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安徽省马鞍山市2014届高三第一次教学质量检测 数学文试题 Word版含答案


2014 年马鞍山市高中毕业班第一次教学质量检测

高三文科数学试题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟. 考生注意事项: 1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、姓名、班级、座号、准 考证号. 2.答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目

的答案标号涂黑.如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号. 3.答第Ⅱ卷时,必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上 书写,要求字体工整、 .... 笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡 规定的位置绘出,确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签 ... 字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效 ,在试题卷 、 ............. .... 草稿纸上答题无效 . ........ 4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交.

第 I 卷(选择题,共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的,请在答题卡相应位置将正确结论的代号用 2B 铅笔涂黑. 1.设 i 是虚数单位,则复数 z ? ( A. ?1 答案:A 命题意图:本题考查复数的基本运算,简单题. 2.已知集合 A ? {x | x2 ? 3x ? 0} , B ? {x || x ? 2 |? 1} ,则“ a ? A ”是“ a ? B ”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 答案:B 命题意图:本题考查集合的基本运算及简易逻辑,简单题. 3.高三(1)班有学生 52 人,现将所有学生随机编号,用系统抽样方法,抽取一个容量为 4 的样本,已知 5 号,31 号,44 号学生在样本中,则样本中还有一个学生的编号是( ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) B. 1
1 ? i 2014 ) =( 1? i

) C. ?i D. i

A.8 答案:D

B.13

C.15

D.18

命题意图:本题考查系统抽样方法,简单题. 4.已知向量 a ? (1, ?2) , b ? ( x, 4) ,且 a ∥ b ,则︱ a ? b ︱=( A. 5 3 答案:B 命题意图:本题考查平面向量的基本运算,简单题. 5.已知倾斜角为 ? 的直线 l 与直线 m : x ? 2 y ? 2 ? 0 平行,则 tan2? 的值为( A. C. 答案:A 命题意图:本题考查直线的斜率、两倍角公式,简单题. 6.某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是( A.2 C.4 答案:C 命题意图:本题考查程序框图,简单题. 7.各项均为正数的等比数列 ?an ? 中, 2a1 ? a2 ? a3 , 则
a4 ? a5 的值为( a3 ? a4

?

?

?

?

? ?

) D. 2 2

B. 3 5

C. 2 5



4 3 4 5

B. D.

3 4

2 3
开 始 n=6, i=1


是 n=3n-5

n 是奇数

B.3 D.5

否 n n =2

i=i+1 n=2 是
输出 i





结 束

第 6 题图

A. ?1 C. 3 答案:D

B. ?1 或 2 D. 2

命题意图:本题考查等比数列的运算性质,简单题. 8.已知 a ? 1 , b ? 1 ,且 ln a ln b ? A.有最大值 1 C.有最大值 e 答案:D
1 ,则 ab ( 4



B.有最小值 1 D.有最小值 e

命题意图:本题考查不等式的基本运算,中等题.
? x ? 1; ? 9.已知实数 x, y 满足 ? y ? 0; 则 x 2 ? y 2 的取值范围是( ? 2 ? x ? 2 y ? 4. ?



4 16 A. [ , ] 5 5

5 B. [ ,16] 4

C. [

5 , 4] 2

D. [

2 5 4 5 , ] 5 5

答案:B 命题意图:本题考查线性规划、点到直线的距离公式,中等题. 10.已知函数 f ( x) ? x ?
y

ln | x | ,则函数 y ? f ( x) 的大致图象为( x
y y


y

O

x

O

x

O

x

O

x

A. 答案:C

B.

C.

D.

命题意图:本题考查函数的性质、导数,较难题.

第 II 卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.请在答题卡上答题. 11.命题“任意 x ? R , x 2 ? 0 ”的否定是 答案:存在 x0 ? R , x02 ? 0 命题意图:全称命题、特称命题、命题的否定,简单题. 12.已知抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的准线与圆 C : x 2 ? y 2 ? 1 相切,则 p ? 答案: p ? 2 命题意图:本题考查抛物线与圆的性质,简单题. 13.已知某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积等于 答案: 10 . 俯视图 第 13 题图 正视图 3 4 侧视图 . 5 .

命题意图:本题考查三视图、三棱锥的体积,简单题.
1 ? 2 ? ( ) x , x ? 0; ? ? 3 14.已知直线 y ? mx 与函数 f ( x) ? ? 的图象恰 1 2 ? x ? 1, x ? 0. ? ?2

好有 3 个不同的公共点,则实数 m 的取值范围是 答案: m ? 2



命题意图:本题考查分段函数、曲线的切线斜率,渗透数形结合思想,中等题. 15.关于函数 f ( x) ? sin x cos x ? cos2 x ,给出下列命题: ① f ( x) 的最小正周期为 2? ;

? ② f ( x) 在区间 (0, ) 上为增函数; 8
③直线 x ?
3? 是函数 f ( x) 图象的一条对称轴; 8

④函数 f ( x) 的图象可由函数 f ( x) ?

2 ? sin 2 x 的图象向右平移 个单位得到; 8 2

? ⑤对任意 x ? R ,恒有 f ( ? x) ? f (? x) ? ?1 . 4
其中正确命题的序号是 ____________. 答案:②③⑤ 命题意图:本题综合考察三角恒等变换、三角函数的性质,较难题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)
?? 已知 A 、 B 、 C 为 ?ABC 的三个内角,其对边分别为 a 、 b 、 c ,若 m ? (cos B,sin B) , ? ?? ? 1 n ? (cos C, ? sin C ) ,且 m ? n ? . 2

(Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)若 a ? 2 3, b ? c ? 4 ,求 ?ABC 的面积. 命题意图:本题综合考察平面向量的数量积、三角恒等变换、解三角形,简单题.
?? ? ?? ? 1 解: (Ⅰ)? m ? (cos B,sin B), n ? (cos C, ? sin C) , m ? n ? 2
? cos B cos C ? sin B sin C ? ? cos( B ? C ) ? 1 2 1 ??????????????2 分 2

又?0 ? B ? C ? ? ,? B ? C ?

?
3

????????????4 分

? A ? B ? C ? ? ,? A ?

2? . ??????????????6 分 3

(Ⅱ)由余弦定理 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? cos A 得 (2 3)2 ? (b ? c)2 ? 2bc ? 2bc ? cos
1 2

2? 3

即: 12 ? 16 ? 2bc ? 2bc ? (? ) ,? bc ? 4 ?????????9 分
1 1 3 ? S?ABC ? bc ? sin A ? ? 4 ? ? 3 ???????????12 分 2 2 2

17. (本小题满分 12 分) 已知某年级 1000 名学生的百米跑成绩全部介于 13 秒与 18 秒之间,为了了解学生的百米 跑成绩情况,随机抽取了若干学生的百米跑成绩,并按如下方式分成五组:第一组[13,14) ; 第二组[14,15) ;?;第五组[17,18].按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示,已 知图中从左到右的前 3 个组的频率之比为 1∶4∶10,且第二组的频数为 8. (Ⅰ)请估计该年级学生中百米跑成绩在[16,17)内的人数; (Ⅱ)求调查中随机抽取了多少个学生的百米成绩; (Ⅲ)若从第一和第五组所有成绩中随机取出 2 个,求这 2 个成绩差的绝对值大于 1 秒的概 率. 命题意图:本题考察频率分布直方图、古典概型,中等题. 解 :( Ⅰ ) 百 米 成 绩 在 [16,17) 内 的 频 率 为 0.32 ? 1=0.32. 0.32 ? 1000=320 ∴估计该年段学生中百米成绩在[16,17)内的人数为 320 人. ……3 分
0.08 13 14 15 16 17 18 秒 0.32 频率 组距

(Ⅱ)设图中从左到右前 3 个组的频率分别为 x,4x ,10x 依题意,得 x+4x+10x+0.32 ? 1+0.08 ? 1=1 , ∴x=0.04 ……4 分
8 n

第 17 题图

设调查中随机抽取了 n 个学生的百米成绩,则 4 ? 0.04 ? ∴调查中随机抽取了 50 个学生的百米成绩.

∴n=50

……6 分

(Ⅲ)百米成绩在第一组的学生数有 1 ? 0.04 ? 1 ? 50=2,记他们的成绩为 a,b 百米成绩在第五组的学生数有 0.08 ? 1 ? 50= 4,记他们的成绩为 m,n,p,q 则从第一、五组中随机取出两个成绩包含的基本事件有

{a,b},{a,m},{a,n},{a,p},{a,q},{b,m},{b,n},{b,p},{b,q},{m,n},{m,p},{m,q},{n,p},{n,q},{p,q},共 15 个 ……9 分

设事件 A 为满足成绩的差的绝对值大于 1 秒,则事件 A 所包含的基本事件有 {a,m},{a,n},{a,p},{a,q},{b,m},{b,n},{b,p},{b,q},共 8 个, 所以 P(A )=
8 15

……10 分 ……12 分

本试题主要考查样本估计总体,考查古典概型的概率公式,考查频率分布直方图等知识, 考查数据处理能力和分析问题、解决问题的能力. 18. (本小题满分 12 分) 如图,边长为 2 的正三角形 ?ABC 所在平面与等腰直角三角形 DBC 所在平面相互垂直, 已知 DB ? DC , AE ? 1 , AE ? 平面 ABC . (Ⅰ)求证: DE ∥平面 ABC ; (Ⅱ)求证: BD ? 平面 CDE ; (Ⅲ)求三棱锥 C ? BDE 的体积. 命题意图:本题综合考察空间线、面的位置关系,体积的 计算公式,中等题. 解: (Ⅰ)取 BC 的中点 O ,连接 OA, OD
? ?DBC 是等腰直角三角形,面 ABC ? 面 DBC , DO ? BC ? DO ? 面 ABC , DO ? 1 ,

又 ? AE ? 平 面 ABC , ? AE ∥ OD , AE ? 1 , ? 四 边 形 A O D E 为平行四边形
? AO ∥ DE ? OA ? 面ABC, DE ? 面ABC ,? DE ∥平面 ABC

……………4 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 AO ∥ DE ,又 AO ? 平面 BCD
? AO ? BD ,? ED ? BD ,又?CD ? BD , CD ? ED ? D ,? BD ? 平面 CDE ………8 分

(Ⅲ)? AO ? 平面 BCD
? S?EDC ?

? A O? D E? AO ∥ DE ? DE ? 平面 BCD ?DE ? CD

1 1 6 DE ? DC ? ? 3 ? 2 ? 2 2 2
1 1 6 3 S ?CDE ? BD ? ? ? 2? 3 3 2 3

?VC ? BDE ? VB ? CDE ?

……………12 分

19. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ? x ? ln x ? 1 . (Ⅰ)求函数 f ? x ? 在 x ? 2 处的切线方程;

(Ⅱ)若 x ? ? 0, ??? 时, f ( x) ? ax ? 2 恒成立,求实数 a 的取值范围. 命题意图:本题综合考察函数的单调性、导数的应用以及恒成立问题,中等题. 解: (Ⅰ)由题意得, f ?( x) ? 1 ?
1 1 1 ,? f ?(2) ? 1 ? ? 2 2 x

1 ? 函数 f ? x ? 在 x ? 2 处的切线方程为: y ? (1 ? ln 2) ? ( x ? 2) ? x ? 2 y ? 2ln 2 ? 0 ………5 分 2

1 ln x (Ⅱ)当 x ? ? 0, ??? 时, f ( x) ? ax ? 2 恒成立,? a ? 1 ? ? x x 1 ln x ln x ? 2 令 g ( x) ? 1 ? ? ,则 g ?( x) ? ? 0 ? x ? e2 , x x x2

………7 分

可得 g ( x) 在 (0, e 2 ) 上单调递减,在 ? e2 , ?? ? 上单调递增,
? g ( x)min ? g (e2 ) ? 1 ?

………10 分 ………13 分

1? 1 1 ? ,即 a ? 1 ? 2 故实数 a 的取值范围是 ? ??,1 ? 2 ? 2 e e e ? ?

20. (本小题满分 13 分) 已知各项均为正数的数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , S n 为数列 ?an ? 的前 n 项和. (Ⅰ)若数列 ?an ? , ?an 2 ? 都是等差数列,求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若 2Sn ? an 2 ? an ,试比较
1 1 1 ? ? ??? ? 与 1 的大小. a1a2 a2 a3 an an ?1

命题意图:本题综合考察等差数列的通项公式、裂项求和,中等题.

解: (Ⅰ)? 数列 ?an ? , ?an 2 ? 都是等差数列,设数列 ?an ? 的公差为 d , 则 2a22 ? a12 ? a32 ? 2(a1 ? d )2 ? a12 ? (a1 ? 2d )2 ? 2(1 ? d )2 ? 1 ? (1 ? 2d )2 得 2d 2 ? 0 ,
? an ? 1

∴d ? 0 …………………………………5 分

(Ⅱ)由于 2Sn ? an 2 ? an ① 当 n ? 2 时, 2Sn ?1 ? an ?12 ? an ?1 ②
2 ? an ?12 , 由①-②得: an ? an ?1 ? an

又 an ? 0

∴ an ? an ?1 ? 1 (n ? 2, n ? N ? )

,………………………………………10 分

又 a1 ? 1 ∴ an ? n ∴
1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ??? ? 1? ? 1 a1a2 a2 a3 an an ?1 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1) n

……………………………13 分

21. (本小题满分 13 分) 已知椭圆
6 x2 y 2 x y ,右焦点 F 到直线 ? ? 0 的距离为 1 . ? ? 1? a ? b ? 0? 的离心率 e ? 3 a b a 2 b2

(Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)已知点 M , N 为椭圆的长轴的两个端点,作不平行于坐标轴的割线 AB ,若满足
?AFM ? ?BFN,求证:割线 AB 恒经过一定点.

命题意图:本题综合考察椭圆的方程与几何性质,直线与椭圆的位置关系、直线的斜率,较 难题.
(c,0) 解: (Ⅰ)设 F

由e ?

6 c 6 6 a ……① ,得 ? ,即 c ? 3 a 3 3

x y 又右焦点到直线 ? ? 0 的距离为 1 , a b



bc a 2 ? b2

?1

……②

由①②及 a 2 ? b 2 ? c 2 得 a 2 ? 6, b2 ? 2 , 所以椭圆的方程为
x2 y 2 ? ?1 6 2

… ……………… ………5 分

(Ⅱ)设割线 AB 的方程为 y ? kx ? b(k ? 0) ,
? x2 y 2 ?1 ? ? 由? 6 2 ? (1 ? 3k 2 ) x2 ? 6kbx ? 3b2 ? 6 ? 0 ? y ? kx ? b ?

6kb 3b2 ? 6 (*) … ……………… ………8 分 , x1 x2 ? 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 y y 由 ?AFM ? ?BFN 得 k AF ? k BF ? 0 ? 1 ? 2 ? 0 ? x1 y2 ? y1 x2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 0 ………10 分 x1 ? 2 x2 ? 2

则有 x1 ? x2 ? ?

即 x1 (kx2 ? b) ? x2 (kx1 ? b) ? 2(kx1 ? b ? kx2 ? b) ? 0
2kx1 x2 ? (b ? 2k )( x1 ? x2 ) ? 4b ? 0

将(*)代入上式, 2k ?

3b2 ? 6 6kb ? (b ? 2k )(? ) ? 4b ? 0 ? b ? ?3k 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

所以割线 AB 方程为 y ? kx ? b ? kx ? 3k ? k ( x ? 3) ,即割线 AB 恒过点(3,0)… ………13 分


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