ? ?? 。 2

∵ ∴ 则 ∴

f ?( x ) 存在唯一实根,设此根为 x0 。
? 1 ? x ? x0 时, f ?( x) ? 0 ; x ? x0 时, f ?( x) ? 0 。 2

? 1 ? f ( x) 在区间 ? ? , x0 ? 上为增函数,在 ? x0 , ? ?? 上为减函数。 f ( x) 有最大值 f ( x0 ) 。 ? 2 ?
……………………………………… 10 分

① 当 a ? 1 时,由(1)知, f ( x) 有唯一零点。 ② 当 0 ? a ? 1 时,由 f ?(0) ? 2 ? 2a ? 4a ? 2 ? 2a ? 0 知, x0 ? 0 。 ∴ 。0 f( x f ( 0? ) ? 4 a? 4 ? 0 )?

1 又 x ? ? 时, f ( x) ? ?? ; x ??? 时, f ( x) ? ?? 。 2
10



1 x0 ) , ( x0 , f ( x) 在区间 ( ? , ? ?) 内各有一个零点。 2

∴ 当 0 ? a ? 1 时, f ( x) 有两个零点。 ③ 当 a ? 1 时,由 f ?(0) ? 2 ? 2a ? 0 ,知 ? 由 f ?( x0 ) ? ∴
1 ? x0 ? 0 。 2

…………………… 15 分

2 2 ? 2a ? 4ae x0 ? 0 ,知 4ae x0 ? ? 2a 。 2 x0 ? 1 2 x0 ? 1 4x ? l0 n (?2 ax ? 10) 2 2 ? ( a ? 2 x0 ? 1 2 ) 4

f ( x0 )? l n x (0 2 ? ?1 ) ax 0 2 ? ae x0 4 ? ? ? ln(2 x0 ? 1) ? 2ax0 ?

1 2 ?0 (? ? x ? 2a ? 4 , 2 2 x0 ? 1

0) 。

设 g ( x) ? ln(2 x ? 1) ? 2ax ? ∵
?

2 ? 2a ? 4 。 2x ?1

1 2 4 ?x ? 0 时, g ?( x) ? ? 2a ? ? 0, 2 2x ?1 (2 x ? 1)2



? 1 ? g ( x) 在区间 ? ? , 0 ? 上为增函数。 ? 2 ?
? 1 ?x ? 0 时, g ( x) ? g (0) ? 2 ? 2a ? 0 。于是, f ( x0 ) ? 0 。 2

∴ ∴

a ? 1 时, f ( x) 不存在零点。

综合得,当 0 ? a ? 1 时, f ( x) 有两个零点;当 a ? 1 时, f ( x) 只有 1 个零点;当 a ? 1 时,
f ( x) 不存在零点。

…………………………… 20 分

11

15.设 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 是 5 个正实数(可以相等) 。证明:一定存在 4 个互不相同的 下标 i , j , k , l ,使得
ai ak 1 ? ? 。 a j al 2

【解答】不妨设 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ,考虑以下 5 个分数:

a a1 a a a , 3 , 1 , 2 , 4 ,……………………… ① a2 a4 a5 a3 a5
它们都属于区间 ? 0 , 1? 。 …………………………………… 5 分

? 1? ? 1 ? ? 1? ? 1 ? 把区间 ? 0 , 1? ,由抽屉原理知,区间 ? 0 , ? 或 ? , 1 中一 1? 分成两个区间: ? 0 , ? 和 ? , ? 2? ? 2 ? ? 2? ? 2 ? ?
定有一个区间至少包含①中的 3 个数(记这 3 个数依次为 a , b , c ) 。 ………………………………………… 10 分 将①中的 5 个数依次围成一个圆圈,则①中任意三个数中都有两个数是相邻的( 是相邻的) 。即 a , b , c 中至少有两个数是相邻的。 ………………………………………… 15 分 假设 a 与 b 相邻,则 a ? b ?
1 。 2

a1 a 与 4 a2 a5

另一方面,由①中 5 个分数的分子、分母的下标特征知,围成的圆圈中,任意相邻两个 分数的分子、分母的 4 个下标互不相同。 于是, a 、 b 对应的分数的分子、分母的 4 个下标符合要求。 因此,结论成立。 ………………………………… 20 分

12


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