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2015高考数学(人教版)一轮复习课时训练:5.4 数列求和(含答案解析)


课时提升作业(三十一)
数 列 求 和 (45 分钟 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.设数列{(-1)n}的前 n 项和为 Sn,则对任意正整数 n,Sn=( A. C. B. D. ) 100 分)

2.(2014·天门模拟)已知{an}是首项为 1 的等比数列,Sn 是{an}的前 n 项和,且 9S3=S6,则数列 A. 或

5 C. 的前 5 项和为( B. 或 5 D. )

3. 已知定义在 (0,1) 上的函数 f(x), 对任意 m,n ∈ (1,+ ∞ ) 且 m<n 时 , 都有 f +a8=( A.f C.f -f ) B.f D.f + +? =f . 记 an=f ,n ∈ N*, 则 在 数 列 {an} 中 ,a1+a2+ ?

4.(2014 ·西安模拟 ) 若数列 {an} 为等比数列 , 且 a1=1,q=2, 则 Tn= + A.1C. 的结果可化为( ) B.1D.

5.数列{an}的通项公式 an=2[n-(-1)n],设此数列的前 n 项和为 Sn,则 S10-S21+S100 的值是( )

A.9746

B.4873

C.9736

D.9748 - =d(n∈N*,d 为常数),则称数列{an}为 “调

6.(能力挑战题)若数列{an}满足 和数列”.已知正项数列 值是( A.10 ) B.100 C.200

为“调和数列”,且 b1+b2+?+b9=90,则 b4·b6 的最大

D.400

二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) 7.对正整数 n,若曲线 y=xn(1-x)在 x=2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 an,则数 列 的前 n 项和为 .

8.对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若 a1=2,{an}的“差 数列”的通项公式为 2n,则数列{an}的前 n 项和 Sn= .

9.(2014·武汉模拟)已知数列{an}的各项均为正整数,Sn 为其前 n 项和,对于 n=1,2,3,?,有 an+1= 其中 k 是使 an+1 为奇数的正整数,an 为偶数.

(1)当 a3=5 时,a1 的最小值为________. (2)当 a1=1 时,S1+S2+?+S10=________. 三、解答题(10~11 题各 15 分,12 题 16 分) 10.(2014·恩施模拟)已知数列{bn}中,b1+2b2+?+2n-1bn=2n2+n. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 11.(2013·湖南高考)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 a1≠0,2an-a1=S1·Sn,n∈ N*. (1)求 a1,a2,并求数列{an}的通项公式. (2)求数列{nan}的前 n 项和.

12.(能力挑战题)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1= ,Sn=n2an-n(n-1),n=1,2,? (1)证明:数列 (2)设 bn= 是等差数列,并求 Sn. ,求证:b1+b2+?+bn< .

答案解析
1.【解析】选 D.因为数列{(-1)n}是首项与公比均为-1 的等比数列, 所以 Sn= = ,选 D.

2.【解析】选 C.设等比数列的公比为 q, 则当公比 q=1 时,由 a1=1 得,9S3=9×3=27, 而 S6=6,两者不相等,故不合题意. 所以 q≠1,又 a1=1,9S3=S6, 所以 9× 所以 = ,解之得 q=2, = .

的前 5 项和为 1+ + + + =

3.【解析】选 B.an=f =f =f -f -f ,

所以 a1+a2+…+a8=f =f =f

.故选 B. = ,

4.【解析】选 C.an=2n-1,设 bn= 则 Tn=b1+b2+b3+…+bn = + = +…+ .

5.【解析】选 A.当 n 为奇数时,an=2(n+1);当 n 为偶数时,an=2(n-1), 故有 S10= S21= S100= ×5+ ×5=60+50=110, ×10=464, ×50=10100.

×11+ ×50+

故 S10-S21+S100=9746. 【方法技巧】数列求和的思路 (1)等差数列和等比数列的前 n 项和公式是求和的基础;一般数列的求和问题往 往通过变形整理,转化为这两类特殊数列的和的问题.例如一类特殊数列的求和 通过倒序相加法或错位相减法变形后,就可以转化为这两类数列的求和问题. (2)观察数列的特点是变形的基础.给定的数列有其自身的特点和规律,根据数 列的特点和规律选择合适的方法变形是解题的突破口. 6.【解析】选 B.因为正项数列 所以 bn+1-bn=d(n∈N*,d 为常数), 即数列{bn}为等差数列. 由 b1+b2+…+b9=90 得 即 b1+b9=20, 所以 b4+b6=b1+b9=20,又 bn>0, 所以 b4·b6≤ =100, =90, 为“调和数列”,

当且仅当 b4=b6 时等号成立. 因此 b4·b6 的最大值是 100. 7.【解析】由题意,得 y′=nxn-1-(n+1)xn, 故曲线 y=xn(1-x)在 x=2 处的切线的斜率为 k=n×2n-1-(n+1)2n, 切点为(2,-2n), 所以切线方程为 y+2n=k(x-2). 令 x=0 得 an=(n+1)2n,即 则数列 =2n,

的前 n 项和为 2+22+23+…+2n=2n+1-2.

答案:2n+1-2 8.【解析】因为 an+1-an=2n, 所以 an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1 =2n-1+2n-2+…+22+2+2 = +2

=2n-2+2=2n. 所以 Sn= 答案:2n+1-2 9.【解析】(1)a2=3a1+5,a3= ? a1= 数,所以当 k=2 时 a1 取最小值为 5. (2)由 a1=1? a2=3a1+5=8? a3= = ,显然要使 a3 为奇数则 k=3,所以 a3=1.于是该数 列 就 是 1,8,1,8, … 为 一 摆 动 数 列 , 所 以 S1+S2+ … +S10=10a1+9a2+8a3+ … +a10=(10+8+6+4+2)×1+(9+7+5+3+1)×8=230. 答案:(1)5(2)230 10.【解析】(1)当 n≥2 时, b1+2b2+…+2n-1bn=2n2+n ① b1+2b2+…+2n-2bn-1=2(n-1)2+n-1 ② ①-②得:2n-1bn=4n-1, 所以 bn= (n≥2), ,因为 k 是使 an+1 为奇数的正整数而 a3 为奇 =2n+1-2.

当 n=1 时,b1=3,满足上式, 故 bn= . ③

(2)Sn=3+7· +…+(4n-1)·

Sn=3· +7·

+…+(4n-5)· +…+

+(4n-1) -(4n-1)

④ .

两式相减,得 Sn=3+4 + 所以 Sn=14.

11.【思路点拨】(1)本题是利用递推关系 an= 求数列的通项公式. (2)根据第(1)问可知应利用错位相减法求数列前 n 项和. 【解析】(1)令 n=1,得 2a1-a1= ,因为 a1≠0, 所以 a1=1,

令 n=2,得 2a2-1=S2=1+a2,解得 a2=2.当 n≥2 时,由 2an-1=Sn, 2an-1-1=Sn-1,两式相减,整理得 an=2an-1,于是数列{an}是首项为 1,公比为 2 的等比 数列,所以,an=2n-1. (2)由(1)知 nan=n2n-1,记其前 n 项和为 Tn,于是 Tn=1+2×2+3×22+…+n×2n-1 ①, 2Tn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n ②, ①- ②得-Tn=1+2+22+…+2n-1-n×2n=2n-1-n×2n, 从而 Tn=1+(n-1)·2n. 【加固训练】设数列{an}的前 n 项 和为 Sn=n2,{bn}为等比数列,且 a1=b1,b2(a2-a1)=b1. (1)求数列{an},{bn}的通项公式. (2)设 cn=an·bn,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 【解析】(1)a1=S1=1, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1

=n2-(n-1)2 =2n-1,a1 适合上式, 所以 an=2n-1,n∈N*. 因为 b1=a1=1,b2= 又{bn}为等比数列, 所以其公比 q= = , 所以 bn= (2)cn=an·bn= ,n∈N*. . , ① + . ② =3, = ,

所以 Tn=1+ + + +…+ 所以 Tn= + + + +…+

①-②,得 Tn=1+1+ + +…+ 所以 Tn=6.

12.【解析】(1)由 S n=n2an-n(n-1)知, 当 n≥2 时,Sn=n2 (Sn-Sn-1)-n(n-1), 即(n2-1)Sn-n2Sn-1=n(n-1), 所以 又 所以 所以 (2)bn= = SnS1=1, 是首项为 1,公差为 1 的等差数列. Sn=1+(n-1)·1,所以 Sn= = , . Sn-1=1,对 n≥2 成立.

所以 b1+b2+…+bn

=

- + - +…+ -

+

-

=

< .

【加固训练】已知数列{an}满足 a1=3,an+1-3an=3n(n∈N*),数列{bn}满足 bn=3-nan. (1)求证:数列{bn}是等差数列. (2)设 Sn= + + +…+ ,求满足不等式 < < 的所有正整数 n 的值.

【解析】(1)由 bn=3-n an 得 an=3nbn, 则 an+1=3n+1bn+1. 代入 an+1-3an=3n 中,得 3n+1bn+1-3n+1bn=3n, 即得 bn+1-bn= . 所以数列{bn}是等差数列. (2)因为数列{bn}是首项为 b1=3-1a1=1,公 差为 的等差数列, 则 bn=1+ (n-1)= ,

则 an=3nbn=(n+2)×3n-1, 从而有 =3n-1,

故 Sn= + + +…+ =1+3+32+…+3n-1= 则 由 = < = < ,得 , < < . = .

即 3<3n<127,得 1<n≤4. 故满足不等式 < < 的所有正整数 n 的值为 2,3,4.

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