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乌鲁木齐地区2014年高三年级第三次诊断性测验试卷理科数学试题参考答案及评分标准


乌鲁木齐地区 2014 年高三年级第三次诊断性测验试卷

理科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 题号 选项 1 B 2 B 3 C 4 A 5 C 6 B 7 B 8 D 9 D 10 C 11 C 12 B

1.选 B.【解析】∵ A ? ?0,1, 2,3, 4,5, 6

? , B ? x x ? 0, x ? 3 ∴ A ? B ? ?4,5, 6? 2.选 B.【解析】∵ z ?

?

?

i ?1 ? i ? i 1 1 ? 1 1? ? ? ? ? i ,对应的点为 ? ? , ? 在第二象限 1 ? i ?1 ? i ??1 ? i ? 2 2 ? 2 2?

x?0 ? ?x ? 0 ? 3.选 C.【解析】由 f ? x ? ? 1 知 ? ? x 或? 1 ,分别解之,得 x ? ?1 或 x ? 1 . 2 ?2 ? 1 ? 1 ? x ? 1 ?
4.选 A.【解析】∵ ? ? ?
2

? 3? ? , ? ? ,∴ cos ? ? 0,sin ? ? 0 ,且 cos ? ? sin ? , ? 4 ?

1 1 3 4 , ∴s ∴ sin ? ? , cos ? ? ? i n ?? c o s ? ?? , 25 5 5 5 1 1 1 1 1 31 31 5.选 C.【解析】∵ S ? 0 ? ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? ,此时 n ? 5 ,为使输出的 S ? , 2 2 2 2 2 32 32
又 ? sin ? ? cos ? ? ? 1 ? sin 2? ? 必须有 n ? p ,所以 p ? 5 6.选 B.【解析】由题意及正弦定理得 sin B cos A ? 3sin A cos B ,∴ tan B ? 3tan A , ∴ 0 ? A, B ?

?
2

,又 cos C ?

5 2 5 ,故 sin C ? ,∴ tan C ? 2 ,而 A ? B ? C ? ? , 5 5

tan A ? tan B ? ?2 ,将 tan B ? 3tan A 代入, 1 ? tan A tan B 4 tan A 1 ? 得 ? ?2 ,∴ tan A ? 1,或 tan A ? ? ,而 0 ? A, B ? ,故 A ? 45? 2 1 ? 3tan A 3 2
∴ tan ? A ? B ? ? ? tan C ? ?2 ,即 7.选 B.【解析】此几何体的直观图如图所示, ∴V ?

1 1 40 ? ?1 ? 4 ? ? 4 ? 4 ? 3 2 3 4 且 3

8.选 D.【解析】依题意,有 3sin a ? 4cos a ? ?5 ,即 sin ? a ? ? ? ? ?1 ,其中 tan ? ?

2 2 3? 得 ? ? ? ,∴ k? ? ? a ? k? ? ? , k ? Z ,故,选 D(此时 k ? 0 ). 4 2 4

0 ?? ?

?
2

, ∴ a ? ? ? k? ?

?

, 即 a ? k? ?

?

由t ? ? ,k ? Z , a n ??

?

?

4 ? 且0 ?? ? , 3 2

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9.选 D.【解析】令 F ? x ? ? f ( x ? 1) ,∵其图象关于 ?1, 0 ? 对称,∴ F ? x ? ? ? F ? 2 ? x ? , 即 f (3 ? x) ? ? f ?1 ? x ? ,∴ f ? 4 ? x ? ? ? f ? x ? ?⑴ 令 G ? x ? ? f ( x ? 3) ,∵其图象关于直线 x ? 1 对称,∴ G ? 2 ? x ? ? G ? ? x ? , 即 f ? x ? 5 ? ? f ? 3 ? x ? ,∴ f ? x ? 4 ? ? f ? 4 ? x ? ?⑵ 由⑴⑵得, f ? x ? 4 ? ? ? f ? x ? ,∴ f ? x ? 8? ? f ? x ? ?⑶ ∴ f ? ? x ? ? f ? 8 ? x ? ? f ? 4 ? 4 ? x ? ,由⑵得 f 4 ? ? 4 ? x ? ? f 4 ? ? 4 ? x ? ? f ? x ? ∴ f ? ? x ? ? f ? x ? ;∴A 对; 由⑶,得 f ? x ? 2 ? 8 ? ? f ? x ? 2 ? ,即 f ? x ? 2 ? ? f ? x ? 6 ? ,∴B 对; 由⑴得, f ? 2 ? x ? ? f ? x ? 2 ? ? 0 ,又 f ? ? x ? ? f ? x ? , ∴ f (?2 ? x) ? f (?2 ? x) ? f ? 2 ? x ? ? f ? 2 ? x ? ? 0 ,∴C 对; 若 f ? 3 ? x ? ? f ? 3 ? x ? ? 0 ,则 f ? 6 ? x ? ? ? f ? x ? ,∴ f ?12 ? x ? ? f ? x ? , 由⑶得 f ?12 ? x ? ? f ? x ? 4 ? , 又 f ?x ? 4 ??? f x? 与题意矛盾,∴D 错. 10.选 C.【解析】∵ f ? ? 0 ? ? ?

?

?

?

?

f x? ? , 即 f ? x? ? 0 , ? ,∴ f ?x ? ? ?

a 1 , f ? 0 ? ? ? ,∴ f ? x ? 的图象在 x ? 0 处的切线方程为 b b
1 a ?b
2 2
2 2 ? 1, 即 a ? b ? 1, ∵ a ? 0, b ? 0

2 2 它与圆 x ? y ? 1相切, ∴ ax ? by ? 1 ? 0 ,

时有 ?

a 2 ? b2 1 2 ? a?b? ? ? , ∴a?b ? 2, ∴ a ? b 的最大值是 2 , 此时 a ? b ? . ? 2 2 2 ? 2 ?

2

11. 选 C. 【解析】设 ?ABC 的外接圆的圆心为 O? ,由 AB ? BC ? 2 , AC ? 2 2 ,知 ?ABC ? 90? ,∴点 O? 为 AC 的中点,∴ OO? ? 平面ABC ,设直线 OO? 交球 O 于 D1 和 D2 ,不妨设点 O 在线段 O ?D1 内,∴ O ?D1 为四面体 D ? ABC 高的最大值, ∴ VD1 ? ABC ?

1 ?1 2 2 4 ? ? ? AB ? BC ? h ? h ,依题意知, h ? ,即 h ? 2 ,当且仅当点 D 与 3 ?2 3 3 3 ?
2

D1 重合时,VD ? ABC 取最大值,此时 h ? 2 ,由 ? h ? R ? ?
∴R?

? ?
2

2

? R 2 ,得 R ?

h2 ? 2 , 2h

3 2 ,∴ S ? 4? R ? 9? . 2

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12. 选 B. 【解析】不妨设

x2 y2 ? ? 1 的两条渐近线 OA, OB 的方程分别为 bx ? ay ? 0 和 a 2 b2
bc a ? b2
2

bx ? ay ? 0 则右焦点 F ? c, 0 ? 到直线 OA 的距离 d ?

? b ,又由 FA ? OA ,得

OA ?a ,∵ OA ? OB ? 2 AB ,∴ OB ? 2 AB ? a ?①
∵ ?AOB ? 90? ,∴ OA ? AB ? OB
2 2 2

?②,①②联立,解得 AB ?

4 a 3

在 Rt ?OAB 中, tan ?AOB ?

AB OA

?

4 b ,而 ?AOB ? 2?AOF 且 tan ?AOF ? 3 a

?b? 2? ? 2 tan ?AOF ? a ? ? 4 ,解得 b ? 1 ,或 b ? ?2 (舍) ∴ tan ?AOB ? ,即 2 2 3 1 ? tan ?AOF a a 2 ?b? 1? ? ? ?a?


b2 1 c2 5 c 5 ? ? ,∴离心率 e ? ? ,即 2 2 a 2 a 4 a 4
8? 4 r 3

二、填空题 :共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.填 112 .【解析】∵ Tr ?1 ? ? ?2 ? C x
r r 8

,令

8 ? 4r ? 0 ,即 r ? 2 , 3
??? ? ??? ?

∴常数项为 T3 ? ? ?2 ? C8 ? 112
2 2

14.填 ?1 .【解析】设点 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,由 OB ? 2OA ,得 x2 ? 2 x1 , y2 ? 2 y1 , 又∵点 B 在椭圆 C2 上,∴
2 y2 x2 y 2 x2 ? 2 ? 1 ,∴ 1 ? 1 ? 1 ?①, 16 4 4 4

∵点 A 在椭圆 C1 上,∴ 15.填

x12 y ? y12 ? 1?②,由①②可得 1 ? ?1 .∴射线 OA 的斜率为 ?1 . x1 4
2

1 lg . 【解析】 依题意, 有 f ? x ? ? log 2 x ? a ,a 是常数. ∴ f ? a ? ? 1 , 即o 2 1 易知 a ? 1 ,∴ f ? x ? ? 1 ? log 2 x ,令 f ? x ? ? 0 ,解得 x ? 2
2

a1 ? ?a ,

16.填 y ? x ? 1 .【解析】依题意,设直线 l 的方程为 y ? kx ? m ,它与抛物线 y ? x 交于
2

点 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,线段 AB 的中点 P 的坐标为 ? x, y ? ,则 x ?

x1 ? x2 , 2

y?

? y ? kx ? m y1 ? y2 ?⑴由方程组 ? ,得到以 x1 , x2 为根的一元二次方程 2 2 ?y ? x

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x 2 ? kx ? m ? 0 ,则 ? ? k 2 ? 4m ? 0 且 x1 ? x2 ? k , x1 x2 ? ?m ?⑵
不妨设 x1 ? x2 ,依题意知

? ? kx ? m ? x ?dx ? 3 ,
x2 2 x1

4

2 ?k ? 4 x12 ? x1 x2 ? x2 即 ? x2 ? x1 ? ? ? x1 ? x2 ? ? m ? ? ? ?⑶, 3 ?2 ? 3

将⑵代入⑶,化简得 ? x2 ? x1 ? ? 8 ,即 ? x2 ? x1 ? ? 4 ,∴ ? x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2 ? 4 ?⑷
3 2 2

2 y1 ? y2 x12 ? x2 4 ? 2 x1 x2 又∵ y1 ? x , y2 ? x ,∴ y ? ? ? ? 2 ? x1 x2 ,故 x1 x2 ? y ? 2 , 2 2 2
2 1 2 2

而x?

x1 ? x2 2 ,得 x1 ? x2 ? 2 x ,代入⑷,化简得 y ? x ? 1 2

三、解答题 17. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)∵ 3S1 , 2S 2 , S3 成等差数列,∴ 4S2 ? 3S1 ? S3 , ∴ 4 ? a1 ? a2 ? ? 3a1 ? ? a1 ? a2 ? a3 ? ,即 a3 ? 3a2 ,∴公比 q ? 3 ∴ an ? a1q
n ?1

? 3n
n

?6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, bn ? log 3 an ? log 3 3 ? n , ∵ b2 n ?1b2 n ? b2 nb2 n ?1 ? ? 2n ? 1? 2n ? 2n ? 2n ? 1? ? ?4n ∴ Tn ? ? b1b2 ? b2b3 ? ? ? b3b4 ? b4b5 ? ? ? ? ? b2 n ?1b2 n ? b2 nb2 n ?1 ?

? ?4 ?1 ? 2 ? ? ? n ? ? ?4 ?
18. (本小题满分 12 分)

n ? n ? 1? 2

? ?2n 2 ? 2n

?12 分

取 AC 的中点 O ,连接 OF , OB ,则有 A1 A ∥ FO ,故 FO ? 平面 ABC , 在正三角形 ABC 中, O 是 AC 的中点,故 OB ? AC , OA ? OC ? 1, OB ? 3 如图,以 O 为原点,分别以 OA, OB, OF 所在直线为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标 系,则 O ? 0, 0, 0 ? , A ?1, 0, 0 ? , B 0, 3, 0 , C ? ?1, 0, 0 ? , E ? 0, 3,

?

?

? ? ?

6? ? , F 0, 0, 6 2 ? ?

?

?

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??? ? ? ??? ? ???? 6 ? ???? FB ? 0, 3, ? 6 , AE ? ? ? 1, 3, , AC ? ? ?2, 0, 0 ? , AF ? ?1, 0, 6 ? ? 2 ? ? ?

?

?

?

?

(Ⅰ)∵ FB ? AE ? 0, 3, ? 6 ? ? ?1, 3,

??? ? ??? ?

?

??
?

?

6? ??0, 2 ? ?

∴ FB ? AE ,即 FB ? AE 又∵ FB ? AC ? 0, 3, ? 6 ? ? ?2, 0, 0 ? ? 0 , ∴ FB ? AC ,即 FB ? AC 而 AE ? AC ? A ,∴ FB ? 平面 AEC ; (Ⅱ)设平面 AEF 的法向量为 n ? ? a, b, c ? , ?6 分

??? ?

??? ?

??? ? ????

?

?

??? ?

??? ?

??? ? ? 6 ? c?0 ? ? a ? 3b ? ?n ? AE ? 0 则有 ? ??? ,即 ? ,令 c ? 6 ,则 a ? 6, b ? 3 2 ? ? ? ? a ? 6c ? 0 ?n ? AF ? 0 ? ??? ? 即 n ? 6, 3, 6 ,由(Ⅰ)知平面 AEC 的一个法向量为 FB

?

?

设二面角 F ? AE ? C 的平面角为 ? ,易知 0 ? ? ?

?
2



??? ? FB ? n 5 ∴ cos ? ? ??? . ? ? 15 FB n
19. (本小题满分 12 分) 设“两位专家都同意通过”为事件 A , “只有一位专家同意通过”为事件 B , “通过复审”为事件 C . (Ⅰ)设“某应聘人员被录用”为事件 D ,则 D ? A ? BC ∵ P ? A? ?

?12 分

1 ? 1? 1 1 1 1 3 ? ? , P ? B ? ? 2 ? ? ?1 ? ? ? , P ? C ? ? 2 ? 2? 2 2 2 4 10

∴ P ? D ? ? P ? A ? BC ? ? P ? A? ? P ? B ? P ? C ? ? (Ⅱ)根据题意, X ? 0,1, 2,3, 4

2 5

?6 分

Ai 表示“应聘的 4 人中恰有 i 人被录用” ? i ? 0,1, 2,3, 4 ? .

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∵ P ? A0 ? ? C4 ? ?
0

81 2 ? 3 ? 216 ? 2? ?3? 1 , P ? A1 ? ? C4 ? ? ? ? ? , ? ?? ? ? 625 5 ? 5 ? 625 ?5? ?5?
2 2 3

0

4

3

216 3 96 ? 2? ?3? 3 ?2? P ? A2 ? ? C ? ? ? ? ? ? ? , P ? A3 ? ? C4 ? ? ? ? ? , 625 ?5? ?5? ? 5 ? 5 625
2 4

16 ? 2? ? 3? P ? A4 ? ? C ? ? ? ? ? ? ? 625 ? 5? ?5?
4 4

4

0

∴ X 的分布列为

X
P

0
81 625

1
216 625

2
216 625

3
96 625

4
16 625
?12 分

∵ X ~ B ? 4, 0.4 ? ,∴ EX ? np ? 1.6 20. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)分别过 A, B 作准线的垂线,垂足分别是 A1 , B1 则 AF ? AA1 , BF ? BB1 ∴

AF AA1 HA ? ? , BF BB1 HB

AF HA AF BF ,∴ ?① ? ? BF HB HA HB AF sin ?AHF ?②, ? ?AHF 中, HA sin ?AFH BF sin ?AHF ?③ ? ?BHF 中, HB sin ?BFH sin ?AHF sin ?AHF 将②③代入①,得 ,∴ sin ?AFH ? sin ?BFH ? sin ?AFH sin ?BFH
∴ ∴ ?AFH ? 180? ? ?BFH ? ?BFx ∴ k AF ? kBF ? 0 ,∴ kBF ? ?k AF ? ?2 .?6 分 ( Ⅱ ) 依 题 意 可 知, 抛物 线 为 y ? 4 x , 直 线 l 的 斜 率 k 存 在 且 k ? 0 , l 的 方 程 为
2

? ? y ? k ? x ? 1? y ? k ? x? 1? ,设交点 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,满足 ? 2 , ? ? y ? 4x
2 2 2 2 2 即 x1 , x2 满足 k x ? 2k ? 4 x ? k ? 0 ,∴ ? ? 2k ? 4

?

?

?

?

2

? 4k 4 ? 0 ,∴ k 2 ? 1 ,

且 x1 ? x2 ?

??? ? ??? ? ???? ? 4 ? 2k 2 , x1 x2 ? 1 设 M ? x0 , y0 ? ,由 FA ? FB ? t FM ,其中 t ? 0 , 2 k

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x ? x ?2 ? x0 ? 1 2 ?1 ? ? t 得 ? x1 ? 1, y1 ? ? ? x2 ? 1, y2 ? ? t ? x0 ? 1, y0 ? ,∴ ? , ? y ? y1 ? y2 0 ? t ?
而 y1 ? y2 ? k ? x1 ? x2 ? 2 ? ?

4 k

? 4 ? 2k 2 ? ?2 ? ? 2 4 ? ? 2 代入 y0 ? 4 x0 ,得 ? ? ? 4 ? k ? 1? ,化为: k 2t 2 ? 4k 2t ? 4t ? 4 t ? kt ? ? ? ? ? ? ?
2

得, k ?
2

4 ? 4t 2 ,而 k ? 1 且 k ? 0 , t 2 ? 4t
?12 分

∴ t ? ?2 ,或 0 ? t ? 1 ,或 1 ? t ? 2 ,或 t ? 4 . 21. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)令 h ? x ? ? f ? x ? ? ?1 ? x ? ? x ? ln ? x ? 1? ,则 h? ? x ? ? 当 ?1 ? x ? 0 时, h? ? x ? ? 0 ,函数 h ? x ? 递减

x , x ?1

当 x ? 0 时, h? ? x ? ? 0 ,函数 h ? x ? 递增,故 h ? x ? 在 x ? 0 处取得最小值 h ? 0 ? ? 0 即,对 x ? ?1 ,有 h ? x ? ? h ? 0 ? ? 0 ,故 f ? x ? ? 1 ? x 令 I ? x? ? f ? x? ?

x 1 x , ? ? ln ? x ? 1? ,则 I ? ? x ? ? ? 2 1? x 1? x ?1 ? x ?

当 ?1 ? x ? 0 时, I ? ? x ? ? 0 ,函数 I ? x ? 递增 当 x ? 0 时, I ? ? x ? ? 0 ,函数 I ? x ? 递减,故 I ? x ? 在 x ? 0 处取得最大值 I ? 0 ? ? 0 即,对 x ? ?1 ,有 I ? x ? ? I ? 0 ? ? 0 ,故 f ? x ? ? ∴1 ? x ? f ? x ? ?

1 1? x
?6 分

1 1? x
2

(Ⅱ)令 F ? x ? ? g ? x ? ? f ? x ? ? ln ? x ? 1? ? ax ? x ,则 F ? ? x ? ?

2ax 2 ? ? 2a ? 1? x x ?1

⑴当 a ? 0 时,2a ?1 ? 0 , ∴当 x ? 0 , ∴ x ? 1 ? 0 ,2ax ? 2a ?1 ? 0 ∴ F ? ? x ? ? 0 , ∴函数 y ? F ? x ? , x ? ? 0,1? 为减函数,∴当 0 ? x ? 1 时, F ? x ? ? F ? 0 ? ? 0 , 即 a ? 0 时, f ? x ? ? g ? x ? 成立
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⑵当 0 ? a ?

1 1 ? 2a 时, ?1 4 2a 1 ? 2a 则对 ?x ? ? 0,1? , x ? ? x ? 1 ? 0 ,∴ x ? 1 ? 0 , 2ax ? 2a ?1 ? 0 2a

∴ F ? ? x ? ? 0 ,∴函数 y ? F ? x ? , x ? ? 0,1? 为减函数,

1 时, f ? x ? ? g ? x ? 成立 4 1 1 1 ? 2a ⑶当 ? a ? 1 ? ln 2 时,由 1 ? ln 2 ? ,知 0 ? ?1 4 2 2a 1 ? 2a ∴当 0 ? x ? 时,∴ x ? 1 ? 0 , 2ax ? 2a ?1 ? 0 ,∴ F ? ? x ? ? 0 2a 1 ? 2a 当 ? x ? 1 时,∴ x ? 1 ? 0 , 2ax ? 2a ?1 ? 0 , F ? ? x ? ? 0 , 2a
∴当 0 ? x ? 1 时, F ? x ? ? F ? 0 ? ? 0 ,即 0 ? a ? ∴函数 y ? F ? x ? , x ? ? 0,1? 的减区间为 ? 0, 又∵ F ? 0 ? ? 0, F ?1? ? ln 2 ? 1 ? a ? 0 ∴对 ?x ? ? 0,1? , F ? x ? ? max F ? 0 ? , F ?1? ? 0 故,当 0 ? x ? 1 时, f ? x ? ? g ? x ? 成立 ⑷当 a ? 1 ? ln 2 时,有 a ? ln 2 ? 1 ? 0 ,∴ F ?1? ? a ? ln 2 ? 1 ? 0 即 g ?1? ? f ?1? ,与题意矛盾 综合⑴⑵⑶⑷, a ? ? ??,1 ? ln 2? ,对 0 ? x ? 1 ,有 f ? x ? ? g ?x ? . 22. (本小题满分 10 分) (Ⅰ)如图,由题意可知 ?ACD ? ?AEC, ?CAD ? ?EAC ∴ ?ADC ∽ ?ACE ,∴ 同理, ?12 分

? 1 ? 2a ? ?1 ? 2 a ? ,增区间为 ? ,1? ? 2a ? ? ? 2a ?

?

?

CD AC , ? CE AE

BD AB ,又∵ AB ? AC , ? BE AE CD BD ∴ , ∴B ? EC ?D B ? DC E? CE BE
2

?5 分

(Ⅱ)如图,由切割线定理,得 FB ? FD ? FC ,∵ CE ∥ AB ∴ ?FAD ? ?AEC , 又∵ AB 切圆于 B ,∴ ?ACD ? ?AEC ,∴ ?FAD ? ?FCA , ∴ ?AFD ∽ ?CFA ,∴

AF FD 2 ,即 AF ? FD ? FC ? CF AF

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∴ FB2 ? AF 2 ,即 FB ? FA ,∴ F 为线段 AB 的中点. 23. (本小题满分 10 分) (Ⅰ)设曲线 C 上任意点 M 的坐标为 ? cos ? ,sin ? ? ( 0 ? ? ? 2? ) 依题意,直线 l 的普通方程为 x ? y ? 4 ? 0

?10 分

点 M 到 l 的距离为 d ? ∵ 0 ? ? ? 2? ,∴ ∴ 2 sin

cos ? ? sin ? ? 4 2

?

?? ? 2 sin ? ? ? ? ? 4 4? ? 2

?
4

?? ?

?
4

?

9? , 4

3? ?? ? ? ? 4 ? 2 sin ? ? ? ? ? 4 ? 2 sin ? 4 2 4? 2 ?

即? 2 ?4?

?? ? 2 sin ? ? ? ? ? 4 ? 2 ? 4 , 4? ?
?5 分

当? ?

?
4

?

? 2 ?4 3? 5? ? 2 2 ?1 ,即 ? ? 时, d max ?? 2 4 2

(Ⅱ)设射线 OP 的极坐标方程为 ? ? ? ?? ? R ? ,依题意可知,动点 Q 的极坐标为

? ? , ? ? , R ?1, ? ? , P ? ? P , ? ? ,由 OP ? OQ

? OR ,得 ? P ? ? ? 1 ?⑴

2

点 P ? ? P , ? ? 在直线 l 上,∴ ? P ? cos ? ? sin ? ? ? 4 ?⑵,

cos ? ? sin ? ? 0 ,∴ ? P ?
将其代入⑴得

4 ?⑶, cos ? ? sin ?

4 ? ? 1 ,即 4? ? cos ? ? sin ? cos ? ? sin ?

由 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? ,∴ 4 x ? y
2

?

2

? ? x ? y ,其中 xy ? 0
?10 分

∴所求动点 Q 的轨迹是以 ? , ? 为圆心, 24. (本小题满分 10 分) (Ⅰ)∵ 3 a ? b ? c
3 3

?1 1? ?8 8?

2 为半径的圆除原点后的部分 8

?

3

? ? ?a ? b ? c??a

2

? b2 ? c2 ?

? 2 ? a 3 ? b3 ? c 3 ? ? a ? b 2 ? c 2 ? ? b ? a 2 ? c 2 ? ? c ? a 2 ? b 2 ?
∵ a ? b ? a b ? ab ? a
3 3 2 2 2

? a ? b ? ? b2 ?b ? a ? ? ? a ? b ? ? a ? b ?
2

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∵ a, b ? R ,∴ ? a ? b ?
?

2

? a ? b ? ? 0 ,∴ a3 ? b3 ? a2b ? ab2 ,
2 3 3 2 2

同理, b ? c ? b c ? bc , c ? a ? c a ? ca
3 3 2

∴2 a ?b ?c
3 3

?

3

? ? a b ? ab
2

2

? b 2 c ? bc 2 ? c 2 a ? ca 2

∴2 a ?b ?c
3 3

?

3

? ? a ?b
2

2

? c2 ? ? b ? a2 ? c2 ? ? c ? a 2 ? b2 ? ? 0
2

∴ ?a ? b ? c? a ? b ? c
2

?

? ? 3?a

3

? b3 ? c 3 ?

?5 分

(Ⅱ)∵ a, b, c ? R ,∴ a ? b ? 0, b ? c ? 0, c ? a ? 0 ,由柯西不等式得

?

1 1 ? ? 1 ? ?? a ? b ? ? ? b ? c ? ? ? c ? a ? ? ?? a ?b ? b ?c ? c ? a ? ? ?
1 1 1 ? ? ? ? a?b? ? b?c? ? c?a? ? ?9 a?b b?c c?a ? ?
即 2? 故,
2

1 1 ? a b ? ? 1 ? c ? ? ? ? ? ? a ? b ? c ? ? 9 ,∴ 2 ? ??3 ? a?b b?c c?a ? ? a?b b?c c?a ?

a b c 3 ? ? ? ,当且仅当 a ? b ? c 时不等式取等号 b?c c?a a?b 2

?10 分

以上各题的其他解法,限于篇幅从略,请相应评分.

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