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2014-2015学年江苏省南京九中高二(上)第10周周练补考数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年江苏省南京九中高二(上)第 10 周周练补考数学 试卷
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分) 1.抛物线 y =4x 的焦点坐标为 2.命题 p:?x∈R,x +1>0 的否定是
2 2

. .

3. 与双曲线

有共同的渐近线, 并且过点 (﹣

3, 2

) 的双曲线方程为



4. (5 分)“a>1 且 b>1”是“ab>1”成立的 充要条件或既不充分也不必要.

条件. (填充分不必要,必要不充分,

5.已知椭圆 为 .

上一点 M 到左焦点 F1 的距离是 2,则 M 到左准线的距离

6.以椭圆

的左焦点 F(﹣c,0)为圆心,c 为半径的圆与椭圆的左准 .

线交于不同的两点,则该椭圆的离心率的取值范围是

7.在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C: 2x﹣y+1=0 垂直,则实数 a= .

(a>0)的一条渐近线与直线 l:

8. (5 分)过点(5,2) ,且在 x 轴上截距是在 y 轴上截距的 2 倍的直线方程是



9.椭圆

的离心率为 ,则 m=



10.经过点 A(2,﹣1) ,与直线 x+y=1 相切,且圆心在直线 y=﹣2x 上的圆的方程 为 .

11.设 x,y 满足约束条件

,则 z=3x+y 的最大值为



12.如果圆(x﹣a) +(y﹣a) =4 上总存在两个点到原点的距离为 1,则实数 a 的取值范围 是 .

2

2

13.如图,已知椭圆 C 的方程为:

(a>b>0) ,B 是它的下顶点,F 是其右焦点,

BF 的延长线与椭圆及其右准线分别交于 P、Q 两点,若点 P 恰好是 BQ 的中点,则此椭圆的 离心率是 .

14.已知点 A(0,2)抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,准线为 l,线段 FA 交抛物线与点 B,过 B 做 l 的垂线,垂足为 M,若 AM⊥MF,则 p= .

2

二、解答题(本大题共 5 小题,计 90 分) 15. (18 分) (2014 秋?厦门校级期中)已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是 y=± 双曲线过点( , ) (Ⅰ)求双曲线的方程; (Ⅱ)过双曲线右焦点 F 作倾斜角为 的直线交双曲线于 A,B,求|AB|.

x,且

16. (18 分) (2012?邳州市校级模拟)已知命题 p: 命题 q:?x∈(0,+∞) ,mx +x﹣4=0.若“p 且 q”为真命题,求实数 m 的取值范围.
2



17. (18 分) (2012 秋?苏州期末)已知圆心为 C 的圆经过三个点 O(0,0) ,A(﹣2,4) ,B (1,1) . (1)求圆 C 的方程; (2)若直线 l 的斜率为 ,且直线 l 被圆 C 所截得的弦长为 4,求直线 l 的方程.

18. (18 分)已知椭圆 C1 与椭圆

有相同的焦点,且过点



(1)求椭圆方程 (2)若 P 是椭圆 C1 上一点,F1、F2 为椭圆 C1 的左、右焦点,PF1⊥PF2,求△ PF1F2 的面积. 19. (18 分) (2014?衡阳三模)如图,在平面直角坐标系 xoy 中,已知 F1,F2 分别是椭圆 E: 的左、 右焦点, A, B 分别是椭圆 E 的左、 右顶点, 且 .

(1)求椭圆 E 的离心率; (2)已知点 D(1,0)为线段 OF2 的中点,M 为椭圆 E 上的动点(异于点 A、B) ,连接 MF1 并延长交椭圆 E 于点 N,连接 MD、ND 并分别延长交椭圆 E 于点 P、Q,连接 PQ,设直线 MN、PQ 的斜率存在且分别为 k1、k2,试问是否存在常数 λ,使得 k1+λk2=0 恒成立?若存在, 求出 λ 的值;若不存在,说明理由.

2014-2015 学年江苏省南京九中高二(上)第 10 周周练补 考数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分) 2 1.抛物线 y =4x 的焦点坐标为 (1,0) . 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 先确定焦点位置,即在 x 轴正半轴,再求出 P 的值,可得到焦点坐标. 2 解答: 解:∵抛物线 y =4x 是焦点在 x 轴正半轴的标准方程, p=2∴焦点坐标为: (1,0) 故答案为: (1,0) 点评: 本题主要考查抛物线的焦点坐标.属基础题. 2.命题 p:?x∈R,x +1>0 的否定是 ?x∈R,x +1≤0
2 2



考点: 命题的否定. 专题: 规律型. 分析: 本题中的命题是一个全称命题,其否定是一个特称命题,由规则写出否定命题即可 2 解答: 解:∵命题“?x∈R,x +1>0” 2 2 ∴命题“?x∈R,x +1>0”的否定是“?x∈R,x +1≤0” 2 故答案为:?x∈R,x +1≤0. 点评: 本题考查命题的否定,解题的关键是掌握并理解全称命题否定的书写方法,其规则是 全称命题的否定是特称命题,书写时注意量词的变化.

3.与双曲线

有共同的渐近线,并且过点(﹣3,2

)的双曲线方程为



考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 设所求双曲线为 得到双曲线的方程. 解答: 解:设所求双曲线为 把点(﹣3, 解得 , )代入,得 , , ,把点(﹣3, )代入,求出 λ,从而

∴所示的双曲线方程为



点评: 本题考查双曲线的性质和应用,解题时要注意待定系数法的合理运用. 4. (5 分) “a>1 且 b>1”是“ab>1”成立的 充分不必要 充要条件或既不充分也不必要. 条件. (填充分不必要, 必要不充分,

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 利用不等式的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断. 解答: 解:若 a>1 且 b>1 时,ab>1 成立. 若 a=﹣2,b=﹣2,满足 ab>1,但 a>1 且 b>1 不成立, ∴“a>1 且 b>1”是“ab>1”成立的充分不必要条件. 故答案为:充分不必要.

点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的应用,以及不等式的性质的判断,比较基础.

5.已知椭圆

上一点 M 到左焦点 F1 的距离是 2,则 M 到左准线的距离为



考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设 M 到左准线的距离为 d,利用题意的第二定义可得 ,解出即可.

解答: 解:由椭圆

可得 ,解得

=4,∴e= = . .

设 M 到左准线的距离为 d,则 故答案为 .

点评: 本题考查了椭圆的第二定义,属于基础题.

6.以椭圆

的左焦点 F(﹣c,0)为圆心,c 为半径的圆与椭圆的左准

线交于不同的两点,则该椭圆的离心率的取值范围是



考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 根据题意可知,左焦点到左准线的距离小于圆的半径 c,进而可得不等式 进而求得 即离心率 e 的范围.又根据椭圆的离心率小于 1,综合答案可得. 解答: 解:依题意可知 即 a <2c ∴e= > ∵e<1 e 的范围是( 故答案为( ,1) ,1)
2 2

﹣c<c,

﹣c<c

点评: 本题主要考查了椭圆的简单性质.要熟练掌握椭圆中关于准线、焦点、长轴、半轴等 概念和关系的理解.

7.在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C: 2x﹣y+1=0 垂直,则实数 a= 2 .

(a>0)的一条渐近线与直线 l:

考点: 双曲线的简单性质;两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系. 专题: 计算题. 分析: 先求出直线方程的斜率,并表示出双曲线方程的渐近线,再由双曲线 C: (a>0)的一条渐近线与直线 l:2x﹣y+1=0 垂直可知两直线的斜率之积等于﹣1,可求出 a 的 值. 解答: 解:直线 l:2x﹣y+1=0 的斜率等于 2,双曲线 C: (a>0)的渐近线可以

表示为:y=±

又因为双曲线 C:

(a>0)的一条渐近线与直线 l:2x﹣y+1=0 垂直,

∴2×

∴a=2

故答案为 2 点评: 本题主要考查双曲线的基本性质﹣﹣渐近线方程的表示,考查两直线的位置关系. 8. (5 分)过点(5,2) ,且在 x 轴上截距是在 y 轴上截距的 2 倍的直线方程是 或 2x﹣5y=0; . 考点: 直线的截距式方程. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 当直线过原点时,直线方程为 把点(5,2)代入即可得出. 解答: 解:当直线过原点时,直线方程为 直线不经过原点时,设直线方程为 =1, . .直线不经过原点时,设直线方程为 =1, x+2y﹣9=0

把点(5,2)代入可得 5+4=2a,解得 a= . ∴直线的方程为 x+2y﹣9=0. 综上可得:直线的方程为 x+2y﹣9=0 或 2x﹣5y=0. 故答案为:x+2y﹣9=0 或 2x﹣5y=0. 点评: 本题考查了直线的截距式、分类讨论思想方法,属于基础题.

9.椭圆

的离心率为 ,则 m= 3 或



考点: 椭圆的简单性质. 专题: 分类讨论. 分析: 方程中 4 和 m 哪个大,哪个就是 a ,利用离心率的定义,分 0<m<4 和 m>4 两种情 况求出 m 的值. 2 解答: 解:方程中 4 和 m 哪个大,哪个就是 a , 2 2 (ⅰ)若 0<m<4,则 a =4,b =m, ∴c= ,∴e=
2 2

= ,得 m=3;
2

(ⅱ)m>4,则 b =4,a =m, ∴c= ,∴e= , . = ,得 m= ;

综上:m=3 或 m= 故答案为:3 或

点评: 本题考查椭圆的标准方程和简单性质的应用,体现了分类讨论的数学思想. 10.经过点 A(2,﹣1) ,与直线 x+y=1 相切,且圆心在直线 y=﹣2x 上的圆的方程为 (x﹣ 1) +(y+2) =2 . 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 计算题. 分析: 由圆心直线 y=﹣2x 设出圆心的坐标为(a,﹣2a) ,利用两点间的距离公式表示出圆心 到 A 的距离即为圆的半径,且根据圆与直线 x+y=1 相切,根据圆心到直线的距离等于圆的半 径列出关于 a 的方程,求出方程的解得到 a 的值,确定出圆心坐标,进而求出圆的半径,根据 圆心和半径写出圆的标准方程即可. 解答: 解:设所求圆心坐标为(a,﹣2a) ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣1 分 由条件得 ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
2 2

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣4 分 化简得 a ﹣2a+1=0, ∴a=1, ∴圆心为(1,﹣2) ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣8 分 半径 ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
2

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣11 分 2 2 ∴所求圆方程为(x﹣1) +(y+2) =2.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣14 分

点评: 此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有两点间的距离公式,点到直线的距离 公式,圆的标准方程,当直线与圆相切时,圆心到直线的距离等于圆的半径,常常利用此性 质列出方程来解决问题.

11.设 x,y 满足约束条件

,则 z=3x+y 的最大值为 7



考点: 简单线性规划. 专题: 计算题;数形结合. 分析: 先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,z=2x+y 表示直线在 y 轴上的截 距,只需求出可行域直线在 y 轴上的截距最大值即可. 解答: 解:作图 易知可行域为一个三角形, 当直线 z=3x+y 过点 A(3,﹣2)时,z 最大是 7, 故答案为:7.

点评: 本小题是考查线性规划问题,本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求 最值,属于基础题. 12.如果圆(x﹣a) +(y﹣a) =4 上总存在两个点到原点的距离为 1,则实数 a 的取值范围 是 (﹣ ,﹣ )∪( , ) .
2 2

考点: 圆方程的综合应用. 专题: 直线与圆. 2 2 2 2 分析: 圆(x﹣a) +(y﹣a) =4 和圆 x +y =1 相交,两圆圆心距大于两圆半径之差、小于两 圆半径之和. 2 2 2 2 解答: 解:由题意可得,圆(x﹣a) +(y﹣a) =4 和圆 x +y =1 相交, 根据两圆圆心距 d= 可得 2﹣1< |a|<2+1,即: <|a|< , = |a|,

∴﹣

<a<﹣



<a<

, ,﹣ , )∪( ) .
2 2 2 2

故实数 a 的取值范围是 (﹣ 故答案为: (﹣ ,﹣



) ,

)∪(

点评: 体现了转化的数学思想,将问题转化为:圆(x﹣a) +(y﹣a) =4 和圆 x +y =1 相交, 体现了转化的数学思想,属于中档题.

13.如图,已知椭圆 C 的方程为:

(a>b>0) ,B 是它的下顶点,F 是其右焦点,

BF 的延长线与椭圆及其右准线分别交于 P、Q 两点,若点 P 恰好是 BQ 的中点,则此椭圆的 离心率是 .

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 根据 B, F 点坐标可知直线 BP 的方程, 进而根据 P 恰好是 BQ 的中点求得 P 点横坐标, 代入直线方程后求得 P 点纵坐标代入椭圆方程即可求得 a 和 c 的关系, 进而求得椭圆的离心率. 解答: 解:依题意可知直线 BP 的方程为 y= x﹣b, ∵P 恰好是 BQ 的中点,∴xp= ∴yp=b( 解得 = , , ,
2

﹣1)代入椭圆方程得

+(

﹣1) =1,

∴椭圆的离心率为 = 故答案为 .

点评: 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.考查了学生综合分析问题和解决问题的 能力.

14.已知点 A(0,2)抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,准线为 l,线段 FA 交抛物线与点 B,过 B 做 l 的垂线,垂足为 M,若 AM⊥MF,则 p= . 考点: 直线与圆锥曲线的关系. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由抛物线的定义可得 BM=BF,又 AM⊥MF,根据直角三角形斜边的中点是外心可得 故 B 为线段 AF 的中点, 求出 B 的坐标代入抛物线方程求得 p 值. 解答: 解:由抛物线的定义可得 BM=BF,F( 中点, ∴B( ) ,把 B( ) 代入抛物线 y =2px(p>0)得,1=2p× ,
2

2

) ,又 AM⊥MF,故 B 为线段 AF 的

∴p= , 故答案为 . 点评: 本题考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,判断 B 为线段 AF 的中点, 是解题的关键, 属于中档题. 二、解答题(本大题共 5 小题,计 90 分) 15. (18 分) (2014 秋?厦门校级期中)已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是 y=± 双曲线过点( , ) (Ⅰ)求双曲线的方程; (Ⅱ)过双曲线右焦点 F 作倾斜角为 的直线交双曲线于 A,B,求|AB|.

x,且

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)设双曲线方程为:3x ﹣y =λ,点 代入,即可求双曲线的方程; (Ⅱ)直线 AB 的方程与双曲线方程联立,利用韦达定理及弦长公式,即可求|AB|. 解答: 解: (Ⅰ)设双曲线方程为:3x ﹣y =λ,点 所以所求双曲线方程为: (Ⅱ)直线 AB 的方程为:y=x﹣2, 由 得:2x +4x﹣7=0,…(10 分)
2 2 2 2 2

代入得:λ=3,

…(6 分)



.…(12 分)

点评: 本题考查双曲线方程,考查直线与双曲线的位置关系,考查韦达定理的运用,属于中 档题.

16. (18 分) (2012?邳州市校级模拟)已知命题 p: 命题 q:?x∈(0,+∞) ,mx +x﹣4=0.若“p 且 q”为真命题,求实数 m 的取值范围. 考点: 复合命题的真假. 专题: 计算题. 分析: 根据不等式恒成立,利用分离参数法把命题 p 转化为知 根据一元二次方程根的情况把命题 q 转化为:?x∈(0,+∞) , 判断出 p 真 q 真,从而求得实数 m 的取值范围. 解答: 解:由 ∵x∈,∴ ∴1﹣m>1,即 m<0. 又由 mx +x﹣4=0,x>0,得
2 2



恒成立;

,根据“p 且 q”为真,

,知 ,









由题 由“p 且 q”为真命题,知 p 和 q 都是真命题, 所以,符合题意的 m 的取值范围是 .

点评: 本题以复合命题的真假为载体考查二次方程实根存在问题和不等式恒成立问题.二次 方程实根存在问题和不等式恒成立问题都要结合转化思想进行处理,体现函数、方程、不等 式的联系.属中档题. 17. (18 分) (2012 秋?苏州期末)已知圆心为 C 的圆经过三个点 O(0,0) ,A(﹣2,4) ,B (1,1) . (1)求圆 C 的方程; (2)若直线 l 的斜率为 ,且直线 l 被圆 C 所截得的弦长为 4,求直线 l 的方程.

考点: 圆的标准方程;直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: (1)设出圆的一般式方程,把三个点 O(0,0) ,A(﹣2,4) ,B(1,1)的坐标代 入,求得 D、E、F 的值,即可求得圆的方程. (2)设 l 的直线方程为 4x+3y+m,求出圆心到直线的距离,再利用弦长公式求得 m 的值,即 可得到直线 l 的方程.

解答: 解: (1)设圆 C 的一般方程为 x +y +Dx+Ey+F=0,因为点 O,A,B 在所求的圆上,

2

2

故有

.…(4 分)

解得

,故所求圆的方程是 x +y +2x﹣4y=0. …(7 分)
2 2

2

2

(2)由(1)可得圆 C 的标准方程为(x+1) +(y﹣2) =5, 所以,圆 C 的圆心为(﹣1,2) ,半径为 ,…(9 分) 记圆心 C 到直线 l 的距离为 d,则 ,即 d=1. …(11 分) ,…(12 分)

设 l 的直线方程为 4x+3y+m=0,则

即|m+2|=5,所以 m=﹣7 或 3, 所以 l 的直线方程为 4x+3y+3=0,或 4x+3y﹣7=0. …(14 分) 点评: 本题主要考查用待定系数法求圆的方程,点到直线的距离公式、弦长公式的应用,属 于中档题.

18. (18 分)已知椭圆 C1 与椭圆 (1)求椭圆方程

有相同的焦点,且过点



(2)若 P 是椭圆 C1 上一点,F1、F2 为椭圆 C1 的左、右焦点,PF1⊥PF2,求△ PF1F2 的面积. 考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)根据两个椭圆有相同的焦点,利用待定系数法即可求椭圆方程 (2)求出焦点坐标,利用构造定义结合三角形的面积公式即可得到结论. 解答: 解: (1)∵椭圆 C1 与椭圆 有相同的焦点,

∴可设方程为

(m>0) , 代入可得 ; ,可得 F1(﹣ ,0) ,F2( ,0) ; ,解得 m=1.

把点

∴椭圆 C1 的标准方程为 (2)由椭圆 C1 的标准方程为 ∵PF1⊥PF2,

∴|PF1| +|PF2| =(2 ∵|PF1|+|PF2|=4, ∴|PF1||PF2|=2 ∴

2

2

) =12,

2

= |PF1||PF2|=

=1.

点评: 本题考查了椭圆的定义及其性质、三角形的面积计算公式等基础知识与基本方法,属 于中档题. 19. (18 分) (2014?衡阳三模)如图,在平面直角坐标系 xoy 中,已知 F1,F2 分别是椭圆 E: 的左、 右焦点, A, B 分别是椭圆 E 的左、 右顶点, 且 .

(1)求椭圆 E 的离心率; (2)已知点 D(1,0)为线段 OF2 的中点,M 为椭圆 E 上的动点(异于点 A、B) ,连接 MF1 并延长交椭圆 E 于点 N,连接 MD、ND 并分别延长交椭圆 E 于点 P、Q,连接 PQ,设直线 MN、PQ 的斜率存在且分别为 k1、k2,试问是否存在常数 λ,使得 k1+λk2=0 恒成立?若存在, 求出 λ 的值;若不存在,说明理由.

考点: 函数恒成立问题;三点共线;椭圆的简单性质. 专题: 向量与圆锥曲线;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)由 ,得 ,从而有 a+c=5(a﹣c) ,结合离心率定义即

可求得答案; (2)由点 D(1,0)为线段 OF2 的中点可求得 c 值,进而可求出 a 值、b 值,得到椭圆方程, 设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,P(x3,y3) ,Q(x4,y4) ,则直线 MD 的方程为 ,

与椭圆方程联立及韦达定理可把 P、Q 坐标用 M、N 坐标表示出来,再根据三点 M、F1、N 共 线及斜率公式可得 k1、k2 间的关系式,由此可得答案. 解答: 解: (1)∵ ∴a+c=5(a﹣c) ,化简得 2a=3c, 故椭圆 E 的离心率为 . ,∴ .

(2)存在满足条件的常数 λ,

. ,

∵点 D(1,0)为线段 OF2 的中点,∴c=2,从而 a=3, 左焦点 F1(﹣2,0) ,椭圆 E 的方程为 .

设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,P(x3,y3) ,Q(x4,y4) ,则直线 MD 的方程为



代入椭圆方程

,整理得,





,∴



从而

,故点

.同理,点



∵三点 M、F1、N 共线,∴ 从而

,从而 x1y2﹣x2y1=2(y1﹣y2) .

. 故 ,从而存在满足条件的常数 λ, .

点评: 本题考查函数恒成立、三点共线及椭圆的简单性质,考查学生分析问题解决问题的能 力,综合性强,难度大,对能力要求较高,属难题.


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