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第十讲 任意角三角函数


第十讲
一、知识整合:

任意角三角函数、同角三角关系及诱导公式

1.任意角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。一 条射线由原来的位置 OA ,绕着它的端点 O 按逆时针方向旋转到终止位置 OB ,就形成 角 ? 。旋转开始时的射线 OA 叫做角的始边, OB 叫终边,射线的端点 O 叫

做叫 ? 的顶 点。 为了区别起见,我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转 所形成的角叫负角。如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。 2.终边相同的角、区间角与象限角 角的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合。那么,角的终边(除端点 外) 在第几象限, 我们就说这个角是第几象限角。 要特别注意:如果角的终边在坐标轴上, 就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角。 终边相同的角是指与某个角 ? 具有同终边的所有角,它们彼此相差 2k? ?k ? Z ? ,即

?? ? ? 2k? ? ?, k ? Z?,根据三角函数的定义,终边相同的角的各种三角函数值都相等。
3.弧度制 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度角, 记作 1 rad , 1 弧度, 1(单 或 或 位可以省略不写)。 角有正负零角之分, 它的弧度数也应该有正负零之分, 如-π , -2π 等等, 一般地, 正 角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是 0,角的正负主要由 角的旋转方向来决定。 角 ? 的弧度数的绝对值是: ? ?

l ,其中,l 是圆心角所对的弧长, r 是半径。 r
y

角度制与弧度制的换算主要抓住

180? ? ? rad 。
弧长公式: l ?| ? | r ( ? 是圆心角的弧度 数) , 扇形面积公式: S ? 4.三角函数定义 如图在 ? 的终边上任取一点 P (a, b) ,它与

a的终边
P(x,y )) O x

1 1 l r ? | ? | r2。 2 2

原点的距离 r ? a2 ? b2 ? 0 .过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 M ,则线段 OM 的长度为 a ,

线段 MP 的长度为 b .则 sin ? ?

MP b OM a MP b ? ; cos ? ? ? ; tan ? ? ? 。 OP r OP r OM a

由三角函数定义得到三个三角函数在四个象限内的符号,可简记为“一全正,二正 弦,三双切,四余弦” 5.同角三角函数关系式
2 2 平方关系: sin ? ? cos ? ? 1,商数关系: tan ? ?

sin ? cos ?

使用公式进行变形时,经常把“切”“割”用“弦”表示,即化弦法,这是三角变 、 换非常重要的方法。 几个常用关系式:sin ? ? cos? , sin ? ? cos? , sin ? ? cos? (三式之间可以互相表示) 6.诱导公式 可用十个字概括为“奇变偶不变,符号看象限” 。 特别指出:在用诱导公式时一定要先把角 ? 看作锐角。

二.典例精析
题型 1:象限角 例 1.若 sin ? cos ? >0,则 ? 在 象限。 例 2. A、 是锐角△ABC 的两个内角, 若 B 则点 P (cosB-sinA, sinB-cosA) 在 限。



题型 2:三角函数定义 例 3.已知角 ? 的终边过点 (a, 2a)(a ? 0) ,求 ? 的四个三角函数值。

题型 3:诱导公式 例 4.tan300°+

cos4050 的值是 sin 4050

? sin(180? ? ? ) ? sin(?? ) ? tan(360? ? ? ) 例 5.化简: ; tan(? ? 180? ) ? cos(?? ) ? cos(180? ? ? )

题型 4:同角三角函数的基本关系式 例 6.已知

1 ? sin ? 1 ? sin ? ? ? ?2 tan ? ,试确定使等式成立的角 ? 的集合。 1 ? sin ? 1 ? sin ?

例 7.证明:

2?cos ? ? sin ? ? cos ? sin ? ? ? ; 1 ? sin ? ? cos ? 1 ? sin ? 1 ? cos ?

三.重点题型强化
1、若一个三角形的两内角 ?,? 满足 sin ? cos ? ? 0 ,则此三角形为 2、终边在 x 轴负半轴上的角的集合为 3、函数 y ? log2 sin x 的定义域是 4、已知 cos ? ?

2x ? 3 ,又 ? 是第二、三象限角,则 x 的取值范围为 4? x

5、若 sin ?? ? ? ? ? sin?

2? ?? ?3 ? ? ?? ? ? ? 0 ? ? ? ? ,则 sin ? ? cos?2? ? ? ? ? 3 ? 2? ?2 ?

6、若 cos?

3 ? 5? ? ?? ? ,则 cos? ?? ? ? ?? ? ? ? 6 ? ?6 ? 3

7、求值

1 ? 2 sin 10? cos10? cos10? ? 1 ? cos2 170?

=

2 8、化简 ? sin ? tan ? ? ?

? ?

? cos 2 ? ? 2 sin ? cos ? ? sin ? cos ? ? tan ? ?

9、角 ? 终边上的点 P 与 A?a, b??ab ? 0? 关于 x 轴对称,角 ? 终边上的点 Q 与 A 关于

y ? x 对称,求

sin ? tan? 1 的值。 ? ? cos ? tan ? sin ? cos?

10、已知函数 f ?x ? ? a sin??x ? ? ? ? b cos??x ? ? ?,其中 a,b, ? , ? 都是非零实数。已知

? f ?2008 ? ?1 ,求 f ?2009? 的值。


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