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2015-2016学年高中数学 3.2.2半角的正弦、余弦和正切课时作业 新人教B版必修4


2015-2016 学年高中数学 3.2.2 半角的正弦、余弦和正切课时作业 新人教 B 版必修 4

一、选择题 1.函数 y=cos 的最小正周期是( 2 π A. 3 C.π [答案] D [解析] y=cos = 2
2 2 2

x

) π B. 4 D.2π

x 1+cosx
2



∴函数 y=cos 的最小正周期 T=2π . 2 1 2.下列各式中,值等于 的是( 2 ) B.cos
2

x

A.cos45°cos15°+sin45°sin15°

π 2π -sin 12 12 π 1+cos 3 2

tan22.5° C. 2 1-tan 22.5° [答案] C [解析]

D.

tan22.5° 2tan22.5° 1 1 = = tan45°= . 2 2 1-tan 22.5° 2?1-tan 22.5°? 2 2 )

θ 3.已知 2sinθ =1+cosθ ,则 cot 的值为( 2 A.2 1 C. 或 0 2 [答案] D [解析] 2sinθ =2cos
2

1 B. 2 D.2 或 0

θ , 2

θ θ ? θ ? ∴2cos ?2sin -cos ?=0, 2 2? 2?

1

θ θ θ θ ∴cos =0 或 2sin -cos =0,∴cot =0 或 2. 2 2 2 2 4.化简:sin2x??1+tanx?tan ?结果应为( 2? ? A.2sinx C.2sin2x-2sinx [答案] A

?

x?

)

B.2cosx D.tanx

x 1-cosx [解析] ∵1+tanx?tan =1+tanx? 2 sinx
1-cosx 1 =1+ = , cosx cosx 1 1 ∴原式=sin2x? =2sinxcosx? =2sinx. cosx cosx α 1+tan 2 4 5.若 cosα =- ,α 是第三象限的角,则 =( 5 α 1-tan 2 1 A.- 2 C.2 [答案] A 4 [解析] 解法一:∵cosα =- ,α 是第三象限角, 5 3 α 1-cosα ∴sinα =- ,tan = 5 2 sinα 4 1+ 5 = =-3, 3 - 5 α 1+tan 2 1-3 1 ∴ = =- . α 1+3 2 1-tan 2 4 解法二:∵α 是第三象限角,cosα =- , 5 3 ∴sinα =- . 5 1 B. 2 D.-2

)

2

α sin 2 1+ α α α α cos 1+tan cos +sin 2 2 2 2 ∴ = = a α α α 1-tan sin cos -sin 2 2 2 2 1- α cos 2 α α α α 3 cos +sin cos +sin 1- 2 2 2 2 1+sinα 5 1 = ? = = =- . α α α α cosα 4 2 cos -sin cos +sin - 2 2 2 2 5 π 2 6.函数 y=cos (x+ ),x∈R( 4 A.是奇函数 B.是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数 [答案] D π 1 1 π 1 1 2 [解析] y=cos (x+ )= + cos(2x+ )= - sin2x,x∈R. 4 2 2 2 2 2 π 2 ∴函数 y=cos (x+ )是非奇非偶函数. 4 二、填空题 α α 3 5π α 7.已知 sin +cos =- ,且 <α <3π ,则 cot 的值为________. 2 2 2 4 5 [答案] 1- 5 2 )

α α 3 4 [解析] 由 sin +cos =- ,得 sinα = , 2 2 5 5

?sinα -cosα ?2=1-sinα =1-4=1. ? 2 2? 5 5 ? ?
∵ 5π 5π α 3π 5π α 3π <α <3π ,∴ < < , < < . 2 4 2 2 8 4 4

α α α α 1 ∴sin <cos .∴sin -cos =- . 2 2 2 2 5 α 1 再由已知得 cos =- , 2 5

3

α ∴cot =- 4

α 1+cos 2 =- α 1-cos 2

5 5 1- 5 = . 2 5 1+ 5 1-

θ 2 8.若 θ 是第二象限角,且 25sin θ +sinθ -24=0,则 cos =________. 2 4 [答案] ± 5 [解析] ∵25sin θ +sinθ -24=0, 24 ∴sinθ = 或 sinθ =-1. 25 24 7 ∵θ 是第二象限角,∴sinθ = .∴cosθ = . 25 25 ∵θ 是第二象限角, π ∴2kπ + <θ <2kπ +π ,k∈Z, 2 π θ π ∴kπ + < <kπ + ,k∈Z. 4 2 2 ∴ θ 是第一或第三象限角. 2 7 1+ 25 4 =± . 2 5
2

θ ∴cos =± 2 三、解答题

1+cosθ =± 2

α α ?1+sinα +cosα ??sin -cos ? 2 2 9.化简: (0<α <π ). 2+2cosα [解析] ∵0<α <π , α π ∴0< < , 2 2 α α α α 2α ?2cos +2sin cos ??sin -cos ? 2 2 2 2 2 ∴原式= 2α 2?2cos 2 α α α α α 2cos ?cos +sin ??sin -cos ? 2 2 2 2 2 = α 2cos 2 =sin
2

α 2α -cos =-cosα . 2 2
4

3π 10.若 <α <2π ,化简 2

1 1 + 2 2

1 1 + cos2α . 2 2

3π 3π α [解析] ∵ <α <2π ,∴ < <π , 2 4 2 α ∴cosα >0,cos <0. 2 1 1 + 2 2 = = = = 1 1 + 2 2 1 1 + cos2α 2 2 1 ?1+cos2α ? 2 1 1 + cosα 2 2

1 1 2 + cos α = 2 2 1 ?1+cosα ? 2 cos
2

α α =-cos . 2 2

一、选择题 1 .设 a =
2

2 (sin56°-cos56°), b =cos50°cos128°+cos40°?cos38°, c = 2 )

1-tan 40°30′ 1 2 ,d= (cos80°-2cos 50°+1),则 a、b、c、d 的大小关系为( 2 1+tan 40°30′ 2 A.a>b>d>c C.d>a>b>c [答案] B [解析] a=sin56°cos45°-cos56°sin45° =sin(56°-45°)=sin11°=cos79°, B.b>a>d>c D.c>a>d>b

b=cos50°cos128°+cos40°cos38°
=sin40°(-sin38°)+cos40°cos38° =cos(40°+38°)=cos78°,

c=

1-tan 40°30′ =cos81°, 2 1+tan 40°30′ 1 2

2

d= (cos80°-2cos250°+1)
1 2 = [cos80°-(2cos 50°-1)] 2

5

1 = (cos80°+cos80°)=cos80°, 2 ∴b>a>d>c,故选 B. π π 3 7 2.若 θ ∈[ , ],sin2θ = ,则 sinθ =( 4 2 8 3 A. 5 C. 7 4 4 B. 5 3 D. 4 )

[答案] D [解析] 本题考查了三角恒等变换以及倍半角公式. π π π 由 θ ∈[ , ]可得 2θ ∈[ ,π ], 4 2 2 1 2 cos2θ =- 1-sin 2θ =- ,sinθ = 8 1-cos2θ 3 = . 2 4 )

1 α 3.若 cosα = ,且 α ∈(0,π ),则 sin 的值为( 3 2 A. C. 3 3 6 3 B.- D.- 3 3 6 3

[答案] A [解析] ∵α ∈(0,π ),∴ α π ∈(0, ). 2 2 1 1- 3 3 = . 2 3 ) B.-3 1 D.- 2

α ∴sin = 2

1-cosα = 2

tanθ +1 1 cos2θ 4.若 = ,则 的值为( 2+tanθ 3 1+sin2θ A.3 C.-2 [答案] A 1 [解析] 由条件得 tanθ =- , 2 ∴

cos2θ ?cosθ -sinθ ??cosθ +sinθ ? 1-tanθ = = =3. 2 1+sin2θ ?sinθ +cosθ ? 1+tanθ

二、填空题
6

5.函数 y=cos? [答案] 2

?π ?x-1??cosπ x 的最小正周期是________. ? 2 ?2 ? ?π ?x-1??cosπ x ? 2 ?2 ?

[解析] y=cos?

π? π ?π =cos? x- ??cos x 2 2 2 ? ? π π 1 =sin x?cos x= sinπ x, 2 2 2 ∴最小正周期 T=2. 1 2 6.设向量 a=(cosα , )的模为 ,则 cos2α 的值为________. 2 2 1 [答案] - 2 1 1 1 2 2 [解析] 由已知,得 cos α + = ,∴cos α = . 4 2 4 1 2 ∴cos2α =2cos α -1=- . 2 三、解答题 cos α 1 7.求证: = sin2α . α α 4 cot -tan 2 2 cos α [解析] 左边= α α cos sin 2 2 - α α sin cos 2 2 = cos α cos α = cosα 2α 2α cos -sin 2 2 1 sinα 2 α α sin cos 2 2
2 2 2 2

1 1 = sinα cosα = sin2α =右边. 2 4 ∴等式成立. 8.(2015?河南新乡高一测试)已知向量 a=(5 3cosx,cosx),b=(sinx,2cosx),设 3 2 函数 f(x)=a?b+|b| + . 2 π (1)当 x∈[0, ]时,求函数 f(x)的最值; 2
7

π π π (2)当 x∈[ , ]时,若 f(x)=8,求函数 f(x+ )的值. 6 2 8 3 2 [解析] (1)f(x)=a?b+|b| + 2 3 2 2 2 =5 3sinxcosx+2cos x+sin x+4cos x+ 2 5 2 =5 3sinxcosx+5cos x+ 2 = 5 3 5?1+cos2x? 5 sin2x+ + 2 2 2

π =5sin(2x+ )+5. 6 π π π 7π 由 0≤x≤ ,得 ≤2x+ ≤ , 2 6 6 6 1 π ∴- ≤sin(2x+ )≤1, 2 6 5 ∴函数 f(x)的最大值为 10,最小值为 . 2 π (2)f(x)=5sin(2x+ )+5=8, 6 π 3 ∴sin(2x+ )= . 6 5 ∵ π π π π 7π ≤x≤ ,∴ ≤2x+ ≤ . 6 2 2 6 6

π 4 ∴cos(2x+ )=- . 6 5

f(x+ )=5sin[2(x+ )+ ]+5
π π =5sin[(2x+ )+ ]+5 6 4 π π π π =5sin(2x+ )cos +5cos(2x+ )sin +5 6 4 6 4 3 2 4 2 2 =5? ? +5?(- )? +5=5- . 5 2 5 2 2 4cos x-2cos2x-1 9.已知函数 f(x)= . ?π ? ? 2?π tan? +x??sin ? -x? ?4 ? ?4 ?
4

π 8

π 8

π 6

? 17 ? (1)求 f?- π ?的值; ? 12 ?

8

1 ? π? (2)当 x∈?0, ?时,求 g(x)= f(x)+sin2x 的最大值和最小值. 2? 2 ? [解析] f(x)= 4cos x-2cos2x-1 ?π ? ? 2?π tan? +x??sin ? -x? ?4 ? ?4 ?
4

?1+cos2x?2-2cos2x-1 ? 2 ? ? = ?π ? ? 2?π tan? +x??cos ? +x? ?4 ? ?4 ?
4? = cos 2x
2

?π ? ?π ? sin? +x?cos? +x? 4 ? ? ?4 ?
cos 2x =2cos2x. 1 cos2x 2
2



cos 2x 1 ?π ? sin? +2x? 2 ?2 ?

2



17π 5π ? 17 ? ∴(1)f?- π ?=2cos =2cos =- 3. 6 6 ? 12 ? 1 (2)g(x)= f(x)+sin2x=cos2x+sin2x 2 π? ? = 2sin?2x+ ?. 4? ? π π 5π ? π? ∵x∈?0, ?,∴ ≤2x+ ≤ , 2 4 4 4 ? ? ∴g(x)max= 2,g(x)min=-1.

9


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