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3.3.2函数的极值与导数


3.3.2函数的极 函数的极 值与导数
高二数学 选修1-1

第三章

导数及其应用

一、复习导入------复习旧课 复习导入 复习旧课
1. 求出函数 f (x) = x + 3x 有没搞错,的单调区间 ? 24x ? 20 有没搞错,
3 2

怎么这里没有填上? 怎么这里没有填上 f ′( x ) = 3 x 2 + 6 x ? 24 = 3( x + 4)( x ? 2)? 解

你记住 令 f ′( x ) = 0, 得临界点x1 = ?4, x2 = 2 了吗?
(-∞,-4) , -4 0 (-4,2) , 2 0 (2,+∞) ,

区间 f ’(x) f(x)

+

-

+

f(x)在(-∞,-4)、 (2,+ x<-4或x>2 , 在 ,+∞)内单调递增 内单调递增, f ’(x)>0 , 、 ,+ 内单调递增 (x+4)(x-2)>0 或 f(x)在(-4,2)内单调递减-4<x<2 内单调递减。 在 f ’(x)<0 , 内单调递减。 (x+4)(x-2)<0 求导数—求临界点 列表—写出单调性 求临界点—列表 求导数 求临界点 列表 写出单调性

一、复习导入------导入新课 复习导入 导入新课
还记得高台跳水的例子吗? 还记得高台跳水的例子吗? h 最高点 h(t)=-4.9t2+6.5t+10

o

a

t

一、复习导入----------导入新课
2.跳水运动员在最高处附近的情况: 跳水运动员在最高处附近的情况: 跳水运动员在最高处附近的情况

在(2)当t<a时f(x)先增后减,h ’(x)先正后负, (1)当t=a时运动员距水面高度最大 t=a附近时运动员距水面高度最大 先增后减, 先正后负, 当 时运动员距水面高度最大, 先正后负 的单调性是怎样的呢? 当 , h(t)的单调性是怎样的呢 时 先增后减 的单调性是怎样的呢 导数的符号有什么变化规律? ? 导数的符号有什么变化规律? ,? 对于一般函数是否也有同样的性质吗? 对于一般函数是否也有同样的性质吗
h 最高点 h(t)=-4.9t2+6.5t+10 t
单调递增 h ’(t)>0

(3)当t>a时h(t)的单调性是怎样的呢? 当 时 的单调性是怎样的呢? 的单调性是怎样的呢 在此点的导数是多少呢? hh(t)在此点的导数是多少呢? .f(a)最大。 ’(x)连续变化,于是有 ’(a)=0. 连续变化, 最大。 在此点的导数是多少呢 连续变化 于是有h 最大
h ’(a)=0 = 单调递减 h ’(t)<0

o a

+ t<a

- t=a

t>a

一、复习导入------导入新课 复习导入 导入新课
3.(1) 如图,y=f(x)在c、d等点的函 如图, 在 、 等点的函 数值与这些点附近的函数值有什么 关系?导数值呢?导数符号呢? 关系?导数值呢?导数符号呢? y

探究

cd

e

f o g

h

I

j

x

一、复习导入------导入新课 复习导入 导入新课
3.(2) 如图,y=f(x)在a、b点的函数值 如图, 在 、 点的函数值 与这些点附近的函数值有什么关系? 与这些点附近的函数值有什么关系? 导数值呢?导数符号呢? 导数值呢?导数符号呢? f ’(b)=0 极大点 y f ′( x) >0 f ′( x)<0

探究

f ′( x) <0 a

f ′(x) >0
o b 极小值点

x y-=f(x)

f ’(a)=0

二、讲授新课-----了解概念 讲授新课-----了解概念 ----什么是极小值点、极小值、 什么是极小值点、极小值、 极大值点、极大值、极值点、极值? 极大值点、极大值、极值点、极值?
x f ’(x) <a =a 0 >a +

小结

极大值点和极小值点 极大值和极小值 单调 单调 统称为极值点 f(x) 极小值 统称为极值递增 递减
x <b + 单调 递增 =b 0 极大值 >b -

f(b) y

a o b

f ’(x) f(x)

x y=f(x)

单调 f(a) 递减

定义
一般地, 一般地 设函数

y
f ′(a) = 0
f ′(a ??x) > 0

?x > 0
f ′(a +?x) < 0

f (x) 在点x0附近有
定义, 定义 如果对x0附近 的所有的点, 的所有的点 都有

f ′(b ? ?x) < 0
-2 -1 1 2 3

f ′(b + ?x) > 0 f ′(b) = 0
4

f (x) < f (x0 )
我们就说 f (x0)是 f (x) 是

x

5

O

a

b

的一个极大值 的一个极大值, 点x0叫做函数 y = f (x)的极大值点 极大值 的极大值点. 反之, 反之 若 的一个极 f (x) > f (x0 ) , 则称 f (x0) 是 f (x) 的一个极

小值, 小值 点x0叫做函数 y = f (x)的极小值点 的极小值点. 极小值点、极大值点统称为极值点 极值点, 极小值点、极大值点统称为极值点, 极大值和极小值 统称为极值. 统称为极值. 极值

y

f ( x3 )

f ( x4 )

f ( x1 )

f (x2) (x
O

a

x1

x2

x3

x4

b

x

观察上述图象,试指出该函数的极值点与极值 观察上述图象 试指出该函数的极值点与极值, 试指出该函数的极值点与极值 并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点 哪些是极小值点. 并说出哪些是极大值点 哪些是极小值点

总结
? 1.理解极值概念时需注意的几点 . ? (1)函数的极值是一个局部性的概念,是仅 对某一点的左右两侧附近的点而言的. ? (2)极值点是函数定义域内的点,而函数定 义域的端点绝不是函数的极值点. ? (3)若f(x)在[a,b]内有极值,那么f(x)在[a, b]内绝不是单调函数,即在定义域区间上 的单调函数没有极值.

? (4)极大值与极小值没有必然的大小关系.一个 函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大 值,在某一点的极小值可能大于另一点的极大 值.(如图(1))

? (5)若函数f(x)在[a,b]上有极值,它的极值点的 分布是有规律的(如图(2)所示),相邻两个极大值 点之间必有一个极小值点,同样相邻两个极小 值点之间必有一个极大值点.

导数为0的点不一定是极值点 ? 2.导数为 的点不一定是极值点 导数为 的点不一定是极值点.

练习1 练习
下图是导函数 y 的图象, y = f ′(x) 的图象 试找出函数 y = f (x) 的极值点, 并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点. 的极值点 并指出哪些是极大值点 哪些是极小值点

y = f ′(x)
x3 x x4 x5 x6 b

x2 a x1 O

探究:极值点处导数值 即切线斜率 有何特点? 即切线斜率) 探究:极值点处导数值(即切线斜率)有何特点?
y y

分析y=x3
3

y=f(x) =

由f (x) = x , 得f ' (x) = 3x ,
2

O O a x1

x

在x = 0处,( ) 0, f' 0 =
f ′(x2)=0 f ′(x3)=0

f ′(x1)=0

x2 = 0是极值点吗? x b x x3

结论:极值点处,如果有切线, 结论 极值点处,如果有切线,切线水平的.即: f ′(x)=0 极值点处 思考;若 是否为极值点? 思考 若 f ′(x )=0,则x0是否为极值点? ,
0

思考
若寻找可导函数 极值点 若寻找 可导函数极值点 可导函数 极值点, 可否只由f 可否只由 ′(x)=0求得即可? 0求得即可? 探索: 是否为函数f(x)=x3 探索 x =0是否为函数 是否为函数 的极值点? 的极值点
不是该函数的极值点.

y f (x)=x3 )

O

x

f′ f′(x)=3x2 当f′(x)=0时,x =0,而x =0 f′
f′(x0) =0 x0 是可导函数 是可导函数f(x)的极值点 的极值点 x0左右侧导数异号 x0 是函数 是函数f(x)的极值点 的极值点

f′(x0) =0

注意: 注意:f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件 是函数取得极值的必要不充分条件

进一步探究:极值点两侧函数图像单调性有何特点?
极大值

极小值

极值点两侧单调性互异 即: 极值点两侧单调性互异

探究:极值点两侧导数正负符号有何规律 探究 极值点两侧导数正负符号有何规律? 极值点两侧导数正负符号有何规律
y y=f(x) = f ′(x)<0 极大值点两侧 f ′(x)>0 f ′(x)>0 x2 b x x1 X<x1 X>x1 f′(x) f′(x) <0 f′(x) =0 f′(x) >0 减 极小值 增 f(x) x f ′(x)<0 x f′(x) f(x) X<x2 增 x2 极大值 X>x2 减

f′(x) >0 f′(x) =0 f′(x) <0

O a x1 极小值点两侧

结论:极值点处,f′(x) =0 结论:极值点处, 注意:(1) f′(x0) =0, x0不一定是极值点 ,
(2)只有f′(x0) =0且x0两侧单调性不同 , x0才是极值点. (3)求极值点,可以先求f′(x0) =0的点,再列表判断单调 的点, 求极值点, 的点 性

1 3 的极值. 例1 求函数 f (x) = x ? 4x + 4的极值 3 解: 1 3 ′(x) = x2 ? 4. 因为 f (x) = x ? 4x + 4, 所以 f 3 令 f ′(x) = 0, 解得 x = 2, 或 x = ?2. 当 f ′(x) > 0 , 即 x > 2 , 或 x < ?2 ; 当 f ′(x) < 0 , 即 ? 2 < x < 2 .
当 x 变化时 f (x) 的变化情况如下表 变化时, 的变化情况如下表:

x

f ′(x)

(–∞, –2)

–2

(–2, 2) –

2 0

( 2, +∞)

+

0

+

f (x) 单调递增

28/ 3 单调递减

? 4/ 3 单调递增

所以, 所以 当 x = –2 时, f (x)有极大值 28 / 3 ; 有极大值 当 x = 2 时, f (x)有极小值 – 4 / 3 . 有极小值

例题4图像
y f(x)=1/3 x3-4x+4 + 28/3

-2 -4/3

o

2 + x

1 解:f(x)= + x, 所以x ≠ 0 x 1 x2 ? 1 f '( x) = ? 2 + 1 = 2 , f '( x) = 0时,x = ±1 x x 当x变化时,f'(x),f(x)变化如下表

1 y= +x x

导函数的正负是 交替出现的吗?

不是

x
f '( x)

X<-1

+

-1 0
极大值

(-1,0) (0,1) , ) -

1 0
极小值

X>1 +

f ( x)

所以, 所以,当x=-1是,函数的极大值是 ,当x=1时,函数的 是 函数的极大值是-2, 时 极小值是2 极小值是

求函数极值(极大值,极小值)的一般步骤: 求函数极值(极大值,极小值)的一般步骤: (1)确定函数的定义域 ) (2)求方程 )求方程f’(x)=0的根 的根 的根, (3)用方程 )用方程f’(x)=0的根,顺次将函数的定义域分成 的根 若干个开区间, 若干个开区间,并列成表格 (4)由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号,来判断 4) f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号, 在方程 的根左右的符号 x0 f(x)在这个根处取极值的情况 在这个根处取极值的情况 左正右负, 为极大值; 若f ’(x0)左正右负,则f(x0)为极大值; 左正右负 为极大值 左负右正, 若 f ’(x0)左负右正,则f(x0)为极小值 + 左负右正 为极小值

+

求导—求极点 列表 求导 求极点—列表 求极值 求极点 列表—求极值

x0

练习2 练习
求下列函数的极值: 求下列函数的极值

(1) f (x) = 6x ? x ? 2; (2) f (x) = x ? 27x; 3 3 (3) f (x) = 6 +12x ? x ; (4) f (x) = 3x ? x . 解: 1 列表: (1) f ′(x) =12x ?1, 令 f ′(x) = 0, 解得 x = . 列表 12
2 3

x

f ′(x)
f (x)

1 (?∞, ) 12


1 12 0

1 ( ,+∞) 12 +

单调递减

49 ? 24

单调递增

1 49 1 所以, 所以 当 x = 时, f (x)有极小值 f ( ) = ? 有极小值 . 12 24 12

练习2 练习
求下列函数的极值: 求下列函数的极值

(1) f (x) = 6x ? x ? 2; (2) f (x) = x ? 27x; 3 3 (3) f (x) = 6 +12x ? x ; (4) f (x) = 3x ? x . 解: 列表: (2) 令f ′(x) = 3x2 ? 27 = 0,解得 x1 = 3, x2 = ?3.列表
2 3

x

f ′(x)

(–∞, –3)

–3

(–3, 3) – 单调递减

3 0

( 3, +∞)

+

0

+
单调递增

f (x) 单调递增

54

?54

所以, 所以 当 x = –3 时, f (x)有极大值 54 ; 有极大值 当 x = 3 时, f (x)有极小值 – 54 . 有极小值

练习2 练习
求下列函数的极值: 求下列函数的极值

(1) f (x) = 6x ? x ? 2; (2) f (x) = x ? 27x; 3 3 (3) f (x) = 6 +12x ? x ; (4) f (x) = 3x ? x . 解: ′(x) =12 ?3x2 = 0,解得 x1 = 2, x2 = ?2. (3) 令f
2 3

所以, 当 x = –2 时, f (x)有极小值 – 10 ; 所以 有极小值 当 x = 2 时, f (x)有极大值 22 . 有极大值

(4) 令f ′(x) = 3?3x = 0, 解得 x1 =1, x2 = ?1.
2

所以, 所以 当 x = –1 时, f (x)有极小值 – 2 ; 有极小值 当 x = 1 时, f (x)有极大值 2 . 有极大值

思考
y + + o Y=x3

(1)导数为 的点一定是 导数为0的点一定是 导数为 函数的极值点吗? 函数的极值点吗? 例如: 例如:f(x)=x3 f ’(x)=3x2≥0 f ’(0)=3×02=0 × x x x<0 f ’(x) + f(x) X=0 X>0 0 +

是极值, 若f(x0) 是极值,则f ’(x0)=0。 。 反之, 反之, f ’(x0)=0,f(x0)不一定是极值 , 不一定是极值 y=f(x)在一点的导数为 是函数 在一点的导数为0是函数 在一点的导数为 是函数y=f(x) 必要条件。 在这点取得极值的 必要条件。

思考
y

(2).极大值一定比极小值大吗? 极大值一定比极小值大吗? 极大值一定比极小值大吗
y = f (x)
极 小 值

极 大 值

极 小 值
x5 x6

a

x1

o

x2

x3

x4

b

x

一定

极值是函数的局部性概念

单 调 性

单调性的判别法 1.求导,2.求临界点 求导, 求临界点 求导 3. 列表,4.单调性 列表, 单调性 单调区间的求法

y

y

A

y = f (x)
A

B

y = f (x)
B

o

a

b

x

o

a

f ’(x)>0单调弟增 单调弟增
y

f ’(x)<0单调递减 单调递减
y

b

x

函 数 的 性 质

o

x0

函数极值的定义

x

o

x0

x

函数的极大值与极小值统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点. 极值 使函数取得极值的点称为极值点

求极值的步骤:1.求导, 求极点 求极点, 列表 列表, 求极值 求极值的步骤 求导,2.求极点,3.列表,4.求极值 求导
y y

函数极值的求法
o

+ ?
x0

?
x

+
x0

o

x

处具有导数, 设 f (x)在点 x0处具有导数,且在 x0 处取得极值, 处取得极值,那末必定 f ' ( x0 ) = 0.

必要条件

3 2 思考: 处取得极值。 思考:已知函数 f ( x ) = ax + bx ? 2 x 在 x = ?2, x = 1处取得极值。

(1)求函数 f ( x ) 的解析式 ) (2)求函数 f ( x )的单调区间 )
解:(1)f ' ( x ) = 3ax 2 + 2bx ? 2

Q f ( x)在x = ?2, x = 1取得极值,
1 1 解得:a = , b = 3 2

?12a ? 4b ? 2 = 0 ∴ f ′(?2) = 0, f ′(1) = 0 即 ? ? 3a + 2b ? 2 = 0

1 3 1 2 ∴ f ( x) = x + x ? 2x 3 2 (2) Q f ' ( x ) = x 2 + x ? 2 由f ' ( x ) > 0
由f ' ( x ) < 0

得:x > 1或x < ?2

∴ f ( x)的单调递增区间为:?∞, ?2 ) U (1, +∞ ) (

∴ f ( x )的单调递减区间为: 2,1) (?

得: 2 < x < 1 ?


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