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2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(6)(附答案)


加试模拟训练题(6) 1.实数 a1 , a 2 ,? ? ?, a n (n ? 3) 满足 a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a n ? n ,且 a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a n ? n . 2 2 2 2 求证: max{a1 , a 2 , a3 ,? ? ?, a n } ? 2. 2 、设 C , D 是以 O 为圆心, AB 为直径的半圆上的

任意 两点,过点 B 作圆 O 的切线, 交直线 DC 于点 P , 直线 PO 与 直 线 AC , DA 分 别 交 于 点 M , N ,证明 OM ? ON 。 3、圆周上有 800 个点,依顺时针方向标号为 1,2,…,800 它们将圆周分成 800 个间隙.今选定某一点染成红色,然后按如下规则,逐次染红其余的一些点:若 第 k 号点染成了红色, 则可依顺时针方向转过 k 个间隙, 将所到达的点染成红色, 试求圆周上最多可以得到多少个红点? 4、设 x, y 是正整数, x ? y 且 x ? y ? 667 ,它们的最小公倍数是最大公约数的 120 倍,求 x, y 。 加试模拟训练题(6) 1.实数 a1 , a 2 ,? ? ?, a n (n ? 3) 满足 a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a n ? n ,且 a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a n ? n . 2 2 2 2 求证: max{a1 , a 2 , a3 ,? ? ?, a n } ? 2. 解 设 a1 , a 2 ,? ? ?, a n 中有个非负数,记为 x1 , x 2 ,? ? ?, xi ,有 j 个负数,记为 ? y1 ,? y 2 ,? ? ?,? y j ( y1 , y 2 ,? ? ?, y j ? 0) ,其中 i ? 0, j ? 0 ,且 i ? j ? n. 不妨设 max{a1 , a 2 , a3 ,? ? ?, a n } ? 2 ,即 max{x1 , x 2 , x3 ,? ? ?, xi } ? 2 . 因 x1 ? x 2 ? ? ? ? ? xi ? n ? y1 ? y 2 ? ? ? ? ? y i , 又 max{x1 , x 2 , x3 ,? ? ?, xi } ? 2 , y1 , y 2 ,? ? ?, y j ? 0. 则 2i ? x1 ? x 2 ? ? ? ? ? xi ? n ? y1 ? y 2 ? ? ? ? ? y i ? i ? j ? y1 ? y 2 ? ? ? ? ? y j , 所以 i ? j ? y1 ? y 2 ? ? ? ? ? y j . 因为 x1 ? x 2 ? ? ? ? ? xi ? (? y1 ) ? (? y 2 ) ? ? ? ? ? (? y j ) ) ? n , 2 2 2 2 2 2 2 所以 x1 ? x 2 ? ? ? ? ? xi ? n 2 ? ( y1 ? y 2 ? ? ? ? ? y j ). 2 2 2 2 2 2 又因为 max{x1 , x 2 , x3 ,? ? ?, xi } ? 2 , y1 , y 2 ,? ? ?, y j ? 0, 所以 4i ? x1 ? x 2 ? ? ? ? ? xi ? n ? ( y1 ? y 2 ? ? ? ? ? y j ) ? n ? (i ? j ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ? (i ? j ) 2 ? (i ? j ) 2 ? 4ij. 因 i

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