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第8讲 分段函数


高中数学必修 1 第一章 集合与函数概念 第 8 讲 分段函数 【目标要求】 1.通过具体实例了解分段函数的概念和意义,会求分段函数的值,绘制分段函数的图象和求分 段函数的值域. 2.加深运用数形结合解题的意识 3.培养数学应用意识.

分段函数的概念 实例 从 A 地到 B 地首先经过一段路程为 5 km 的下坡路,再经过一段路程为 4 km 的上坡路,最后

经过一段路程为 10 km 的平路.某同学骑自行车从 A 地到 B 地,下坡路的骑车速度为 30 km/h,上坡 路的骑车速度 12 km/h,平路的骑车速度为 20 km/h,则该同学骑车从 A 地到 B 地的行驶时间 t(h)关 于行驶的路程 S(km)的函数关系式为 S=S(t).写出 S=S(t)的函数关系式,并画出图象.

此实例中,在函数的定义域内,对于自变量 x 的不同取值范围,函数有着不同的对应关系,这样 的函数通常叫做分段函数. 注:(1)分段函数是一个函数,而不是几个函数; (2)分段函数的定义域是各段自变量取值范围的并集,各段定义域的交集是空集; (3)分段函数的值域是各段函数在相应区间是函数取值集合的并集.

基础练 1. 已知 f(x)的图象如图所示,写出它的解析式.

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高中数学必修 1 第一章 集合与函数概念

? x 2 ? 2, x ? 2, 例 1. 设函数 f(x)= ? ?2 x, x ? 2
(1)求 f(-4),f(2),f[f(1)],f(f(f(0))),(2)若 f(a)=8,求 a; (3)求函数 f(x)的值域; (4)解不等式 f(x)≥1; (5)求 f(2x+1)的解析式.

变式练 1. 已知函数 f(x)=

(1)求 f(1-

),f(f(f(-2)))的值;(2)求 f(3x-1)的解析式;

(3)若 f(a)= ,求 a 的值; (4)求函数的值域;(5)解不等式 f(x)<

3 2

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高中数学必修 1 第一章 集合与函数概念 例 2.作出以下函数的图象 (1)y=|x|; (2)y=|x-1|+2|x-2|; (3)y=|x2-4x+3|

变式练 2.作出下列函数的图象 (1)y=|2x-1|-|x+1|; (2)y=x2-4|x|+3

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高中数学必修 1 第一章 集合与函数概念 例 3. 为了节约用水,某市打算出台一项水费政策,规定:若每季度每人用水量不超过 5 吨,则每吨水 的水费为 1.2 元;若超过 5 吨而不超过 6 吨,则超过部分的水费按原价的 200%收费;若超过 6 吨而 不超过 7 吨,则超过部分的水费按原价的 400%收费.若某人本季度实际用水量为 x(x≤7)吨,试计算 本季度他应交的水费 y(单位:元).

变式练 3.如图,等腰梯形 OABC 的上、下底边长分别为 1、3,底角为∠COA=60°.记该梯形内部位 于直线 x=t(t>0)左侧部分的面积为 f(t).试求 f(t)的解析式并作出其图象.

【小结】

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