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第六章教案


第六章概率的进一步认识(新教案)
6.1.用树状图或表格求概率(1) 一、教学目标: 知识与技能 学习用树状图和列表法计算涉及两步实验的随机事件发生的概率. 过程与方法: 1.培养学生合作交流的意识和能力, 2.提高学生对所研究问题的反思和拓广的能力,逐步形成良好的反思意识. 情感态度与价值观: 积极参与数学活动,经历成功与失败,获得成功感,提高学习数学的兴趣. 二、教

学重点: 用树状图和列表法计算涉及两步实验的随机事件发生的概率. 教学难点: 正确地用列表法计算涉及两步实验的随机事件发生的概率. 三、教学过程: (一) 情境引入(创设问题情境,引导学生观察思考,激发兴趣) 我们在七年级时, 曾用掷硬币的方法决定小明和小丽谁去看周末的电影: 任意掷一枚均匀的硬币. 如果正面朝上,小丽去;如果反面朝上,小明去.这样决定对双方公平吗? (二) 合作探究(探究新知,生生互动) 1、 自主学习:学生看书学习画树状图法和列表法求概率。 2、合作探究一 如今,我国的福彩、体彩等形式的彩票已吸引了不少人,不少同学会感到十分 神秘,其实这只是一个概率问题.针对这一问题,我们做一个有趣的游戏: 小明对小亮说: “我向空中抛 2 枚同样的—元硬币,如果落地后一正一反,你给我 10 元 钱,如果落地后两面一样,我给你 10 元线. ”结果小亮欣然答应,请问,你觉得这个游戏公 平吗? 这个游戏对双方是公平的.小亮和小明获胜的概率都为

1 ,分析如下: 2

由树状图可知,向空中抛两枚同样的一元硬币.出现(正.正),(正,反),(反,正),(反, 反)的可能性是相同的,而出现两面一样的概率为,出现一正一反的概率也为

1 . 2

合作探究二: 还记得前面的游戏吗?请你用列表的方法求出将两枚均匀的一元硬币抛出去,两个都是正面朝 上的概率是多少? 由于每一枚硬币出现正面、反面的可能性是相同的,因此可列表如下: 第二枚硬币 第一枚硬币
1

正面

反面

正面 反面

(正,正) (反,正)

(正,反) (反,反)

因此,两枚硬币都是正面朝上的概率为

1 4

(三) 、展示归纳(通过小组交流展示,互相质疑释疑) 1、小组交流探究成果: 2、结论归纳 利用树状图或表格可以清晰地表示出某个事件发生的所有可能出现的结果;从而较方便地求 出某些事件发生的概率. (四) 、应用训练(学生试做,师徒互助,小组合作交流,教师指导,体现先学后导) 1、做—做(可以用列表、树状图) 你能用我们学过的知识计算出两张牌的牌面数字和为 3 的概率吗? 可以用树状图来表示,即 :

两张牌的牌面数字的和有四种等可能的情况,而两张牌的牌面数字和为 3 的情况有 2 次,因 此.两张牌的牌面数字的和为 3 的概率为

2 1 = . 4 2

2、如果有两组牌,它们的牌面数字分别是 1,2,3。那么从每组牌中各摸出一张牌,两张牌的 牌面数字和为几的概率最大?两张牌的牌面数字和等于 4 的概率是多少呢?

(对于上面的问题,可以要求学生自己尝试求解,从小发现不同的解法和错误的解法,提供 给全班讨论)

总共有 9 种情况,每种情况发生的可能性相同,而两张牌的牌面数字和等于 4 的情况出现得 最多,共 3 次,因此牌面数字和等于 4 的概率最大,概率为

3 1 ,即 9 3

2

我通过列下表得到牌面数字和等于 4 的概率为 我通过列下表得到牌面数字和等于 4 的概率为 牌面数字的可能值 相应的概率 2 3

1 . 5

1 . 5
4 5 6

1 5

1 5

1 5

1 5

1 5

我也用了列表的方法,可我得到牌面数字和等于 4 的概率为 第一张牌的牌 面 数 字第二张 牌的牌面数 1 2 3

1 . 3
3

1

2

(1,1) (2,1) (3,1)

(1,2) (2,2) (3,2)

(1,3) (2,3) (3,3)

你认为谁做得对?说说你的理由. (学生的问答可以多种多样.安排此问的目的在于引导学生对所研究的问题、所用的方法进 行反思和拓广,逐步形成良好的反思意识) (五) 、达标检测(分小组统计达标人数,小组内纠错) 1、从 0,1,2 三个数中任取两个,组成两位数,则在组成的两位数中是奇数的概率是 。

2、在复习《反比例函数》一课时,同桌的小明和小芳有一个问题观点不一致,小明认为如果两 次分别从 1-6 六个整数中任取一个数, 第一个数作为点 P (m,n) 的横坐标, 第二个数作为点 P (m,n) 的纵坐标,则点 P(m,n)在反比例函数 y ?

12 6 的图像上的概率一定大于在反比例函数 y ? 的 x x

图象上的概率,而小芳却认为两者的概率相同。你赞成谁的观点? (1)试用列表或画树状图的方法列举出所有点 P(m,n)的情形 (2)分别求出点 P(m,n)在两个反比例函数的图象上的概率,并说明谁的观点正确。

三、课堂收获 同学们,这节课你有哪些收获? 本节课我们学习了用树状图和列表法求理论概率,进一步发展了同学们合作交流的意识和良好的 反思习惯.
3

四、课外作业 课本:习题 6、1 第 1,2,3,4 题 五、教学反思

6.1. 用树状图或表格求概率 (2) 一、教学目标: 知识与技能:学习用树状图和列表法计算涉及两步实验的随机事件发生的概率. 过程与方法: 1.培养学生合作交流的意识和能力, 2.提高学生对所研究问题的反思和拓广的能力,逐步形成良好的反思意识. 情感态度与价值观: 积极参与数学活动,经历成功与失败,获得成功感,提高学习数学的兴趣. 二、教学重点: 用树状图和列表法计算涉及两步实验的随机事件发生的概率. 教学难点: 正确地用列表法计算涉及两步实验的随机事件发生的概率. 三、教学过程: (一)情境引入(创设问题情境,引导学生观察思考,激发兴趣) 下面再来看一个我们常见的用两个转盘“配紫色”的游戏.(多媒体演示) 游戏者同时转动如下图中的两个转盘进行“配紫色”游戏,求游戏者获胜的概率.

对于第(1)个转盘,转出红色、白色的可能性是一样的;对于第(2)个转盘,转出黄色、蓝色、 绿色的可能性是一样的.列表如下:

第二个转盘 第一个转盘 红色 白色

黄色 (红、黄) (白,黄)

蓝色 (红,蓝) (白蓝)

绿色 (红,绿) (白,绿)

由表格可以得出游戏者获胜的概率为 (二)合作探索(探究新知,生生互动) 合作探究一:

1 . 6

掷两枚骰子.它们的点数和可能有哪些值?用列表的方法求出点数和为 5 的概率. 分析:每个骰子出现点数 1,2,3,4,5,6 的可能性是相同的.
4

解:掷两枚骰子,它们的点数和可能有 2,3,4,5,6,8,9,10,11,12 这 11 个值.它们 的点数和为 6 的概率为 .列表如下: 第二次 点数 第一 次点数 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6

(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)

(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)

(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)

(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)

(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)

(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

根据表格,共有 36 种等可能的结果,其中点数和为 5 的有 (三)展示归纳 画树状图和列表法的注意事项和优缺点 (四)应用训练(学生试做,师徒互助,小组合作交流,教师指导,体现先学后导) 掷两枚骰子.它们的点数和可能有哪些值?用列表的方法求出点数和为 6 的概率. 分析:每个骰子出现点数 1,2,3,4,5,6 的可能性是相同的. 解:掷两枚骰子,它们的点数和可能有 2,3,4,5,6,8,9,10,11,12 这 11 个值.它们 的点数和为 6 的概率为 第二次 点数 第一 次点数 1 2 3 4 5 6 1

5 .列表如下: 36
2 3 4 5 6

(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)

(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)

(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)

(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)

(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)

(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

根据表格,共有 36 种等可能的结果,其中点数和为 6 的有(1,5),(2,4),(3,3),(4,),(5, 1)这 5 种.

(五)达标检测(分小组统计达标人数,小组内纠错) 1、一个袋子里有两个黄球,三个白球,它们除颜色外均相同,小明不看袋子,从袋子中取出了 一个白球,则下面关于小明从袋子中取出白球的概率季频率扫说法正确的是( ) A、小明从袋中取出白球的概率是 1 B、小明从袋中取出黄球的概率是 0 C、在这次试验中,小明取出白球的频率是 1
5

D、由这次试验的频率去估计小明取走白球的概率是 1 2、有两组牌,每组数字均为 1,2,3,那么从每组牌中各摸出一张牌,两张牌的牌面数字和为 4 概率是多少?

四、课堂收获 同学们,这节课你有哪些收获? 本节课我们学习了用树状图和列表法求理论概率,进一步发展了同学们合作交流的意识和良好的 反思习惯.

五、课外作业 课本:习题 6、2 第 1,2,3,4 题 六、教学反思

6.2 用频率估计概率
一、教学目标 知识与技能: 通过实验. 理解当实验次数较大时实验频率稳定于理论概率, 并据此估计某一事件发生的概率. 过程与方法: 经历实验、统计等活动过程,在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力. 情感态度与价值观: 1.积极参与数学活动.通过实验提高学生学习数学的兴趣. 2.发展学生的辩证思维能力. 二、教学重点: 1.通过实验.理解当实验次数较大时。实验频率稳定于理论概率.并据此估计 某一事件发生的概率. 2.在活动中发展学生的合作交流意识和能力. 教学难点: 辩证地理解当实验次数较大时,实验频率稳定于理沦概率. 三、 教学过程: (一) 情境引入(创设问题情境,引导学生观察思考,激发兴趣) 你会用实验的方法估计一个事件发生的概率吗?你会设计一个方案估计一个鱼塘里鱼的数目 吗? (二)合作探究

6

1、自主学习:学生自主学习频数,频率的概念: 在考察中,每个对象出现的次数称为频数,而每个 对象出现的次数与总次数的比值称为频率. 2、 合作探究 一 分组实验,进一步理解当实验次数较大时,实验频率稳定于理论概率. 活动: 准备两组相同的牌, 每组两张。两张牌的牌 面数字分别是 1 和 2. 从每组牌中各摸出一张, 称为一次实验. (1)估计一次实验中。两张牌的牌面数字和可能有哪些值? (2)以同桌为单位,每人做 30 次实验,根据实验结果填写下面的表格: 牌面数字和 频数 频率 (3)根据上表,制作相应的频数分布直方图. (4)根据频数分布直方图.估计哪种情况的频率最大? (5)计算两张牌的牌面数字和等于 3 的频率是多少? (6)六个同学组成一组,分别汇总其中两人、三人、四人、五人、六人的实验数据,相应得 到实验 60 次、90 次、120 次、150 次、180 次时两张牌的牌面数字之和等于 3 的频率,填 写下表.并绘制相应的折线统计图. 实验次数 两张牌面数字和等于 3 的频数 两张牌面数字和等于 3 的频率 合作探究二 经历实验、统计等活动过程,估计复杂随机事件(生日相同)的概率。 400 个同学中,一定有 2 个同学的生日相同(可以不同年)吗? 把 m 个东西任意放进 n 个空抽屉里(m>n).那么一定有几个抽屉中放进了至少 2 个东西? 在上面的问题中,由于一年最多有 366 天,因此,在 400 个同学中一定会出现至少 2 个人出 生在同月同日.就相当于把 400 个东西放到 366 个抽屉里,一定至少有 2 个东西放在同一抽屉里. (三) 、展示归纳(通过小组交流展示,互相质疑释疑) 1、 小组交流探究成果: 在上面的实验中, 你发现了什么?如果继续增加实验次数呢?与其他小组交 流所绘制的图表和发现的结论. 2、结论归纳 在具体实验活动的展开过程中.要力图体现各个步骤的渐次递进. (1)在一次实验中,两张 牌的牌面数字和可能为 2,3,4:(2)学生根据自己的实验结果如实填写实验数据;(3)制作相应 的频数分布直方图,一方面为了复习巩固八年级下册有关频数、频率的知识,同时也便于学生更 为直观地获得(4)的结论;(4)一般而言,学生通过实验以及上面(2)(3)的图表容易猜想两张牌的 60 90 120 150 180 2 3 4

7

牌面数字和为 3 的频率最大.理论上.两张牌的牌面数字和为 2,3,4 的概率依次为 , ,

1 1 1 , 4 2 4

应该说,经过 30 次实验,学生基本能够猜想两张牌的牌面数字和为 3 的频率最大.当然,这里 一定要保证实验的次数,如果实验次数太少,结论可能会有较大出入;(5)有了(4)中的结沦.自 然过渡到研究其频率的大小.当然,两张牌的牌面数字和等于 3 的频率因各组实验结果而异.正 是有了学生结论的差异性,才顺理成章地展开问题(6),汇总组内每人的实验数据;(6)目的在于 通过逐步汇总学生的实验数据,得到实验 60 次、90 次、120 次、150 次、180 次时的频率.并绘 制相应的折线统计图,从而动态地研究频率随着实验次数的变化而变化的情况 结论:通过多次试验,我们用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率 1)抽屉原理——把 m 个东西任意放进 n 个空抽屉里(m>n).那么一定有一个抽屉中放进了至少 2 个东西. 2)能用试验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率. 3)求生日相同的概率:若有 n 个人在一起,其中找不到两个人生日相同的机会为:

P( E ) ?

365 ? 364 ? 363 ? ? ? [365 ? ( n ? 1)] 365 n

有 n 个人在一起,最少有 2 人同月同日生的机会为:

P( E) ? 1 ? P( E)
(四) 、应用训练(学生试做,师徒互助,小组合作交流,教师指导,体现先学后导) 一个口袋中有黑球 10 个和若干个白球,从口袋中随机摸出 1 个球记下其颜色,再把它放入口袋 中摇匀,重复上述过程,共实验 100 次,其中 75 次摸到白球,由此请你估计袋中的白球数。 (五) 、达标检测(分小组统计达标人数,小组内纠错) 1、下列叙述中正确的是( )

A、任意调查 2 个人的生日很有可能生日相同 B、任意调查 367 个人,一定有两个人生日相同 C、任意调查 2 个人,生日不可能相同 D、任意调查 500 个人的生日,有可能两个人生日相同 2、 某地区为估计该地区黄羊的只数,先捕捉 20 只黄羊给它们分别作上记号然后放还,带有标 记的黄羊完全混合于黄羊群后,第二次捕捉 40 只黄羊,发现其中有 2 只有标记.从而估计这个地 区有黄羊 只.

3.一个口袋中有 10 个红球和若干个白球,请通过以下试验估计口袋中白球的个数:从口袋中随机 摸出一球,记下颜色,再把它放回口袋中搅匀,不断重复上述过程,试验中共摸了 200 次,其中 50 次摸到红球.求口袋中有多少个白球?

8

4、 小李想知道自家鱼塘中鱼的数量,他先从鱼塘中捞出 100 条鱼分别作上记号,再放回鱼塘, 等鱼完全混合后,第一次捞出 100 条鱼,其中有 4 条带标记的鱼,放回会后,第二次又捞出 100 条鱼,其中有 6 条带标记的鱼,请你帮她估计鱼塘中鱼的数量是多少?

四、课堂收获:同学们,这节课你有哪些收获? 通过实验估计随机事件发生的概率

五、课外作业 习题 6、3 第 1、2、3 题 1、一个不透明的口袋里有 8 个黑球和若干个白球,如果不许把球倒出来数,你能估计出有多少 个白球吗?小明是这样想的: 他从口袋里随机摸出一球,记下其颜色,再把它放回口袋里,不断重复上述的过程,我们共摸了 200 次,其中有 57 次摸到白球,因此他估计口袋中有大约 20 个白球。你能说说他的道理吗? (让学生思考讨论后得出结论) 假设口袋里有 x 个白球,通过多次试验,我们可以估计出从口袋里随机摸出一个球,它为白球的 概率;另一方面,这个概率又应等于 ,由此我们可以估计出白球的数 x。即:

,解得 x=20 所以可以估计出白球数约为 20 个。

拓展提升: 某鱼塘放养鱼苗 10 万条, 根据这几年的经验知道, 鱼苗成活率为 95%, 一段时间后准备打捞出售, 第一网捞出 40 条, 称得平均每条鱼重 2.5 千克, 第二网捞出 25 条, 称得平均每条鱼重 2.2 千克, 第三网捞出 35 条,称得平均每条鱼重 2.8 千克,试估计鱼塘中鱼的总质量.

六、教学反思

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