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(全国通用)2016版高考数学大二轮总复习 增分策略 专题二 函数与导数 第1讲 函数的图象与性质课件


专题二

函数与导数

第 1讲 函数的图象与性质

栏目索引

高考真题体验 热点分类突破 高考押题精练

高考真题体验

1 2 3 4

1.(2015· 天津)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)

为偶函数,记 a = f(log0.53) , b = (log25) , c = f(2m) ,则 a , b , c的大小关系为( A.a<b<c C.c<a<b ) B.a<c<b D.c<b<a

1 2 3 4

解析 由f(x)=2|x-m|-1是偶函数可知m=0, 所以f(x)=2|x|-1. 所以a=f(log0.53)=2|log0.5 3| -1= 2log2 3-1=2, b=f(log25)= 2|log2 5| -1= 2log2 5-1=4, c=f(0)=2|0|-1=0,所以c<a<b. 答案 C

1 2 3 4

2.(2014· 福建)若函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象如图所示,
则所给函数图象正确的是( )

1 2 3 4

解析

由题意得y=logax(a>0,且a≠1)的图象过(3,1)点,可
-x

解得a=3.
1x 选项 A 中,y=3 =(3) ,显然图象错误; 选项B中,y=x3,由幂函数图象可知正确;

选项C中,y=(-x)3=-x3,显然与所画图象不符; 选项 D 中, y = log3( - x) 的图象与 y = log3x 的图象关于 y 轴对 称,显然不符,故选B. 答案 B

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?1+log2?2-x?,x<1, 3.(2015· 课标全国Ⅱ)设函数 f(x)=? x-1 ?2 ,x≥1,

则 f(-2)+f(log212)等于( C )

A.3

B.6

C.9

D.12

解析 因为-2<1,log212>log28=3>1,

所以f(-2)=1+log2[2-(-2)]=1+log24=3,f(log212)= 1 log 2 12-1 log 2 12 - 1 =2 ×2 =12× =6, 2 2 故f(-2)+f(log212)=3+6=9,故选C.

1 2 3 4

4.(2014· 课标全国Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减, (-1,3) f(2)=0.若f(x-1)>0,则x的取值范围是_______.

解析 ∵f(x)是偶函数,
∴图象关于y轴对称.

又f(2)=0,且f(x)在[0,+∞)单调递减,
则f(x)的大致图象如图所示, 由f(x-1)>0,得-2<x-1<2,即-1<x<3.

考情考向分析

1.高考对函数的三要素,函数的表示方法等内容的考查以 基础知识为主,难度中等偏下. 2.对图象的考查主要有两个方面:一是识图,二是用图, 即利用函数的图象,通过数形结合的思想解决问题. 3.对函数性质的考查,则主要是将单调性、奇偶性、周期

性等综合一起考查,既有具体函数也有抽象函数 . 常以选
择题、填空题的形式出现,且常与新定义问题相结合,难

度较大.

热点分类突破 热点一 函数的性质及应用 1.单调性:单调性是函数在其定义域上的局部性质 .利用定 义证明函数的单调性时,规范步骤为取值、作差、判断符 号、下结论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则.

2.奇偶性:奇偶性是函数在定义域上的整体性质.偶函数的图

象关于 y 轴对称,在关于坐标原点对称的定义域区间上具有
相反的单调性;奇函数的图象关于坐标原点对称,在关于坐

标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性.
3.周期性:周期性是函数在定义域上的整体性质.若函数在其

定义域上满足f(a+x)=f(x)(a不等于0),则其一个周期T=|a|.

例1

(1)设奇函数 y=f(x) (x∈R), 满足对任意 t∈R 都有 f(t)
? 1? ? ? x∈?0,2?时,f(x)=-x2,则 ? ? ? 3? ? ? f(3)+f?-2?的值等 ? ?

=f(1-t),且 于________.

解析 根据对任意t∈R都有f(t)=f(1-t)可得
f(-t)=f(1+t),即f(t+1)=-f(t),进而得到

f(t+2)=-f(t+1)=-[-f(t)]=f(t),

得函数y=f(x)的一个周期为2,

? 3? ?1? 1 ? ? ? ? f(3)=f(1)=f(0+1)=-f(0)=0,f?-2?=f?2?=-4. ? ? ? ?
? 3? ? 1? 1 ? ? ? ? f(3)+f?-2?=0+?-4?=-4. ? ? ? ?

所以
答案

1 -4

(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞) 上单调递增.若实数a满足f(log2a)+f(log 1 a)≤2f(1),则a的取
2

值范围是________.
解析 由题意知 a>0,又 log 1 a=log2a-1=-log2a.
2

∵f(x)是R上的偶函数,
∴f(log2a)=f(-log2a)=f(log1 a).
2

∵f(log2a)+f(log

1 2

a)≤2f(1),

∴2f(log2a)≤2f(1),即f(log2a)≤f(1). 又∵f(x)在[0,+∞)上递增. ∴|log2a|≤1,-1≤log2a≤1,
?1 ? ? ∴a∈?2,2? ?. ? ?

答案

1 [2,2]

思维升华

(1)可以根据函数的奇偶性和周期性,将所求函数值转 化为给出解析式的范围内的函数值. (2)利用函数的单调性解不等式的关键是化成f(x1)<f(x2)

的形式.

跟踪演练 1

(1) 已知函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数,且对

于任意x∈R,恒有f(x-1)=f(x+1)成立,当x∈[-1,0]时, 1 f(x)=2x-1,则f(2 017)=________. 2

解析 f(x-1)=f(x+1),则f(x)的周期为2,
1 f(2 017)=f(1)=-f(-1)=-(2 -1)=2.
-1

(2)已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足 f(2x 1 -1)<f(3)的 x 的取值范围是( A )
1 2 A.(3,3) 1 2 B.[3,3) 1 2 C.(2,3) 1 2 D.[2,3)

解析 偶函数满足f(x)=f(|x|),根据这个结论,

1 1 1 有 f(2x-1)<f(3)?f(|2x-1|)<f(3),进而转化为不等式|2x-1|<3, 1 2 解这个不等式即得 x 的取值范围是(3,3).

热点二 函数图象及应用 1.作函数图象有两种基本方法:一是描点法,二是图象变

换法,其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换.
2.利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性,作图时

要准确画出图象的特点.

例2

π π (1)函数 y=ln cos x(-2<x<2)的图象是(

)

解析

因为令f(x)=ln cos x,f(-x)=ln cos(-x)=ln cos x=

f(x),所以f(x)是偶函数,
1 所以图象关于 y 轴对称, 当 x=60° 时, y=ln cos 60° =ln 2<0, 故选 A.

答案 A

(2)(2015· 北京)如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式

f(x)≥log2(x+1)的解集是(
A.{x|-1<x≤0}

)

B.{x|-1≤x≤1}
C.{x|-1<x≤1} D.{x|-1<x≤2}

解析 令g(x)=y=log2(x+1),作出函数g(x)图象如图.
?x+y=2, 由? ?y=log2?x+1?, ?x=1, 得? ?y=1.

∴结合图象知不等式f(x)≥log2(x+1)的解
集为{x|-1<x≤1}.

答案 C

思维升华

(1)根据函数的解析式判断函数的图象,要从定义域、值 域、单调性、奇偶性等方面入手,结合给出的函数图象 进行全面分析,有时也可结合特殊的函数值进行辅助推 断,这是解决函数图象判断类试题的基本方法. (2)研究函数时,注意结合图象,在解方程和不等式等问

题时,借助图象能起到十分快捷的作用.

跟踪演练 2

ax+b (1)(2015· 安徽)函数 f(x)= 2的图象如图所 ?x+c? )

示,则下列结论成立的是(

A.a>0,b>0,c<0 B.a<0,b>0,c>0 C.a<0,b>0,c<0 D.a<0,b<0,c<0

解析

函数定义域为{x|x≠-c},结合图象知-c>0,∴c<0.

b 令 x=0,得 f(0)=c2,又由图象知 f(0)>0,∴b>0.
b b 令 f(x)=0,得 x=-a,结合图象知-a>0,∴a<0.故选 C.

答案 C

(2)已知函数y=f(x)是奇函数,且函数f(x+1)在[-1,+∞)
上是增函数,不等式f(a2+2a)≤f(a+2),则实数a的取值范 围是________. 解析 因为函数f(x+1)在[-1,+∞)上是增函数,

所以函数f(x)在[0,+∞)上是增函数.
因为函数y=f(x)是奇函数,奇函数的图象关于原点对称, 所以函数f(x)在(-∞,0)上是增函数,

即函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,如图所示.

因为f(a2+2a)≤f(a+2),所以a2+2a≤a+2, 即a2+a-2≤0,解得-2≤a≤1, 所以实数a的取值范围是[-2,1]. 答案 [-2,1]

热点三 基本初等函数的图象和性质 1.指数函数y=ax(a>0,a≠1)与对数函数y=logax(a>0,a≠1) 的图象和性质,分0<a<1,a>1两种情况,着重关注两函数

图象中的两种情况的公共性质.
1 2.幂函数y=xα的图象和性质,主要掌握α=1,2,3, ,-1五 2

种情况.

例3

(1)(2015· 山东 ) 设 a = 0.60.6 , b = 0.61.5 , c = 1.50.6 ,则 a , B.a<c<b
D.b<c<a

b,c的大小关系是( C )

A.a<b<c
C.b<a<c 解析

根据指数函数 y = 0.6x 在 R 上单调递减可得 0.61.5 <

0.60.6<0.60=1,
根据指数函数 y = 1.5x 在 R 上单调递增可得 1.50.6 > 1.50 = 1 ,

∴b<a<c.

? ?log2x,x>0, (2)若函数 f(x)=? 若 f(a)>f(-a),则实数 a log ? - x ? , x <0 , ? ?
1 2

的取值范围是(

)

A.(-1,0)∪(0,1)

B.(-∞,-1)∪(1,+∞)

C.(-1,0)∪(1,+∞)

D.(-∞,-1)∪(0,1)

解析 方法一 由题意作出y=f(x)的图象如图.

显然当a>1或-1<a<0时,满足f(a)>f(-a). 故选C.

方法二 对a分类讨论:
当 a>0 时,∵log2a>log 1 a,∴a>1. 2
当 a<0 时,∵log 1 (-a)>log2(-a),∴0<-a<1, 2

∴-1<a<0,故选C. 答案 C

思维升华

(1)指数函数、对数函数、幂函数是高考的必考内容之 一,重点考查图象、性质及其应用,同时考查分类讨 论、等价转化等数学思想方法及其运算能力. (2)比较数式大小问题,往往利用函数图象或者函数的 单调性.

跟踪演练3

(1)(2014· 浙江)在同一直角坐标系中,函数 f(x)
)

=xa(x≥0),g(x)=logax的图象可能是(

解析 方法一 分a>1,0<a<1两种情形讨论.

当a>1时,y=xa与y=logax均为增函数,但y=xa递增较快,
排除C;

当0<a<1时,y=xa为增函数,y=logax为减函数,排除A.

由于y=xa递增较慢,所以选D.
方法二 幂函数f(x)=xa的图象不过(0,1)点,排除A; B 项中由对数函数 f(x) = logax 的图象知 0<a<1 ,而此时幂函 数f(x)=xa的图象应是增长越来越慢的变化趋势,故B错,D 正确; 答案 D C 项中由对数函数 f(x) = logax 的图象知 a>1 ,而此时幂函数 f(x)=xa的图象应是增长越来越快的变化趋势,故C错.

(2)已知函数y=f(x)是定义在R上的函数,其图象关于坐标
原点对称,且当x∈(-∞,0)时,不等式f(x)+xf′(x)<0恒

成立,若a=20.2f(20.2),b=ln 2f(ln 2),c=-2f(-2),则a,
b,c的大小关系是( A.a>b>c C.c>a>b ) B.c>b>a D.a>c>b

解析 构造函数g(x)=xf(x),则g′(x)=f(x)+xf′(x),

当x∈(-∞,0)时,g′(x)<0,所以函数y=g(x)在(-∞,0)上单调递减.
因为函数y=f(x)的图象关于坐标原点对称,所以y=f(x)是奇函数, 由此可知函数y=g(x)是偶函数. 根据偶函数的性质,可知函数y=g(x)在(0,+∞)上单调递增. 又a=g(20.2),b=g(ln 2),c=g(-2)=g(2),

由于ln 2<20.2<2,所以c>a>b.
答案 C

高考押题精练
1.已知函数 f(x)=e 象为( )
|ln x|

1 2 3 4
? 1? ? -?x-x? ?,则函数 ? ?

y=f(x+1)的大致图

1 2 3 4

押题依据

图象的识别和变换是高考的热点,此类问题

既考查了基础知识,又考查了学生的灵活变换能力. 解析 据已知关系式可得
? ? ? ?e-ln x+?x-1?=x?0<x≤1?, ? x? ? ? ? f(x)=? 1? ? ln x ? ? ? 1 e -?x-x ?=x ?x>1?, ? ? ? ?

答案 A

作出其图象然后将其向左平移 1 个单位即得函数 y = f(x + 1)
的图象.

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2.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(x+4).当-2≤x<0时,f(x) = log2( - x) ;当 0≤x<2 时, f(x) = 2x - 1 ,则 f(1) + f(2) + f(3)

+?+f(2 016)的值为(
A.630 押题依据 B.1 260

)
C.2 520 D.3 780

利用函数的周期性、奇偶性求函数值是高考

的传统题型,较好地考查学生思维的灵活性.

1 2 3 4

解析 因为f(x)=f(x+4),所以函数f(x)的周期为4.

当-2≤x<0时,f(x)=log2(-x);
当0≤x<2时,f(x)=2x-1.

5 所以 f(1)+f(2)+?+f(2 016)=504×2=1 260,故选 B.

答案 B 所以f(1)=20=1,f(2)=f(-2)=log22=1, 1 -1 f(3)=f(-1)=log21=0,f(4)=f(0)=2 =2. 1 5 所以在一个周期内有 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1+1+0+2=2,

1 2 3 4

3. 已知 f(x) = 2x - 1 , g(x) = 1 - x2 ,规定:当 |f(x)|≥g(x) 时, h(x)=|f(x)|;当|f(x)|<g(x)时,h(x)=-g(x),则h(x)( A.有最小值-1,最大值1 C.有最小值-1,无最大值 ) B.有最大值1,无最小值 D.有最大值-1,无最小值

押题依据

分段函数是高考的必考内容,本题将新定义、

分段函数、函数图象、函数最值等结合起来,很好地体 现了高考在知识交汇点处命题的原则.

1 2 3 4

解析

由题意得,利用平移变化的知识画出函数|f(x)|,g(x)

的图象如图,
?|f?x?|,|f?x?|≥g?x?, 而 h(x)=? ?-g?x?,|f?x?|<g?x?,

故 h(x)有最小值-1,无最大值.

答案 C

1 2 3 4

4. 已 知 函 数 h(x)(x≠0) 为 偶 函 数 , 且 当 x>0 时 , h(x) =
? x ?- ,0<x≤4, ? 4 ?4-2x,x>4, ?
2

若 h(t)>h(2), 则实数 t 的取值范围为_____.

押题依据

利用函数的单调性求解参数的范围,是一类

重要题型,是高考考查的热点.本题恰当地应用了函数的

单调性,同时考查了函数的奇偶性的性质.

1 2 3 4

解析

? x ?- ,0<x≤4, 因为 x>0 时,h(x)=? 4 ?4-2x,x>4. ?

2

易知函数h(x)在(0,+∞)上单调递减,
因为函数h(x)(x≠0)为偶函数,且h(t)>h(2), 所以h(|t|)>h(2), 所以0<|t|<2,

1 2 3 4

?t≠0, ?t≠0, 所以? 即? 解得-2<t<0 或 0<t<2. ?|t|<2, ?-2<t<2,

综上,所求实数t的取值范围为(-2,0)∪(0,2). 答案 (-2,0)∪(0,2)


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